精品解析：北京市清华大学附属中学广华学校2025-2026学年八年级第二学期期中试卷 数学

2025-2026学年初二第二学期期中试卷 数学 （清华附中广华学校初24级） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A、中的二次根式的被开方数为 ，不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理验证：各选项计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】A、，，， 不能组成直角三角形； B、，，， 不能组成直角三角形； C、，，， 不能组成直角三角形； D、，，， 能组成直角三角形． 3. 如图，矩形 的对角线 ，交于点O，若，那么度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题； 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边对等角，三角形得的外角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意， 故选：C． 5. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 6. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点就满足函数定义，否则就不满足． 【详解】解：函数是指：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应. 选项C中，当x在-1到1之间时，过其中某点向x轴作垂线，该垂线与图形有两个交点，与函数的概念违背，故选项C中表示的不是函数. 选项A、B、D都满足函数概念. 故答案为：C. 【点睛】本题考查函数的概念，函数的概念是指：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量；根据定义即可解答. 7. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质，根据长方形的对角线把长方形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵ 是长方形 的对角线， ∴，故选项A正确，不符合题意； 由题意，四边形和四边形均为长方形， ∵ 、 分别是长方形、长方形的对角线， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 不能证明，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 8. 如图，线段 的长为 ，点 在线段 上运动，以 为边长作等边三角形．再以 为边长，在线段 上方作正方形，记正方形的对角线交点为 ．连接，则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 、 、，根据等边三角形和正方形的性质证明 ，得出，从而确定点 的运动轨迹是一条射线，根据垂线段最短，当 时， 最小，利用含 角的直角三角形性质求解即可． 【详解】如图，连接 、 、，  为等边三角形，  ，，  四边形为正方形， 为对角线交点，  ， 在和中，  ，  ， ，  点 在过点 且与 成 角的射线上运动， 根据垂线段最短可知，当 时，线段 的值最小， 在中，，，  ， 即线段 的最小值为 ． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到 的取值范围． 【详解】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于 ，可得： ， 移项得 ， 解得． 10. 已知点，在一次函数 的图象上，则 ___________ ．（填写>、<或=） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，比较函数的值的大小，先分别算出 的值，再进行比较，即可作答． 【详解】解：∵点，在一次函数 的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：<． 11. 如图，在中，，，以点为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 （点 位于点的左侧），则点 所表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理求出 的长度；再根据圆的半径相等，得到 ；最后结合点在数轴上的位置，计算出点 表示的数． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理：， 由题意，以点为圆心、 为半径画弧交数轴于点 ， 因此， 已知且点 在原点，则点在数轴上表示的数是2， 又点 在点的左侧， 点 到点的距离为， 所以点 表示的数为：． 12. 如图，平行四边形 顶点 ， ， 的坐标分别是，，，则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得 ，点的纵坐标与点 的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标． 【详解】，，  ， 四边形 为平行四边形，  ， ，  点的纵坐标与点 的纵坐标相等， ，  点的横坐标为 ，纵坐标为 ，  点的坐标为． 13. 如图， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若，则 的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质、线段的和与差等知识，根据三角形中位线定理求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵ 为 的中位线， ∴， 在中， 是 的中点， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交 延长线于点F．若， ，则的长为______________． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出 ，，进而得出，再利用角平分线的性质推出，进而得到，得到，同理可得：，即可得出答案． 【详解】解： 平行四边形 ，， ，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ，， ． 15. 如图，在 中， 为 上一点，将 沿 折叠至处， '与 交于点 ．若，，的度数为______． 【答案】## 度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据折叠的性质得出，，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ＋＋， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 16. 如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当 时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段 或 上，其中所有正确结论的序号的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得 与 的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段 或 上，从而问题得解． 【详解】解： 动点P从点B出发，沿的路径匀速运动， ∴图2为等腰梯形， ，故①正确； ， 在矩形 中，， ，故②错误； 点P运动的路程为x，当时， ， 时，点P运动到点D处，故③正确； ， 在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于 ， 结合图1可知，当时，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题6分，26-28题，每题7分） 17. 计算：（）． 【答案】 【解析】 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式配方变形，再代入已知的 的值计算即可． 【详解】解：   ， 将代入得， 原式     ． 19. 如图，在 中，，，． （1）求 的长； （2）求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作交 于点D，根据三角形内角和定理得出，，由等角对等边以及含30度直角三角形的性质得出 ，，通过勾股定理分别求出， ，然后相加即可得出答案． （2）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作交 于点D， 则， ∵，， ∴，， ∴ ，， 在 中，， 即， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 20. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形 是平行四边形． 求作：菱形 （点 在 上，点 在 上）． 作法：①以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ； ②以为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ； ③连接 ． 所以四边形 为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， ________ ________． 在 中， ， 即， 四边形 为________（________）（填推理的依据）， ， 四边形 为________（________）（填推理的依据）． 【答案】（1） （2） ， ，平行四边形；一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）利用菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：，， ． 在 中， ， 即 ， 四边形 为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）， ， 四边形 为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 21. 如图，点A，F，C，D在一条直线上， 且 ，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定； 根据平行线的性质可得，证明，可得，，则，然后推出即可证得结论． 【详解】证明：∵ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，矩形 中，，，将矩形 沿对角线 折叠，点落在点 处， 交 于点 ． （1）写出折叠后的图形中的等腰三角形： ； （2）求 的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF＝CF，进而得出△ACF是等腰三角形； （2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4−x，依据勾股定理即可得到x的值． 【详解】解：（1）由折叠可得，∠BAC＝∠EAC， 由AB∥CD可得，∠BAC＝∠DCA， ∴∠EAC＝∠DCA， ∴AF＝CF， ∴△AFC是等腰三角形， 故答案为：△AFC； （2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4−x， ∵∠D＝90°， ∴Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2， 即32＋（4−x）2＝x2， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 23. 在四边形 中，，， ，，求四边形 的面积． 【答案】 【解析】 【分析】延长、 相交于E，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理分别求得 、 、 ，根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：延长、 相交于E， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形 的面积为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，根据已知条件添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 【答案】（1）见解析 （2）y=3t （3）4320 【解析】 【分析】（1）根据表格描点、连线即可； （2）根据5min漏水量15mL可得解析式； （3）将t=24×60代入计算即可． 【小问1详解】 解：描点、连线如下： 【小问2详解】 滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t； 故答案为：y=3t； 【小问3详解】 一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL）， 故答案为：4320． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式． 25. 如图，在菱形 中，对角线 ，交于点O，过点A作 的垂线，垂足为点E，延长 到点F，使，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是菱形， ∴ ，且 ， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明 ，且 ，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在 中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 26. （1）观察，计算，判断：（只填写符号：>，<，=） ①当 ，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当 ，时，判断与的数量关系并证明．（提示：） （3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长的最小值为__________． 【答案】（1）① ；② ；③ （2），证明见解析（3）米 【解析】 【分析】（1）将值代入计算后，再比较大小即可得出①②③的结论； （2）利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）设长方形的长为 米，宽为 米，利用（2）中结论进行求解即可． 【详解】解：（1）①当 ，时，， ∵， ∴； 故答案为： ； ②当，时，， ∴； 故答案为： ； ③当，时，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2），证明如下： ∵ ，， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）设长方形的长为 米，宽为 米，由题意，得：， 由（2）中结论可得： ∴， ∴长方形的周长， ∴画框周长的最小值为米． 故答案为：米． 【点睛】本题考查完全平方公式的非负性，代数式求值，比较实数的大小关系．解题的关键是利用完全平方公式得到． 27. 在正方形 中，E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ，P为点B关于直线 的对称点． （1）连接 ，作射线 交射线 于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含 的式子表示）； ②用等式表示线段 ， 和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接 ，若，M，N是正方形 的对角线 上的两个动点，且，连接 ，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出 ，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为 的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作 交 于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得 ，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线 对称 ∴ 垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 则, ∴E为 的中点， ∵， ∴ ， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作 交 于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵ ，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 28. 在平面直角坐标系 中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图． 已知点A的坐标为． （1）如图2，点B的坐标为． ①若，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ； ②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为 ． （2）如图3，点C在过点且平行x轴的直线l上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，直接写出点C的坐标； （3）如图4，等边的边 在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点M的坐标为，若在的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）6，或5 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出 的值为或5； （2）由题意可知点A到直线l的距离为 ，即得出点A， 的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当点C在点A左侧时和当点C在点A右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定义即可得出点C的坐标； （3）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边 上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边 上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边 上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【小问1详解】 解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为 ． 故答案为：6； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得： ； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知 的值为或5． 故答案为：或5； 【小问2详解】 解：∵点 在过点且平行 轴的直线 上，， ∴点A到直线l的距离为， ∴点A， 的“相关矩形”是正方形时的边长为3． 分类讨论：当点C在点A左侧时，如图点C， ∴，，即； 当点C在点A右侧时，如图点， ∴，，即． 综上可知点 的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边 上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边 上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边 上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知 的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理等知识．理解”相关矩形”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初二第二学期期中试卷 数学 （清华附中广华学校初24级） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 3. 如图，矩形 的对角线 ，交于点O，若，那么度数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段 的长为 ，点 在线段 上运动，以 为边长作等边三角形．再以 为边长，在线段 上方作正方形，记正方形的对角线交点为 ．连接，则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则 的取值范围是________． 10. 已知点，在一次函数 的图象上，则 ___________ ．（填写>、<或=） 11. 如图，在中，，，以点 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 （点 位于点 的左侧），则点 所表示的数是________． 12. 如图，平行四边形 顶点 ， ， 的坐标分别是，，，则顶点 的坐标为________． 13. 如图， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若，则 的长为________． 14. 如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交 延长线于点F．若， ，则的长为______________． 15. 如图，在 中， 为 上一点，将 沿 折叠至处， '与 交于点 ．若，，的度数为______． 16. 如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当 时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段 或 上，其中所有正确结论的序号的是________． 三、解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题6分，26-28题，每题7分） 17. 计算：（）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在 中，，，． （1）求 的长； （2）求 的面积． 20. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形 是平行四边形． 求作：菱形 （点 在 上，点 在 上）． 作法：①以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ； ②以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ； ③连接 ． 所以四边形 为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， ________ ________． 在 中， ， 即， 四边形 为________（________）（填推理的依据）， ， 四边形 为________（________）（填推理的依据）． 21. 如图，点A，F，C，D在一条直线上， 且 ，． 求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，矩形 中，，，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 ． （1）写出折叠后的图形中的等腰三角形： ； （2）求 的长． 23. 在四边形 中，，， ，，求四边形 的面积． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 25. 如图，在菱形 中，对角线 ，交于点O，过点A作 的垂线，垂足为点E，延长 到点F，使，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的长． 26. （1）观察，计算，判断：（只填写符号：>，<，=） ①当 ，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当 ，时，判断与的数量关系并证明．（提示：） （3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长的最小值为__________． 27. 在正方形 中，E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ，P为点B关于直线 的对称点． （1）连接 ，作射线 交射线 于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含 的式子表示）； ②用等式表示线段 ， 和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接 ，若，M，N是正方形 的对角线 上的两个动点，且，连接 ，，直接写出的最小值． 28. 在平面直角坐标系 中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图． 已知点A的坐标为． （1）如图2，点B的坐标为． ①若，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ； ②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为 ． （2）如图3，点C在过点且平行x轴的直线l上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，直接写出点C的坐标； （3）如图4，等边的边 在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点M的坐标为，若在的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $