八年级数学下学期期末模拟卷（鲁教版五四制八下全册：特殊平行四边形+二次根式+一元二次方程+图形的相似）

**基本信息** 覆盖特殊平行四边形等四章内容，通过动态几何（如正方形平移重叠面积）、实际应用（如测量塔高、销售利润）及规律探究（如中点图形），考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊四边形性质、一元二次方程定义、相似三角形面积比|基础概念辨析，如菱形判定、矩形性质| |填空题|6/18|二次根式化简、相似三角形判定、新定义运算|开放探究，如添加相似条件、定义“※”运算| |解答题|8/72|方程求解、矩形证明、实际应用、动态几何、新定义|以测量塔高（相似）、销售利润（方程）、折叠问题（推理）、倍根方程（创新）为载体，体现层次性与应用价值|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第六章 特殊平行四边形、第七章 二次根式、第八章 一元二次方程、第九章 图形的相似。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．逐一分析各选项是否符合特殊四边形的判定或性质． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅四边形对角线垂直不一定是菱形（如对角线垂直的梯形），故A错误． B． 矩形邻边相等时，四条边均相等且四个角为直角，符合正方形定义，故B正确． C． 平行四边形四条边中点连线构成的四边形是平行四边形（中点四边形性质），而非矩形，仅当原四边形对角线垂直时中点四边形为矩形，但平行四边形对角线不一定垂直，故C错误． D． 矩形对角线相等且平分，但仅当矩形为正方形时对角线平分对角，普通矩形对角线不满足此性质，故D错误． 故选：B． 2．计算：(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：原式， 故选A． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负．据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程为二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根（包括相等的情况）， ∴， ∴ ∴且． 故选：A． 7．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，连接，先证明垂直平分，即，进而可得，再根据，问题得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，对角线， ∴，， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 8．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 9．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探索，根据题意得出规律是解题的关键．先写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，根据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 10．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，再证出，设，则，利用平行四边形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16， ∴， 解得，符合题意， 即， 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简 　　 ． 【答案】． 【解析】把12写成3×4，再逆用二次根式的乘法法则进行化简即可． 解：， 故答案为：． 12．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【答案】（或或） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个角形相似定理的应用．两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角或夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 13．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 【答案】/135度 【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质，等角对等边等知识，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 15．计算的结果是          ． 【答案】  【解析】解： ． 故答案为：． 根据二次根式的性质以及任何非零数的零次幂等于计算即可． 16．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 【答案】16或24 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，首先解方程，再根据运算“※”： ※，求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：或6， ①当时，； ②当时，． 故答案为：16或24． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握这两种方法是解题的关键． (1) 对于方程 ，可以考虑使用因式分解法来求解，即找到两个数，它们的乘积为，且它们的和为，这两个数分别是和2，所以可以将方程分解为 ，从而得到方程的解． (2) 对于方程 ，由于不易直接因式分解，可以使用一元二次方程的求根公式来求解，即 ，其中 ． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，． （2）解：∵ ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 18．（8分）设长方形的面积为，相邻两边分别为， 已知，，求； 已知，，求． 【答案】(1)解：∵a=，b=， ∴S=ab=×=4．  (2)解：∵a=2，b=3， ∴S= =6 =6×5×2×4 =240．  【解析】该题主要考查了二次根式的应用，二次根式的乘除 19．（8分）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求矩形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，角平分线的定义； （1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可； （2）由勾股定理得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：是矩形， ， ， 平分． ， ， ． （2）解：是矩形， ∴∠A＝90° ，， ∴ ， 由勾股定理得， 由（1）可知， ． 20．（8分）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 21．（8分）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题中的数量之间的关系列方程求解，并把不符合实际情况的解舍去． 设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为，根据连续增长两个月后销量由原来的个增加到个，可列关于的一元二次方程，其中的负数解不符合题意应舍去； 设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元，根据销量单件利润总利润列出关于的方程，为了尽可能让顾客得到实惠应选择较低的定价． 【详解】（1）解：设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元， 根据题意可得：， 解得：，， 当售价定为元或元时月销售利润都能达到元， 为了尽可能让顾客得到实惠，售价应定为元． 22．（10分）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 23．（12分）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． ， 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】（1）由折叠结合正方形的性质推出，再根据可证明结论； （2）连接．由全等的性质结合折叠以及正方形的性质推出，在 与 中根据勾股定理得出等式即可推出结果； （3）分①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，两种情况画出图形分别求解． 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接． ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第六章 特殊平行四边形、第七章 二次根式、第八章 一元二次方程、第九章 图形的相似。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 2．计算：(    ) A. B. C. D. 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 6．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 7．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 9．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 10．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简 　　 ． 12．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 13．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 14．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 15．计算的结果是          ． 16．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）设长方形的面积为，相邻两边分别为， 已知，，求； 已知，，求． 19．（8分）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求矩形的面积． 20．（8分）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 21．（8分）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 22．（10分）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23．（12分）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 24．（12分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $