第08讲 抛物线解答题题型全归纳讲义-2027届高考数学二轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线解答题，系统梳理方程求解、弦长计算、中点弦、焦点弦、面积问题等17类核心题型，按基础方法到综合应用的逻辑层次构建知识体系，通过典型例题精讲、变式训练巩固，帮助学生掌握通性通法，突破高考高频难点。 讲义突出题型分类与方法提炼，如用点差法解决中点弦问题，焦半径公式简化焦点弦运算，培养学生数学思维与模型观念。设置分层练习适配不同学情，结合真题演练强化实战能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题素养与应考能力。

第08讲 抛物线解答题题型全归纳 目 录 题型01：抛物线的方程 2 题型02：抛物线的弦长 3 题型03：抛物线的中点弦（点差法） 7 题型04：焦半径和焦点弦 9 题型05：面积问题 11 （一） 三角形面积 11 （二） 四边形面积 14 （三） 面积的最值范围 16 （四） 面积相关运算 18 （五） 根据面积求参数 23 题型06：抛物线中的定点问题 27 （一）抛物向上两个动点，满足角度，垂直，对称等关系，衍生直线过定点 27 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 30 （三）圆过定点 33 （四）切线相关定点 36 （五）参数，坐标变换类过定点 38 题型07：抛物线中的定直线问题 40 题型08：定值问题 44 （一） 斜率定值 44 （二） 斜率和，积定值 45 （三）距离及距离关系定值 47 （四）面积定值 50 （五）参数定值 53 （六）向量定值 55 题型09：斜率问题 57 题型10：抛物线中的最值范围问题 59 题型11：抛物线中的切线问题 68 题型12：探索性问题 73 题型13：证明题 80 题型14：向量问题 84 题型15：抛物线与数列结合 87 题型16：抛物线与导数 96 题型17：抛物线的阿基米德三角形 98 题型01：抛物线的方程 【典型例题1】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 【典型例题2】神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，即， 又，联立解得或（舍），当时， ， 故的坐标为. （2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即； 令可得或（舍），即； 所以， 所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3. 【变式训练1-1】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【变式训练1-2】已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【变式训练1-3】已知动点与点的距离与其到直线的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【变式训练1-4】在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到轴的距离大.在①和②中选择一个作为条件. 选择条件： ，求曲线的方程. 【变式训练1-5】已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【变式训练1-6】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 题型02：抛物线的弦长 【典型例题1】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6，求此圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由倾斜角求直线的斜率k，抛物线方程求F点坐标，由直线过抛物线焦点F，写出直线方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得，结合抛物线定义知即可求弦长； （2）先讨论直线的斜率不存在时得不满足条件，再讨论直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得以线段为直径的圆的圆心为，半径为，进而根据题意得，解方程得，代入即可得答案. 【详解】解：（1）由直线的倾斜角为，则斜率．又， ∴直线的方程为． 联立，消去y得． 若设，．则， 而，且， ∴． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，， 此时以线段为直径的圆的方程为，截轴所得到的弦长为，不满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去y得， 设，．则，， 所以， 所以 所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 因为以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6 所以，整理得，解得， 所以圆的半径. 【点睛】关键点点睛： 【典型例题2】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线方程求解； （2）由直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解； （3）结合韦达定理，利用数量积运算证明； 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程是， 所以，解得， 所以抛物线的方程是； （2）由，得， 设， 则， 所以； （3）因为， ， ， 所以， 即. 【典型例题3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 【变式训练2-1】已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长. 【变式训练2-3】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【变式训练2-6】已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 题型03：抛物线的中点弦（点差法） 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【典型例题2】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； （2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为. （2）设，则，两式相减得， 即.因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线的斜率为2.    【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式训练3-3】已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 【变式训练3-4】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【变式训练3-5】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 题型04：焦半径和焦点弦 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 解析： （1） 设，则，。 抛物线焦点弦长，解得。抛物线的方程为。 （2） 焦点，设直线的方程为（7分）。联立，消去得 恒成立，，（11分），解得，。直线的方程为，即或 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 解析： （1）焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得。设，则，。。，化简得，，解得，。 （2）当时，直线，，（10分）。中点坐标为，，半径（12分）。圆的方程为。当时，直线，同理得中点坐标为，圆的方程为 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 【答案】（1）抛物线，焦点，设直线的方程为（）。联立，消去得。设，则，。焦点弦长，解得，。直线的方程为，即或。 （2）由抛物线定义得，（8分）。。由（1）知，。代入得，得证。 【变式训练4-1】已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点. (1)请写出一组满足的点，的坐标； (2)证明：； (3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积. 【变式训练4-2】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P. (1)若，求的方程； (2)若，求. 【变式训练4-4】已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【变式训练4-5】已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率. 【变式训练4-6】设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q. (1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角； (2)求的值. 【变式训练4-7】已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线. 【变式训练4-8】已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 题型05：面积问题 （1） 三角形面积 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】(1)抛物线，焦点坐标； (2) 【详解】（1）由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； （2） 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 【典型例题2】设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【答案】(1) (2)16 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求点到直线的距离、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用点到直线的距离求出参数p的值，即得答案； （2）设出AB，AC的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合，可求出点A，B，C的坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，F点到的距离为，故（舍去）或， 故的方程为. （2）由题意知直线AB的斜率必存在， 设. 联立，有，，故， 联立，有，，故， 故 由有，则， 故. 注意到轴，故的面积为. 【变式训练5-1-1】点为抛物线上一点，为其焦点，已知． (1)求与的值； (2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积． 【变式训练5-1-2】在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【变式训练5-1-3】已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【变式训练5-1-4】如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．    (1)求抛物线C的方程； (2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积． 【变式训练5-1-5】已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． （2） 四边形面积 【典型例题】已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵，∴ 又∵ ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 【变式训练5-2-1】如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. （3） 面积的最值范围 【典型例题1】已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B． (1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标； (2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值． 【解析】（1）当的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：， 由题意可得直线的方程为：，即， 代入抛物线的方程可得解得（舍）或6， 所以，的坐标为 （2）法一：设直线的方程：，即， 设直线与轴的交点为，，，由 可得，，， 因为为线段的中点，所以 令，，即，所以 则的面积， 把代入上式，， 当时，，所以的面积的最大值为2． （2）法二：。可得，，， 因为为线段的中点，所以，设点到直线的距离为，则， ，把代入上式，， 所以，当时，的面积的最大值为2 【典型例题2】在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （ⅰ）设AB中点为M，求证：轴； （ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因点E到的距离等于点E到直线的距离， 故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 则动点E的轨迹方程为. （2）（ⅰ）设，， 因为PA，PB的中点均在C上，所以， 故可以看成方程即的两个不相等的实数根， 由韦达定理，可得，即点M的横坐标与点的横坐标相同， 故轴； （ii）由（i）可知， 且， 仿（i），设AB中点为M，则轴，于是， ， ， 故的面积， 因为，所以， 因此面积的取值范围是. 【变式训练5-3-1】已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值. 【变式训练5-3-2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． （4） 面积相关运算 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点． （1）设为抛物线上的动点，求的取值范围； （2）记的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设， 则， 因此， 而，即有，则当，即时，， 当，即时，， 所以的取值范围是. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去并整理得，显然， 设，，则，即， 令为点，于是的面积为， 的面积为， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【典型例题2】已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，得，则， 故椭圆的方程为. （2）    由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. （3）由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程为：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 【变式训练5-4-1】已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【变式训练5-4-2】已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【变式训练5-4-3】已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【变式训练5-4-4】在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值； （5） 根据面积求参数 【典型例题1】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； （2）①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 【典型例题2】已知点在抛物线上，直线过点与的焦点，交于点 . (1)求抛物线的方程与点的坐标； (2)若动点在上，且 . ① 求面积的最大值； ②若，直线交直线于点，直线交直线于点，求使得与面积相等的点的坐标. 【答案】(1)抛物线的方程为， (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线的交点坐标、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标； （2）①求出，利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得结果； ②求出直线、的方程，进而可求出点、的坐标，求出、的表达式，根据求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的标准方程为，易知点， 设点，则，所以，直线的方程为，即， 联立可得，由韦达定理可得，可得，即点. （2）由（1）可知，，且直线的方程为， 易知，即点， 所以，点到直线的距离为， 因为，则， 则， 当且仅当时，取最大值， 所以，，即面积的最大值为； ②如下图所示： 由①可知，， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， 因为，则，可得， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得，解得， 故使得和的点的坐标为. 【变式训练5-5-1】已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足. （1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点； （2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率. 【变式训练5-5-2】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【变式训练5-5-3】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【变式训练5-5-4】在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）. (1)若直线的斜率为，求的面积. (2)若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点）， （i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值； （ii）设的面积分别为，若，求直线的方程. 【变式训练5-5-5】已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【变式训练5-5-6】已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 【变式训练5-5-7】已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N． （1）求抛物线C的方程： （2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点） 【变式训练5-5-8】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 题型06：抛物线中的定点问题 （一）抛物向上两个动点，满足角度，垂直，对称等关系，衍生直线过定点 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点. 【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为． （2）设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则， 代入可得：，故． 直线的方程为，与的方程联立得． 设，则， ， 所以， 所以． 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，的方程为， 由抛物线的对称性，可知定点在轴上， 令，则， 所以，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式训练6-1-1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【变式训练6-1-2】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【变式训练6-1-3】已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． (1)求W的方程． (2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． (3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【变式训练6-1-4】已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【变式训练6-1-5】已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练6-1-6】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【变式训练6-1-7】已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【变式训练6-1-8】已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【变式训练6-1-9】已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 【变式训练6-2-1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【变式训练6-2-2】已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【变式训练6-2-3】已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【变式训练6-2-4】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切． (1)求动圆的圆心所在轨迹的方程； (2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式训练6-2-5】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【变式训练6-2-6】已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【变式训练6-2-7】已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【变式训练6-2-8】已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【变式训练6-2-9】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点． （三）圆过定点 【典型例题】已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 【变式训练6-3-1】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. （四）切线相关定点 【典型例题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练6-4-1】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【变式训练6-4-2】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， （五）参数，坐标变换类过定点 【典型例题】已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)会，直线过点. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦 【分析】（1）设动圆圆心为，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程； （2）设，应用点差法得，结合已知即可得； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，设并联立，应用韦达定理及中点坐标求出坐标，同理求坐标，分类讨论参数判断直线是否过定点即可. 【详解】（1）设动圆圆心为，则有，整理得，故曲线E的方程； （2）设，则，可得， 所以，即，故直线斜率为； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则为的焦点， 由题意，直线的斜率都存在且不为0，设，联立， 所以，设，且， 所以，，则，， 所以，同理得， 当，则，则，即恒过定点； 当，则，，显然直线过点； 当，则，，显然直线过点； 综上，直线过定点. 【变式训练6-5-1】如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练6-5-2】已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 题型07：抛物线中的定直线问题 【典型例题1】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【详解】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 【典型例题2】已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，定直线为 【详解】（1）依题意，抛物线方程形如，代入点，可得，即， 故抛物线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设，代入，整理得， 显然，设，依题意，， 且，由易得， 因，则，可得，代入①，得， 再代入②，可得，解得. 而当时，点的横坐标，不在第一象限，且距离,故舍去. 故直线的方程为. （ii）由求导得，故切点为的切线方程为，即③， 同理可得④，由，可得， 即，因，故可得， 即点在直线上.    【变式训练7-1】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【变式训练7-2】已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【变式训练7-3】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【变式训练7-4】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式训练7-5】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【变式训练7-6】已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练7-7】已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【变式训练7-8】已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式训练7-9】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式训练7-10】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 题型08：定值问题 （1） 斜率定值 【典型例题】已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程. (2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】（1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式训练8-1-1】已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. （1）求的方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值. （2） 斜率和，积定值 【典型例题1】已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【变式训练8-2-1】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式训练8-2-2】已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. 【变式训练8-2-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． （三）距离及距离关系定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式训练8-3-1】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【变式训练8-3-2】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练8-3-3】在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． (1)求的轨迹的方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【变式训练8-3-4】已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． (1)求曲线的方程； (2)设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． （四）面积定值 【典型例题】已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. (1)求抛物线C的方程； (2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； (3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【详解】（1）由题意得，则. ∴. （2）设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵的角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. （3），， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 【变式训练8-4-1】中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． （五）参数定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 【典型例题2】如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【变式训练8-5-1】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【变式训练8-5-2】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【变式训练8-5-3】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. （六）向量定值 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【变式训练8-6-1】如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 题型09：斜率问题 【典型例题】设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程； （2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 又P是C上一点， 所以， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）①设切点坐标为， 因为，所以，切线的斜率为， 所以切线方程为， 将代入上式，得， 所以， 所以切点坐标为． ②由①得，直线的斜率都存在， 要证：直线的倾斜角之和为， 只要证明：直线的斜率之和为． 设直线的方程为，，，, 则，， 由得， 所以，，，即， 所以， 即直线的倾斜角之和为． 【变式训练9-1】已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【变式训练9-2】已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练9-3】已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 题型10：抛物线中的最值范围问题 【典型例题1】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. 方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. （2）设出直线方程，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得k与n的关系式，再由弦长公式得到弦长关于k的函数，转化为求关于k的函数在固定区间上的最大值（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转化为二次函数在固定区间上的最大值）. 【详解】（1）方法1：∵抛物线的焦点在y轴上且过点，点M的纵坐标为正数， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， 由抛物线的定义知，，解得： ∴抛物线C的方程为. 方法2：∵抛物线的焦点在y轴上， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， ∴由抛物线的定义知， ∴抛物线C的方程为. （2）设直线l方程为：，，， 则，，， ∴，  ① 又∵AB中点的纵坐标为2， ∴， ② ∴由①②得：， ∴，解得：， ， ∴ 方法1：∵， ∴，当且仅当即时去等号， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 方法2：令，∵，∴， 则，， 设，，则对称轴为， ∴在上单增，在上单减， ∴，此时， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 【典型例题2】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程. （2）设出的坐标，求得直线、直线的方程，结合点坐标证得直线过定点.求得当l的倾斜角为时直线的方程，结合点到直线的距离公式以及函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，因为离心率为，∴， ， ∴,∴椭圆， ，所以抛物线. （2）设，则， ， ∵， ∴， 同理可得， 把代入l得，所以， 所以直线过定点. 当l的倾斜为时，∴ ∴ ∴且， ∴， ， 令则，， ∵在上单调递减，∴. 【变式训练10-1】已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【变式训练10-2】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【变式训练10-3】已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值. 【变式训练10-4】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【变式训练10-5】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【变式训练10-6】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【变式训练10-7】已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 【变式训练10-8】如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 【变式训练10-9】平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【变式训练10-10】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【变式训练10-11】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【变式训练10-12】已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【变式训练10-13】已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、． (1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式训练10-14】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【变式训练10-15】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【变式训练10-16】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【变式训练10-17】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【变式训练10-18】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【变式训练10-19】设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【变式训练10-20】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【变式训练10-21】过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. (1)求直线的斜率； (2)设直线的方向向量为，计算的值； (3)求面积的最小值. 【变式训练10-22】在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【变式训练10-23】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的标准方程． （2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【变式训练10-24】已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G. (1)若直线的斜率为求直线l的方程; (2)设点，若恒为锐角，求的取值范围. 【变式训练10-25】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【变式训练10-26】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【变式训练10-27】设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围． 【变式训练10-28】已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围. 【变式训练10-29】已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 【变式训练10-30】设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 题型11：抛物线中的切线问题 【典型例题1】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、双曲线中的定值问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 【变式训练11-1】已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【变式训练11-2】位于第一象限的一点满足，过作的切线，切点为，且满足，设为关于的对称点. (1)证明： (2)（i）若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，证明：为等差数列. （ii）由ⅰ所设且，求的值. 【变式训练11-3】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【变式训练11-4】抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 题型12：探索性问题 【典型例题1】已知抛物线 的准线经过点 ． （1）求抛物线C的方程． （2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，两个定点的坐标分别为和. 【解析】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 . （2）存在, 理由如下. 设直线的方程为 . 联立直线与抛物线的方程得消去并整理，得. 易知 , 则 由直线的方程 , 可得 , 由直线的方程 , 可得 . 设以为直径的圆上任一点 , 则 , 所以以为直径的圆的方程为 . 令 , 得 . 将 代入上式，得 ，解得. 故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为和. 【典型例题2】如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，. 【分析】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证；（ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【详解】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 【变式训练12-1】已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 【变式训练12-2】已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. (1)求E的标准方程； (2)过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-3】已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【变式训练12-4】已知椭圆： ()的左、右焦点分别为，为椭圆上的一点，的周长为6，的最小值为1，为抛物线的焦点. (1)求椭圆与抛物线的方程； (2)过椭圆的左顶点的直线交抛物线于两点，点为原点，射线分别交椭圆于两点，的面积为，的面积为，则是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-5】已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3. (1)求抛物线的准线方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-6】过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由. 【变式训练12-7】已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-8】已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-9】如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-10】已知在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点，当平行于轴时，. (1)求的值； (2)是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与交于异于，的，两点，其中点在第四象限，直线，直线与轴的交点分别为（与不重合），设线段的中点为，求实数的取值范围. 【变式训练12-11】已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-12】已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【变式训练12-13】设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．    (1)求与的方程； (2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值； (3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式训练12-14】已知抛物线与相交于，两点，其交点的横坐标分别为，.在抛物线上另取个点，，…，，在抛物线上另取个点，，…，，使.记，的横坐标分别为，. (1)求，及的值. (2)证明： (3)是否存在点，，使四边形为平行四边形？若存在，求出，的坐标及的取值集合；若不存在，请说明理由. 【变式训练12-15】在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)经过点的直线与交于，两点. （i）是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：； （ii）记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 题型13：证明题 【典型例题1】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 【变式训练13-1】已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. (1)求抛物线的方程. (2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【变式训练13-2】已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与相切，与相交于两点（在轴的上方），且. (1)求的方程； (2)设过且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，过线段的中点的直线与轴交于点，且点在点的右侧，，证明：. 【变式训练13-3】已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设的面积为，证明：． 【变式训练13-4】已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【变式训练13-5】设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，． (1)求的方程； (2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0． （ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点． 【变式训练13-6】已知抛物线上的点到其焦点的距离为． (1)求和的值； (2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆． 【变式训练13-7】已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 题型14：向量问题 【典型例题1】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. 【典型例题2】已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为，设椭圆的标准方程为， 则，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）   显然直线的斜率存在，设直线，设,，,，则,， 四边形为平行四边形，，,， 点，，均在椭圆上，，，， ，，．， 由，消去得，，显然， ，，， ，,． 【典型例题3】已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 【解析】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，因为椭圆离心率为， 所以，解得，则，所以椭圆的方程为． （2）设，由得，， 易得，则，，， 因为，所以，解得， 所以．    【变式训练14-1】已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式训练14-2】已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 【变式训练14-3】已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【变式训练14-4】已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【变式训练14-5】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【变式训练14-6】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【变式训练14-7】已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式训练14-8】已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 【变式训练14-9】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为. （i）证明：垂直于轴； （ii）设面积为，求的最大值. 【变式训练14-10】已知是焦点为的抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆过点. (1)求的方程； (2)过点作直线交抛物线于、，求的最大值. 【变式训练14-11】已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 【变式训练14-12】.已知点和点 之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 题型15：抛物线与数列结合 【典型例题1】已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； （2）因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； （3）由（2）得， 所以，而， 所以 . 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． (1)求的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）画出图形，根据圆的几何性质即可列方程求出，从而得到抛物线方程； （2）①设，求导，写出点作的垂线，联立抛物线方程得的横坐标为，从而得出，累加即可得证；②先得到，即当时，，从而通过放缩裂项求和的方法即可得证. 【详解】（1） 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； （2） ①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 【典型例题3】平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. （2）（i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 【变式训练15-1】抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【变式训练15-2】已知抛物线的准线与圆相切． (1)求抛物线E的方程； (2)依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．    （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【变式训练15-3】已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为． (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求证：数列是等差数列，并求，的表达式； (3)求的面积． 【变式训练15-4】已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为． (1)若，求； (2)求证：数列为等差数列； (3)记的面积为，令求证：当时，． 【变式训练15-5】已知抛物线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，再过点作斜率为的直线与交于点，记的坐标为． (1)证明：数列是等差数列； (2)设的面积为． （ⅰ）证明：数列为常数列； （ⅱ）为何值时，取得最大值，并求出该最大值． 【变式训练15-6】已知点在抛物线上，的焦点为． (1)点在上，且满足，求． (2)设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 【变式训练15-7】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． (1)求t的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积． 【变式训练15-8】已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【变式训练15-9】已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 题型16：抛物线与导数 【典型例题】已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点． (1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标； (2)证明：的外接圆过定点； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标； （2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标； （3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）∵，与抛物线相切于，两点， 设在左侧，则，， 由得，所以， 所以的斜率为，的斜率为， 此时方程：，即． 方程：，即，联立得； （2）设过的两条切线分别与抛物线切于，， 由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即， 直线的斜率为，直线方程为，即， 所以且，， 设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以， 设外接圆方程为：过，所以， 所以，所以， 所以， 整理得， 所以， 令即，所以的外接圆过定点； （3）：，所以，， 所以， 到的距离为，所以， 设，，，由， ，当且仅当时等号成立． 所以， 令，， 在上单调递减，上单调递增， 所以，所以面积的最小值. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，，，由，，当且仅当时等号成立，把三角形的面积表示为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【变式训练16-1】已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为． (1)求的方程； (2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值． 题型17：抛物线的阿基米德三角形 【典型例题1】抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值. （3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论. 【详解】（1）设，， 由得，则直线的方程为， 即，即， 同理，直线的方程为   又直线与直线都过， 则，， 从而均在直线上， 故直线的方程为，又， 故直线的方程为， 故直线过定点； （2）联立，得， ，则， 则， 于是，， 又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号). 则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且. 设直线方程为， 由，得， ，. 对求导，， 所以， ， 直线的方程为， 又，直线的方程为， 同理可得直线的方程为. 由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，， 又，， 所以.所以||·||=， 综上：||·||=. 【典型例题2】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程； （2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证. 【详解】（1）即为， 若选①，抛物线方程为， 选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为. 选③，代入，解得，所以弦长为，解得， 所以抛物线方程为. （2）令，，，则，, ，, 即为， 又即， 同理，， ， 而过点即 点在直线上 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【点睛】思路点睛：本题第二问考查抛物线中弦长的计算问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解. 【典型例题4】如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为． (1)若的焦点为，且的最小值为，求的值； (2)若存在点，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，可得，利用函数性质可求得最小值； （2）设，表示出过和的切线方程，求出和点坐标，根据在两直线上求出点坐标，进而再求出点坐标，表示出，进而可以得到，从而可求，由此求出的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆有交点，据此即可求出答案. 【详解】（1）由题意可得，设，则且， ， 因为，所以当时，有最小值，解得． （2）由，得，所以， 设，所以，， 所以，又，整理得， 所以过点的切线方程为，于是， 同理，过点的切线方程为，所以． 因为点在两条切线上，所以， 可得点的坐标为，的方程为，于是． ， 所以，所以． 于是点，点的轨迹方程为， 根据题意抛物线与半圆有交点， 记，则，又因为，解得，即的取值范围为． 【典型例题5】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 解析：（1）． （2）（方法1） 抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即,同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，，点到直线的距离为，所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. （方法2）同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则 ．故当时的面积最大，最大值为． 【典型例题6】已知抛物线，圆是上异于原点的一点. (1)设是上的一点，求的最小值； (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可； （2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设，圆心，半径为， ， 所以当时，有最小值， 所以的最小值； （2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为， 所以切线的方程为：， 由圆的切线性质可知： ， 设， ，是方程的两个不相等实根， 因此，即，且， 所以由圆的切线性质知：， ， 所以的坐标为或. 【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 【变式训练17-1】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 【变式训练17-2】在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记，的面积为，，求的值. 【变式训练17-3】已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程； （Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点. 【变式训练17-4】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【变式训练17-5】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点． （1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上． 【变式训练17-6】已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点． （1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程； （2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上． 【变式训练17-7】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程. 【变式训练17-8】已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 【变式训练17-9】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且． (1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标； (2)若点为轴上一定点，且； （ⅰ）求出点坐标； （ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值． 【变式训练17-10】已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点，，是切点. （1）若，，求直线的方程； （2）若点在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值； （3）证明：. 【变式训练17-11】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【变式训练17-12】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为. （1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值； （2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 【变式训练17-13】抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2. （1）求拋物线的方程. （2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标. 【变式训练17-14】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1. （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 【变式训练17-15】如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． （Ⅰ）设线段的中点为； （ⅰ）求证：平行于轴； （ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练17-16】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB． 【变式训练17-17】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【变式训练17-18】过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 抛物线解答题题型全归纳 目 录 题型01：抛物线的方程 4 题型02：抛物线的弦长 8 题型03：抛物线的中点弦（点差法） 17 题型04：焦半径和焦点弦 22 题型05：面积问题 29 （一） 三角形面积 30 （二） 四边形面积 37 （三） 面积的最值范围 40 （四） 面积相关运算 45 （五） 根据面积求参数 54 题型06：抛物线中的定点问题 69 （一）抛物向上两个动点，满足角度，垂直，对称等关系，衍生直线过定点 69 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 82 （三）圆过定点 95 （四）切线相关定点 99 （五）参数，坐标变换类过定点 105 题型07：抛物线中的定直线问题 109 题型08：定值问题 125 （一） 斜率定值 125 （二） 斜率和，积定值 127 （三）距离及距离关系定值 133 （四）面积定值 141 （五）参数定值 144 （六）向量定值 150 题型09：斜率问题 154 题型10：抛物线中的最值范围问题 158 题型11：抛物线中的切线问题 199 题型12：探索性问题 210 题型13：证明题 240 题型14：向量问题 252 题型15：抛物线与数列结合 269 题型16：抛物线与导数 290 题型17：抛物线的阿基米德三角形 293 题型01：抛物线的方程 【典型例题1】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 【典型例题2】神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，即， 又，联立解得或（舍），当时， ， 故的坐标为. （2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即； 令可得或（舍），即； 所以， 所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3. 【变式训练1-1】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值. （2）设直线l的方程为：联立，根据垂直得到所以即，整理带入得到答案. 【详解】（1）设，则，，所以，化简得 （2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，， 联立得，所以① 因为，所以即，即， 整理可得，将①代入，得，即， 所以 【变式训练1-2】已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 【变式训练1-3】已知动点与点的距离与其到直线的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1)； (2)，或 【详解】（1）解：由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）解：设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 【变式训练1-4】在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到轴的距离大.在①和②中选择一个作为条件. 选择条件： ，求曲线的方程. 【答案】. 【分析】选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，从而可求其方程． 选②：设动圆的圆心为，则，通过直接法求轨迹方程的方法，列出满足的关系式，化简即可得到点的轨迹方程． 【详解】选①： 如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，    设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为， 在梯形中，由中位线性质可得， 所以，又，所以， 由抛物线的定义知，点是以为焦点， 以直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为：. 选②： 设动圆的圆心为，则， 由圆与轴相切可得， 即，整理可得. 【变式训练1-5】已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【答案】，轨迹是开口向左的抛物线． 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解. 【详解】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4． 设P的坐标为，则点A的坐标为．因此 因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为． 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线． 【变式训练1-6】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 【答案】(1) (2)48.4cm 【分析】（1）在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； （2）运用代入法进行求解即可. 【详解】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，    以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； （2）由（1）可得抛物线方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为. 故将代入抛物线方程求得. 此时，探照灯的深度为48.4cm. 题型02：抛物线的弦长 【典型例题1】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6，求此圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由倾斜角求直线的斜率k，抛物线方程求F点坐标，由直线过抛物线焦点F，写出直线方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得，结合抛物线定义知即可求弦长； （2）先讨论直线的斜率不存在时得不满足条件，再讨论直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得以线段为直径的圆的圆心为，半径为，进而根据题意得，解方程得，代入即可得答案. 【详解】解：（1）由直线的倾斜角为，则斜率．又， ∴直线的方程为． 联立，消去y得． 若设，．则， 而，且， ∴． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，， 此时以线段为直径的圆的方程为，截轴所得到的弦长为，不满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去y得， 设，．则，， 所以， 所以 所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 因为以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6 所以，整理得，解得， 所以圆的半径. 【点睛】关键点点睛： 【典型例题2】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线方程求解； （2）由直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解； （3）结合韦达定理，利用数量积运算证明； 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程是， 所以，解得， 所以抛物线的方程是； （2）由，得， 设， 则， 所以； （3）因为， ， ， 所以， 即. 【典型例题3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 【变式训练2-1】已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）设，， 由在抛物线上，则 又为等边三角形，则，从而 因此， 又，所以，从而， 故，关于轴对称. （2）设等边的边长为， 由，解得， 由（1）可知关于轴对称，故，故，， 因为点在抛物线上， 所以， 故抛物线的方程为. 因为，等边三角形的中线与高线重合， 所以边上中线所在直线方程为，即． 由，消去整理得，解得，或， 因此直线与抛物线的另一个交点坐标为， 故弦长为． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设动点，则有由可得动点的轨迹的方程； （2）设，由得到. 将其代入韦达定理可解得，进而由弦长公式得到弦长. 【详解】（1）设动点，则有 又由，得， 化简得.故所求动点的轨迹的方程为. （2）如图，设，由， 得，且，可得①. 由于直线过点，显然直线与轴不垂直， 设直线的方程为，代入方程中， 整理得，其显然成立， 由韦达定理得②，③. 由①②得，代入③得； 由弦长公式得 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：设，由得到. 【变式训练2-3】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【解析】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以 ， 解得， 所以抛物线的方程为. （2）如图，设，. 将代入， 消去整理得 . 当时， ， . ， 化简得：，解得， 经检验，此时，故. 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）根据题意，直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点， 则抛物线的标准方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意： 故设， 联立方程组，得， 则， 根据抛物线定义， 得，所以直线的方程为或； 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 【变式训练2-6】已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 题型03：抛物线的中点弦（点差法） 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【典型例题2】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； （2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为. （2）设，则，两式相减得， 即.因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线的斜率为2.    【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线的方程，并求出点的坐标，利用共线向量的坐标表示推理作答. （2）根据给定条件，求出直线与x轴的交点坐标，设出的中点坐标，利用共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线，如图，    设，，则，得，，，，， 则，由F在线段上，得， 于是，显然，整理得， ，， 因此，显然点不在直线上， 所以. （2）如图，设直线AB与x轴相交于点，    由（1）知，的面积，的面积， 依题意，，即，而，解得或， 由于时，点与之一重合，有，矛盾，则点D的坐标为， 设的中点为，则，由，得， 即，又，于是， 所以所求的轨迹方程为. 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程； 【详解】（1）因为， 所以， 故抛物线的方程为． （2）   易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 【变式训练3-3】已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m； （2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标. 【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得. 故抛物线C：. 因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以. （2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为. 易知，一定存在，则，. 由，得，即，化简得，即 因为D到抛物线C的准线的距离，所以， 则，即，. ，即， 解得或，则或. 故点D的坐标为或. 【变式训练3-4】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 【变式训练3-5】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解. 【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意； 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为 ，且的中点为，则， 而，， 所以，则①-②得：， ， ， 中点在直线上， ，于是， 中点在抛物线区域内， ，即，解得：， 综上可知，所求实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力. 题型04：焦半径和焦点弦 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 解析： （1） 设，则，。 抛物线焦点弦长，解得。抛物线的方程为。 （2） 焦点，设直线的方程为（7分）。联立，消去得 恒成立，，（11分），解得，。直线的方程为，即或 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 解析： （1）焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得。设，则，。。，化简得，，解得，。 （2）当时，直线，，（10分）。中点坐标为，，半径（12分）。圆的方程为。当时，直线，同理得中点坐标为，圆的方程为 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 【答案】（1）抛物线，焦点，设直线的方程为（）。联立，消去得。设，则，。焦点弦长，解得，。直线的方程为，即或。 （2）由抛物线定义得，（8分）。。由（1）知，。代入得，得证。 【变式训练4-1】已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点. (1)请写出一组满足的点，的坐标； (2)证明：； (3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积. 【答案】(1)，时满足； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）写出轴时对应的，的坐标即可； （2）过分别作垂直准线于，根据抛物线定义及平行线性质易证，进而有，即可证结论； （3）设直线为，联立抛物线及韦达定理得，结合已知求得，应用三角形面积公式即可求面积. 【详解】（1）当直线轴，显然关于轴对称，此时， 由，若分别在一、四象限，则，满足. （2）过分别作垂直准线于，如下图示， 所以，轴， 由平行线分线段等比例性质知：，又， 所以，故， 又， 所以. （3）由题设，可设直线为，代入，令， 所以，则，又，即， 故，则， 所以. 【变式训练4-2】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 【答案】（1）抛物线的焦点，设直线（1分）。联立得，（3分）。（5分），得证。 （2）准线方程为，直线的方程为，令，得，故（7分）。同理（8分）。（10分）。（12分）。当时，取得最小值（13分）。 （3）的中点坐标为（14分）。由，，得中点横坐标为（15分）。中点坐标为，代入抛物线方程，左边，右边（17分）。 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P. (1)若，求的方程； (2)若，求. 【解析】（1）由题意，直线的方程设为， 联立直线与抛物线方程，可得，，可得， 设,，,，，， 因为，所以，可得，可得， 所以直线的方程为：．即． （2）直线的方程设为，    令，可得，所以，所以,，,， 因为，所以：,,，所以，， ，，， 化简可得，，，可得，，， ． 【变式训练4-4】已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点，所以直线的方程为：，即， 联立得，设，，所以，， 所以 （2）因、在抛物线上，所以，， 两式相减得：，得，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 【变式训练4-5】已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率. 【解析】（1）由线段的垂直平分线与直线交于点，可得， 即点到点的距离等于点到直线的距离，又因为，的方程为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为. （2）解：根据题意，直线的斜率不为，设直线，且， 联立方程组，可得，则， 所以， 所以， 又点，点到直线的距离为， 所以， 又以线段为直径的圆恒过点，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以，所以， 即，所以， 所以或，又直线不经过点，所以，所以，此时满足， 所以， 解得或，所以直线的斜率为或.    【变式训练4-6】设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q. (1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角； (2)求的值. 【解析】（1）设，，，， 因为直线AB的斜率不为0，所以设AB直线的方程为， 联立方程，消去y，得， 所以，， 所以，， 所以直线的倾斜角为或. （2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为，（k存在，A不为原点）， 联立方程，消去x得，， ，即，所以，即， 所以直线PA的方程为，即，同理可得，直线PB方程为：， 因为点在直线PA，PB上，所以，， 所以直线AB的方程为： 设直线PD的方程为， 联立方程，消去x，得， 得，，联立方程，消去x，得， 由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部， 所以.    【变式训练4-7】已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 当平行于轴时，设直线的方程为，设点、， ，解得，所以，抛物线的方程为. （2）设直线的方程为，设点、， 联立可得，由韦达定理可得，， 又因为直线的方程为，    将代入直线的方程可得，可得，即点， 所以，，因为，则， 所以，直线的方程为， 联立可得，则， 故，则， 由的中点为，可得，故、、三点共线． 【变式训练4-8】已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【解析】（1）由题可知焦点的坐标为，所以由抛物线的定义可知， 即，所以抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， ，，由，得， 则，即或，.因为，所以， 所以直线的方程为，由，得， 设，则，得，设，同理可得， 则 ，得，， 故直线的方程为或.    题型05：面积问题 （1） 三角形面积 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】(1)抛物线，焦点坐标； (2) 【详解】（1）由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； （2） 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 【典型例题2】设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【答案】(1) (2)16 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求点到直线的距离、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用点到直线的距离求出参数p的值，即得答案； （2）设出AB，AC的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合，可求出点A，B，C的坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，F点到的距离为，故（舍去）或， 故的方程为. （2）由题意知直线AB的斜率必存在， 设. 联立，有，，故， 联立，有，，故， 故 由有，则， 故. 注意到轴，故的面积为. 【变式训练5-1-1】点为抛物线上一点，为其焦点，已知． (1)求与的值； (2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积． 【解析】（1）由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为. 又在抛物线上，所以，故，． （2）设过M点的方程为， 由，消去得，即， 令，解得，所以切线方程为. 令，得，即,又，，.      【变式训练5-1-2】在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 【变式训练5-1-3】已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 【变式训练5-1-4】如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．    (1)求抛物线C的方程； (2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积． 【答案】(1) (2)64 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果； （2）根据题意联立方程结合韦达定理求点Q的坐标，根据切线结合判别式求相应参数值，进而可得结果. 【详解】（1）由题意可知：抛物线C的焦点， 将代入抛物线C的方程得：， 且，则， 因为△OAF的面积为，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）可得抛物线C的方程为，焦点， 设直线， 联立方程，消去x得， 则，可得， 因为点在抛物线上，则，即， 所以直线的方程为， 联立方程，消去x得， 可得，即， 则，即， 因为，可设， 代入得，即， 所以， 联立方程，消去x得， 因为为抛物线C的切线，则， 整理得，解得， 又因为，， 可得， 即，， 可得， 点到的距离， 所以△MNQ的面积. 【变式训练5-1-5】已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可； （3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，， ∴. （2）若斜率，则直线的方程为， 由消去，整理得，， ∵,，∴，， 由抛物线的定义，. 到直线即的距离为， ∴的面积. （3）直线的方程为，（易知） 由消去，整理得，， ∵,，∴，， ∴中点， 其中，，∴， ∵是等腰三角形且，∴， ∴，解得. ∴实数的值为或. （2） 四边形面积 【典型例题】已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵，∴ 又∵ ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 【变式训练5-2-1】如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标； （2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论； （3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案. 【详解】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为； （2）证明：设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； （3）由（2），直线MN与x轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 . 如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形， 结合，则，. 因，则，结合， 则，又M为AB中点，则N为DE中点. 则， 则四边形的面积. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积. （3） 面积的最值范围 【典型例题1】已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B． (1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标； (2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值． 【解析】（1）当的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：， 由题意可得直线的方程为：，即， 代入抛物线的方程可得解得（舍）或6， 所以，的坐标为 （2）法一：设直线的方程：，即， 设直线与轴的交点为，，，由 可得，，， 因为为线段的中点，所以 令，，即，所以 则的面积， 把代入上式，， 当时，，所以的面积的最大值为2． （2）法二：。可得，，， 因为为线段的中点，所以，设点到直线的距离为，则， ，把代入上式，， 所以，当时，的面积的最大值为2 【典型例题2】在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （ⅰ）设AB中点为M，求证：轴； （ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因点E到的距离等于点E到直线的距离， 故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 则动点E的轨迹方程为. （2）（ⅰ）设，， 因为PA，PB的中点均在C上，所以， 故可以看成方程即的两个不相等的实数根， 由韦达定理，可得，即点M的横坐标与点的横坐标相同， 故轴； （ii）由（i）可知， 且， 仿（i），设AB中点为M，则轴，于是， ， ， 故的面积， 因为，所以， 因此面积的取值范围是. 【变式训练5-3-1】已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为（）， ，抛物线经过点，，， 抛物线的标准方程为. （2）设，由（1）得， 因为动点满足，点， 则， 化简得，即. 所以点的轨迹方程为. （3） 设，，， 由得，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 点在该切线上，， 同理可得， 直线的方程为， 由得，，， ， 点到直线的距离， 面积， 由（2）点满足方程， 则，，， ∴ 面积， 当时，面积取得最大值. 【变式训练5-3-2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    （4） 面积相关运算 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点． （1）设为抛物线上的动点，求的取值范围； （2）记的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设， 则， 因此， 而，即有，则当，即时，， 当，即时，， 所以的取值范围是. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去并整理得，显然， 设，，则，即， 令为点，于是的面积为， 的面积为， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【典型例题2】已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，得，则， 故椭圆的方程为. （2）    由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. （3）由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程为：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 【变式训练5-4-1】已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 【变式训练5-4-2】已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【解析】（1）设过点F且斜率为的直线方程为，代入 得，若， 则， 所以，则， 即抛物线C的方程为. （2）当直线垂直于x轴时，与相似，所以. 当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为 设 由得， 所以，且，则， 所以， 综上，＝. 【变式训练5-4-3】已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）∵， ∴，则； （2）设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 【变式训练5-4-4】在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解； （2）首先根据坐标表示直线和直线方程，并求点的坐标，并利用坐标表示，转化为二次函数求最值； 【详解】（1）设直线方程为，即，，. 联立方程组，整理得，所以， 因为直线，的斜率之和为0，即， 而，同理， 所以，整理得， 所以，解得， 所以抛物线的方程为 （2）由（1）可知，，，，点， 所以，. 直线的方程为，令，解得， 所以，同理. 所以， 且，其中为点到直线的距离， 所以 ， 因为，都在轴下方，所以，即， 所以， 所以当且仅当时，取得最大值. （5） 根据面积求参数 【典型例题1】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； （2）①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 【典型例题2】已知点在抛物线上，直线过点与的焦点，交于点 . (1)求抛物线的方程与点的坐标； (2)若动点在上，且 . ① 求面积的最大值； ②若，直线交直线于点，直线交直线于点，求使得与面积相等的点的坐标. 【答案】(1)抛物线的方程为， (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线的交点坐标、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标； （2）①求出，利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得结果； ②求出直线、的方程，进而可求出点、的坐标，求出、的表达式，根据求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的标准方程为，易知点， 设点，则，所以，直线的方程为，即， 联立可得，由韦达定理可得，可得，即点. （2）由（1）可知，，且直线的方程为， 易知，即点， 所以，点到直线的距离为， 因为，则， 则， 当且仅当时，取最大值， 所以，，即面积的最大值为； ②如下图所示： 由①可知，， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， 因为，则，可得， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得，解得， 故使得和的点的坐标为. 【变式训练5-5-1】已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足. （1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点； （2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率. 【答案】（1），证明见解析；（2） 【解析】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得， 所以抛物线方程为， 设直线的方程为：， 联立方程，消去y得， 由韦达定理得：， 根据抛物线定义：，可得， 此时，解得或， 设的中点坐标为，则， 可得的垂直平分线方程为：， 将代入整理得：， 故的垂直平分线过定点. （2）由（1）可得， 且点到直线的距离， 则的面积为， 可得， 设，设，则 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减 所以当时，的面积取最大值，此时，即. 【变式训练5-5-2】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； （2）①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 【变式训练5-5-3】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)设，根据圆与y轴相切，可得，化简即可； (2)由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，与抛物线联立，得韦达定理，设直线的倾斜角为，分别表示出和，求出的表达式，设，则，利用导数求最值即可求解. 【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为， 根据圆与y轴相切，可得， 化简得， 所以C的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线：，， 联立， 所以， 设直线的倾斜角为，则 所以， 所以， ， 设，则， 所以， 当在上单调递增，当在上单调递减， 所以当时，即时，面积最小，此时， 故直线的方程为：，即或. 【变式训练5-5-4】在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）. (1)若直线的斜率为，求的面积. (2)若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点）， （i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值； （ii）设的面积分别为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）为定值0  （ii）或. 【详解】（1）∵，∴， 联立，整理得， 设，则， 所以， 原点到直线的距离， ∴.      （2）（i）设， ∵四点共圆，设该圆的方程为， 联立，则， 即， ∴是方程的三个根， 则， ∵， ∴， ∴的重心的横坐标为，为定值.    （ii）显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 原点到直线的距离，点到直线的距离， ∵，， ∴， 联立方程组，整理得， ∴，， 由（i），∴ 所以， 即，∴，即， 即直线或. ∴直线的直线方程为：或. 【变式训练5-5-5】已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（） (3) 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）首先求出点坐标，再由焦半径公式得到方程，求出，即可得解； （2）设，根据三点共线求出，设，由，得，，代入抛物线方程，即可得解； （3）推导可得，，设，，由面积公式及不等关系得到，设，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为，所以. 解得（其中舍去）.所以的方程为. （2）由题意，知. 设，则. 因为P，，F三点共线，所以，即. 设，由，得，， 所以，即（）. 所以的轨迹方程（）. （3）因为，所以. 因为， 所以.同理. 设，， 则， . 所以，解得. 又，设，有.于是， 解得，即的取值范围是. 【变式训练5-5-6】已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为； (2)相切，证明见详解； (3). 【分析】（1）根据抛物线性质直接可得； （2）设出直线，的方程，联立抛物线方程求出坐标，从而得到直线的方程，利用圆心到直线的距离与半径关系可得； （3）根据面积公式可得，进而可得，直线方程分别联立抛物线方程和圆方程，利用韦达定理建立和的关系，结合判别式求出范围，然后可得范围. 【详解】（1）由抛物线方程可知，抛物线开口向上，其中， 所以抛物线焦点为，准线方程为. （2）直线与圆相切，证明如下： 易知直线，的斜率存在，圆的圆心为，半径， 设过点与圆相切的直线方程为，即 则，解得， 不妨记直线方程为，直线方程为， 设， 联立得，则，即， 所以， 联立得，则，即， 所以， 所以，所以的方程为， 整理得， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切. （3）记原点到直线的距离为， 因为，所以，即，所以， 所以线段和的中点重合， 联立得，则，， 联立得（*）， 则，， 因为线段和的中点重合，所以， 因为，所以，因为，所以， 又，所以，得， 由（*）整理得，将代入整理得： ，解得， 综上，，所以， 即m的取值范围为. 【变式训练5-5-7】已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N． （1）求抛物线C的方程： （2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为准线方程为，所以，解得，抛物线C的方程为． （2）设，，则， 对求导可得， 故过M的切线方程为，即， 故， 故MP：， 同理可得NP：， 因为两切线均经过， 所以 ，均在直线上， 可知MN：，当得，，解得， 则MN与y轴的交点坐标为． 联立，整理得， 由韦达定理，，， 则， 又因为在圆，则， 代入可得， ， 因为，所以，． 构造，，， 易知在上恒成立，故在上单调递增， 当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为． 【变式训练5-5-8】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值， 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； （3）令，则，即，求出，进而得出，根据导数即可求解最小值及点的坐标． 【详解】（1）点满足，则，解得． 故，准线方程：． （2）如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． 题型06：抛物线中的定点问题 （一）抛物向上两个动点，满足角度，垂直，对称等关系，衍生直线过定点 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点. 【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为． （2）设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则， 代入可得：，故． 直线的方程为，与的方程联立得． 设，则， ， 所以， 所以． 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，的方程为， 由抛物线的对称性，可知定点在轴上， 令，则， 所以，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式训练6-1-1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【详解】（1）由题意得：，得， 所以标准方程为， （2）设直线l的方程为，， 联立方程，整理得， 所以， 设， 又，所以，即 ，所以，得， 同理， 又， 所以，即， ，又， 所以， 所以直线过定点． 【变式训练6-1-2】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. 【变式训练6-1-3】已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． (1)求W的方程． (2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． (3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)证明见详解，定点坐标为 【详解】（1）联立，整理得， 因为与相切，所以，解得或（舍去）， 故的方程为． （2）如图所示，    由（1）可知，因为，所以的方程为， 设，，联立， 整理得，则，， ． （3）如图所示，    易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 由得，所以，， 因为直线AQ，BQ关于轴对称，所以， 即，所以， 所以，所以， 解得，所以直线的方程为，直线过定点． 【变式训练6-1-4】已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. （2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以.    （3）证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 【变式训练6-1-5】已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 【变式训练6-1-6】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线上的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 【变式训练6-1-7】已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，      由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为； （2）（Ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设方程为，并记点，    联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （Ⅱ）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 【变式训练6-1-8】已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）列出平均数的等式计算出的值就是的值，从而得到的标准方程； （2）将点代入的方程得到，即点.设，，其中，，且.由得到，利用斜率公式，整理，得.求出直线的方程，即可得到直线恒过定点. 【详解】（1）由题意，得，， 则①，②， ②-①，得，即， 所以的标准方程为. （2）将点代入的方程，得，所以，即点. 设，，其中，，且. 因为，所以， 即， 整理，得，所以. 直线的方程为， 即， 所以当时，，所以直线恒过定点. 【变式训练6-1-9】已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点的坐标为 【分析】（1）根据圆心到准线的距离得圆半径，再由圆周长建立方程求出p即可； （2）设，求出直线AB的方程，与联立求出N点坐标，点斜式求出直线BN方程，可得出直线所过定点. (1) 设外接圆的半径为r，圆心为O 易知圆心O在线段的中垂线上， 且圆心到准线的距离， 所以由，解得， 所以抛物线C的方程为：； (2) 设，由题意知，， 则直线的方程：，即， 与联立：，得， 由题意知：，      ∴ 则直线的方程：， 所以当时恒成立， 所以直线恒过定点 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 【变式训练6-2-1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得，，点P的横坐标为1，且，则， ∴抛物线的方程为： （2）证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为，则，化简得． 所以两点的横坐标为，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得，， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足， 所以，即，过定点. 综上所述，直线过定点． 【变式训练6-2-2】已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见详解，定点坐标为； (3)证明见详解，定点坐标为. 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. （3）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 【变式训练6-2-3】已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线的距离小， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义可知，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线， 即点的轨迹方程为； （2）（i）设、， ，消去，有， ，，， 则， 即 ， 解得，则直线，故直线过定点； （ii）点到直线的距离， ， 则， 化简得，则，又直线的斜率大于，则，故， 则直线的方程为，即. 【变式训练6-2-4】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切． (1)求动圆的圆心所在轨迹的方程； (2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由题意，作图，根据圆切线的性质，结合抛物线的定义，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，代入，可得答案. 【详解】（1）设点，圆与直线的切点为， 因为动圆过点，且与直线相切，则， 所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线， 则动圆的圆心轨迹的方程为． （2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 设直线的方程为 ，消去可得：， 则， 因为为抛物线上一点，所以，解得， ， 解得，代入， 解得或， 结合点均不与点重合，则，则，解得， 故且或， 所以直线即 所以直线恒过定点. 【变式训练6-2-5】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)恒过定点. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值作答. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答. 【详解】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点， 又，因此，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，， 由消去x并整理得，，即， 于是，，， 由，得，则有， 即，因此， 则，解得，满足，直线过定点， 所以直线恒过定点.    【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 【变式训练6-2-6】已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 【变式训练6-2-7】已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； （2）（i）直线，代入， 消去，可得，则， 由韦达定理，则，得证； （ii）， 则， 即，因，则， 此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 【变式训练6-2-8】已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【变式训练6-2-9】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点． 【答案】(1)； (2)（i）4；（ⅱ）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）设，利用向量的坐标运算列式求出轨迹方程. （2）（i）设出直线方程，与的方程联立求出点的坐标，进而求得的坐标，再则已知求出三角形面积的关系，借助基本不等式求出最小值；（ⅱ）由（i）中信息，求出直线的方程，结合已知求得直线所过定点即得. 【详解】（1）设，，， 由，得，解得， 由，得，则，即， 所以点M的轨迹的方程为. （2）（i）设直线方程为，设， 由消去得，则， ，， 直线方程为，同理， 当时， ，由，得， 因此的面积， 当且仅当且时取等号， 所以面积的最小值为4.    （ⅱ）由（i）得直线的斜率， 直线的方程，即， 又，则，则有， 即，由，得， 所以直线ST过定点. （三）圆过定点 【典型例题】已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 【变式训练6-3-1】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解. （2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得， 故抛物线的方程为. （2）   设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. （四）切线相关定点 【典型例题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练6-4-1】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出的方程，得到点的坐标，可得答案； （3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）设抛物线的焦点， 则F与的中点位于直线上， 所以解得，所以抛物线E的方程为； （2） 因为直线AC过点，显然直线斜率存在，设直线， 联立，解得， 由，可得， 通过对求导可得， 所以在点A处的切线方程为，又， 整理可得， 所以在点C处的切线方程为， 相减可得， 所以，代入或的直线方程， ， 所以点Q在定直线上； （3）根据题意，设切点， 此时，即斜率为， 同理可得，即斜率为， ，即斜率为， 由题意知等于的倾斜角减去的倾斜角，等于倾斜角减去的倾斜角， 且是以MQ为底的等腰三角形，即， 根据正切的差角公式有，， 整理得①， 再联立与的方程，得， 设PC方程为，其中， 所以，对化简代入①式， 其中 ， 所以，则直线PC过定点. 【变式训练6-4-2】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出的方程，得到点的坐标，可得答案； （3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）设抛物线的焦点， 则F与的中点位于直线上， 所以解得，所以抛物线E的方程为； （2） 因为直线AC过点，显然直线斜率存在，设直线， 联立，解得， 由，可得， 通过对求导可得， 所以在点A处的切线方程为，又， 整理可得， 所以在点C处的切线方程为， 相减可得， 所以，代入或的直线方程， ， 所以点Q在定直线上； （3）根据题意，设切点， 此时，即斜率为， 同理可得，即斜率为， ，即斜率为， 由题意知等于的倾斜角减去的倾斜角，等于倾斜角减去的倾斜角， 且是以MQ为底的等腰三角形，即， 根据正切的差角公式有，， 整理得①， 再联立与的方程，得， 设PC方程为，其中， 所以，对化简代入①式， 其中 ， 所以，则直线PC过定点. （五）参数，坐标变换类过定点 【典型例题】已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)会，直线过点. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦 【分析】（1）设动圆圆心为，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程； （2）设，应用点差法得，结合已知即可得； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，设并联立，应用韦达定理及中点坐标求出坐标，同理求坐标，分类讨论参数判断直线是否过定点即可. 【详解】（1）设动圆圆心为，则有，整理得，故曲线E的方程； （2）设，则，可得， 所以，即，故直线斜率为； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则为的焦点， 由题意，直线的斜率都存在且不为0，设，联立， 所以，设，且， 所以，，则，， 所以，同理得， 当，则，则，即恒过定点； 当，则，，显然直线过点； 当，则，，显然直线过点； 综上，直线过定点. 【变式训练6-5-1】如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)直线恒过点． 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【变式训练6-5-2】已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 题型07：抛物线中的定直线问题 【典型例题1】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【详解】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 【典型例题2】已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，定直线为 【详解】（1）依题意，抛物线方程形如，代入点，可得，即， 故抛物线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设，代入，整理得， 显然，设，依题意，， 且，由易得， 因，则，可得，代入①，得， 再代入②，可得，解得. 而当时，点的横坐标，不在第一象限，且距离,故舍去. 故直线的方程为. （ii）由求导得，故切点为的切线方程为，即③， 同理可得④，由，可得， 即，因，故可得， 即点在直线上.    【变式训练7-1】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)由题意，根据所给的几何关系以及抛物线的性质，可以求解； (2)分别设A，B，M，N，T的坐标，利用其中的几何关系可以证明. 【详解】（1）由可知，抛物线C的准线为：， 点到准线的距离为，根据抛物线定义：，， 抛物线C的方程为； （2） 设，，，，，． ，， 由，，得，即， 同理， 由得…①， 由得…②， ①②两式相加得， 即， ，，点T在定直线上． 综上，抛物线C的方程为. 【变式训练7-2】已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【答案】（1）；；（2）定直线，理由见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组，结合，求得的值，即可得出椭圆的标准方程，求得抛物线准线方程，即可得的坐标； （2）设，，直线，，联立直线与椭圆的方程，求得，，得到，再由直线与的方程，求得交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）由题意可得 解得， 即椭圆的方程为：， 又由抛物线，可得准线方程为，所以． （2）设，，，， 由，整理得， 所以，， 则即， 直线为，即①， 直线为，即②， ②-①得：，即 所以，解得：， 所以直线与的交点恒在定直线上． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大 【变式训练7-3】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】（1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【变式训练7-4】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，，将点代入，即可求解； （2）设，，直线，与抛物线方程联立，结合及中点的纵坐标为，即可求解； （3）设过点的切线方程为，与联立，由得出，进而得出过点的切线方程，进而得出，同理得出，写出的方程，设，切线，交于点，得出的坐标，点在直线上得出，同理设直线与直线交于点，则可证明，两点重合，进而证明结论． 【详解】（1）由题意，设，， 将代入得，，解得， 所以的标准方程为． （2）设，，直线， 联立直线与抛物线的方程，得方程组， 消去，得，判别式，即． ，，，， 由，，得， 所以，中点的纵坐标为，则， 所以，代入，解得或， 当时，点在直线上，不合题意，舍去， 故直线的方程为． （3）证明：设过点的切线方程为， 与联立，整理得， ， 得，即（或，，过点的切线的斜率）， 即过点的切线方程为，即， 令，得， 同理可得过点的切线方程为，令，得， 直线的方程为，直线的方程为． 设，切线，交于点，得，， 解得，，点在直线上，则， 设直线与直线交于点，， 同理，设直线与直线交于点，， 由，得，则，两点重合， 即直线与直线的交点在定直线上． 【变式训练7-5】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【详解】（1）设曲线上的点， 由题可知到的距离与到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 的方程为：. （2）设：过的斜率为的直线方程为：， ①由消可得. 令，， ，， 由题可知：若，即， 即得， 消去，得：， ， 所求直线的方程为：. 证明②由题知：，， 令，，设与相交于点. 方程为：， 方程为：， 相减得：， 代入相加得： ， ， ，， ､的交点恒在一条定直线上. 【变式训练7-6】已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②如下图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 【变式训练7-7】已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析 【详解】（1）根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； （2）（ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ） 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 【变式训练7-8】已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 【变式训练7-9】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 【变式训练7-10】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意，得，则，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设，，， 直线的方程为. 由得， ，. 由，，得，， 故，化简得. 又，故， 化简得， 即，则或. 当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符. 故点在定直线上. 题型08：定值问题 （1） 斜率定值 【典型例题】已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程. (2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】（1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式训练8-1-1】已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. （1）求的方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意知，设点的坐标为， 则直线的斜率为． 因为直线的斜率为，所以，即， 所以的面积，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为． （2）依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的斜率为，点，，． 则直线的方程为， 由消去整理得， 由，所以且， ，是方程的两个根， ，， 依题意，直线的斜率为，同理可得， ， ， 所以直线的斜率为定值． （2） 斜率和，积定值 【典型例题1】已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【变式训练8-2-1】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【变式训练8-2-2】已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为． (2)①证明见解析，；②证明见解析 【详解】（1）抛物线的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为． （2）①由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，， 显然直线不垂直于轴，也不与轴重合，故可设其方程为， ， 联立直线与抛物线，，消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得 ， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上； ②由，可设，结合，得 ． 而， 故. 【变式训练8-2-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由抛物线的方程可知其准线方程为， 如图，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得， 即，解得， 所以抛物线的方程为.    （2）（i）当时，，切线斜率存在，设处的切线方程为， 由消去得. 因为切线与抛物线只有一个交点，且， 所以，即，① 因为在抛物线上，所以，即，代入①得 ，整理得，所以， 所以切线方程为，即， 将代入得，即； 当时，，即为原点，由图知切线方程为，满足. 综上，抛物线上点处的切线方程为. （ii）如图，连接，设， 由（i）知两条切线的方程分别为， 又两条切线的交点为，即的坐标均满足两条切线方程， 所以，所以的坐标均满足方程，即直线的方程为. 由消去得，所以， 由（i）知两条切线的斜率分别为， 所以，即直线的斜率之积为常数． （三）距离及距离关系定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式训练8-3-1】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，3 【分析】（1）利用图中的几何关系以及抛物线的定义求解； （2）直线的方程为以及点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立由韦达定理以及得到与的关系式，利用直线与抛物线相切求出直线的方程，用点到直线的距离公式即可求出点到直线与到直线的距离之比. 【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点， 由题得，所以， 因为，所以△是等边三角形， 因为是的中点，所以， 故， 所以，，所以，所以，即.    （2）由（1）可知抛物线的方程是， 设直线的方程为，， 因为，所以， 即，即. 又，所以，故. 联立，消去，得，其中， 则， 所以，所以. 设点到直线和直线的距离分别为， 则由得， 所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3. 【点睛】解决定值问题的途径就是用部分量去表示所求的量，本题就是利用韦达定理及其已知条件先找到部分量之间的关系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之间的关系消元,即可得到定值. 【变式训练8-3-2】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为    （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值      【变式训练8-3-3】在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． (1)求的轨迹的方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2， 则动点到点的距离与到直线的距离相等， 故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为 ， 则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ； （2）由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ， 由 ，消去y得： ， ， 设 ，则， 故 ，同理可求得，所以直线AB的斜率， 故直线AB的方程为：， 故直线AB过定点 ，设该点为,又因为，所以点D在以EF为直径的圆上， 由于 , ,故以EF为直径的圆的方程为， 故存在定点，使得线段的长度为定值2. 【变式训练8-3-4】已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． (1)求曲线的方程； (2)设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用抛物线上的点满足的条件列方程，求解即得； （2）（i）先确定的圆心为，设直线方程为并与联立，写出韦达定理，根据抛物线定义求得和，继而可证得；（ii）将直线的方程与直线联立求得，同理得，求得，利用换元后借助于二次函数的性质即可求出的最小值. 【详解】（1）因，设，则， 即，化简得：，解得或（舍）， 抛物线的方程为． （2）（i）由得，圆心，半径为1， 抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，设直线方程为，设点、， 联立方程，消去并整理得， ，由韦达定理得，． 由抛物线的定义可知，，，． ， 即为定值1； （ii）由（i）可知：． ，则直线的方程为， 由可得， 同理直线的方程为，由可得， ， 设，，， 当，即，即时，的最小值是． （四）面积定值 【典型例题】已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. (1)求抛物线C的方程； (2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； (3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【详解】（1）由题意得，则. ∴. （2）设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵的角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. （3），， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 【变式训练8-4-1】中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)过定点， 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. ②设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. （五）参数定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 【典型例题2】如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【变式训练8-5-1】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【变式训练8-5-2】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明见解析 (3)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. （3）设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 【变式训练8-5-3】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. （六）向量定值 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【变式训练8-6-1】如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、锥体体积的有关计算、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． （2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 题型09：斜率问题 【典型例题】设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程； （2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 又P是C上一点， 所以， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）①设切点坐标为， 因为，所以，切线的斜率为， 所以切线方程为， 将代入上式，得， 所以， 所以切点坐标为． ②由①得，直线的斜率都存在， 要证：直线的倾斜角之和为， 只要证明：直线的斜率之和为． 设直线的方程为，，，, 则，， 由得， 所以，，，即， 所以， 即直线的倾斜角之和为． 【变式训练9-1】已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线得焦半径公式求出的值即可； （2）依题写出直线方程，与抛物线方程联立求出点，又由平行于轴，可求得，写出直线的方程，易得其经过点. 【详解】（1）由， 得，即抛物线的焦准距为2. （2） 如图，由（1）知，直线方程为， 由解得，即得， 因轴，故在中令，解得，即得， 所以直线方程为， 焦点在直线上，即直线经过点. 【变式训练9-2】已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）由点在抛物线上及，列出方程组求解即可； （2）设直线方程为，，由韦达定理及直线斜率公式代入化简计算即可． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以， 因为，所以，联立，解得， 所以抛物线的方程为． （2）由在抛物线上，得，即， 显然，过点的直线斜率不为0，故设直线方程为，， 由，得， ，或， ，，， ，， 所以 ， 故为定值． 【变式训练9-3】已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 题型10：抛物线中的最值范围问题 【典型例题1】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. 方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. （2）设出直线方程，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得k与n的关系式，再由弦长公式得到弦长关于k的函数，转化为求关于k的函数在固定区间上的最大值（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转化为二次函数在固定区间上的最大值）. 【详解】（1）方法1：∵抛物线的焦点在y轴上且过点，点M的纵坐标为正数， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， 由抛物线的定义知，，解得： ∴抛物线C的方程为. 方法2：∵抛物线的焦点在y轴上， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， ∴由抛物线的定义知， ∴抛物线C的方程为. （2）设直线l方程为：，，， 则，，， ∴，  ① 又∵AB中点的纵坐标为2， ∴， ② ∴由①②得：， ∴，解得：， ， ∴ 方法1：∵， ∴，当且仅当即时去等号， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 方法2：令，∵，∴， 则，， 设，，则对称轴为， ∴在上单增，在上单减， ∴，此时， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 【典型例题2】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程. （2）设出的坐标，求得直线、直线的方程，结合点坐标证得直线过定点.求得当l的倾斜角为时直线的方程，结合点到直线的距离公式以及函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，因为离心率为，∴， ， ∴,∴椭圆， ，所以抛物线. （2）设，则， ， ∵， ∴， 同理可得， 把代入l得，所以， 所以直线过定点. 当l的倾斜为时，∴ ∴ ∴且， ∴， ， 令则，， ∵在上单调递减，∴. 【变式训练10-1】已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，可设，得，利用导数求出切线的斜率结合斜率公式求出得解； （2）（ⅰ）设方程为，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，得到，利用建立关系式求解；（ⅱ）法一，设出直线直线，，的方程求出点的坐标，利用斜率公式求解得证；法二，利用极点极线法，求出点关于曲线的极线的方程，得证. 【详解】（1）由题知，轴，设切点，则， 由，则，所以， ，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（ⅰ）设方程为，，， 由，整理得， 于是，，，. 因为， ， 即， 又，所以. 于是，， 所以当时，的最小值为. （ⅱ）法一，由（ⅰ）知直线的方程为，，， 设，，又， 所以直线方程为，代入抛物线方程可得. 又直线的斜率， 设直线的方程为，直线的方程为. 将直线的方程代入直线的方程，可得，， 于是可得.同理. 所以直线的斜率 . 所以. 法二（极点极线） 因为， 所以点关于曲线的极线的方程为， 即，又因为直线的斜率， 所以，于是. 【变式训练10-2】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）设过的直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可 （1） 由焦半径公式有，解得，故抛物线，故， （2） 显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.. 设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得. 设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号 故的最大值为 【变式训练10-3】已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解. （2）设点，点，点，通过点到直线、的距离为1，得到是关于的方程的两个不等实根.从而得到根与系数的关系，从而求出面积的最小值，即可求出周长的最小值. 【详解】（1）将代入抛物线方程，得. 因为的面积为， 所以，解得 所以抛物线的方程为. （2）设点，点，点， 则直线的方程为，即. 由原点到直线的距离为1，可得， 故. 由条件知，上式化简得. 同理有. 所以是关于的方程的两个不等实根. 由根与系数的关系可得. 所以. 因为，所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 令，则. 因为， 上述两个不等式都当且仅当时取等号，所以， 故面积的最小值为. 因为原点到的三边距离都等于1，所以， 所以的周长为， 所以的周长的最小值为. 【变式训练10-4】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）设过的直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可 （1） 由焦半径公式有，解得，故抛物线，故， （2） 显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.. 设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得. 设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号 故的最大值为 【变式训练10-5】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【解析】（1）由题知，∴，∴，抛物线的方程为． （2）设直线的方程为，设点，， 由方程组得:，∴， 即，且，， ∴， ，∵以为直径的圆经过点，∴，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴或，若， 直线：过点，不合题意，舍去．， ∴．则， 所以当时，最小，且最小值为11. 【变式训练10-6】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； 设，直线， 由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. 【变式训练10-7】已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 【解析】（1）依题意得：，∴，∴， 所求抛物线的方程为； （2）抛物线的方程为，即∴， 设，，则切线PA，PB的斜率分别为，. 所以切线PA：，∴，又，， 同理可得切线PB的方程为， 因为切线PA，PB均过点，所以，， 所以，为方程的两组解. 所以直线AB的方程为. 联立方程，消去x整理得， ∴，∴. ∴，，由抛物线定义可知，， 所以，∵， ∴，令， ∴原式， 即原式的最大值. 【变式训练10-8】如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 【解析】（1）将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线； （2）证明：设，与抛物线方程联立可得： ，∴， 因为直线PA，PB的倾斜角互补，用代k可得： 因此，，即. （3）解：由（2）可知，，， 因此， 到直线AB的距离，所以 ∵， ∴， 令，由，得 ∴ 当且仅当时取等号.所以的最大值为. 【变式训练10-9】平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、基本不等式求和的最小值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. （2）如图： 设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取等号. 则. . 【变式训练10-10】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可； （2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可． 【解析】 (1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图， 由可得：，所以， 所以，代入直线方程得：，又当时，由得， 在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：； (2)由（1）可知直线：，由   得：， 直线与抛物线交于，两点，即 则，   ， ，又， 令， ，，由得（负根舍去）， 知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值， 时，. 【变式训练10-11】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【答案】(1)；(2). 【分析】 （1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解； （2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围. 【解析】(1)由题意可设直线的方程为，则， 联立，可得， ，可得，① 设点、，由韦达定理可得，， 设点，则，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，则， 代入①可得，可得，解得， 因此.因此，点的纵坐标的取值范围是. (2)设点，则点到直线的距离为， ，故的面积，② 将代入②得， 令，记，则，则， 因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点， 所以，，可得，③，因为点在椭圆的左上方，则，④ 由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是. 【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【变式训练10-12】已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程； （2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【解析】 (1)由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得， 所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为． (2)由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为， 因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为， 设，所以，所以， 又，所以，即得， 设直线的方程为，即， 联立方程组，所以，所以，即， 由根据与系数的关系得， 则 ，又由点到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以，所以， 令，可得，令，可得， 当时，；当时，， 所以当时，取得最大值，即有最大值为. 【变式训练10-13】已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、． (1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】 （1）问题需求的取值范围，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化为求解二次函数的值域； （2）将用A，B两点的横坐标表示，从而结合韦达定理建立函数关系式，由满足的不等关系求解． 【解析】 (1)联立消去y，得，设，，则，， ∴； (2)由，由（1）知：， 由得：，解得或，又，故， 由得：，解得， ∴，故的取值范围为 【变式训练10-14】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值， 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； （3）令，则，即，求出，进而得出，根据导数即可求解最小值及点的坐标． 【详解】（1）点满足，则，解得． 故，准线方程：． （2）如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． 【变式训练10-15】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【解析】（1）由题意可设直线的方程为，则， 联立可得， ，可得，① 设点、，由韦达定理可得，， 设点，则，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，则， 代入①可得，可得，解得， 因此.因此，点的纵坐标的取值范围是. （2）解：设点，则点到直线的距离为， ，故的面积，② 将代入②得， 令，记，则，则， 因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点， 所以，，可得，③ 因为点在椭圆的左上方，则，④ 由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是. 【变式训练10-16】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式训练10-17】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）0；（ii）48 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【详解】（1）设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. （2）设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. 【变式训练10-18】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案. 【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. （2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 【变式训练10-19】设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程； （2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解； （3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； （2）设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； （3）因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 【变式训练10-20】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【答案】(1) (2) 或 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、直线与抛物线交点相关问题 【分析】(1) 设，根据圆与y轴相切，可得，化简即可； (2) 由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，与抛物线联立，得韦达定理，设直线的倾斜角为，分别表示出和，求出的表达式，设，则 ，利用导数求最值即可求解. 【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为， 根据圆与y轴相切，可得， 化简得 ， 所以C的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线：，， 联立， 所以， 设直线的倾斜角为，则 所以， 所以 ， ， 设，则 ， 所以， 当在上单调递增，当在上单调递减， 所以当时，即时，面积最小，此时， 故直线的方程为： ，即 或.    【变式训练10-21】过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. (1)求直线的斜率； (2)设直线的方向向量为，计算的值； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)16 【难度】0.15 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数、求抛物线的切线方程 【分析】（1）设直线：，联立方程利用韦达定理可得，设切线，联立方程根据运算求解； （2）根据题意可知的方程为，联立方程利用韦达定理求点，结合向量的坐标运算求解； （3）可知为面积的2倍，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设为， 联立方程，消去x得， 则，即，抛物线方程为， 设，切线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以直线的斜率. （2）由（1）可知：，的方程为， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，即， 可得，即， 则可取，则，可得， 则 ， 所以 （3）由（2）知的纵坐标相等，故为面积的2倍， 因为的面积为 ， 当且仅当时取得等号. 所以面积的最小值为16. 【变式训练10-22】在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）的取值范围为 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）由题意可得动点Q到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可求轨迹方程； （2）（ⅰ）设，利用点在曲线上，可得，同理求得，结合已知可得，进而结合已知可得，结合直线的方程可求定点；（ⅱ）设，且，由题意可得，利用换元法可求得的取值的范围. 【详解】（1）依题意可知动点Q到点的距离等于到直线的距离， 所以动点Q的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以C的方程为； （2）（ⅰ）设， 因为在曲线上，所以，两式相减得：， 则理可得，， 因为为直角三角形，所以， 所以，即， 则， 又因为的重心G在x轴上，则有，即， 所以，直线的方程为， 所以直线的方程为，所以直线过定点； （ⅱ）设，且， 因为是的重心，所以， 不妨设，所以，， 所以，又因为， 所以，令，所以， 又因为在的下方，所以，即，即， 令，即， 设，则在为增函数， 所以，即. 【变式训练10-23】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的标准方程． （2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知，所以的取值范围为． 【变式训练10-24】已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G. (1)若直线的斜率为求直线l的方程; (2)设点，若恒为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 设出直线方程，联立抛物线方程，表达出G点坐标，由直线OG的斜率列出方程，求出直线方程； （2）将恒为锐角转化为，等价于对任意的恒成立，根据二次函数根的分布，列出不等式组，求出的取值范围. 【解析】 (1)由题意得， 设直线的方程为，线段的中点 ． 联立方程，整理得：， 由韦达定理得：． ，即．∵直线的斜率为，，解得：或， ∴直线l的方程为：或． (2)为锐角，等价于．设，则， 故恒成立． 令，则，原式等价于对任意的恒成立， 即 对任意的恒成立．令 ． ①，解得：； ②，解得：．又 ，故． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】圆锥曲线中求解取值范围的题目，通常要设出直线，与圆锥曲线联立，根据两根之和与两根之积进行代入化简，最后利用基本不等式，二次函数根的分布或导函数等进行求解. 【变式训练10-25】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在． 【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以； （2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得，所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即，所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 【变式训练10-26】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)设点，根据题意和抛物线的定义求出p的值即可； (2)设点、、、，根据两点求直线斜率公式可得的表达式，结合题意列出关于的方程，求出，进而得出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可. 【详解】（1）设点，∵，∴， ∴，∴， 所以抛物线E的标准方程为. （2）(i)设点，，，， 则， 同理：，，. 又因为，所以，即， 所以，即，∴. （ii）由（i）得：代入可得：， 所以， 点O到直线AB的距离为. ∴. 同理可求得：. ∴， ∴， ， ∵，∴. 综上，实数的取值范围为. 【变式训练10-27】设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答. （2）联立直线与抛物线方程，得到根与系数的关系，由弦长公式求长度，由点到直线的距离求高，进而可得三角形的面积即可求解. 【详解】（1）依题意，点是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为3， 所以， 所以抛物线方程为 （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，所以设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得 将t用代换，可得， 由，可得， 化简可得，两边平方得， 所以，解得， 又由且，可得或，可知 所以，即，所以，所以实数a的取值范围是 【变式训练10-28】已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，据此可求，从而可得，故可得抛物线的方程. （2）设切线的方程为，切线的方程为，根据相切可得满足的方程，再联立直线方程与抛物线方程后可用表示两点，从而用表示中点的横坐标，结合满足的方程（结合韦达定理）可得中点横坐标的一元函数，故可求其范围. 【详解】（1）由已知条件可得，， 解得 ，所以，抛物线的方程为. （2）由题意可知，过引圆的切线斜率存在， 设切线的方程为， 则圆心到切线的距离， 整理得，.， 设切线的方程为, 同理可得. 所以，是方程的两根， .     设，， 由，得， 由韦达定理知， 所以，同理可得. 设点的横坐标为，则 .   设，则， 所以，对称轴，则 【变式训练10-29】已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 【解析】（1）将点代入抛物线：中，可得，得， ∴抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的方程为， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立，整理可得， 则，，，故.∴， ∵，∴，即，∴，， 解得，∴， ∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为8. 【变式训练10-30】设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线中的参数范围问题、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】（1）根据题设有，设，应用两点距离公式及导数求距离最小值； （2）由题设有，结合，应用差角正切公式得，分类讨论求的范围，即可的取值范围； （3）结合（2）的分析有，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则抛物线， 设点，则， 记，则， 因为，所以，解得. 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，故的最小值为. （2） 依题意及（1），知， 由或， 根据到角公式，得：. 当时，，则； 当时，， 所以，则； 当时，， 所以，则. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，且，所以. 题型11：抛物线中的切线问题 【典型例题1】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、双曲线中的定值问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 【变式训练11-1】已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)；证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，再根据，得出k，再联立方程得出点A,B的坐标计算得出面积；（ⅱ）设直线联立得出，根据可得，由此可证直线过定点. 【详解】（1）点在上，且. 由题意得：，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）（ⅰ）因为，设， 设圆心O到直线的距离为， 又因为，所以，所以，化简得出， 所以或； 联立直线与，得出， 所以； 联立直线与，得出， 所以； 所以 所以； （ⅱ）设直线， 联立得，得，则， 的切线斜率为， 是切线，所以 即，计算得， 所以，化简得， 直线，过定点. 【变式训练11-2】位于第一象限的一点满足，过作的切线，切点为，且满足，设为关于的对称点. (1)证明： (2)（i）若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，证明：为等差数列. （ii）由ⅰ所设且，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线的对称性的应用、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）法一：根据抛物线利用导数确定曲线在点的切线斜率与，的坐标关系，再利用点的对称与点在曲线上可得结论；法二：设切线为，令得，解关于方程从而，解方程根据坐标关系证得结论； （2）（i）设过的切线为：，联立，令，解关于方程，结合等差数列的定义得结论；（ii）根据（i）中结论结合直线与曲线相交弦长求得答案. 【详解】（1）证明：方法一：， 又， ， 方法二：设切线为，联立 得：，令得 要证 即. （2）（ⅰ）设过的切线为：，联立 得，令 记，则设，， ， ，为等差数列 （ii） 此时. 【变式训练11-3】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的切线方程、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）由题意知，、两点关于轴对称，设点在轴右侧，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用导数的几何意义求出直线、的方程，求出点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，可得出，然后利用两角和的正切公式结合换元法、二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，、两点关于轴对称， 设点在轴右侧，则，即点， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 故抛物线的方程为. （2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为， 设点、， 联立得，， 由韦达定理可得，， 由得，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 同理可知，直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线、的方程得， 解得，则，故点， 因为点在圆上，所以，且，显然成立， 过点作轴的垂线，垂足为点，   ，， ， 令，因为，则，， 所以， 令，则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为. 因此，的取范围是. 【变式训练11-4】抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得； （2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得； （3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设该点坐标为，则，且，则 则，化简得， 解得或，又，则， 即； （2），设直线的方程为， 联立，则有，恒成立， 则，即得证； （3）由在第一象限，则在第四象限， 则点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 令，解得，即， 由、，则，， 即， 则， 故 . 题型12：探索性问题 【典型例题1】已知抛物线 的准线经过点 ． （1）求抛物线C的方程． （2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，两个定点的坐标分别为和. 【解析】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 . （2）存在, 理由如下. 设直线的方程为 . 联立直线与抛物线的方程得消去并整理，得. 易知 , 则 由直线的方程 , 可得 , 由直线的方程 , 可得 . 设以为直径的圆上任一点 , 则 , 所以以为直径的圆的方程为 . 令 , 得 . 将 代入上式，得 ，解得. 故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为和. 【典型例题2】如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，. 【分析】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证；（ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【详解】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 【变式训练12-1】已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）不存在，理由见解析 【难度】0.15 【知识点】抛物线中的定值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据焦半径得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设，，联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，表达出，由基本不等式求出最小值； （ⅱ）不妨设，表达出直线的方程，又，故可得，同理可得，，所以CD的中点恒为F，以CD为直径的圆与y轴相切等价于，若，化简得到，根据，推出，联立求出．代入可得，，方程无解，故不存在以CD为直径的圆与y轴相切. 【详解】（1）依题意得，点M在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以E的方程为； （2）（ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）不妨设，由题意可知， 又，，所以AP的直线方程可化为：， 又，故可得， 同理可得直线的方程为， 又，故， 又，所以可得， 可得，所以可得CD的中点恒为F， 以CD为直径的圆与y轴相切等价于， 若，则，所以， 又，所以，故， 整理可得， 即， 因为，故，所以． 又，故可得． 代入方程可得，， ， 故不存在以CD为直径的圆与y轴相切 【变式训练12-2】已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. (1)求E的标准方程； (2)过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在，， 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线的定义可得是等边三角形，进而根据定义求； （2）（i）利用过焦点的直线与抛物线的两交点的纵坐标之积为定值，再结合向量的坐标运算，即得到证明； （ii）利用直线与抛物线的两交点的横坐标之积为定值，再把线段长度问题转化为坐标问题，来进行化简求解可得，再利用判别式可得的范围. 【详解】（1） 连接，过作,根据抛物线的定义可知，，又因为， 所以是等边三角形，由，可知等边的高为， 可知，根据抛物线方程， 可知准线为，焦点为，所以， 故抛物线方程为； （2） （i）由，，，可设，则 因为，所以即， 又因为，可得， 再因为，代入上式可得， 整理得：，由于，所以， 则由，即， 同理可证明； （ii）根据题意可知直线的斜率显然存在且不为0，可设方程为， 与抛物线联立方程组，消得：， 因为有两个交点为，所以 由韦达定理得：， 分析的充要条件： 由得，，即，同理， 代入可得：， 再由抛物线的定义可得： 结合， ，可得， 整理得：，又因为，所以， 又因为，所以，又因为，所以， 代入，得，由于， 所以当的取值范围为，且时，有. 【变式训练12-3】已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点M到点的距离等于它到直线l：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线E的标准方程； （2）设，由结合抛物线方程得出是方程的两根，设直线AB的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点P坐标. 【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小， 所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离， 则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线E的方程为. （2）设 ， 由得：，且，得， 即，所以， 代入抛物线方程，得， 整理得，同理可得 故是方程的两根，， 由韦达定理可得①， 由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为， 与抛物线方程联立可得， 易得，由韦达定理可得②， 由①②可得， 故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.    【变式训练12-4】已知椭圆： ()的左、右焦点分别为，为椭圆上的一点，的周长为6，的最小值为1，为抛物线的焦点. (1)求椭圆与抛物线的方程； (2)过椭圆的左顶点的直线交抛物线于两点，点为原点，射线分别交椭圆于两点，的面积为，的面积为，则是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，由焦点三角形的周长公式，以及两点之间距离公式结合二次函数性质，列出方程组，根据椭圆与抛物线的标准方程，可得答案； （2）根据题意设出直线的方程，联立直线与抛物线，写出韦达定理，根据题目中的面积关系，列出等式，结合设出的点，写出射线所在直线的方程，联立其与椭圆，整理等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可作图如下：    的周长为， 设，则，由，则， 由，即， 令，其对称轴为， 则函数在上单调递减，即， 所以， 由题意得，解得，椭圆的方程为， ，所以抛物线的方程为. （2）由题意可作图如下：    由题意得直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，设， 由，得，∴， ∵，， ∵，∴ 直线OA的斜率为，即直线OA的方程为, 由，得，同理可得， ， ，得， ∴ 存在直线l，方程为或. 【变式训练12-5】已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3. (1)求抛物线的准线方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，直线的方程为或 【分析】（1）由题意，抛物线上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，结合抛物线的定义，可得答案； （2）由题意，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据中垂线的性质，利用正切二倍角公式以及锐角正切函数的定义，建立等式，可得，直线斜率是否为零，分两种情况进行讨论，可得答案. 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小于3， 所以抛物线上一点到焦点的距离等于它到直线的距离， 所以，解得， 故抛物线的方程是，抛物线的准线方程为. （2）由题意得，且斜率一定存在，设， 由，消去可得， 则. 设中点为，如图，    则， 解得，即. 当时，易知，不符合题意； 当时，设. 因为垂直平分，所以的斜率为， 易知，因此有. 因为为的中点，所以， 由题意，，即， 两边平方整理可得，解得， 故存在直线使得，且直线的方程为或. 【变式训练12-6】过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1); (2)存在，详见解析. 【分析】（1）根据直线与抛物线相切及列方程求出得解； （2）由题意转化为直线NP，NQ关于对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率互为相反数即可知存在且直线方程为. 【详解】（1）由题意得直线的方程为，即， 设， 与联立得， 因为直线与C相切，所以, 整理得，且，， 因为，所以， 由得， 所以的方程为. （2）由（1）得， 点Q关于的对称点恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于对称，    设， 设直线PQ方程为，与联立得， 则. . 所以直线PN斜率， 所以直线QN斜率， ， 所以直线NP，NQ关于直线或对称， 所以存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P, N共线， 且的方程为或. 【变式训练12-7】已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）通过四边形的内切圆的面积为，得原点O到直线的距离为，从而，再结合离心率即可求出椭圆方程，根据抛物线的焦点坐标求出抛物线方程； （2）设直线l的方程，与椭圆、抛物线联立，利用韦达定理求出弦长，代入化简即可求解. 【详解】（1）由椭圆可知：， 所以直线的方程为：，即， 因为四边形的内切圆的面积为，所以原点O到直线的距离为， 即①，因为离心率，所以②，又③， 由①②③可得：，所以椭圆的方程为：， 因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 所以，所以，从而抛物线的方程为：. （2）由（1）知：抛物线焦点为．由题意，设直线l：， 设，，，， 由可得：， 所以， 所以 ， 由可得：，所以， 因为直线l过抛物线的焦点，所以， 所以， 设，则， 由可得：.    【变式训练12-8】已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得. （2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得. 【详解】（1）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x并整理得，显然，于是， 所以. （2）由（1）知， 假定存在不同于点的定点，使得恒成立，由抛物线对称性知，点在x轴上，设， 则直线的斜率互为相反数，即，即， 整理得，即，亦即，而不恒为0，则， 所以存在不同于点的定点，使得恒成立，点的坐标为. 【变式训练12-9】如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和. (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线上的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定的点，结合“黄金抛物线”的定义求出参数即得. （2）设出点的坐标及切线方程，与抛物线方程联立，借助判别式及圆的切线性质求解. （3）设出直线的方程，与“黄金抛物线”方程联立求出点坐标，再利用斜率和为0求解即得. 【详解】（1）由“黄金抛物线”过点和，得， 解得，所以“黄金抛物线”的方程为和. （2）设坐标为，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，与联立，得， 则，解得，直线为， 直线与相切，得，解得， 又在第四象限，则，所以直线方程为. （3）假设存在这样的直线，使得平分，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，不妨令， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由平分，而直线的斜率不存在，得，即，由， 解得，所以存在直线，使得平分. 【变式训练12-10】已知在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点，当平行于轴时，. (1)求的值； (2)是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与交于异于，的，两点，其中点在第四象限，直线，直线与轴的交点分别为（与不重合），设线段的中点为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据平行于轴时，可求得p的值. （2）根据图形性质确定点在轴上，利用，结合韦达定理可得结果. （3）联立直线方程与抛物线方程，可得，，设，可得，，求得，利用基本不等式可得结果. 【详解】（1）设点在第四象限，点在第一象限， 当平行于轴时，. 在中，令，则， ∴， ∴，解得. （2）存在，理由如下： 由（1）得，抛物线的方程为. 设直线方程为， 由得，，故. 假设存在不同于点的定点，使得恒成立. 由题意得，当轴时，，故点在轴上， 设，则， 由得，， ∴， 整理得，，即， 化简得，由不恒为得， ∴存在不同于点的定点，使得恒成立. （3） 设直线的方程为，代入得，，故. 设，，直线方程为， 代入得，，故， 设直线方程为，代入得，，故. 由（2）得， ∴， ∴. ∵线段的中点为，， ∴， ∴实数的取值范围是. 【变式训练12-11】已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得. （2）①求得直线的方程，点的坐标，利用根与系数关系求得. ②根据抛物线的定义求得，然后求得的表达式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假设直线的倾斜角为，将表示为含有的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值. 【详解】（1）由已知，点的坐标为，且可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 得（*）， 因为， 所以，为方程（*）的两个实根，且， 因为点，在抛物线上， 所以，为常数． （2）在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且， 由（1）可知直线的方程为：， ①因为抛物线的准线方程为， 代入的方程可得点的坐标为， 由（1）可知，，， ，， 因此，， ， 即的值为． ②存在最小值， 设点，的坐标分别为，， 因为点均在抛物线上， 所以，，，， 由，有，即， 变形可得， 则（**）， 同理，， 根据抛物线的定义可知，，， ，， 所以 ． 由（**）知，， 即，当且仅当时取“＝”， 同理，，当且仅当时取“＝”， 由题设，， 所以，， 所以， ， 由题意可知，，同时成立， 此时，取得最小值， 故存在最小值，最小值为． 另解： 存在最小值， 假设直线的倾斜角为，根据题意可设， 如图，设点在轴上的射影为点， 抛物线的准线与轴相交于点， 根据抛物线的定义，由题设点的位置可知 ， 所以，， 同理可得，，，， 所以 ， 令，， 则， 由，可得， 易知函数为增函数， 所以， 上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立， 所以，， 所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得. 【点睛】关键点睛： 这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧. 解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算. 【变式训练12-12】已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)，曲线是抛物线 (2)①32；②存在， 【难度】0.4 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的定值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据抛物线的定义得，然后根据焦点坐标求出抛物线方程即可； （2）①设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，求出弦长，进一步求出面积表达式，根据二次函数的性质求得最值即可； ②过点作，垂足为，设圆与直线的一个交点为，连接，根据垂径定理得，则当时，，求得弦长为定值. 【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设. 由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为. 由消去，化简得 . ，则， 所以 . 因为， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32. ②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 . 如图，过点作，垂足为. 设圆与直线的一个交点为，连接，则. 又，所以 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值. 因此存在直线满足题意 【变式训练12-13】设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．    (1)求与的方程； (2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值； (3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）依题意列标准方程即可求解； （2）依题意联立方程后利用韦达定理给出中点坐标，代入已求方程即可求解； （3）先设出切线方程，和抛物线方程联立后表示出所截线段的长度，用导数即可求解. 【详解】（1）设，则，解得，故， 依题意有. （2）设被所截得的线段为，中点为， 联立和有，故， 故，代入得： ，解得. （3）如图，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有 且，解得， 显然，切线斜率存在，设切线方程为， 由为四分之一圆知， 又圆心到切线的距离等于半径：，故， 切线方程为，与联立得， 设被所截得的线段为，则， ， 记，则，， 记，则， 依题意有：对给定的，使得和有两个交点， 由知 使即可， 否则在上单调，不存在使得， 而，故只需， 解得， 综上所述：. 【点睛】（3）先用切线满足的条件消去，再联立得所截线段长的表达式，依题意有两正根，结合导数即可求解. 【变式训练12-14】已知抛物线与相交于，两点，其交点的横坐标分别为，.在抛物线上另取个点，，…，，在抛物线上另取个点，，…，，使.记，的横坐标分别为，. (1)求，及的值. (2)证明： (3)是否存在点，，使四边形为平行四边形？若存在，求出，的坐标及的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)存在，，. 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、由递推关系证明等比数列、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据两条抛物线的交点可求参数的值，结合得斜率关系，从而可得. （2）根据平行可得斜率关系，从而得，利用构造法求，故可求的形式； （3）根据平行四边形可得，结合（2）中结果可判断平行四边形的存在性. 【详解】（1）因为两条抛物线交点的横坐标分别为，所以，解得， 故，故， 而，， 故，整理得即. （2）由题设有， 时，， 因为，故， 整理得，所以， 故，而， 故是首项为6，公比为的等比数列，，故， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 故 （3） 若四边形为平行四边形，则， 而， 故， 若为奇数，则，由可得， 此时重合，舍去； 若为偶数，则，由可得， 此时，符合题意，此时, 此时. 【变式训练12-15】在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)经过点的直线与交于，两点. （i）是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：； （ii）记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的定值问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设圆心，圆的半径为，进而根据两圆外切及直线与圆相切列方程求解即可； （2）（i）设，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及可得，进而求证即可； （ii）先假设存在直线，使得，，均为正整数，进而推出矛盾即可求解. 【详解】（1）设圆心，圆的半径为， 由圆，圆心，半径为1， 则， 消去，得， 当时，，舍去； 当时，， 综上所述，的方程为. （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在且不为0， 设， 联立消，得， 设，，则 设，， 因为，则， 因为，，是上三点，则，，2，3， 所以， 则， 化简得，. ， 同理， 所以. （ii）不存在直线，使得，，均为正整数，理由如下： 由（※），得 由，，消去，得， 假设存在直线，使得，，均为正整数， 则是3的正整数倍，进而，都是3的正整数倍， 不妨设，，， 则消去，得， 即. 因为，有相同的奇偶性，且， 所以解得 所以，， 所以，与，，均为正整数矛盾， 所以不存在直线，使得，，均为正整数. 题型13：证明题 【典型例题1】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 【变式训练13-1】已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. (1)求抛物线的方程. (2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设切线方程，代入抛物线方程，由可求的值，再结合焦半径公式，可求的值，得抛物线的标准方程. （2）（i）欲证轴平分，只需证即可. 设的方程为，与抛物线方程联立，借助韦达定理得到，，再表示处，整理化简即可. （ii）表示出，利用导数分析函数的单调性，求函数值域即可. 【详解】（1）由题可知，，，由已知得直线的斜率恒不为0，故可设：. 联立，可得， 因为直线与相切于点，所以，解得， 则，. 因为，所以，解得，即抛物线的方程为. （2）如图：    （i）由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，，， 由（1）得. 联立方程组，可得，则，， 所以. 故轴平分. （ii）由（i）可知直线与关于轴对称，所以点，关于轴对称，则. 不妨设，因为点在与之间，所以，， ，， 则，令，则， 令，则，解得；由，则，解得. 则在上单调递增，在上单调递减，， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解析几何中求求值范围的问题，通常有以下方法： （1）转化成二次函数的值域问题求解； （2）利用基本不等式求最值； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值. 【变式训练13-2】已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与相切，与相交于两点（在轴的上方），且. (1)求的方程； (2)设过且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，过线段的中点的直线与轴交于点，且点在点的右侧，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由弦长求参数、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）以为圆心且与相切的圆的方程为，联立方程，求出的坐标，求出标准方程； （2）设直线，联立方程，设，利用韦达定理，再由抛物线定义，进而求解. 【详解】（1）以为圆心且与相切的圆的方程为， 将代入并整理，得，即. 考虑到，解得，代入，解得， 所以点的坐标分别为，所以，解得. 故的方程为. （2）证明：设直线， 由得， 显然判别式. 设，则， 所以，即. 由抛物线的定义，得. 由及在的右侧，得，解得， 即. 所以，从而， 故. 【变式训练13-3】已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析  （ⅱ）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、裂项相消法求和、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据抛物线的性质及题意即可求解； （2）由题意求出直线，与抛物线联立进而求出点的横坐标，代入抛物线方程可得其纵坐标，进而可得与的不等关系，用累加法求解即可证明； （3）求出点F到直线的距离，求出弦长，进而可得的面积，结合可得，用放缩的方法求即可求解. 【详解】（1）抛物线C的准线方程为，所以， 所以，解得，所以C的方程为； （2）（ⅰ）设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又由，故，所以； （ⅱ）易知直线， F到直线的距离为， ， 所以， 因为， 由（1）知，即，所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时，． 所以． 【变式训练13-4】已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）有2条，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【详解】（1）由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． （2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率， 所以，即直线． （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条． 【变式训练13-5】设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，． (1)求的方程； (2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0． （ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、判断直线与圆的位置关系、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据题意，得到，将将点代入抛物线的方程，求得，即可抛物线的方程； （2）（i）设，则，不妨设在的左侧，根据斜率公式，分别求得，结合，得到，进而求得直线的斜率； （ii）设为抛物线在点处的切线，转化为证明与圆相切，利用导数的几何意义，求得，取上点左侧一点，结合圆的性质，即证，利用两角差的正切公式，化简，即可得证，得到答案. 【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点， 因为为上位于第一象限的一点，且，所以， 将点代入抛物线的方程，可得，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. （2）解：（i）设，则，不妨设在的左侧， 根据题意，可得，同理可得， 因为直线的斜率之和为，所以， 即，整理得， 所以. （ii）设为抛物线在点处的切线，要证明即为，即与圆相切， 由函数，可得，所以， 要证与圆相切，取上点左侧一点， 结合圆的弦切角定理的逆定理，即证，只需证， 即证，即证， 即证， 由（i）知，即证， 即证，即，成立， 所以即为圆的切线，所以直线与圆有且只有一个公共点. 【变式训练13-6】已知抛物线上的点到其焦点的距离为． (1)求和的值； (2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆． 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为． 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得. （2）解：由中垂线的性质可得，，，，所以，， 设、，联立消去并整理，得， 则，，且，即， 则． 设线段的中点为，则点的纵坐标为， 所以，点的横坐标为，则． 直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为． 设、，联立， 消去并整理得，，可得， 则，，故． 设线段的中点为，则．， ，， 故，所以，，， 故，故， 所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆． 【变式训练13-7】已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为．因为， 所以.所以．∴点P的轨迹方程为． （2）   直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为，点A的坐标为． 因为，所以．所以点B的坐标为．所以直线PB的斜率为． 因为所以．所以直线PB的方程为代入，得. 因为，所以直线PB与曲线C相切． 题型14：向量问题 【典型例题1】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. 【典型例题2】已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为，设椭圆的标准方程为， 则，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）   显然直线的斜率存在，设直线，设,，,，则,， 四边形为平行四边形，，,， 点，，均在椭圆上，，，， ，，．， 由，消去得，，显然， ，，， ，,． 【典型例题3】已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 【解析】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，因为椭圆离心率为， 所以，解得，则，所以椭圆的方程为． （2）设，由得，， 易得，则，，， 因为，所以，解得， 所以．    【变式训练14-1】已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）将点代入抛物线方程，则，抛物线焦点， 则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离． （2）存在，证明如下：如图，设，．    把代入得，， 由根与系数的关系得，． ，点的坐标为． 假设存在实数，使，则．又是的中点，． 由（1）知，． 轴，， 又． ，两边同时平方得：， 解得，即存在，使． 【变式训练14-2】已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 【解析】（1）由题得， 当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，    最小值为，又，解得，所以的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得， 则，所以，又， 所以，所以，解得或（舍去）， 即，所以，所以， 又， 所以为定值. 【变式训练14-3】已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，， 由可得，，所以，， ，因为，所以， 即，亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以，当时，的面积． 【变式训练14-4】已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据斜率公式即可化简求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算求解. 【详解】（1）设，据题意知， 化简得， 所以的方程为． （2）设，，， 联立消得， 故，， 据题意知且，所以，， 由得， 所以，解得， 所以直线的方程为． 【变式训练14-5】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意， 如图，∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 【变式训练14-6】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【变式训练14-7】已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）点代入抛物线中求得抛物线方程，从而找到点到抛物线焦点的距离. （2）可利用直角三角形的性质，斜边中线的长度等于斜边的一半，转换为圆锥曲线的弦长问题； 【详解】（1）将点代入抛物线方程，则 ， 抛物线焦点， 则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离． （2）存在，证明如下： 如图，设，．    把代入得，， 由根与系数的关系得，． ，点的坐标为． 假设存在实数，使，则． 又是的中点，． 由（1）知， ． 轴，， 又 ． ， 两边同时平方得：， 解得，即存在，使． 【变式训练14-8】已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 【答案】(1)；4 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可列式求得p，即可得抛物线方程，进而求得点与圆上点的距离的最大值； （2）设直线l方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设结合，得出的表达式，进而得的表达式，结合根与系数的关系进行化简，即得结论. 【详解】（1）由题意得抛物线C的焦点坐标为，准线方程为， 圆的圆心为，半径为， 由圆恰与的准线相切得， 故，故C方程为，， 故点与圆上点的距离的最大值为； （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0， 设过点的直线的方程为，，，    联立，整理得， 则且，即且， 则， 设，则， 由可得，即，同理可得, 直线的方程为， 令，得，同理可得, 因为 , 即，故为定值. 【点睛】难点点睛：第二问是关于直线和抛物线的位置关系中的定值问题，解答的思路是联立直线和抛物线方程，得到根与系数的关系，结合向量的数乘得出的表达式，从而得的表达式，然后进行化简，但难点在于计算的复杂性，并且计算量较大，要特别细心. 【变式训练14-9】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为. （i）证明：垂直于轴； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程； （2）（i）根据共线向量可知为中点，结合点在抛物线上可确定为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据点纵坐标可知斜率为零，由此可得结论； （ii）由，代入韦达定理，结合点在圆上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1） 设直线与轴交于，则， 由圆的方程知：圆心，半径， 为圆的切线，，又， ∽，，即 ，解得：，抛物线的标准方程为：. （2）设，，， （i）由知：为中点，且在抛物线上，即， 又，，整理可得：； 由知：为中点，且在抛物线上， 同理可得：； 是方程的两根，，， 点的纵坐标为，直线的斜率为，即垂直于轴. （ii），， ， 在圆上，， ， 则当时，， . 【点睛】思路点睛： 【变式训练14-10】已知是焦点为的抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆过点. (1)求的方程； (2)过点作直线交抛物线于、，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知点，由已知可得，结合以及两点间的距离公式可求得的值，即可得出抛物线的方程； （2）分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：易知点，由题意可得，所以，， 因为，解得，所以，抛物线的方程为. （2）解：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， ，， 所以， ， 当且仅当时，取等号，故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【变式训练14-11】已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线上的点求得，由此求得抛物线的方程.设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用求得的取值范围. （2）根据直线的方程求得的坐标，结合求得为定值. 【详解】（1）抛物线的准线经过点， 所以，所以抛物线的方程为. 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由于直线与抛物线有两个不同的交点，所以且， 由于在抛物线上，且，所以，所以， 且直线不过点，即， 所以直线斜率的取值范围是. （2）设，由（1）得， 依题意可知直线的斜率存在， 直线的方程为，令， 即，同理可求得. ，由于， 所以、， 所以， 所以 所以 为定值. 【变式训练14-12】.已知点和点 之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由求出，将代入抛物线C的方程得，设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立利用判别式得的范围，再由向量共线得点E，F均在y轴上，可得k的取值范围及直线l的倾斜角的取值范围； （2）设 ，根据M，A，B三点共线得，再由，求出，，求出直线的方程令得，同理可得，代入可得答案. 【详解】（1） ， ， ， ， 将代入，解得， 抛物线C的方程为， 直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点， 直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 ， 由得，， 且，即， 且， ，， ，，点E，F均在y轴上， ，均与y轴相交，直线l不过点， ， k的取值范围为且且， 直线l的倾斜角的取值范围为； （2）设 ， M，A，B三点共线， ， ， ，， ，， 由（1）知，， 且， 直线的方程为， 令得，同理可得，， . 【点睛】思路点睛：直线方程与圆锥曲线方程联立利用韦达定理是解决直线与圆锥曲线的位置共线的常用方法，三点共线要利用斜率线段或向量共线，本题考查了学生的思维能力、运算能力. 题型15：抛物线与数列结合 【典型例题1】已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； （2）因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； （3）由（2）得， 所以，而， 所以 . 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． (1)求的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）画出图形，根据圆的几何性质即可列方程求出，从而得到抛物线方程； （2）①设，求导，写出点作的垂线，联立抛物线方程得的横坐标为，从而得出，累加即可得证；②先得到，即当时，，从而通过放缩裂项求和的方法即可得证. 【详解】（1） 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； （2） ①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 【典型例题3】平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. （2）（i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 【变式训练15-1】抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得； （2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得； （3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设该点坐标为，则，且，则 则，化简得， 解得或，又，则， 即； （2），设直线的方程为， 联立，则有，恒成立， 则，即得证； （3）由在第一象限，则在第四象限， 则点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 令，解得，即， 由、，则，， 即， 则， 故 . 【变式训练15-2】已知抛物线的准线与圆相切． (1)求抛物线E的方程； (2)依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．    （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）抛物线的准线为， 依题意，圆心到准线的距离为，可得， 所以抛物线E的方程为． （2）（ⅰ）过且斜率为的直线方程为， 代入得， 由韦达定理：，①， 设直线的方程为，代入得， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将②③代入，结合①可得， 再代入（*）式，化简得， 由于，，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证. 【变式训练15-3】已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为． (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求证：数列是等差数列，并求，的表达式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析，， (3) 【详解】（1）由，即，则，所以， 所以抛物线在点处的切线方程为，即； （2）因为，所以， 依题意过点且斜率为的直线为， 与抛物线的方程，联立可得， 由韦达定理可得，即， 则数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以； （3）由（2）知：， 可得梯形的面积为： ， 同理可得， 又由梯形的面积为： ， 所以的面积为： ． 【变式训练15-4】已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为． (1)若，求； (2)求证：数列为等差数列； (3)记的面积为，令求证：当时，． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）将点代入曲线，得到，即曲线． 直线，令，则，则其与轴交于点，得到， 联立，解得或， 则其交于于另一点， 则直线，令，则，轴于点，得到. （2）设坐标为，且坐标为． ，得到， ，得到， 构造一个新数列，令； 则，且， 故数列为首项为2，公差为的等差数列．即． 分析图形可知， 即且为常数），，数列为等差数列． （3）直线斜率为斜率为，则， ， ， 则， ， 则 ， 故， . 故数列为等差数列． 则 而当时，． 则. 故: ，得证． 【变式训练15-5】已知抛物线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，再过点作斜率为的直线与交于点，记的坐标为． (1)证明：数列是等差数列； (2)设的面积为． （ⅰ）证明：数列为常数列； （ⅱ）为何值时，取得最大值，并求出该最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）时，取得最大值为 【详解】（1）证明：因为点在上，所以，所以， 所以抛物线，① 直线，② 联立①②得：， 设的坐标为，则， 直线，③ 联立①③得：， 则， 所以，所以数列为等差数列． （2）（ii）证明：要证数列为常数列，只需证明，证明如下： ， ， 因为数列为等差数列，所以， 故，，所以数列为常数列； （i）因为数列为常数列，所以， 又直线的斜率为，所以直线， 化简得：， 到的距离为， 由两点距离公式得：， ， 记公差为， 又，所以 ， 当，时，取得最大值为． 【变式训练15-6】已知点在抛物线上，的焦点为． (1)点在上，且满足，求． (2)设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为点在上，所以，所以，的方程为，，准线方程为． 设． 由，得， 所以，得. 所以，根据抛物线定义可知，． （2）（ⅰ）过点且斜率为-1的直线为． 由解得或所以， 因为与关于轴对称，所以，即． （ⅱ）已知，，则直线的方程为， 由，得， 因为，所以，即， 解得（舍去，因为异于点）或，所以横坐标为. 为关于轴的对称点，所以，即，又，所以是首项为6，公差为-1的等差数列，所以． 当时，， 则； 当时，， 则 ． 故 【变式训练15-7】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． (1)求t的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)1； (2)，； (3)16. 【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得； （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去得，解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； （3）由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 【变式训练15-8】已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）的最小值为9. 【详解】（1）依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. （2） （i）设，则，$