第09讲 抛物线多选题 专项训练-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

第09讲 抛物线多选题专项训练 目 录 题型01：抛物线定义理解 1 题型02：抛物线的简单几何性质 3 题型03：直线与抛物线的位置关系 5 题型04：焦点弦问题 8 题型05：阿基米德三角形 19 题型06：最值范围 36 题型07：面积问题 48 题型08：切线问题 51 题型09：四心问题 53 题型10：向量问题 59 题型11：定点定值定直线 63 题型01：抛物线定义理解 【典型例题1】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【解析】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则.故选：ABC. 【变式训练1-1】已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】由定义将抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，由得，可得是等差数列，从而解得A；利用等差数列定义证明，不是常数，故B错误；利用放缩法列项相消求和判断C；利用并向求和判断D. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线方程为， 又在抛物线上，则， ，根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 准线方程为，则 ，即， 又， ，则，A正确． 对于数列， ，不是常数， 数列不是等差数列，故B错误． 当时，， 当时， ， 综上，故C正确， ，故D正确． 故选：ACD 【变式训练1-2】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 题型02：抛物线的简单几何性质 【典型例题2】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为， 若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：ACD. 【变式训练2-1】对于抛物线上，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】ACD 【解析】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确．故选：ACD． 【变式训练2-2】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以，所以，故C正确 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 题型03：直线与抛物线的位置关系 【典型例题】已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，点在轴上方，设为坐标原点，若，则（   ） A． B．的倾斜角为 C． D．的面积为 【答案】ACD 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及已知条件求出，再逐项求解判断. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为， 由消去得：，设， 则，，， ， 由，得，即，则， 由，得，即， 则，即，而，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，的倾斜角为，B错误； 对于C，，解得，，C正确； 对于D，的面积为，D正确. 故选：ACD 【变式训练3-1】若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（　　） A． B．0 C．8 D．-8 【解析】联立与得，， 若，直线与抛物线只有一个交点，满足要求， 若，则，所以，综上可知或.故选：AB 【变式训练3-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（    ） A． B． C． D．△AOB的面积为 【解析】抛物线的焦点坐标为，所以直线：， 则，消去得，所以，， 所以，故A错误，C正确； ，故B正确； 又到直线：的距离，所以，故D错误； 故选：BC 【变式训练3-3】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线方程为（    ） A． B． C． D．不存在 【解析】抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，则，解得， 所以，直线的方程为，即.故选：BC. 【变式训练3-4】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【解析】设：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； ：过，故B对； 设定点， ，当且仅当时，取等号，故C对； 又， 不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对. 故选：BCD. 【变式训练3-5】曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则，所以这样的点P存在，故B正确； 对于C，，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线C上再寻找一个点，，若， 则，即，解得, 所以，故存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 题型04：焦点弦问题 【典型例题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 【变式训练4-1】已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案； 对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案； 对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案； 对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案. 【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确； 对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，， ，，即，， ，，， ，故错误； 对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确； 对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确. 故选：ACD. 【变式训练4-2】已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 【变式训练4-4】已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 【变式训练4-5】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【答案】CD 【分析】过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，，过点作，交于，利用锐角三角函数即可判断A，利用反证法证明B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式即可得到，再由A中结论及求出，即可判断C，最后求出、坐标，从而求出，，即可判断D. 【详解】解：过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，， 过点作，交于，设，因为，则，所以，则， 所以，，在中， 所以，所以直线的斜率为，故A错误； 假设为等腰直角三角形，则，则、、、四点共圆且圆的半径为， 又因为，所以， 所以，所以，显然不成立，故B错误； 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理可得， 则，， 所以，， 所以 ， 即， 由A根据对称性不妨取直线的斜率为， 又，所以， 所以，故C正确； 由，解得或，所以，，则， 所以，，所以，，三点共线，故D正确； 其中的证明过程如下：可知，，， 所以，， 所以，，即. 故选：CD 【变式训练4-6】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A正确；根据等腰三角形性质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B正确；由角度关系可推导得到，由此可知C正确；若D正确，由圆的性质知，可知不恒成立，则D错误. 【详解】 对于A，由抛物线定义可知：，， 为中点，， ，A正确； 对于B，，， ，，则，又，， ，，即，B正确； 对于C，，，，， ，，， ，， ，， 即，C正确； 对于D，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上， ，又，（当且仅当重合时取等号）， 不恒成立，D错误. 故选：ABC. 【变式训练4-7】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 【变式训练4-8】已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 题型05：阿基米德三角形 【典型例题】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【详解】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式求出最小值. 【变式训练5-1】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 【变式训练5-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】对于A，设，则， 化简得，，即，则选项A正确； 对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误； 对于C，设曲线上的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， ， 的准线方程为：， 所以的最小值为点到直线的距离减半径， 即为，故D正确.    故选：ACD. 【变式训练5-3】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 即， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 故本选项说法正确； C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以， 直线的方程为： 所以点坐标为：，点 到直线的距离为： ， ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确； D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： 所以阿基米德三角形的面积， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 【变式训练5-4】若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【变式训练5-5】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】设，，设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，利用直线与抛物线相切条件分别求得过点的切线斜率为.对于A，计算，从而可判断；对于B，求得点A ，B处的切线方程分别为：，从而可得，进而可得，从而有，根据数量积的定义和相似三角形的性质即可判断；对于C，设AB的中点为，得到，从而轴，而，即可判断；对于D，设准线与轴的交点为，由面积的，可知当最短时（最短为），也最短，最短为，即可判断. 【详解】    设，，设直线， 联立，化为，而， 所以. 设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得. 同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得, 又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练5-6】圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用两角和的正切公式表示出，再由基本不等式求出的最小值. 【变式训练5-7】如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 【变式训练5-8】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想. 【变式训练5-9】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确. 【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得， 再设，则，所以A正确； 对于B中，由抛物线.可得，则， 则过点的切线斜率为，且，即， 则切线方程为：，即， 若时，则过点的切线方程为：，所以B正确； 对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，所以C错误； 对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为， 联立直线的方程可得， 所以， ， ， 则，当时，有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练5-10】双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 解析：对于A项，设直线的方程为，，联立方程组，消去整理得，， ，即，又因为，所以上式可化简整理得， 所以，所以直线的方程为，即，所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则，所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，因为且，所以，若，则， 所以直线直线；同理可知当也可判断直线直线，所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图，为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故项正确.故选：ABD. 题型06：最值范围 【典型例题1】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为， A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确； 中，过焦点的直线为，则，整理可得， 可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确； 中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 故选：ACD． 【典型例题2】已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 【变式训练6-1】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】 由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 【变式训练6-2】已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 【变式训练6-3】已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程联立抛物线方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断A，结合图形及抛物线的定义可判断B，设，利用抛物线定义、三角函数及均值不等式判断C，根据抛物线定义，根与系数的关系及均值不等式判断D. 【详解】由可得，所以焦点，准线方程为，显然直线斜率存在，设直线方程为，，，如图，联立可得，所以， 对于A, ，故A错； 对于B，取AB的中点为N过分别作准线的垂线，垂足分别为, 则,即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，故正确； 对于C，设,则，, 则， 所以，当且仅当且仅当时，即时等号成立，故正确； 对于D, ，当且仅当时等号成立，故正确. 【变式训练6-4】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【解析】设：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； ：过，故B对； 设定点， ，当且仅当时，取等号，故C对； 又， 不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对. 故选：BCD. 【变式训练6-5】曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则，所以这样的点P存在，故B正确； 对于C，，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线C上再寻找一个点，，若， 则，即，解得, 所以，故存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练6-6】已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【解析】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 【变式训练6-7】若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（       ） A． B．准线方程为 C．当时的面积为 D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】 结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得的面积，结合抛物线的定义来求得到、的距离之和的最小值. 【详解】 到焦点的距离等于到准线的距离，到焦点距离最小时，到准线的距离最小， 即为原点时，到焦点的距离最小为，也即，抛物线的准线方程为，A选项错误，B选项正确.抛物线方程为，对于C选项，，则，， ，C选项正确.对于D选项，直线为抛物线的准线，所以到的距离等于到焦点的距离.所以到直线和直线的距离之和的最小值为“到直线的距离”，焦点，则最小值为，D选项正确. 【变式训练6-8】设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（       ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】 A：标准方程是y2＝2px的抛物线的准线方程是x＝－； B：设P点坐标，用两点间距离公式表示|PF|，结合P点坐标的范围，即可求|PF|的最小值； C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值； D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】 A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确； B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误； C：作图分析： A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为，设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 【变式训练6-9】已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（       ） A． B．点P纵坐标的取值范围是 C．点N到圆心C距离的最小值为1 D．若l不经过原点，则周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B的坐标，求得可判断A；由A，B的纵坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N到圆心C距离的最小值判断C；利用转化思想可知结合的范围可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 圆的圆心为，半径，与轴正半轴交于点，抛物线的焦点与重合，准线为，对于选项A：联立 可得， 解得或，即， ，所以，故选项A不正确； 对于选项B：点为圆的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是，故选项B正确； 对于选项C：抛物线的焦点与圆心重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确； 对于选项D：直线l不经过原点，则周长为 的取值范围是，故选项D正确； 【变式训练6-10】已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（       ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相交所得的弦长为15 C．外接圆的半径为4 D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据斜率可知，然后根据抛物线的定义可知抛物线方程，可知直线的方程，根据弦长公式可知弦长，并使用正弦定理可知外接圆半径，最后根据可知结果. 【详解】 过点作垂直于轴，垂足为， ，∴直线的倾斜角为120°，，在中，，，又由抛物线的定义可得，，，解得， ∴抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，故A正确；易知直线的方程为，代入抛物线的方程，得，解得或， ∴直线与抛物线相交所得弦长为，选项B不正确；易得，，，，，设外接圆的半径为，根据正弦定理可得，设抛物线上的两点分别为，，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知， ，所以，即，所以线段的中点到轴的距离，选项D正确. 【变式训练6-11】抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（       ） A．|PM| +|PF|的最小值为3 B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于对称 D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】 根据抛物线的性质对每个命题进行判断． 【详解】 A．设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确； B．设是抛物线上任一点，即，，时，，B错误； C．假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程为，由得， 所以，，设，则，中点为，则，，必在直线上， 所以，，这与直线抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误； D．设，由即，得，则切线方程为， 即，同理方程是，由，解得，由题意在准线上，所以，，所以， 所以时，为最小值．D正确． 【变式训练6-12】已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为 C. 若三点共线，则的最小值为 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 答案：A、B、D 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以抛物线的准线方程为，所以A正确，对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以B正确， 对于C，由抛物线的性质可得当三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误， 对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理及抛物线定义可得，设，则，在中由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确， 【变式训练6-13】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（       ） A．若点，则的最小值是4 B． C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9 【答案】ABD 【分析】对于A，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B，设直线AB的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根据与系数的关系，从而可求出的值，对于C，由，可得，化简后将选项B中的式子代入可求出的值，从而可求出直线的斜率，对于D，根据选项B中的式子可求得，则化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确； 设直线AB的方程为，，，由得． 所以，，，， 所以，故B正确；若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确， 题型07：面积问题 【典型例题】如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．的取值范围为 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D. 【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，， 所以，，故A不正确； 如图以为原点建立平面直角坐标系，则，， 所以抛物线的方程为， 连接，由抛物线的定义可知，，又， 所以，所以，代入，可得， 所以，又，故四边形的面积为，故B错误； 连接，因为，所以，， 所以，故，故C正确； 根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分， 设在直线上的射影分别为， 当点在抛物线，点在抛物线上时，， 当与重合时，最小，最小值为， 当与重合，点在抛物线上时，因为， 直线，与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，所以，所以； 当点在抛物线，点在抛物线上时，设， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则， 则， 当，即时取等号，故此时； 当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，； 综上可得，故D正确． 故选：CD. 【变式训练7-1】设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 题型08：切线问题 【典型例题】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D. 【详解】设，，， 则在A，B处的两条切线可写为， 将代入可得， 所以，在直线上，即直线AB为， 与x轴的交点为，即，故A正确； 对于B，设直线的方程为，其中， 与抛物线联立可得，则，， 若成立，即成立， 由抛物线定义得，，， 所以，故B正确； 对于C，若成立，可知为的平分线，即证明， 等价于证明，即证明， 即证明， 又，，， 代入化简可得， 即， 即，故C正确； 对于D，若成立，则为的平分线， 所以点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，即， 即只有当时成立，故D错误. 故选：ABC. 题型09：四心问题 【典型例题】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练9-1】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【解析】 由可得，则N为的外心，A正确； 易得直线斜率不为0，设，，联立可得， ，则，则，由可得， 即，则，则焦点为，B错误； 由作差得，即，C正确； ，则，D错误. 故选：AC. 【变式训练9-2】已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【解析】设三点坐标分别为， A选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x得，，， ，， 所以，而点O在抛物线上，故A正确； B选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x，得，， 抛物线的焦点恰为的重心， ，， 将A点坐标代入抛物线方程，则，所以， 当时，，故B正确； C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r， 其方程为，与抛物线方程联立得：，， 方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点， 不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确； D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得， ，， 设AC中点轴，， ，代入抛物线方程得， ，，故D不正确. 故选：AB. 【变式训练9-3】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 【变式训练9-4】已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【解析】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，， 所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误； 对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以， 则，，又由可得，所以， 则，，所以，，则的周长为，B正确； 对于选项C，若与倾斜角互补，则，即， 所以，则，故C错误； 对于选项D，若，由可得，即， 即（，与2互不相等）， 将看作关于的一元二次方程，令，解得， 又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确， 故选：BD. 【变式训练9-5】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 题型10：向量问题 【典型例题】设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为， 将代入，整理得， 设，由根与系数的关系得，故D错误； ，故C错误； ，故B正确； 由抛物线的定义可得，故A正确. 故选：AB． 【变式训练10-1】已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【解析】如图所示，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，此时垂直于轴，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，直线的方程为，令，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形的中位线， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，所以满足的点恰好有一个，所以D错误. 故选：AB.      【变式训练10-2】已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【解析】因为，所以为等边三角形， 对于A，当点在轴上时，又三点顺时针排列，所以大致图像如图，    此时所在直线方程为，与联立，消去得， 解得或，所以，故A正确； 对于B，当点在轴上时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴下方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或， 当时，，即A点坐标为，故B正确； 对于C，当点A与点关于轴对称时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴上方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或，所以，故C正确； 对于D，当时，得A点横坐标为，此时A点可能在轴上方，也可能在轴下方. 因为三点顺时针排列，所以当A点在轴上方时，可得点A与点关于轴对称； 当A点在轴下方时，可得此时点在轴上，点A与点不关于轴对称；故D错误； 故选：ABC. 【变式训练10-3】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【解析】   设，，设直线， 联立，化为，而， 所以.设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得.同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得,，又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 题型11：定点定值定直线 【典型例题】已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 【解析】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 【变式训练11-1】如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【解析】设点， 将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确； 由题得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确； 设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确； 因为，但，所以D错误. 故选：ABC. 【变式训练11-2】已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【解析】设，，， 由，可得，则有， 所以， ， 所以+， 所以当且仅当时，， 即存在点，使得为定值，故A正确，B错误； 由题意可得， ， 所以， 如果为定值，则必有，而此方程组无解， 所以不为定值，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式训练11-3】已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ） A．的最大值为 B．的面积最小值为2 C．当取到最大值时，直线AP与C相切 D．当取到最大值时， 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：， 由消去x得：，则，    对于A，显然，， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，的面积， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为， 由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确； 对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然， 即，，D错误. 故选：AC 【变式训练11-4】已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．时，的最小值为 B．的取值范围是 C．当点是弦的中点时，直线的斜率为 D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有 【解析】抛物线的焦点，准线方程为， 对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，， 由消去x并整理得，则， ，当且仅当时取等号， 所以当时，的最小值为，A正确；    对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得， 由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确； 对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在， 若，则直线的斜率，C错误； 对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为， 即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点， 所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确. 故选：ABD 【变式训练11-5】已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，记，则 C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条 D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F 【解析】   如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A， 对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确； 对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点， 则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P， 都有，故，所以B正确； 对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确； 对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练11-6】设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1 B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点 C．若，则为定值 D．若，则 【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为， 设. A：若直线经过点，显然其斜率存在，故设直线为：， 联立抛物线方程可得：， 则，则 故，当且仅当时取得最小值，故A正确. B：当直线的斜率不存在时，即时，显然与抛物线交于一点； 当直线的斜率存在时，不妨设其方程为，联立抛物线方程可得： ，令，可得或， 即直线，也与抛物线只有一个交点. 综上所述，满足过点且与抛物线交于一点的直线有条，故B错误； C：若，显然为定值，故C正确； D：若，则，即，又 即，又两点与点不能重合， 即，则. ，当且仅当，且时取得最小值，故D正确. 综上所述，正确的选项是：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 抛物线多选题专项训练 目 录 题型01：抛物线定义理解 1 题型02：抛物线的简单几何性质 2 题型03：直线与抛物线的位置关系 3 题型04：焦点弦问题 5 题型05：阿基米德三角形 7 题型06：最值范围 11 题型07：面积问题 15 题型08：切线问题 17 题型09：四心问题 18 题型10：向量问题 19 题型11：定点定值定直线 21 题型01：抛物线定义理解 【典型例题1】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【解析】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则.故选：ABC. 【变式训练1-1】已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【变式训练1-2】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 题型02：抛物线的简单几何性质 【典型例题2】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为， 若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：ACD. 【变式训练2-1】对于抛物线上，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【变式训练2-2】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 题型03：直线与抛物线的位置关系 【典型例题】已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，点在轴上方，设为坐标原点，若，则（   ） A． B．的倾斜角为 C． D．的面积为 【答案】ACD 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及已知条件求出，再逐项求解判断. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为， 由消去得：，设， 则，，， ， 由，得，即，则， 由，得，即， 则，即，而，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，的倾斜角为，B错误； 对于C，，解得，，C正确； 对于D，的面积为，D正确. 故选：ACD 【变式训练3-1】若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（　　） A． B．0 C．8 D．-8 【变式训练3-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（    ） A． B． C． D．△AOB的面积为 【变式训练3-3】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线方程为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式训练3-4】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【变式训练3-5】曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 题型04：焦点弦问题 【典型例题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 【变式训练4-1】已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【变式训练4-2】已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【变式训练4-4】已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【变式训练4-6】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【变式训练4-8】已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 题型05：阿基米德三角形 【典型例题】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【详解】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式求出最小值. 【变式训练5-1】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【变式训练5-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【变式训练5-3】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【变式训练5-4】若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【变式训练5-5】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【变式训练5-6】圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【变式训练5-7】如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【变式训练5-8】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【变式训练5-9】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【变式训练5-10】双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 题型06：最值范围 【典型例题1】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为， A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确； 中，过焦点的直线为，则，整理可得， 可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确； 中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 故选：ACD． 【典型例题2】已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 【变式训练6-1】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练6-2】已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【变式训练6-3】已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练6-4】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【变式训练6-5】曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【变式训练6-6】已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【变式训练6-7】若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（       ） A． B．准线方程为 C．当时的面积为 D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 【变式训练6-8】设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（       ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【变式训练6-9】已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（       ） A． B．点P纵坐标的取值范围是 C．点N到圆心C距离的最小值为1 D．若l不经过原点，则周长的取值范围是 【变式训练6-10】已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（       ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相交所得的弦长为15 C．外接圆的半径为4 D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为1 【变式训练6-11】抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（       ） A．|PM| +|PF|的最小值为3 B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于对称 D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 【变式训练6-12】已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为 C. 若三点共线，则的最小值为 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 【变式训练6-13】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（       ） A．若点，则的最小值是4 B． C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9 题型07：面积问题 【典型例题】如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．的取值范围为 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D. 【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，， 所以，，故A不正确； 如图以为原点建立平面直角坐标系，则，， 所以抛物线的方程为， 连接，由抛物线的定义可知，，又， 所以，所以，代入，可得， 所以，又，故四边形的面积为，故B错误； 连接，因为，所以，， 所以，故，故C正确； 根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分， 设在直线上的射影分别为， 当点在抛物线，点在抛物线上时，， 当与重合时，最小，最小值为， 当与重合，点在抛物线上时，因为， 直线，与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，所以，所以； 当点在抛物线，点在抛物线上时，设， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则， 则， 当，即时取等号，故此时； 当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，； 综上可得，故D正确． 故选：CD. 【变式训练7-1】设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 题型08：切线问题 【典型例题】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 题型09：四心问题 【典型例题】已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练9-1】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【变式训练9-2】已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【变式训练9-3】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【变式训练9-4】已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【变式训练9-5】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 题型10：向量问题 【典型例题】设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为， 将代入，整理得， 设，由根与系数的关系得，故D错误； ，故C错误； ，故B正确； 由抛物线的定义可得，故A正确. 故选：AB． 【变式训练10-1】已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【变式训练10-2】已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【变式训练10-3】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 题型11：定点定值定直线 【典型例题】已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 【解析】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 【变式训练11-1】如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【变式训练11-2】已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【变式训练11-3】已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ） A．的最大值为 B．的面积最小值为2 C．当取到最大值时，直线AP与C相切 D．当取到最大值时， 【变式训练11-4】已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．时，的最小值为 B．的取值范围是 C．当点是弦的中点时，直线的斜率为 D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有 【变式训练11-5】已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，记，则 C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条 D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F 【变式训练11-6】设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1 B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点 C．若，则为定值 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $