第09讲 椭圆的压轴小题题型归纳训练-2027年高考数学复习椭圆专题（新高考通用）

第09讲 椭圆压轴小题归纳 目 录 题型01：椭圆的定义及应用 2 题型02：椭圆的标准方程 8 题型03：与椭圆有关的轨迹方程 13 题型04：根据椭圆方程求参数取值范围 18 题型05：直线与椭圆的位置关系 21 题型06：直线与椭圆的位置关系求参数 25 题型07：椭圆中的弦长问题 28 题型08：中点弦问题 33 题型09：焦点弦与焦半径问题 44 题型10：焦点三角形中的角有关问题 53 题型11：焦点三角形的形状问题 62 题型12：焦点三角形周长问题 64 题型13：焦点三角形面积问题 70 题型14：焦点三角形中的内切圆、外接圆 79 题型15：焦点三角形的其他问题 100 题型16：焦点三角形的综合问题 103 题型17：椭圆中的和差最值问题 114 题型:18：椭圆的光学性质 120 题型19：椭圆的离心率 123 题型20：离心率取值范围问题 148 题型21：椭圆中的最值、取值范问题 172 题型22：函数与椭圆结合 178 题型23：椭圆中的面积问题 181 题型24：椭圆中的对称问题 186 题型25：椭圆的切线问题 189 题型26：定点问题 197 题型27：定值问题 204 题型29：椭圆与向量问题 207 巩固提升 210 椭圆压轴小题以离心率、焦点三角形、最值/范围为三大高频考向，难度中等偏上，强调几何性质转化与快速运算，是拉开分差的关键题型。 一：近三年考情总览 1. 分值与题型：新高考卷占比约12%-18%，多以单选压轴(第8题)、多选(第9-12题)、填空(第13-16题)出现，分值5-6分/题。 2. 命题趋势：2023、2024、2025年均考查，2026年稳中有新，重点强化几何直观+代数运算融合，与向量、圆、导数综合的趋势明显。 二：三大核心考向 1. 离心率问题(必考) 2. 焦点三角形与几何性质 3. 最值与范围问题(压轴热点) 三：技巧清单 1.焦点三角形：用定义+余弦定理+面积公式三招联立，快速求e或θ。 2.中点弦：点差法一步求斜率，避免联立计算。 3.最值：优先用参数化(三角代换)或几何意义(三点共线)，减少硬算。 四：备考重点： 1.夯实基础：熟练掌握a、b、c、e关系及标准方程，注意焦点位置分类讨论。 2.强化综合：多练与向量(垂直、数量积)、圆(蒙日圆)、导数结合的题目。 3.提升运算：用设而不求、整体代换、几何性质简化步骤，提升计算速度与准确率。 椭圆压轴小题的核心在于思维转化，掌握几何模型与速算技巧，就能在保证正确率的前提下节省时间。 题型01：椭圆的定义及应用 【典型例题1】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解. 【详解】设， 则，可得， 即点在以为焦点的椭圆上，且， 所以点的轨迹为，整理得， 由题意可知：， 所以. 故选：A. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 【变式训练1-1】已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定定义及椭圆定义，结合勾股定理列式计算得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，则的“伴随圆”交轴于点， 依题意，，由的面积为1，得， 由，得， 所以 . 故答案为：2 【变式训练1-2】黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（ ） ①椭圆是“黄金椭圆； ②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”； ③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”； ④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①，，故是“黄金椭圆”； ②即故，则或（舍），是“黄金椭圆”； ③由可知，化简可知，则或（舍），是“黄金椭圆”； ④若，，成等比数列，则，则，不是“黄金椭圆. 故选：C 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据椭圆的性质和三角形顶点的坐标得出三角形边的关系，然后利用正弦定理将三角函数的比值转化为边的比值进行计算. 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 【变式训练1-4】设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 充分性：由于，可得，得，同理可得， 所以，条件甲是条件乙的充分条件； 必要性：当，，取，，则， 所以，条件甲不是条件乙的必要条件. 综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ） 【答案】B 【解析】选A.以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 不妨设，则． 由题意（为定值），整理得． 当时，方程化为，即，即． 当时，方程化为，即，即． 当时，方程化为，即．所以A图象符合题意． 【变式训练1-6】已知点，,是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过点，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 A．与一一对应 B．函数是增函数 C．函数无最小值，有最大值 D．函数有最小值，无最大值 【答案】C 【解析】由题意可得c=2，椭圆离心率． 故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大． 由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a， 由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值， 即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e有最大值而没有最小值，故C正确，且D不正确．当直线y=x+4和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a， 故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确． 由于当x0的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大； 而当x0的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大， 故函数e（x0）不是增函数，故B不正确． 故选C． 【变式训练1-7】能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的中心为原点，选项B中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数。 【变式训练1-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选：A. 【变式训练1-9】已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 【答案】 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，则，则， 又，所以，则点N为下顶点． 由余弦定理， 所以 所以，则，所以椭圆方程为，则点， 又，所以． 故答案为：. 题型02：椭圆的标准方程 【典型例题1】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解. 【详解】由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 【典型例题2】已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程. 【详解】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-1】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即， ，又，所以，． 故选：B． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】由题可得AB//FO且AB=OF，根据 A，B关于y轴对称，以及直线AF的方程，可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆的方程，及c=2，可得a，b的值，进而求出椭圆方程． 【解析】 由题可知：A，B关于y轴对称，，点横坐标为 如图 由直线AF的方程，所以纵坐标为 又点在椭圆上，所以① 由，则② 把②代入①，解得 故椭圆方程为： 故选：D 【变式训练2-3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出、的值，进而可求得的值，由此可得出该椭圆的方程. 【解析】 设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以. 又因为，所以. 又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形， ，，， 得，解得，，得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 【变式训练2-4】已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，由椭圆的定义得，在中，由余弦定理得，根据同角三角函数的平方关系得，在中， 由余弦定理得，再结合的面积为，即可求出，进而得出椭圆的方程． 【详解】设，则，，则， 由椭圆的定义可知， 所以， 所以，，，， 在中， ， 则， 所以， 在中， ， 即， 整理可得， 因为三角形的面积为， 故，即， 得， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：A． 【变式训练2-5】椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用几何法求出点坐标；再将点坐标代入椭圆方程即可求解. 【详解】    设. 由直线过右焦点且斜率为1；直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，可得：. 由，可得：，整理可得：. 则. 将代入可得：， 又因为 所以. 故答案为： 题型03：与椭圆有关的轨迹方程 【典型例题1】已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆 外切，同时与圆 内切， 则，又 ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 【典型例题2】设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 【变式训练3-1】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练3-2】已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，根据向量关系得到、坐标与坐标的关系，然后结合已知条件以及、在圆上的条件，进而求出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为，，，所以. 根据向量相等的性质，可得，进一步整理得到. 将展开可得. 因为，在圆上，所以，， 又已知，即. 将上述值代入可得：. 由可得. 又因为，所以，可得. 动点的轨迹方程为， 故选：C. 【变式训练3-3】希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及距离公式得出结果. 【详解】方程， 即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1， 所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆. 故选：A 【变式训练3-4】画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合离心率设出椭圆的方程，确定出椭圆的蒙日圆的直径，再利用垂直关系借助勾股定理及均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，设椭圆方程为，其半焦距为c，有，即， 则该椭圆的蒙日圆方程为，因为点均在这个圆上，且， 于是是这个圆的直径，而，即有， 因此，当且仅当时取等号，即， 的面积，即面积的最大值为，则，解得，则， 所以椭圆C的长轴长为. 故选：B 【变式训练3-5】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】（）． 【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案. 【详解】设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以， 两式相乘得，（）, 因为，所以，即， 所以，整理得（）， 所以直线和的交点的轨迹方程（）. 故答案为：（）. 【变式训练3-6】已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答. 【详解】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图， 有，则， 因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长的椭圆，则短半轴长， 所以点Q的轨迹方程为. 故答案为： 题型04：根据椭圆方程求参数取值范围 【典型例题1】已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练4-1】已知：，，：方程表示焦点在轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求的取值范围 . 【答案】 【分析】依题意可得假真，则命题的否定为真命题，从而求出的取值范围，再由椭圆表示焦点在轴上的椭圆求得为真命题的的范围，取交集得答案． 【详解】∵ “”为真，“”为真，∴假真， 则命题“，”是真命题， ∴，解得. 若真，由，得， 又∵椭圆的焦点在轴上，∴，即. ∴当假真时，，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练4-2】若m，，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得：，由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得：，然后根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由可得：， 又因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 由不一定能推出，但由一定能推出， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选：. 【变式训练4-3】已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，列不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】将曲线C的方程化为， 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即， 而“”不能推出“”；“”可以推出“”， 故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式训练4-4】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC． 【变式训练4-5】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】ACD 【解析】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确； 对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，当时，方程表示圆，故C正确； 对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：ACD 【变式训练4-6】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义可得，，，再分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解. 【详解】由题意得，，，所以， ①若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； ②若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 综上，n的取值范围是. 故答案为：. 题型05：直线与椭圆的位置关系 【典型例题1】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典型例题2】直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式训练5-1】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式训练5-2】已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称关系，求得直线的方程，代入椭圆方程，利用，求得的范围，再根据的关系即可求m的取值范围. 【详解】设设椭圆上存在关于直线对称的两点为, 根据对称性可知线段被直线垂直平分， 且的中点在直线上，且， 故可设直线的方程为， 联立，整理可得: ， 所以， 由，可得，解得， 所以 因为的中点在直线上， 所以，所以，所以， 故选:C. 【变式训练5-3】已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】依题设出直线方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，算得圆心坐标和半径长，由圆心到直线距离与半径比较即得直线与圆的位置关系. 【详解】 如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：， 设线段的中点为，由韦达定理， 则，即， ，则圆的半径为， 此时，圆心到直线的距离为：， 由可知直线与圆相离. 当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离. 故选：C. 【变式训练5-4】椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，则直线的斜率 将与联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】不妨设，， 则直线的斜率 将与联立，得，即， 由韦达定理得，所以，又， 所以， 故选：D. 【变式训练5-5】（多选）已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（   ） A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 【答案】AB 【分析】求出以为直径的圆方程，与椭圆方程联立求出的坐标，再逐项求解判断. 【详解】依题意，以为直径的圆的方程为， 选项A，由及对称性得，则，A正确； 选项B，直线方程为，即，由， 得，，直线与只有一个交点，B正确； 选项C，设直线与轴交点为，，， ，四边形不是平行四边形，C错误； 选项D，设，则，，， 则， 而，因此当时，，D错误. 故选：AB 题型06：直线与椭圆的位置关系求参数 【典型例题】（多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若上存在点，使得，则的取值范围为 D．若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为 ，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【变式训练6-1】（多选）已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆方程为，其中，再将其与直线方程联立，根据判别式等于0即可. 【详解】因为该椭圆是以为焦点的椭圆， 则可设其标准方程为，其中， 联立得， 则，结合，解得， 则椭圆方程为. 故选：B. 【变式训练6-2】（多选）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程求出即可求解离心率判断A，根据椭圆定义及勾股定理求解判断B，设点，求出点的横坐标及点的纵坐标，利用距离公式计算化简判断C，由的斜率关系，利用两点斜率公式及点在椭圆上列式求解点的坐标，然后利用两点距离公式求解判断D. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有 ，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 【变式训练6-3】（多选）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由离心率，四边形的面积为求得椭圆方程，再根据，设直线的方程为，求得的轨迹方程，最后根据两点之间距离公式即可求解． 【详解】由题知，解得， 所以椭圆， 因为，所以， 又直线的斜率存在， 设直线的方程为，则的中点， 联立，整理可得， ，即， ， 所以 ， 所以， 可得，符合， 可得的轨迹方程为整理可得， 两式平方相加可得， 即的轨迹方程为，表示焦点在轴上的椭圆，即， 所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 题型07：椭圆中的弦长问题 【典型例题1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设直线交于点，不妨设在第一象限，则，，求得直线方程与椭圆联立得，根据韦达定理解得，最后根据弦长公式计算弦长． 【详解】易知，设直线交于点， 因为，为上关于原点对称的两点，且，令，得， 如图，不妨设在第一象限，则，，则， 所以直线：，联立，得， 则，解得， 所以根据弦长公式可得． 故选：A. 【变式训练7-1】设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 【变式训练7-2】已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 在椭圆 中，， 则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得， ， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是. 故选：B 【变式训练7-3】过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为，所以， 所以， ，解得， 所以直线为，即或． 故答案为：或 【变式训练7-4】江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为 ；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为 . 【答案】 / 【分析】点A到原点距离恒为1，判断点B到原点距离最大时在椭圆左端点，计算即可；由椭圆定义和计算判断即可. 【详解】因为过原点的直线交于点A，交于点， 而点A为半圆上的点，所以点A到原点距离为， 因为半椭圆上的点B在左端点时到原点距离最大为半长轴长， 所以的最大值为：； 因为点N是半圆与轴的交点，所以， 因为，，所以， 因为半椭圆，所以焦点，发现为另一个焦点， 由椭圆定义可知， 因此， 当且仅当，，三点共线时取等号，故的最大值为. 故答案为：；. 题型08：中点弦问题 【典型例题1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】设椭圆方程为， 因为弦的中点的横坐标为，代入直线方程可得中点， 不妨设直线与椭圆的两个交点为， 所以，即， 而中点为，所以，而， 代入可得，而椭圆焦距为4，所以，结合，求得， 所以短轴长为， 故选：B 【典型例题3】已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练8-1】已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 【变式训练8-2】已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A. 【变式训练8-3】已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 【变式训练8-4】设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以，则， 所以， 设，，则，， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即直线斜率的最小值是.    故选：C 【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值. 【变式训练8-5】（多选）已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【详解】椭圆的离心率为， ∵，∴，则错误； 设，则， 两式相减可得，∴，则错误； 同理可知,,则正确； 又，则正确； 故选：CD． 【变式训练8-6】（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（    ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．当时，的面积为 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BD 【分析】选项A，的取值范围为进而可得； 选项B，直线 轴时，取得最小值，即求椭圆的通径即可； 选项C，根据求焦点三角形的面积方法可得； 选项D，由中点弦的求法可得. 【详解】选项A：由椭圆的方程可得椭圆的长半轴，短半轴， 设半焦距为，则， 因在椭圆上，则的取值范围为，即，故A错误； 选项B：设， 由题意，则的最小值时，直线 轴， 当时，由可得，故，故B正确； 选项C：    由椭圆的定义可得， 故，即 在中由余弦定理可得， 得，即， 故，故C错误； 选项D：因在椭圆上，故，， 两式相减可得，可得， 故直线的斜率为，又直线过点， 故直线的方程为，即，故D正确， 故选：BD 【变式训练8-7】（多选）已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD 【分析】求出的值，利用椭圆的离心率公式可判断A选项；设点，由题意得出，求出的值，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】椭圆的焦点分别为、，则，， ，可得，故， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，假设在椭圆上存在点，使得，且， ，， 所以，， 解得，合乎题意， 所以，椭圆上存在点使得，B错； 对于C选项，设点、，由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 则，上述两个等式作差可得， 即，即， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即，C对； 对于D选项，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以，的周长为，D对. 故选：ACD.    【变式训练8-8】已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由 ，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 【变式训练8-9】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练8-10】已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 【变式训练8-11】已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】取的中点，得到为的中点，设，，根据垂直关系得到直线l的方程，求出和，利用点差法得到，从而得到方程，求出，，从而求出直线方程. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以，即， 故，即，即为的中点， 设，则，， 直线l与圆O相切于第一象限的点A，故，所以， 直线l的方程为，令得， 故，故的中点， 设， 则，两式相减得， 化简得， 故，即， 即，， 解得，负值舍去， 又，故，负值舍去， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握. 题型09：焦点弦与焦半径问题 【典型例题1】点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，， 因为动点在椭圆上，则， 因为点到直线的距离为，所以， 又， 所以 ． 故选：C． 【典型例题2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 【典型例题3】（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 【变式训练9-1】设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可. 【详解】 点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， ，设 ，在Rt中，， ，解得， 在Rt中， 所以直线的斜率为， 故选：B. 【变式训练9-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 【变式训练9-3】如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形.设，则， 由椭圆的定义知，，. 在中，，即，得； 在中，，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式训练9-4】（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由题意可知，则， 因，所以， 解得，故A正确； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立， 所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部， 故C正确； 对于D选项，由，得， 因，， 则，即， 所以， 即， 令， 则， 令，则， 则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-5】（多选）．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 【变式训练9-6】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】结合图形得，即求焦半径的最小值. 【详解】圆的圆心， 椭圆的焦点为，， 因为， 即求焦半径的最小值. 先证焦半径公式： 设是椭圆上任一点， 是椭圆的两焦点， 则 因为，所以，. 由焦半径公式知，则当时， 取得最小值， 则 . 故答案为：    【变式训练9-7】已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，假设右焦点为， 由对称性和椭圆定义可知：，， 设，则， 故， 则当时，取得最小值，最小值为20． 故答案为：20. 题型10：焦点三角形中的角有关问题 【典型例题1】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 【典型例题2】（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 【变式训练10-1】设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 【变式训练10-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 【变式训练10-3】已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 【变式训练10-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 【变式训练10-5】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 【变式训练10-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 【变式训练10-7】（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又，由余弦定理可得，所以，D正确， 故选：ABD． 【变式训练10-8】（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 【变式训练10-9】（多选）．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 【答案】BCD 【详解】 A项，由椭圆上顶点为得，， 由知，由对称性可得， 所以，即，则， 椭圆方程为，故A错误； B项，由A项可知，为定值， 故当点到距离最大时，面积最大， 即当为短轴端点时取最大值，最大值为，故B正确； C项，在中，， 设为斜边上的高，由， 可得点到直线的距离为，故C正确； D项，设，由， 所以直线方程为，令，可得， 直线方程为，令，. 由点在椭圆上，则，， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 题型11：焦点三角形的形状问题 【典型例题】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 【变式训练11-1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】D 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 【变式训练11-2】设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意， 设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则， 则，， 于是， ∴． 故选：C 【变式训练11-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 题型12：焦点三角形周长问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 【典型例题2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 【变式训练12-1】（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【答案】AD 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：AD 【变式训练12-2】已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【详解】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 【变式训练12-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 【变式训练12-4】设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】 【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出，即可得解. 【详解】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 【变式训练12-5】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点， 所以的周长为14， 所以，，解得， 故离心率. 故答案为： 【变式训练12-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为，分别是，的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，可得，. 已知四边形是矩形，其周长为，则， 即，所以，进而可得. 由椭圆的定义可知，则. 又因为四边形的面积为，所以， 即，则. 在中，，根据勾股定理可得. 对进行展开：. 已知，，代入上式可得， 即. 解得，而，所以，即，，则. 椭圆的离心率，已知，，所以. 故答案为： 【变式训练12-7】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 【变式训练12-8】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 题型13：焦点三角形面积问题 【典型例题1】已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题知，，所以， 又，所以，将其代入1，解得， 所以， 故选:B. 【典型例题2】（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 【变式训练13-1】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 【变式训练13-2】椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以 ，即可求解 【详解】易得．设，，则． 在中，由余弦定理得， 即，则， 所以． 设点到轴的距离为，则，故，解得． 故选：C． 【变式训练13-3】椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知，，设， 则， 由，得时面积最大，此时， 而此时，故， 所以 . 故选：A. 【变式训练13-4】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 【变式训练13-5】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 【变式训练13-6】已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴. 在中, ,设,则的面积为, , ,则C的方程为. 故选：D. 【变式训练13-7】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    【变式训练13-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【答案】/ 【分析】用椭圆的定义和焦点三角形中余弦定理得到的结论为突破口，结合三角形的面积公式解决问题. 【详解】不妨设，，焦距，如图： 由的面积为，得， 由余弦定理，得，则， 所以，即， 所以， 所以，易得，， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为： 【变式训练13-9】已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】求出点关于直线的对称点,代入椭圆方程求得，利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案. 【详解】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【变式训练13-10】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由，可得，设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    题型14：焦点三角形中的内切圆、外接圆 【典型例题1】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 【典型例题2】若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【答案】 【难度】0.65 【详解】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c， 有，，则，即， 则，又 （e为椭圆的离心率），而，则， 即，因此， ，所以. 故答案为：. 【典型例题4】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 【变式训练14-1】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】   如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为， 则 设△内切圆的半径为，则， ∴ 不妨设，则， ∴， 因为椭圆的离心率为， ∴， 故选：A. 【变式训练14-2】设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接延长交轴于， 由内角平分线定理得， 利用等比性质得， 设，，， 则，， ∴，， 又，， ∴由可得，化简得， 又∵，∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式训练14-3】已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的面积为，内切圆半径为，则可得，从而可得，再由是的重心，可得，进而可得结果 【详解】解：由于椭圆的离心率为，所以，即， 设的面积为，内切圆半径为，则 ， 所以， 所以， 因为是的重心， 所以， 所以，即， 故选：D 【变式训练14-4】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的方程可得，，， 设内切圆的半径为，则， 可得， 而，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即． 故选：C． 【变式训练14-5】设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而， 设圆与MF1、MF2分别切于点A，B，连接IA，IB， 根据切线长定理就有， ∴. 故选：A． 【变式训练14-6】已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设，， 设内切圆分别与轴相切于点， 则，， ， ， 又 ∴， 易知， ，， 设，， 当且仅当时等号成立， 故选：A 【变式训练14-7】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则， 又，， 所以， 所以， 即， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以， 所以，所以， ∴， ∴， 由三角形面积相等，得， ， ， ， 所以， ，即得. 故选：B. . 【变式训练14-8】知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，的面积为，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是的内心，直线交于M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的面积为，即， ， ， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 设内切圆半径为，依题意可知， ， ， 所以. 故选：A 【变式训练14-9】（多选）椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【详解】设重心，又， ∴ ，即，又是椭圆上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为， ∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练14-10】（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【难度】0.4 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则，    在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 【变式训练14-11】（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 【答案】ACD 【详解】如图，在中， 由正弦定理，， 则，即， 所以，由 所以，则， 则最大值为，故A正确，B错误； 由题意可得，的斜率不为0，设，联立方程 得， 恒成立，，， 设与的内切圆半径分别为，， 因为， ，所以，即， ，，， 所以， 即，，所以，C正确； 作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影， 设，，， 所以，， 则， 得，同理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 【变式训练14-12】（多选）（多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．r为定值 B． C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变 【答案】BCD 【详解】由题意可知：， 则， 设，则， 对于选项A：因为的面积， 又因为，可得， 由于不是定值，所以不r为定值，故A错误； 对于选项B：因为，分别是，的角平分线， 由角平分线定理可得， 所以，故B正确； 对于选项C：设， 由正弦定理可得：，即 由余弦定理可得： ， 即，整理得， 则，解得， 可得， 又因为当在短轴的端点时，最大，最小， 此时，， 可得，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为在椭圆上， 可得，即， 则， 又因为，可得，， 由选项B可知，则， 又因为，可得， 则，即， 由，可得点的坐标为， 由重心坐标公式可知点的坐标为， 即直线与x轴垂直，倾斜角为，是定值，故D正确； 故选：BCD. 【变式训练14-13】（多选）（多选）已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 【答案】ACD 【详解】对于A：在椭圆中，，，则，即点、， 由椭圆的定义可得，， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以 ， 又，所以，即的最大值为，故A正确； 对于B：， 当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值， ，即的最大值为，故B错误； 对于C： 如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，又，分别为的重心和内心． 则，，， 所以， 所以 ， 即为定值，故C正确； 对于D：，所以， 又，所以， 则 ，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 【变式训练14-14】（多选）（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确. 对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误 对于C选项，，设，，. 根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，. 因为内心在轴上，所以，即， 即，即， 经化简得，代入韦达定理则，得，解得. 故C正确. 对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得. 设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练14-15】（多选）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如下图所示，设切点为，，， 对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：， 易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确. 故选:ABD．    【变式训练14-16】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【答案】BC 【详解】如图所示，设切点为，内切圆半径为， 对于A，由椭圆方程得， 则， 所以，， 所以，故A错误； 由题意得 ， 又因为，解得，B正确； 从而， 所以， 所以，而， 所以，，C正确； 由题知，若、、三点共线， 则为的中线， 又因此时为的角平分线， 所以只能是时，上述成立， 而在上且在第一象限， 所以、、三点不可能共线，D错误. 故选：BC 【变式训练14-17】已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为 . 【答案】 【难度】0.15 【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时， 若时，△PF1F2的内心和重心重合，不合题意； 当时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，且不重合， 由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴， 设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示： 设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上， 连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N， 则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E， 可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|， 由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2， 所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2 =（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON， 而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a， 由角平分线的性质可得，所以可得OM， 所以可得MN=ON﹣OM， 所以ME=OE﹣OM=x0， 所以，即INPEy0， （PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c）， 所以整理为：， 故答案为：. 【变式训练14-18】已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【答案】/0.5 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率 故答案为: 题型15：焦点三角形的其他问题 【典型例题】已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，再结合图形，利用几何关系即可求出结果. 【详解】因为椭圆方程为，所以，可得， 如图，中，分别为和的中点，所以， 又因为点在椭圆上，可得，所以， 由此可得，    故选：B. 【变式训练15-1】如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 【变式训练15-2】已知圆，椭圆的上、下焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，直线OP与圆交于点M，N，若，则 【答案】3 【分析】由椭圆和圆的对称性可设点在第一象限，根据椭圆的定义可求，结合余弦定理可判断，求出的坐标后可求的横坐标，故可求. 【详解】由椭圆和圆的对称性可设点在第一象限， 由椭圆的定义可得，结合题设可得， 故， 而为三角形内角，故， 所以，故，所以， 故，由可得，而， 故， 故答案为：3. 【变式训练15-3】如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    【答案】/ 【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可. 【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得， 由椭圆C的方程为，所以,, 由椭圆的定义可知：， 由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 题型16：焦点三角形的综合问题 【典型例题1】（多选）．已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【答案】AC 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 【典型例题2】（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC.    【变式训练16-1】（多选）．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 【变式训练16-2】（多选）．设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 【答案】BD 【详解】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使的面积最大，当底边上的高最大即可， 高的最大值即为1，则的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为， 即以线段为直径的圆与直线相交，故C错； 对于选项D，设点，则 又，故时取得最小值为，故D正确． 故选：BD． 【变式训练16-3】（多选）．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 【答案】AD 【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上， 由. 所以椭圆的离心率，故A正确； 根据椭圆的定义，的周长为，故B错误； 如图： 取为椭圆的上顶点，则, 所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误； 如图： 当时，设，， 则， 所以，故D正确. 故选：AD 【变式训练16-4】如图，已知，为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若为坐标原点），则△的面积为 　　，直线的方程为 　　． 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，结合可得：和的值，利用余弦定理可求出，再 结合三角形的面积公式即可求出三角形的面积； 直线过点，求解出，即为该直线的斜率，进而得出所求的直线方程． 【解答】解：根据椭圆的性质可得：，， 即，， 所以焦点坐标，， 故圆的方程为：，其中圆的半径为2， 即． 因为为坐标原点）， 所以， 所以． 又因为点在椭圆上， 所以， 即． 在△中，应用余弦定理可得： ， 所以， 所以△的面积为：． 因为，， 所以，即直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的方程为， 即． 故答案为：；． 【点评】本题考查椭圆的定义及其简单几何性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 【变式训练16-5】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【分析】由已知内切圆半径，从而求出面积，再由面积，能求出． 【解答】解：椭圆的左右焦点分别为，，，，， 过焦点的直线交椭圆于，，，两点， 的内切圆的面积为， 内切圆半径． 面积； 面积， 得． 故答案为：6；3． 【变式训练16-6】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【分析】第一空，直接套入“黄金椭圆”的定义即可；第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可． 【解答】解：已知椭圆：是“黄金椭圆”， 则， 解得； 如图：连接，，设△的内切圆半径为． 则， 即， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【变式训练16-7】已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点，，两点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是 　． 【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得和的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，， ，所以， 设，， 由对称性可知：， 在中， 由， 则，① 在△中，， ，可得， 将代入①，解得椭圆的离心率． 故答案为：． 【变式训练16-8】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【分析】分类讨论，若或为直角顶点时，若为直角顶点时，求得，即可求得椭圆的离心率； 同理，若或为钝角顶点时，且，为钝角顶点，则，即可求得离心率的取值范围． 【解答】解：由题意可知，若或，则，即， 所以，同除以，可得，解得， 若，即位于上下顶点时，则， 所以椭圆的离心率， 若为钝角顶点，则，则，， 所以，， 若或为钝角顶点时，需要满足且，即， 解得，， 综上可知，的取值范围 故答案为或；． 【变式训练16-9】已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 　　． 【分析】由椭圆的定义，点关于直线的对称性以及向量的数量积的运算性质建立等式求出的值，进而求出的值，由此即可求解． 【解答】解：因为与关于直线对称，所以直线为的垂直平分线， 所以，由椭圆的定义可得， 设直线与交于点，则为的中点，且， 所以 ， 解得或1（舍去），所以，， 则的方程为：， 故答案为：． 【变式训练16-10】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则，即可求解，又因为点位于点与点之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围． 【解答】解：设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则， 如图所示，则由题可得， 依题意可得点位于点和点之间，故， 所以，则，整理可得， 解得， 故答案为：，，． 【变式训练16-11】已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，过点且斜率为的直线与圆交于，两点（点在轴上方），线段与椭圆交于点，延长线与椭圆交于点，且，，则椭圆的离心率为 　　，直线的斜率为 　　． 【分析】取中点，由得和得，进而得到为的中点，即，由为的中点，，得，再由椭圆定义设，即可得到，，的长度，直角△中，利用勾股定理即可得到，进而得到，的长，在直角△中利用勾股定理求出离心率，，即可求出答案． 【解答】解：取中点，则由得，且由得， 为中点， ， 又为的中点， ，， 设， ，，， 在直角△中， ，，解得 ，， 在直角△中，， 椭圆离心率，图中， 当斜率为负时，画图知显然不满足，舍去． 故答案为：；． 题型17：椭圆中的和差最值问题 【典型例题1】已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【典型例题2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 【变式训练17-1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】椭圆的，点在椭圆内部， 如图， 设椭圆的右焦点为 ，则 ； ； 由图形知，当在直线 上时， ， 当不在直线 上时， 根据三角形的两边之差小于第三边有， ， 当在射线 的延长线上时， 取得最小值 的最小值为．故选：B 【变式训练17-2】已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以 ，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 【变式训练17-3】已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 【变式训练17-4】已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解. 【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接， 则， 如图：    当点P在位置M时，取到最大值， 当点P在位置N时，取到最小值， 所以的取值范围是，即， 所以的最大值 ，最小值 ， 所以. 故选：C. 【变式训练17-5】（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（    ） A．直线与蒙日圆相切 B．的蒙日圆的方程为 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误. 【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、， 所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为， 因为，可得. 对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为， 所以，直线与蒙日圆相切，A对； 对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错； 对于C选项，由椭圆的定义可得，则， 所以，， 因为，直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上， 所以，， 所以，矩形的面积为，D错. 故选：AC. 【变式训练17-6】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知为椭圆上任意一点， 为圆：上任意一点， 故， 故， 当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为. 【变式训练17-7】已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值 . 【答案】-2 【解析】椭圆方程为： ， ，，， 又圆方程可化为：， 圆心坐标为，半径， 设椭圆的右焦点为，则， 当且仅当，，，共线时，取得等号， 的最小值为， 故答案为：. 题型:18：椭圆的光学性质 【典型例题】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 【变式训练18-1】椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 【变式训练18-2】椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 题型19：椭圆的离心率 【典型例题1】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和G为重心判断出，再利用求出， 借助椭圆定义求出，最后勾股定理建立等式解出离心率即可. 【详解】 如图，连接并延长交于，连接.由得， 即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，， 由得，，又由椭圆定义. ，即，化简得，故离心率为. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，如下图： 由椭圆和双曲线的定义可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， ， ， ， . 故选：B. 【典型例题3】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 【典型例题4】如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率 . 【答案】 【分析】由平行关系得出对应线段成比例，得到，表示出坐标，代入椭圆方程，得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为，则，， 又因为，即，则， 则.设，则， 所以. 由 解得所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定，，的等量关系或不等关系，然后把用，代换，求的值． 【变式训练19-1】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 可得， 又由，所以， 所以 . 故选：B. 【变式训练19-2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 【变式训练19-3】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得. 【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线， 直线方程为：，联立方程，可得 根据韦达定理：， 因为，即，所以 所以 即，所以，联立，可得 故选：D. 【变式训练19-4】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由此可求出点的坐标，再把点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率. 【详解】由题意得，设 因为，所以， 所以，得，即 因为点在椭圆上， 所以，化简得， 所以离心率， 故选：B. 【变式训练19-5】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 【变式训练19-6】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可. 【详解】由题意得椭圆的参数方程为， 如图，故设，，， 则，， 因为，所以，， 解得，故， 因为点B关于原点O的对称点为，所以， 则，， 因为，所以， 故， 化简得， 则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或（舍去）. 故选：B 【变式训练19-7】已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 【变式训练19-8】已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得出，，利用余弦定理可求得，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】因为点是椭圆上位于第一象限的点，， 所以，为锐角， 因为是顶角为的等腰三角形，但，故， 所以，， 由余弦定理可得， 由椭圆定理可得，故. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【变式训练19-9】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于x轴，交椭圆C于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何关系，由得a、b、c的齐次式，然后可得. 【详解】∵ 轴，∴ ．∵ 为等腰直角三角形，为AB中点，∴ ，∴ ，化为 ．解得 ． 故选：A． 【变式训练19-10】已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 【变式训练19-11】设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得 ，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值. 【详解】 解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义， 由椭圆的定义，又，故， 得，将代入得， ∴． 故选：B． 【变式训练19-12】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 则有m＝10，n＝2c， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有， 由离心率公式可得， 因为，所以，，则，， 故，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B． 【变式训练19-13】【多选】如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则的方程为 【答案】BCD 【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式可判断C，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D. 【详解】对于A：由可得，所以，故A错误； 对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K， 可得，，，又因为， 所以，又， 解得，， 可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确； 对于C：在椭圆中，，，则， 由，得 ，解得a＝3， 则的离心率，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 若，则， 又c＝2，，解得，， 则椭圆的方程为，故D正确． 故选：BCD. 【变式训练19-14】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 【变式训练19-15】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为e，下列说法正确的是（    ） A．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 B．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 C．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 D．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的对称性对每一种情况进行讨论分析可求解. 【详解】对于A，当时，可得，要使得为直角三角形， 则或或. 易知：当为上、下顶点时，，有种情况， 当时，，有种情况， 同理，当，也有种情况.故共有6个不同的点，使得为直角三角形， 选项A正确. 对于B，当时，可得，要使得为等腰三角形， 则或或. 根据对称性易知，以上每一种情况都有种等腰三角形，故共有个等腰三角形，故B错误. 对于C，当时，可得，当点在上顶点或下顶点时最大，且最大角为，故要使得为直角三角形， 则或. 当时，，有种情况， 同理，当，也有种情况.共有4个不同的点，使得为直角三角形，故选项C错误. 对于D，要使得为等腰三角形， 则，点P为上下顶点，此时有两种； 或，，因为椭圆离心率， 所以，，此时点P为上下顶点； 或，此时点P为上下顶点； 故共有个等腰三角形，故D正确. 故选：AD 【变式训练19-16】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解. 【变式训练19-17】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心，在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上，如图， 设圆、与轴的切点分别为，， 由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上， 所以， 由椭圆的定义知，则， 有，， ，， 又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故答案为： 【变式训练19-18】椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】设，进而结合题意，根据椭圆的定义得，，再结合余弦定理，根据得，进而可求得答案. 【详解】解：设，因为构成公比为2的等比数列， 所以， 因为由椭圆的定义知，， 所以，即， 所以在中，， 在中，， 因为， 所以， 所以，整理得，即， 所以，椭圆的离心率， 故答案为： 【变式训练19-19】已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，设，则，利用椭圆的定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可. 【详解】根据题意，作图如下： 设，则，由椭圆的定义知， ，， 因为，所以，在中，由余弦定理可得， ， 在中，由余弦定理可得，， 即，解得， 所以，所以椭圆离心率. 故答案为： 【变式训练19-20】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 【答案】 【分析】将代入椭圆的方程得，设，由，根据向量的坐标运算得，代入椭圆方程得，进而求解椭圆的离心率，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆的左右焦点分别为， 将代入椭圆的方程，可得，可设， 由，即, 所以，即，可得， 代入椭圆方程可得，即， 又由，整理得，即， 所以椭圆的离心率为． 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，向量的坐标运算等知识的综合考查，其中根据向量的坐标运算，求得点C的坐标，代入椭圆的方程得出是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 【变式训练19-21】已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1， 可知直线必与椭圆C相交， 设直线的方程为: ，，线段的中点， 联立方程 ，化为， 则， 可得， 且，，即， 可得的垂直平分线为:， 令 ，解得 ，即， 可知， 由题意可得：，则 ， 所以椭圆的离心率为. 故答案为: . 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 题型20：离心率取值范围问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 【典型例题2】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解. 【详解】解：设动点，由题得， 化简得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点， 所以. 所以椭圆的离心率. 因为椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 【典型例题3】已知椭圆C :(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A． B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】， 【解析】设方程为，联立方程组求出，坐标，进而得出，的坐标，由列方程得到关于的方程，令此方程有解得出，，的关系，从而得出离心率的范围． 【详解】设直线的方程为， 联立方程组，消元得， ，，，， 又，，是，的中点， ，，，， 以为直径的圆恰经过坐标原点， ， ， 即， ， ，即， 存在符合条件的直线，使得， 关于的方程有解， ，即，， ，， 又， ． 故答案为：，． 【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围. 【典型例题4】椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，利用不等关系，转化求离心率的取值范围. 【详解】设过点F的直线l的直线方程为与椭圆交于A，B两点， 设点，，联立方程得， 整理为：， ，， 若恒有，则， 所以是钝角，即， ，， ，整理为恒成立， 所以，即，整理为， 解得：或（舍） 所以，离心率， 故答案为： 【变式训练20-1】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，且点B到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先结合椭圆的定义及对称性，求得，然后由题目的条件可得的取值范围，由此即可确定离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 结合椭圆的性质以及直线，可得四边形为平行四边形， 所以，即，， 因为点B到直线l的距离不小于，，直线， 所以，得， 因为， 所以. 故选：A 【变式训练20-2】过椭圆的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点.若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用基本量表示出，从而表示出直线的斜率，同除以得到离心率的不等式，求得其范围. 【详解】 如图所示：， 所以， 又因为，所以，即，解得. 故选：C. 【变式训练20-3】已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解. 【详解】设椭圆的半焦距为c， 由题意可得：， 可得：， 由图可得：∠APB即为的补角， 若∠APB为钝角，即为锐角， 由图可知，故原题意等价于， 整理得，且，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【变式训练20-4】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得（为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两边平方得，利用，进一步推出，将代入得，再根据推出，得，再根据推出，从而可得 【详解】设，则，， 因为，所以， 又因为，，， 所以 ， 所以， 又因为，即， 所以，即， 因为，所以， 所以，整理得，得， 又因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式训练20-5】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，转化为在点使得，进而可得结果. 【详解】由知，即存在点使得． 记短轴端点为顶点和焦点，所对应的角为，因此， 即．而． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量的加减运算和椭圆的几何性质，考查了数形结合思想和计算能力，属于基础题目. 【变式训练20-6】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围． 【详解】，，则AF：，，满足, 消去得，， 是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以． 故选：B． 【变式训练20-7】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，而，则有，又点A，B关于原点O对称， 即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故选：D 【变式训练20-8】已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用极化恒等式由得，根据向量运算得 ，结合条件得出的取值范围建立关于的不等关系，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设坐标原点为 所以 又 所以，即，故. 故选：C 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的关系式，这个关系式可以用几何关系得到，也可以用代数关系得到. 在本题中主要是通过建立关系 ，一方面由极化恒等式得，另一方面结合条件及向量运算得，从而建立a，b，c的不等关系. 【变式训练20-9】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数形结合可知，点不是直角顶点，则由，确定离心率的取值范围. 【详解】当和垂直于时，恰有4个点满足是直角三角形， 由条件可知，点不是直角顶点，则以为直径的圆与椭圆无交点， 则，得，解得：， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 【变式训练20-10】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解. 【详解】解：设动点，由题得， 化简得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点， 所以. 所以椭圆的离心率. 因为椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 【变式训练20-11】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可表示出，由可整理得到，根据可构造齐次不等式求得离心率的取值范围. 【详解】设，则，； ，整理可得：，即， 又，，则，，又， 的取值范围为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果. 【变式训练20-12】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【变式训练20-13】已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得的范围． 【详解】椭圆C：的焦点在x轴上， 设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距. 则由 得 设，则， 所以， 因为所在直线方程为， 所以直线与的距离为： ， 设，则， 则 要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可. 根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大. 即当时有最大值，也即是时最小， 由函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上，当时取得最小值，则. 所以，即，所以， 同时除以可得，解得, 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质 【变式训练20-14】已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线， 联立方程，消去y得：，解得或（舍去）， 即点B的横坐标为， 同理可得：点C的横坐标为， 由题意可得：，即， 整理得：， 由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有： 当是方程的根，即，则， 若，则有且仅有一个解，即符合题意； 当不是方程的根，则在内无零点， ∵，则的对称轴， ∴，解得； 综上所述：，故椭圆离心率. 故选：B. 【点睛】易错点点睛： 在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根. 【变式训练20-15】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 【变式训练20-16】设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 【变式训练20-17】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中， ， 所以， 所以， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 【变式训练20-18】设椭圆：的左､右焦点分别为，，，过作轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为.已知，，是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用得到，再结合三点共线求出的最大值，结合不等式，求出离心率的范围即可 【详解】 ∵，，∴， 又∵，∴，而且椭圆离心率，综上. 故选：D. 【变式训练20-19】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在椭圆外部得一不等关系，变形后得离心率的一个范围，恒成立，利用椭圆定义变形后，结合平面上两点间距离的性质得一不等关系，从而以得的一个范围，两者再结合椭圆的性质可得结论． 【详解】∵点在椭圆的外部,则，可化为， ∴，即． 由椭圆的定义得 ， , ∵恒成立， ∴， 解得，即． 所以椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 【变式训练20-20】已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 【变式训练20-21】阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立坐标系，设椭圆方程，，，，求，根据关系列不等式，结合离心率定义求结论. 【详解】以椭圆的中心为原点，以为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设椭圆方程，，，，， 则，，， ，. 因为，即，又， 故 又， 所以. 故选：B. 【变式训练20-22】已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出，求出，则函数在上有零点，可得出关于、的不等式组，结合可计算得出的取值范围. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，设，则，， 由椭圆定义可得，， 在中，由勾股定理可得， 即，即， 因为点在椭圆内，则， 又因为，所以，， 令，则在上单调递增， 若方程在内有实根，则， 所以，，所以，， 因为点在椭圆内，且，则，即， 所以，，，因此，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键在于通过勾股定理得出方程，在转化为函数在区间上有零点来处理，同时要善于分析出点在椭圆内这一条件，结合椭圆定义构造不等式关系来求解椭圆离心率的取值范围. e的值． 【变式训练20-23】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围. 【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以 解得因为所以 两边平方得：又因为 整理得： 因为不等式两边同时除以，得：； 解得： 故选：A 【变式训练20-24】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 【变式训练20-25】设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在椭圆的内部，可得，即可求出的一个范围； ，由恒成立可得到，即可求出的另外一个范围. 【详解】点在椭圆的内部， ∴ 或， 又 ∴. ，∵，且， ∴要恒成立，则，即， ， 综上，椭圆离心率的取值范围是，， 故答案为：. 【变式训练20-26】若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律得，进而根据的范围得到，结合有4个不同的点，即可得满足的关系系，进而可求离心率的范围. 【详解】设O为坐标原点，则，故 ，由于，故， 若存在四个不同的点P满足，又， 所以即解得 ，即． 故答案为： 【变式训练20-27】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 【变式训练20-28】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式训练20-29】已知、分别为椭圆的左、右焦点，是上第一象限内的点，关于原点的对称点为，且，，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】连接、，分析可知四边形为矩形，设，，根据题中条件可得出，利用椭圆的定义、勾股定理可得出，令，设，利用函数的单调性可求得的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】解：连接、． 由关于原点的对称点为，可知，， 所以四边形为矩形， 设，，由椭圆的定义可知，． 在中，由，则， 所以， 则． 在中，， 在中，， 由，得．由图形可知，． 令，设，易知在上单调递增，所以， 则，所以，所以， 故椭圆的离心率的取值范围为． 故答案为：. 【变式训练20-30】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【详解】分析：设直线与轴的交点为，连接．由线段的中垂线过点，可得，所以．因为，由因为，所以．变形可得，进而可得，所以．根据椭圆的离心率，可得． 详解： 设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，，结合椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是． 题型21：椭圆中的最值、取值范问题 【典型例题】已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【变式训练21-1】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 又因为，设点，则， 所以， 当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C.    【变式训练21-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式训练21-3】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 【变式训练21-4】已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（    ） A．16 B．17 C．19 D．20 【答案】C 【分析】由为圆N：的任一直径，得到 ，且，求出，设，代入椭圆方程得到，又，求出，根据，解出 ，结合二次函数的图像求出最大值. 【详解】为圆N：的任一直径，，且，，设，则有，解得，又，，，，当时，取得最大值20，此时，的最大值为19. 故选：C. 【变式训练21-5】已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设直线的参数方程为（为参数），与椭圆方程联立，由韦达定理得 ，进而得，进而求解. 【详解】根据题意，设直线的参数方程为（为参数）， 联立代入，得且． 设点对应的参数分别为，则有， 则， 所以，当时取得等号， 故选：C． 【变式训练21-6】已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先计算得出，，，再结合两角差正切公式计算应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意有，，， 设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故答案为： 【变式训练21-7】已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练21-8】已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、， 设，因为点为椭圆上一点， 所以，，， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为或时的面积取最大值，最大值为， 由已知可得， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以，所以 所以 故 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：；. 题型22：函数与椭圆结合 【典型例题】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为 在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式训练22-1】已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】设点，求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，即可求解. 【详解】椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称， 设点，， 设点到直线的距离为， 则， ①若为直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足为等腰直角三角形的点有四个； ②若不是直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个， 综上，使得是等腰直角三角形的点有6个. 故选：C. 【变式训练22-2】函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】令，可知，结合椭圆可设，代入结合三角函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 设， 可得， 其中， 所以的最大值为. 故选：D. 【变式训练22-31】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 题型23：椭圆中的面积问题 【典型例题1】已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可. 【详解】 设，为坐标原点，由， ，与，， . 故选：C. 【变式训练23-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 【变式训练23-2】直线与椭圆相交于两点，该椭圆上存在点，使得的面积等于1，这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】设与原直线平行且过点的直线．，由条件结合三角形面积公式，平行直线距离公式可求，求直线与椭圆的交点可得结论. 【详解】设与原直线平行且过点的直线． 原直线和椭圆都过点 ，，到的距离， 按照平行直线间的距离公式可得， 所以或， 联立可得或， 直线与的交点有2个， 联立可得， 因为，所以方程组的解集为空集， 所以直线与的交点不存在， 所以满足条件的点共两个， 故选：B． 【变式训练23-3】设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 【答案】B 【分析】根据已知求出的值，根据对称性可得，当为短轴顶点，即可得到面积的最大值. 【详解】 由已知可得，，，所以， 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，. 故选：B. 【变式训练23-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由对称性，且，四边形是矩形，则结合定义求即可. 【详解】由已知，，， 则， 由已知，关于原点对称，且，则四边形是矩形， 则，， 联立解方程，可得. 故选：B. 【变式训练23-5】人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 【答案】 【分析】解法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解. 解法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值. 【详解】解法一：令，，则椭圆变为 直线方程变为，, 则，，设的夹角为， 所以四边形的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以. 解法二：设，， 联立和消去y得， 所以若，则， 又，，所以直线AB方程：， 点C，D到AB的距离分别为，， ，， 所以，而， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用斜率表示四边形的面积，再根据解析式，利用基本不等式求得面积的最大值. 【变式训练23-6】已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 【答案】160 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，得到各边长，求出，分的坐标为和两种情况，得到对应的点坐标，设梯形的面积为，利用求出答案. 【详解】椭圆右顶点为，故， 设直线与轴的交点为，过点作轴的垂线，垂足为， 由于直角顶点为，则，又， 所以， 又，故∽， 由于，所以，故， 中，令得， 故， 当的坐标为时，，则， 故， 当的坐标为时，，则， 故． 设梯形的面积为， 当时， ， 当，时， 160，故的面积为160． 故答案为：160． 题型24：椭圆中的对称问题 【典型例题】已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得直线的方程为，联立两椭圆方程整理得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到直线的方程，从而得到，最后将变形为. 【变式训练24-1】（多选）如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据曲线对称性的定义，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】在曲线上任取一点，点关于直线的对称点为， 则，即点也在曲线上，故曲线关于直线对称，A正确； 由题意知，，，， ，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和， 所以椭圆长轴长为 ；同理可得另外两个顶点坐标为和， 所以椭圆的短轴长为 ，所以， 所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，， 解得，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 【变式训练24-2】已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理计算可得参数. 【详解】过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则,则，，或. 故答案为： 【变式训练24-3】如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 . 【答案】或 【分析】求出直线的方程以及直线的方程，联立求出两线交点坐标，可得点的坐标，代入椭圆方程，化简可得或，进而可求该椭圆的离心率. 【详解】因为为线段靠近原点处的三等分点，所以， 由截距式方程可得直线的方程为，即① 点关于直线的对称点为，所以直线的斜率为， 由斜截式方程可得直线的方程为②， ①②联立解得两线交点坐标， 因为N是线段的中点，又， 所以， 即点，因为M在椭圆上， 代入椭圆方程： 化简可得， 解得或，所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常见方法，1，直接求出的值求离心率；2，先得到的方程，再根据齐次式求解；3.先求的值，再求离心率. 题型25：椭圆的切线问题 【典型例题1】若方程有解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，两边同平方得，化简得（）， 则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分， 则题目转化为直线与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为，易得其坐标为， 当直线与半椭圆相切时，显然由图得， 联立，得， 则 化简得，解得或（舍）， 当直线经过点时，得，解得， 则，故选：B. 【典型例题2】已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先得到椭圆在处的切线方程为，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q的坐标，求出当切线斜率不存在时，，当切线斜率存在时，设为，由与圆相切得到，求出椭圆两切线方程，得到，求出，求出的最大值. 【详解】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在， 不妨设，此时中令得：， 所以不妨令， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是 则椭圆的切线斜率为， 所以椭圆的切线方程为，整理得：， 方程两边同除以，得到， 当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为， 中令，可得， 故当切线斜率不存在，切线也满足， 综上：椭圆在处的切线方程为， 【变式训练25-1】已知实数x，y满足方程，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为实数x，y满足方程， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即， 所以， 椭圆的方程为， 令，则， 所以当与椭圆在上方相切时，最大， 设直线与椭圆相切， 由，得， 所以，解得或（舍去）， 由得，得，则，所以切点坐标为 ， 所以的最大值为， 所以的最大值为，即的最大值为，故选：D 【变式训练25-2】已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解. 【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，    因为，则， 由四边形的面积可得， 整理得， 设， 则， 且，可知当时，取到最大值， 当时，取到最大值， 即，则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即弦长的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得； 2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围. 故过的两切线分别为和， 联立可得：，此时，同理可得时，， 当切线的斜率存在时，设为， 因为与相切，所以，即， 与联立得： ，设， 则过的椭圆的切线方程为和， 联立得：， ， 则， 综上：的最大值为4. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为. 【变式训练25-3】数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题. 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：， 将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以 故选：A 【变式训练25-4】求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标. 【答案】最短距离为，对应的点的坐标为. 【解析】设直线与椭圆相切， 则只有一组解，即， 所以，解得， 依题意，需求最短距离，所以取， 则最短距离为两平行线与的距离， 即， 此时点的横坐标为，代入可得， 所以对应的点的坐标为. 【变式训练25-5】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【答案】 【解析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中得，， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【变式训练25-6】在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，求出的值，利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】如下图所示：    根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时， 点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为， 联立，消去整理可得， ，因为，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为， 因此，点到直线的距离的最大值为, 联立， 可得点的坐标为. 故选：B. 【变式训练25-7】过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线、的方程，即可求出直线恒过定点，讨论直线的斜率存在和不存在，求解即可. 【详解】设， 设切线的方程为， 联立得； ∵与椭圆相切， ∴，整理得：， 所以代入，得， 所以， 从而切线的方程为， 再将代入整理可得，直线的方程为：， 同理直线的方程为：， 直线，的方程过点，所以，， 即，， 则为方程的解，故直线的方程为， 令，则，这直线恒过定点， ①当直线的斜率不存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，则， ②当直线的斜率存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为， 连接，点到直线的距离为， 过点作交于点，可知四边形时矩形， 所以，而在中，， 又，所以，所以， 在中，， 而在中，， 则， 故可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值)，则直线过定点 题型26：定点问题 【典型例题1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练26-1】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 【变式训练26-2】已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用特殊情况探讨出定点，再就一般情况验证是求解问题的关键. 【变式训练26-3】已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用特殊情况探讨出定点，再就一般情况验证是求解问题的关键. 【变式训练26-4】 （多选）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【分析】将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案. 【详解】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．    故选：CD 【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到关于的表达式，根据的范围求出的范围. 【变式训练26-5】已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到： ，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 【变式训练26-6】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 题型27：定值问题 【典型例题】已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果. 【详解】令，，则，， 由，故，则， 而，，则，， 所以，故， . 故选：B 【变式训练27-1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率. 【详解】则，，设， 则， 设（），则， 直线的方程为，则的坐标为， 直线的方程为，则的坐标为， ∴，解得或． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可. 【变式训练27-2】设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，取右焦点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得，再结合椭圆的离心率的值，从而可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示， 由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以， 取线段的中点，连接，则， 所以，则，所以， 设点、，则点， 所以，两个等式作差可得，可得， 所以， 因为椭圆的离心率为，得， 所以，即，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先得到，再证明中点弦有关斜率之积的结论，从而得到最终答案. 【变式训练27-3】（多选）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（    ） A．椭圆C的离心率 B．的取值范围为 C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则 D．点I的轨迹方程为 【答案】ABD 【分析】A.根据角平分线定理，以及椭圆的性质，即可判断；B.根据向量数量积的极化恒等式，以及的范围，即可判断；C.根据椭圆的切线方程，以及代入点到直线的距离公式，即可判断；D. 【详解】连接，，，，故A正确； ，因为，所以，，则， 的取值范围为，故B正确； 设，直线l的方程为，即， 则， ，故C错误； 设，，由等面积可得， ，即，故D正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据角平分线的几何性质，以及内切圆的几何性质，结合坐标解决问题. 题型29： 椭圆与向量问题 【典型例题】已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出坐标，根据垂直关系得到坐标关系，然后将坐标关系代入数量积得到结果. 【详解】设，则， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 【变式训练28-1】已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率. 【详解】 由题意得，， ∴椭圆的离心率为. 设直线的倾斜角为，根据焦比定理得， 由得，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，即直线的斜率为. 故选：D. 【变式训练28-2】椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【详解】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 【变式训练28-3】已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案. 【详解】因为椭圆的焦点为，， 所以设椭圆的方程为：, 设，，， 则，因为， 所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以或， 因为在上，所以，即， 解得：或，因为椭圆的焦点在轴上， 所以.故的方程为. 故选：D.    【变式训练28-4】已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 巩固提升 1.已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 2．椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1. 结合椭圆的定义：. 由到直线：的距离为：，所以. 由 ， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围. 3已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 4．椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、，结合椭圆定义及离心率可用表示、，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】设、，则有，， 则，即， 则，即， 即，， 则，由， 则有， 整理得，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用表示、，再借助表示出，结合勾股定理计算即可得解. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解. 6“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 【答案】 【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求. 【详解】由题意可得直线的方程为，设， 联立，消去，得， 整理得， 所以， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去），所以，所以离心率； 当时，可得，所以椭圆的方程为， 所以，直线的方程为， 代入椭圆方程得，解得或， 可得，故在轴上， 设内切圆的半径为，所以， 所以，所以，即， 又的中点坐标为，的中点坐标为，， 所以的垂直平分线的方程为，即， 的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 椭圆压轴小题归纳 目 录 题型01：椭圆的定义及应用 2 题型02：椭圆的标准方程 5 题型03：与椭圆有关的轨迹方程 7 题型04：根据椭圆方程求参数取值范围 9 题型05：直线与椭圆的位置关系 10 题型06：直线与椭圆的位置关系求参数 11 题型07：椭圆中的弦长问题 13 题型08：中点弦问题 15 题型09：焦点弦与焦半径问题 19 题型10：焦点三角形中的角有关问题 22 题型11：焦点三角形的形状问题 25 题型12：焦点三角形周长问题 26 题型13：焦点三角形面积问题 29 题型14：焦点三角形中的内切圆、外接圆 32 题型15：焦点三角形的其他问题 37 题型16：焦点三角形的综合问题 38 题型17：椭圆中的和差最值问题 42 题型:18：椭圆的光学性质 44 题型19：椭圆的离心率 45 题型20：离心率取值范围问题 54 题型21：椭圆中的最值、取值范问题 60 题型22：函数与椭圆结合 62 题型23：椭圆中的面积问题 63 题型24：椭圆中的对称问题 64 题型25：椭圆的切线问题 66 题型26：定点问题 68 题型27：定值问题 70 题型29：椭圆与向量问题 71 巩固提升 72 椭圆压轴小题以离心率、焦点三角形、最值/范围为三大高频考向，难度中等偏上，强调几何性质转化与快速运算，是拉开分差的关键题型。 一：近三年考情总览 1. 分值与题型：新高考卷占比约12%-18%，多以单选压轴(第8题)、多选(第9-12题)、填空(第13-16题)出现，分值5-6分/题。 2. 命题趋势：2023、2024、2025年均考查，2026年稳中有新，重点强化几何直观+代数运算融合，与向量、圆、导数综合的趋势明显。 二：三大核心考向 1. 离心率问题(必考) 2. 焦点三角形与几何性质 3. 最值与范围问题(压轴热点) 三：技巧清单 1.焦点三角形：用定义+余弦定理+面积公式三招联立，快速求e或θ。 2.中点弦：点差法一步求斜率，避免联立计算。 3.最值：优先用参数化(三角代换)或几何意义(三点共线)，减少硬算。 四：备考重点： 1.夯实基础：熟练掌握a、b、c、e关系及标准方程，注意焦点位置分类讨论。 2.强化综合：多练与向量(垂直、数量积)、圆(蒙日圆)、导数结合的题目。 3.提升运算：用设而不求、整体代换、几何性质简化步骤，提升计算速度与准确率。 椭圆压轴小题的核心在于思维转化，掌握几何模型与速算技巧，就能在保证正确率的前提下节省时间。 题型01：椭圆的定义及应用 【典型例题1】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解. 【详解】设， 则，可得， 即点在以为焦点的椭圆上，且， 所以点的轨迹为，整理得， 由题意可知：， 所以. 故选：A. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 【变式训练1-1】已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 【变式训练1-2】黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（ ） ①椭圆是“黄金椭圆； ②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”； ③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”； ④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”； A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式训练1-4】设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ） 【变式训练1-6】已知点，,是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过点，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 A．与一一对应 B．函数是增函数 C．函数无最小值，有最大值 D．函数有最小值，无最大值 【变式训练1-7】能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 题型02：椭圆的标准方程 【典型例题1】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解. 【详解】由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 【典型例题2】已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程. 【详解】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-1】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 题型03：与椭圆有关的轨迹方程 【典型例题1】已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆 外切，同时与圆 内切， 则，又 ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 【典型例题2】设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 【变式训练3-1】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【变式训练3-4】画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 【变式训练3-6】已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 题型04：根据椭圆方程求参数取值范围 【典型例题1】已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练4-1】已知：，，：方程表示焦点在轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求的取值范围 . 【变式训练4-2】若m，，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-3】已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-4】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【变式训练4-6】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 题型05：直线与椭圆的位置关系 【典型例题1】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典型例题2】直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式训练5-1】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式训练5-2】已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式训练5-4】椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】（多选）已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（   ） A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 题型06：直线与椭圆的位置关系求参数 【典型例题】（多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若上存在点，使得，则的取值范围为 D．若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为 ，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【变式训练6-1】（多选）已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（多选）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【变式训练6-3】（多选）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 题型07：椭圆中的弦长问题 【典型例题1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设直线交于点，不妨设在第一象限，则，，求得直线方程与椭圆联立得，根据韦达定理解得，最后根据弦长公式计算弦长． 【详解】易知，设直线交于点， 因为，为上关于原点对称的两点，且，令，得， 如图，不妨设在第一象限，则，，则， 所以直线：，联立，得， 则，解得， 所以根据弦长公式可得． 故选：A. 【变式训练7-1】设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 【变式训练7-4】江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为 ；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为 . 题型08：中点弦问题 【典型例题1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】设椭圆方程为， 因为弦的中点的横坐标为，代入直线方程可得中点， 不妨设直线与椭圆的两个交点为， 所以，即， 而中点为，所以，而， 代入可得，而椭圆焦距为4，所以，结合，求得， 所以短轴长为， 故选：B 【典型例题3】已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练8-1】已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】（多选）已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【变式训练8-6】（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（    ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．当时，的面积为 D．若线段中点为，则直线的方程为 【变式训练8-7】（多选）已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【变式训练8-8】已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ． 【变式训练8-9】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【变式训练8-10】已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【变式训练8-11】已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 题型09：焦点弦与焦半径问题 【典型例题1】点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，， 因为动点在椭圆上，则， 因为点到直线的距离为，所以， 又， 所以 ． 故选：C． 【典型例题2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 【典型例题3】（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 【变式训练9-1】设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 【变式训练9-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练9-3】如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【变式训练9-5】（多选）．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【变式训练9-6】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 【变式训练9-7】已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 题型10：焦点三角形中的角有关问题 【典型例题1】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 【典型例题2】（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 【变式训练10-1】设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练10-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 【变式训练10-8】（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【变式训练10-9】（多选）．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 题型11：焦点三角形的形状问题 【典型例题】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 【变式训练11-1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【变式训练11-2】设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型12：焦点三角形周长问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 【典型例题2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 【变式训练12-1】（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【变式训练12-2】已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【变式训练12-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【变式训练12-4】设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【变式训练12-5】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【变式训练12-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 【变式训练12-7】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【变式训练12-8】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 题型13：焦点三角形面积问题 【典型例题1】已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题知，，所以， 又，所以，将其代入1，解得， 所以， 故选:B. 【典型例题2】（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 【变式训练13-1】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式训练13-6】已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-7】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【变式训练13-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【变式训练13-9】已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 题型14：焦点三角形中的内切圆、外接圆 【典型例题1】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 【典型例题2】若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【答案】 【难度】0.65 【详解】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c， 有，，则，即， 则，又 （e为椭圆的离心率），而，则， 即，因此， ，所以. 故答案为：. 【典型例题4】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 【变式训练14-1】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练14-2】设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-3】已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-4】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-5】设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-6】已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练14-7】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-8】知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，的面积为，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是的内心，直线交于M，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-9】（多选）椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【变式训练14-10】（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【变式训练14-11】（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 【变式训练14-12】（多选）（多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．r为定值 B． C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变 【变式训练14-13】（多选）（多选）已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 【变式训练14-14】（多选）（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 【变式训练14-15】（多选）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-16】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【变式训练14-17】已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为 . 【变式训练14-18】已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 题型15：焦点三角形的其他问题 【典型例题】已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，再结合图形，利用几何关系即可求出结果. 【详解】因为椭圆方程为，所以，可得， 如图，中，分别为和的中点，所以， 又因为点在椭圆上，可得，所以， 由此可得，    故选：B. 【变式训练15-1】如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知圆，椭圆的上、下焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，直线OP与圆交于点M，N，若，则 【变式训练15-3】如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    题型16：焦点三角形的综合问题 【典型例题1】（多选）．已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【答案】AC 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 【典型例题2】（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC.    【变式训练16-1】（多选）．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【变式训练16-2】（多选）．设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 【变式训练16-3】（多选）．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 【变式训练16-4】如图，已知，为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若为坐标原点），则△的面积为 　　，直线的方程为 　　． 【变式训练16-5】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【变式训练16-6】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【变式训练16-7】已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点，，两点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是 　． 【变式训练16-8】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【变式训练16-9】已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 　　． 【变式训练16-10】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【变式训练16-11】已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，过点且斜率为的直线与圆交于，两点（点在轴上方），线段与椭圆交于点，延长线与椭圆交于点，且，，则椭圆的离心率为 　　，直线的斜率为 　　． 题型17：椭圆中的和差最值问题 【典型例题1】已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【典型例题2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 【变式训练17-1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式训练17-2】已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式训练17-3】已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练17-4】已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 【变式训练17-5】（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（    ） A．直线与蒙日圆相切 B．的蒙日圆的方程为 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为 【变式训练17-6】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【变式训练17-7】已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值 . 题型:18：椭圆的光学性质 【典型例题】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 【变式训练18-1】椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-2】椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 题型19：椭圆的离心率 【典型例题1】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和G为重心判断出，再利用求出， 借助椭圆定义求出，最后勾股定理建立等式解出离心率即可. 【详解】 如图，连接并延长交于，连接.由得， 即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，， 由得，，又由椭圆定义. ，即，化简得，故离心率为. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，如下图： 由椭圆和双曲线的定义可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， ， ， ， . 故选：B. 【典型例题3】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 【典型例题4】如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率 . 【答案】 【分析】由平行关系得出对应线段成比例，得到，表示出坐标，代入椭圆方程，得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为，则，， 又因为，即，则， 则.设，则， 所以. 由 解得所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定，，的等量关系或不等关系，然后把用，代换，求的值． 【变式训练19-1】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-3】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-4】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-5】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-6】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练19-7】已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-8】已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-9】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于x轴，交椭圆C于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【变式训练19-10】已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-11】设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练19-12】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-13】【多选】如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则的方程为 【变式训练19-14】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 【变式训练19-15】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为e，下列说法正确的是（    ） A．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 B．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 C．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 D．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 【变式训练19-16】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【变式训练19-17】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________． 【变式训练19-18】椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________． 【变式训练19-19】已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______. 【变式训练19-20】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 【变式训练19-21】已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 题型20：离心率取值范围问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 【典型例题2】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解. 【详解】解：设动点，由题得， 化简得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点， 所以. 所以椭圆的离心率. 因为椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 【典型例题3】已知椭圆C :(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A． B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】， 【解析】设方程为，联立方程组求出，坐标，进而得出，的坐标，由列方程得到关于的方程，令此方程有解得出，，的关系，从而得出离心率的范围． 【详解】设直线的方程为， 联立方程组，消元得， ，，，， 又，，是，的中点， ，，，， 以为直径的圆恰经过坐标原点， ， ， 即， ， ，即， 存在符合条件的直线，使得， 关于的方程有解， ，即，， ，， 又， ． 故答案为：，． 【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围. 【典型例题4】椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，利用不等关系，转化求离心率的取值范围. 【详解】设过点F的直线l的直线方程为与椭圆交于A，B两点， 设点，，联立方程得， 整理为：， ，， 若恒有，则， 所以是钝角，即， ，， ，整理为恒成立， 所以，即，整理为， 解得：或（舍） 所以，离心率， 故答案为： 【变式训练20-1】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，且点B到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-2】过椭圆的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点.若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-3】已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-4】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得（为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式训练20-5】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-6】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-7】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-8】已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-9】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-10】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-11】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-12】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-13】已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-14】已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-15】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【变式训练20-16】设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-17】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-18】设椭圆：的左､右焦点分别为，，，过作轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为.已知，，是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-19】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练20-20】已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-21】阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-22】已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-23】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-24】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式训练20-25】设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【变式训练20-26】若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为 ． 【变式训练20-27】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【变式训练20-28】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式训练20-29】已知、分别为椭圆的左、右焦点，是上第一象限内的点，关于原点的对称点为，且，，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练20-30】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 题型21：椭圆中的最值、取值范问题 【典型例题】已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【变式训练21-1】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练21-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练21-3】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练21-4】已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（    ） A．16 B．17 C．19 D．20 【变式训练21-5】已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练21-6】已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 【变式训练21-7】已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【变式训练21-8】已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ． 题型22：函数与椭圆结合 【典型例题】已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为 在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式训练22-1】已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式训练22-2】函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 【变式训练22-31】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 题型23：椭圆中的面积问题 【典型例题1】已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可. 【详解】 设，为坐标原点，由， ，与，， . 故选：C. 【变式训练23-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练23-2】直线与椭圆相交于两点，该椭圆上存在点，使得的面积等于1，这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练23-3】设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 【变式训练23-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练23-5】人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 【变式训练23-6】已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 题型24：椭圆中的对称问题 【典型例题】已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得直线的方程为，联立两椭圆方程整理得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到直线的方程，从而得到，最后将变形为. 【变式训练24-1】（多选）如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 【变式训练24-2】已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 【变式训练24-3】如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 . 题型25：椭圆的切线问题 【典型例题1】若方程有解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，两边同平方得，化简得（）， 则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分， 则题目转化为直线与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为，易得其坐标为， 当直线与半椭圆相切时，显然由图得， 联立，得， 则 化简得，解得或（舍）， 当直线经过点时，得，解得， 则，故选：B. 【典型例题2】已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先得到椭圆在处的切线方程为，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q的坐标，求出当切线斜率不存在时，，当切线斜率存在时，设为，由与圆相切得到，求出椭圆两切线方程，得到，求出，求出的最大值. 【详解】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在， 不妨设，此时中令得：， 所以不妨令， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是 则椭圆的切线斜率为， 所以椭圆的切线方程为，整理得：， 方程两边同除以，得到， 当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为， 中令，可得， 故当切线斜率不存在，切线也满足， 综上：椭圆在处的切线方程为， 【变式训练25-1】已知实数x，y满足方程，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练25-2】已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练25-3】数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-4】求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标. 【变式训练25-5】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【变式训练25-6】在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-7】过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 题型26：定点问题 【典型例题1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练26-1】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-2】已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【变式训练26-3】已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【变式训练26-4】 （多选）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练26-5】已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 【变式训练26-6】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 题型27：定值问题 【典型例题】已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果. 【详解】令，，则，， 由，故，则， 而，，则，， 所以，故， . 故选：B 【变式训练27-1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练27-2】设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练27-3】（多选）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（    ） A．椭圆C的离心率 B．的取值范围为 C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则 D．点I的轨迹方程为 题型29： 椭圆与向量问题 【典型例题】已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出坐标，根据垂直关系得到坐标关系，然后将坐标关系代入数量积得到结果. 【详解】设，则， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 【变式训练28-1】已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练28-2】椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练28-3】已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练28-4】已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 巩固提升 1.已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 6“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $