第05讲 抛物线的阿基米德三角形 讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线的阿基米德三角形这一圆锥曲线高频二级结论模型，以定义、切线方程、12大核心性质为知识框架，通过高考分析明确考查位置与命题特点，结合解题策略（通用四步法+二级结论秒杀法）及8类题型（定点、定直线等）训练，帮助学生系统构建知识网络，突破切线、弦中点等难点。 讲义创新采用“通法+结论”双路径教学，如定点问题先引导用韦达定理推导切线交点坐标，再用性质快速验证，培养学生数学思维与推理能力。设置典型例题与变式训练分层练习，配合避坑提醒，确保学生在有限时间内掌握解题规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第05讲 抛物线的阿基米德三角形 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：定点问题 9 题型02：定直线问题 22 题型03：定值问题 32 题型04：参数问题 37 题型05：面积问题 42 题型06：点坐标 57 题型07：证明 71 题型08：阿基米德三角形的综合应用 82 一. 考查位置 高考圆锥曲线大题（第20/21题）高频二级结论模型，常在抛物线大题压轴、选填压轴出现；新高考全国卷、地方卷每年1–2次直接/间接考查。 二. 命题特点 1.不直接考定义，常隐藏在切线、弦中点、面积、定点定值、最值中 2.核心围绕：两条切线+一条弦构成阿基米德三角形 3.常结合：韦达定理、中点、斜率、面积、定点、最值、参数范围 4.难度：中档偏难，属于圆锥曲线提分关键点，掌握结论可大幅简化计算 三. 高频考法 1.证明：顶点与弦中点连线平行于抛物线对称轴 2.求：阿基米德三角形面积、最小面积 3.定点：切线交点恒过定点 4.定值：斜率积、向量数量积、面积比例定值 5.最值：面积最值、距离最值 1. 准确识别抛物线阿基米德三角形结构： 抛物线弦AB，过A、B分别作切线交于P，则三角形PAB即为阿基米德三角形 2. 熟记并会推导5大核心性质，不硬背，理解来源 3. 能在大题中规范使用结论（可直接用，也可简单证明） 4. 掌握通法+二级结论两套解题路径，大题优先通法，选填直接秒杀 5. 熟练解决：面积、定点、定值、最值四类高频题型 6. 能快速构造模型，将复杂抛物线切线问题转化为阿基米德三角形模型 知识点一：圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线方程 曲线上一点处的切线方程 圆 椭圆 双曲线 知识点二：抛物线阿基米德三角形 一、定义 抛物线的弦与两端点的切线围成的三角形叫做阿基米德三角形。 二、切线方程 证法1：设抛物线上一点的切线方程为：，代入，整理得，由，得 因为抛物线上一点处的切线是唯一的， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 证法2：导数法：，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 三、性质 1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的。 2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。 证明：设,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，，联立方程 解得两切线交点，又， 3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行. 证明：设，弦AB的中点，则 带入抛物线满足方程，所以点P在抛物线上， 4、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线。 证明：设为抛物线内的定点，弦AB的过定点C，， 满足，， 5、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线方程为: ,则定点的坐标为 . 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，与表示同一条直线，其中是弦AB经过的定点，所以 可得：弦AB所在的直线过定点. 6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹． 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，其中为弦AB的经过的定点．∵点C又为弦AB的中点，，而弦AB所在的直线方程斜率由点差法可得，又∵直线AB与Q的轨迹方程不重合，故可知两线平行． 7、底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 证明：设，弦AB的中点，， 点Q到AB的距离8、. 证明：， ． 所以. 8、抛物线上任取一点(不与 重合), 过作抛物线切线交于,连接 , 则的面积是面积的2倍 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦和弦与抛物线围成的曲面面积，即 所以的面积是面积的2倍 9、在阿基米德三角形中, 10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 在准线上,则底边一定过焦点。 证明：因为点Q的轨迹方程为直线，且 反之，若Q的轨迹方程为，因为弦AB过得定点为，所以弦AB过焦点。 11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 证明：，所以 12、在抛物线上任意取一点,（不与A、B重合），过做抛物线的切线交QA、QB、于S、T两点，则三角形QST的重心在准线上。 证明： 知识点三：椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 知识点四：双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 概念混淆：误将任意弦与切线构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件 ——弦的中点与抛物线顶点连线平行于对称轴，或切线需与抛物线相切于弦的端点。 切线方程失误：求切线方程时，记错抛物线切线公式（如在点处切线为，或代入点坐标时符号出错。 面积公式误用：阿基米德三角形面积与弦长、抛物线参数 p 相关，易混淆为普通三角形面积公式，忽略面积与弦到焦点距离的关联，或计算时遗漏参数 p 的系数。 性质推论遗漏：忽略 “阿基米德三角形的外接圆过抛物线焦点”“切线交点轨迹与抛物线的对偶关系” 等推论，导致解题时无法利用隐含条件简化计算。 策略一：通用解题四步法（大题必用） 1. 设点设线 设A(,),B(,)，直线AB:x=my+n（抛物线优先设横截式，减少计算） 2. 联立抛物线 联立 =2px 与直线，得韦达：+, 3. 求切线交点P 抛物线切线方程：y=p(x+) 联立两条切线，解得P坐标 4. 用性质求解目标 ①平行对称轴：直接用= ②面积： ③定点/定值：用韦达化简 ④最值：转化为单变量函数求范围 策略二：二级结论秒杀法（选填、大题快速验算） 策略三：避坑提醒 1. 大题不能只写结论，必须简单推导切线交点或联立过程 2. 开口向左/上/下抛物线，性质形式略有变化，优先统一用=2px 3. 面积公式优先用纵坐标差，计算远简单于横坐标 题型01：定点问题 【典型例题1】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 解析：（1）设,,则．又因为，所以. 故，整理得.设，同理得. ,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2）由（1）得直线的方程为.由，可得， 于是 .设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时，因此，四边形的面积为或. 【典型例题2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； （3）通过联立直线与抛物线方程求出、坐标，进而表示出的面积，再求其最小值. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. （3）由（2）可得的方程为的方程为， 又直线， 所以， 所以 ， 由（2）可得， 所以点到直线的距离为， 所以 令， 由， 得，当时等号成立， 所以 令， 则 令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 此时或， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，由，得，当时等号成立，把三角形的面积表示为关于t的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【变式训练1-1】抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值. （3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论. 【详解】（1）设，， 由得，则直线的方程为， 即，即， 同理，直线的方程为   又直线与直线都过， 则，， 从而均在直线上， 故直线的方程为，又， 故直线的方程为， 故直线过定点； （2）联立，得， ，则， 则， 于是，， 又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号). 则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且. 设直线方程为， 由，得， ，. 对求导，， 所以， ， 直线的方程为， 又，直线的方程为， 同理可得直线的方程为. 由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，， 又，， 所以.所以||·||=， 综上：||·||=. 【变式训练1-2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由条件求得即可； （2）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （3）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， （2）因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （3）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【变式训练1-3】在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记，的面积为，，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设直线AB方程，点，联立直线AB与抛物线C的方程可得，再求出抛物线C在点A，B处切线斜率推理得证. （2）由（1）求出PA，PB的方程，进而求出直线AB方程，设点得MN的方程，再求出弦AB，MN长，点Q，P分别到直线AB，MN距离即可计算作答. 【详解】（1）设，直线的方程为，由消去y并整理得：，有， 令抛物线在点A处切线方程为，由消去y并整理得： ，则有， 解得，同理，抛物线在点B处切线斜率为， 因，则有，解得， 所以直线：恒过定点. （2）由（1）知，切线的方程为：，整理得：， 同理切线的方程为：，设点，则切线的方程为：， 而点，即有，，因此直线的方程为：， 有，点到直线的距离是，则， 由解得点M的横坐标，同理点N的横坐标， 有，点到直线的距离，则， 所以. 【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率. 【变式训练1-4】已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程； （Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【分析】 （Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解； （Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解. 【详解】 （Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为. （Ⅱ）设，，则、 设直线：（）代入中得 ， ∵、 ∴ 又 ∴ ∴直线恒过 【点睛】 本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 【变式训练1-5】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由条件求得，即可得到抛物线的方程，通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 题型02：定直线问题 【典型例题1】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即, 故选：C． 【典型例题2】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值. 【答案】（1）不在，证明见详解；（2） 【分析】 （1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果. （2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果. 【详解】 （1）设直线方程， 根据题意可知直线斜率一定存在， 则 则 由 所以 将代入上式 化简可得，所以 则直线方程为， 所以直线过定点， 所以可知点不在直线上. （2）设 线段的中点为 线段的中点为 则直线的斜率为， 直线的斜率为 可知线段的中垂线的方程为 由，所以上式化简为 即线段的中垂线的方程为 同理可得： 线段的中垂线的方程为 则 由（1）可知： 所以 即，所以点轨迹方程为 焦点为， 所以 当三点共线时，有最大 所以 【点睛】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题. 【典型例题3】已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 （1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上. 【详解】 解：（1）设， 则有，化简得， 故轨迹的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为与 联立得， 设，， 则，， 又，所以， 所以切线的方程为， 即， 同理切线的方程为 联立得，. 两式消去得， 当时，，， 所以交点的轨迹为直线，去掉点. 因而交点在定直线上. 【点睛】 本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题. 【变式训练2-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】设抛物线的焦点为， 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 所以点必在抛物线的准线上， 所以点， 直线的斜率为． 又因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A． 【变式训练2-2】过抛物线内一点任意作弦，分别过作抛物线的切线，两条切线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】由抛物线的切点弦公式得到，再由直线过，得到和的关系，即可证明结论. 【详解】设，因为抛物线，所以切点弦方程为， 因为过，所以，所以满足， 即点必在直线上． 【变式训练2-3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程； （2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证. 【详解】（1）即为， 若选①，抛物线方程为， 选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为. 选③，代入，解得，所以弦长为，解得， 所以抛物线方程为. （2）令，，，则，, ，, 即为， 又即， 同理，， ， 而过点即 点在直线上 【变式训练2-4】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点． （1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上． 【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析 【分析】 （1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程； （2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程． 【详解】 解：（1）设直线的方程为，代入抛物线， 可得， 设，，则， 点为线段的中点，可得，即， 则抛物线的方程为； （2）证明：设，，点为线段的中点， 可得，， 由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为， 由，可得，① 同理可得，② ①②可得， 即为，即． 可得交点在一条定直线上． 【点睛】 本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 【变式训练2-5】已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点． （1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程； （2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程． （2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上． 【详解】 （1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为， 到准线的距离为，则且. 由抛物线的定义可知，，所以， 由梯形中位线可得，所以，可得， 所以抛物线的标准方程为. （2）证明：设，由，得，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立得，解得， 即直线的交点坐标为. 因为过焦点， 由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为， 代入抛物线中，得， 所以，故，所以的交点在定直线上． 【点睛】 关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算． 【变式训练2-6】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程. 【答案】（1）点在直线上，理由见解析（2） 【分析】 （1）由抛物线的方程可得顶点的坐标，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得直线恒过，即得在直线上； （2）设，的坐标，可得直线，的斜率及线段，的中点坐标，进而求出线段，的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心的坐标，由（1）可得的横纵坐标关于参数的表达式，消参数可得的轨迹方程． 【详解】 (1) 点在直线上.理由如下， 由题意, 抛物线的顶点为 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB的方程为 联立得到， 其中， 所以， 因为 所以 ， 所以， 解得， 经检验，满足， 所以直线AB的方程为，恒过定点. （2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点， 设线段的中点为，线段的中点为为， 因为，设，，， 所以，，，，，， 所以线段的中垂线的方程为：， 因为在抛物线上，所以， 的中垂线的方程为：，即， 同理可得线段的中垂线的方程为：， 联立两个方程，解得， 由（1）可得，， 所以，， 即点，所以， 即点的轨迹方程为：． 【点睛】 本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题． 题型03：定值问题 【典型例题1】已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：过点作与准线垂直，垂足为，，如图： 当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.∵抛物线的焦点，∴，设切线方程为，则，∴， 由解得，，∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.故选：C. 【变式训练3-2】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【答案】 【分析】求出直线与直线的方程，联立两直线方程即可求得P点坐标，则可求；也可以使用二级结论“过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上”快速推导结果. 【详解】依题意，，直线， 由得，得或， 不妨设． 因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为， 与联立得关于的方程， 即， 令，得， 故直线的斜率，即直线， 同理可得直线的斜率，直线． 由得即，则． 二级结论法： 直线，由得出或， 不妨设， 由抛物线焦点弦的性质可得，过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上， 且交点的纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，所以，所以． 故答案为：. 【变式训练3-3】如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值 【答案】（1），；（2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）依题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立消得关于的一元二次方程，根据韦达定理即可求得；（Ⅱ）设，设直线AF：与联立，得,由韦达定理得，，同理，，进而可得的比值，化简即可求出结果为定制． 试题解析：证明：（Ⅰ）依题意，设直线的方程为．将其代入，消去，整理得．从而． （Ⅱ）AF：与联立，得 由韦达定理得，，同理， （定值）． 考点：1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线的性质． 【变式训练3-4】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【点睛】思路点睛：本题第二问考查抛物线中弦长的计算问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解. 题型04：参数问题 【典型例题1】已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 由抛物线定义即可得； (2) 联立，利用，再结合向量的数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，，联立方程组得， 则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为. 同理可得，的方程为. 由，解得，即点. 因为，，，且， 所以，即 ， 化简得， 因此或， 故. 【变式训练4-1】阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时， ，即， 故选：D． 【变式训练4-2】如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为． (1)若的焦点为，且的最小值为，求的值； (2)若存在点，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，可得，利用函数性质可求得最小值； （2）设，表示出过和的切线方程，求出和点坐标，根据在两直线上求出点坐标，进而再求出点坐标，表示出，进而可以得到，从而可求，由此求出的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆有交点，据此即可求出答案. 【详解】（1）由题意可得，设，则且， ， 因为，所以当时，有最小值，解得． （2）由，得，所以， 设，所以，， 所以，又，整理得， 所以过点的切线方程为，于是， 同理，过点的切线方程为，所以． 因为点在两条切线上，所以， 可得点的坐标为，的方程为，于是． ， 所以，所以． 于是点，点的轨迹方程为， 根据题意抛物线与半圆有交点， 记，则，又因为，解得，即的取值范围为． 【变式训练4-3】已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的定义特征即可求出轨迹的方程. (2)设，利用设而不求的思想，结合曲线在A，B处的切线方程，求出交点坐标借助向量数量积的关系进行转化求解即可. 【详解】（1）（1）由题意知动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹C的方程为. （2）（2）设，.联立得， 则，， . 易知直线，的斜率存在，设直线的方程为，联立 ，得. 由，解得，所以切线的方程为. 同理可得，切线的方程为. 由解得即点. 因为，，，且，所以， 即 化简得，因此或故. 题型05：面积问题 【典型例题1】过点的两条直线与抛物线分别相切于两点,则三角形的面积为（ ） A． B．3 C．27 D． 解析：抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理 故直线的方程为，由得， 故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：. 【典型例题2】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】 易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得， 显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4. 故选：C. 【典型例题3】过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得. 【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0, 因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程； 联立得， 所以， 由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为： ， 联立得，，即. 点到直线的距离， 当且仅当时取到最小值. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养. 【典型例题4】已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点． (1)求曲线，的方程； (2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程. （2）设点，，，其中，联立直线方程和抛物线线方程，消元后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得的中点满足平行于轴并可用表示三角形的面积，从而可求其最大值. 【详解】（1）根据对称性可得，，在椭圆上， 故，且，故，所以. 椭圆的右焦点为，所以即， 故. （2） 设点，，，其中， 由可得， 整理得到：， 所以，故， 且，故， 同理，， 故为方程的两个根，故， 而的中点的纵坐标为，故平行于轴， 故三角形面积为 由可得，故或（舍）， 故， 故当时，有. 【变式训练5-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，，，联立直线的方程和抛物线方程求得，通过PF⊥AB求得，再过点作轴交于点，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】易知，焦点，准线方程， 设直线的方程为，，，，， 联立，消整理得， 则，， 又PF⊥AB，可得，即，化简得， 过点作轴交于点，如图所示： 则，所以为中点，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故三角形PAB的面积的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：过点作轴交于点，且证明为中点，得到，从而得到阿基米德三角形面积关于，的表达式，再结合基本不等式求解． 【变式训练5-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设且，直线，联立， 整理得，则． 设过点的切线方程为，联立， 整理得，由，可得， 则过A的切线为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立两切线，则， 所以两条切线的交点在准线上，则， 两式相减得， ，可得，， 又因为直线的斜率为，（也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故选：B 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况. 【变式训练5-3】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点， 依题意，，设，， 由消去y并整理得，则，， ，解得，即， 当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：， 点P必在抛物线的准线上，点，， 又，于是得， 由对称性可知，当时，同理有， 所以的面积是. 故选：A 【变式训练5-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设，直线， 联立，整理得，则． 设过点的切线方程为， 联立，整理得， 由，可得， 则过点A的切线方程分别为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 因为两条切线的交点在准线上，所以， 两式相减得， ，，可得， ，又因为直线的斜率为， （也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故答案为：． 【变式训练5-5】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线在点处的切线方程为结合点到直线的距离解决面积问题即可． 【详解】先证抛物线在点处的切线方程为， 不妨设切线方程为：，且有， 切线方程与抛物线联立可得：， 所以， 易知该切线只有一条， 所以，得证. 先设点A的坐标为，点B的坐标为，点Q的坐标为， 由于弦AB过抛物线的焦点，于是可反设直线AB的方程为． 因此点A，B的坐标满足进而得到， 再使用韦达定理就有， 由于在处抛物线的切线方程为，在处抛物线的切线方程为， 因此阿基米德三角形的顶点满足， 进而，从而， 将代入得． 因此点Q的坐标为，于是点Q到直线AB的距离， 根据弦长公式得， 于是的面积，当且仅当时等号成立， 因此的面积的最小值为4． 故答案为：4.    【点睛】关键点点睛：（1）抛物线在点处的切线方程为; （2）阿基米德三角形的底边过抛物线的焦点，则阿基米德三角形的另一个顶点在准线上，且阿基米德三角形的面积最小值为. 【变式训练5-6】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【答案】． 【分析】设，，则切点弦的方程为，与抛物线方程联立即可求出，进而求出，再求切线方程即可求出，化简求出四边形的面积，最后结合的范围求一元二次函数的最值即可. 【详解】设点，，则切点弦的方程为， 设，联立，得， 从而， 则， 点到直线的距离为， 则， 由，得，则， 则直线， 则，同理可得，， 故， 故四边形的面积为 ， 当时，，， 当且仅当时，两个等号同时成立， 故四边形的最大值为． 【变式训练5-7】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且． (1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标； (2)若点为轴上一定点，且； （ⅰ）求出点坐标； （ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，定点为； (2)（ⅰ）点坐标为，（ⅱ）. 【分析】 【详解】（1）证明：由题意知，所以，所以抛物线， 设，，由条件可设直线方程， 联立，得， 则，， 由，得，因为，， 所以，解得或， 因为是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，所以， 所以，又，所以， 所以直线方程， 所以直线恒过一定点，且定点坐标为； （2）（ⅰ）由小问（1）可知直线方程，，， 设轴上的定点，由， 得为的角平分线，即直线与直线关于轴对称， 则，即， 所以，化简可得， 因为位于轴两侧不对称，所以，所以， 因为，所以， 所以点坐标为. （ⅱ）设，，，，， 对求导得，， 则抛物线在的切线方程为， 同理抛物线在的切线方程为， 又切线过，所以，， 所以直线的方程为，即， 整理得，所以直线过定点， 点到的距离， 联立方程，得， ，，， 所以弦长， 所以的面积， 所以当时，即时， 的面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题求解答关键有两个：一是把角相等转化为斜率和为零；二是利用弦长公式得出三角形的底，利用点线距得出三角形的高，结合面积公式得出面积表达式. 【变式训练5-8】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 解析：（1）． （2）（方法1） 抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即,同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，，点到直线的距离为，所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. （方法2）同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则 ．故当时的面积最大，最大值为． 【变式训练5-9】已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点，，是切点. （1）若，，求直线的方程； （2）若点在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值； （3）证明：. 解析：（2）设切点，则，依题意切线斜率不为0，不妨设，联立直线与抛物线得 ，由解得，所以切线的方程化简为，同理切线的方程化简为.于是可得： ，同理有. 焦点到直线的距离，同理，焦点到直线的距离， 所以，所以 ，联立求得 ，即，代入上式，化简整理得: , 又,代入得 ，当且仅当时取等号.所以的最小值为16. （3）由（2） 可知 ， ,所以， 即因此，故而. 题型06：点坐标 【典型例题1】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定直线过抛物线焦点，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长公式可求得，结合具有的性质，可求得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 直线经过抛物线的焦点， 由题意，设，， 联立，得， 所以，，，解得， ∴， 当时，，所以直线PF方程为：， 因为为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线上， 所以点， 由抛物线对称性可知，当时，， 故选：B． 【典型例题2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设， 由，得， 由， 所以， 所以，解得或， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 综上，的顶点P的坐标为或. 故答案为：或 【典型例题3】已知抛物线，过点的直线与抛物线交 于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（公众号：凌晨讲数学） （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 解析：（1）设.由，得，所以方程为：，整理得：.同理，方程为：.联立得：.设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，有.所以点在定直线上. （2）在的方程中，令，得，所以面积.故，带入可得：. ，解得：或.所以点的坐标为或. （3）抛物线焦点，由得直线斜率， 所以，同理，所以是外接圆的直径.若点也在该圆上，则.由，得直线的方程为：.又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为. 【变式训练6-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. 【分析】（1）选①②③，设出点A，B，P的坐标，借助切线方程求出直线AB的方程，代入焦点坐标，求出点P的横坐标，再利用斜率计算判断作答. （2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答. 【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 【变式训练6-2】已知抛物线，圆是上异于原点的一点. (1)设是上的一点，求的最小值； (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可； （2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设，圆心，半径为， ， 所以当时，有最小值， 所以的最小值； （2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为， 所以切线的方程为：， 由圆的切线性质可知： ， 设， ，是方程的两个不相等实根， 因此，即，且， 所以由圆的切线性质知：， ， 所以的坐标为或. 【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为. （1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值； （2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 【答案】(1)2;(2)有最小值4，此时. 【分析】 （1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出． （2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值． 【详解】 （1）设，，，则，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，， ，故 ，∴，，从而. （2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程， 即直线的方程为：，又由直线过点，∴， 联立得， ， 点到直线的距离， ， 当且仅当时，有最小值4，此时. 【点睛】 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【变式训练6-4】抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2. （1）求拋物线的方程. （2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标. 【答案】（1）；（2）存在这样的，当时，坐标为. 【分析】 （1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到，由三角形面积列出方程求出，即可得出抛物线方程； （2）先设，直线的方程为，根据直线与抛物线相切，得到，进而推出的方程为，根据，得到方程，由两直线方程，即可求出，确定出结果. 【详解】 （1）由题意得，点的纵坐标均为，由，解得， 则， 由，解得， 故抛物线的方程为. （2）假设存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点， 设，直线的方程为， 将抛物线方程变形为，则， 所以， 所以的方程为. 因为，所以直线的方程为. 把代入的方程得. 同理可得 构造直线方程为，易知两点均在该直线上， 所以直线的方程为. 故恒过点. 因为， 所以可设方程为，化简得 所以恒过点. 当，即时，与均恒过， 故存在这样的，当时，坐标为. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题第二问的关键在于用分别表示出直线和的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线的方程，由直线与抛物线相切，得出直线方程，推出的方程，进而确定的方程，即可求解. 【变式训练6-5】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1. （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）. 【解析】 试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得，即p=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为，可设. 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF: x=sy+1，，由消去x得， 故，所以，. 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为. 从而得直线FN:，直线BN:.所以. 设M(m,0)，由A，M，N三点共线得， 于是. 所以m＜0或m＞2. 经检验，m＜0或m＞2满足题意. 综上，点M的横坐标的取值范围是. 【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离；（Ⅱ）通过联立方程组可得点的坐标，进而可得点的坐标，再利用，，三点共线可得用含有的式子表示，进而可得的横坐标的取值范围. 【变式训练6-6】如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． （Ⅰ）设线段的中点为； （ⅰ）求证：平行于轴； （ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）仅存在一点适合题意. 【分析】 （Ⅰ）（ⅰ）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，结合是线段的中点进行化简，得到两点的横坐标相等，由此证得平行于轴. （ⅱ）利用列方程，解方程求得，进而求得抛物线方程. （Ⅱ）设出点坐标，由点坐标求得线段中点的坐标，由直线的方程和抛物线的方程，求得点的坐标，由此进行分类讨论求得点的坐标. 【详解】 （Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设，，，，． 由得，则，所以，． 因此直线的方程为， 直线的方程为． 所以，①．② 由①、②得，因此，即，也即.所以平行于轴． （ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得： ，，所以，是方程的两根， 因此，，又， 所以． 由弦长公式的． 又，所以或， 因此所求抛物线方程为或． （Ⅱ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上， 代入得． 若在抛物线上，则， 因此或． 即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时，， 又，，所以， 即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴， 又， 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意得点． 综上所述，仅存在一点适合题意． 【点睛】 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题. 题型07：证明 【典型例题1】设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切. （1）求动点E的轨迹C的方程； （2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线. 【答案】（1）＝4y；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设E点坐标为(x，y)，由E到x轴的距离等于即可求解. （2）设A，B两点的坐标分别为，，利用导数求出曲线在A，B处切线的斜率，从而可得x2＝－，再求出的斜率，证出 kAF＝kAB，即证. 【详解】 （1）设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心， 设为E，则E点坐标为. ∴E到x轴的距离等于， 即＝，化简得x2＝4y. ∴点E的轨迹C的方程为＝4y. （2）证明：由（1）知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝x2， 设A，B两点的坐标分别为，， ∵曲线方程为y＝，∴y′＝x， ∴曲线在A，B处切线的斜率分别为＝，＝， ∵＝－1，∴·＝－1，∴＝－， ∴A，B两点连线的斜率为 ＝＝－＋， A，F两点连线的斜率为＝＝－＋x1＝， ∴A，B，F三点共线. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A，B两点的坐标求出x2＝－，考查了计算求解能力. 【典型例题2】已知抛物线：的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为，解得，即可得出答案； （2）设，，，直线方程为，联立抛物线的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点处的切线方程，联立上述两切线方程，解得，，计算，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线C的焦点为，准线方程为， 所以焦点F到其准线的距离为， 因为，解得. 所以抛物线C的方程为. （2）由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为， 代入抛物线方程，整理得. 设，，， 则，. 函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得， 同理，抛物线在点B处的切线方程为， 联立上述两切线方程，解得，， 因为，， 所以， 所以. 【典型例题3】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点． （Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明； （Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【分析】 设的方程为 ．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为． 【详解】 由题设，设，则，且 ． 记过两点的直线为，则的方程为 （Ⅰ）由于在线段上，故， 记的斜率为的斜率为，则， 所以 （Ⅱ）设与轴的交点为， 则， 由题设可得，所以（舍去），． 设满足条件的的中点为． 当与轴不垂直时，由可得． 而，所以． 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为 【点睛】 本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法． 【变式训练7-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2． （1）求抛物线C的方程； （2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由题意可得M点的坐标为，代入抛物线方程，即可求出p的值； （2）设，利用导数的几何意义得到A，B两点处的切线斜率分别为，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k1k2＝﹣1，从而得到△PAB为直角三角形． 【详解】 （1）记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M， 由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径， 所以M点的坐标为，代入抛物线方程得：， 所以，所以抛物线的方程为. （2）设， 由，可得y，则， 所以A，B两点处的切线斜率分别为，， 由，得，所以， 所以， 所以，即为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 【变式训练7-2】如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）设中点为，且，，证明：； （3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值. 【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）直接利用抛物线定义得到答案. （2）设，，，根据中点在抛物线上得到 ，同理得到是二次方程的两不等实根，计算得到答案. （3）设，代换得到计算得到答案. 【详解】 （1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2. （2）设，，， 则中点为， 由中点在抛物线上可得， 化简得，显然， 且对也有， 所以是二次方程的两不等实根， 所以，. （3）， 由（1）可得，， ， 此时在半椭圆上， ∴， ∵，∴， ∴， ， 所以， ，所以， 即的面积的最小值是. 【点睛】 本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 【变式训练7-3】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题． 解：（1）设切点，坐标分别为和， 切线的方程为：；切线的方程为：； 由于既在又在上，所以 解得， 所以的重心的坐标为， ， 所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为： ，即． （2）方法1：因为，，． 由于点在抛物线外，则． ， 同理有， ． 方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：， 即．所以P点到直线BF的距离为： 所以，即得． ②当时，直线AF的方程：，即， 直线的方程：，即， 所以P点到直线AF的距离为： ， 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到． 【变式训练7-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程可得，联立在处的切线方程，并整理可得交点的横坐标为，即证明点在的准线上； （2）根据在处的切线方程得到点的坐标，从而得到直线的斜率，根据得到； （3）由抛物线的对称性得，结合化简为，利用均值不等式求得最值. 【详解】（1）设，，因为三点共线，所以AB的方程为. 联立得，所以. 以A为切点的切线方程为，以B为切点的切线方程为， 两切线方程联立可得， 所以交点在的准线上. （2）将代入，可得. 因为，所以，则点P的坐标为. 焦点，则， 所以，故. （3）由（2）可知，所以. 由于抛物线的对称性，可令， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 因为与互补，所以， 故的最小值为. 【变式训练7-5】过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解； （2）求出弦长及点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解； （3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证. 【详解】（1）由题意得，， 由， 所以 （2）设， 联立，， 设方程的两根为，则， 由，所以， 联立直线可得， 代入方程中，得，即， 故的面积. 因为在圆上，所以且， 于是， 显然此式在上单调递增，故， 也即，因此， 由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为. （3）由（2）知，, 设，过的切线，即， 过点切线交得，同理， 因为， . 所以，即. 【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出，再由切线相交得出点坐标，求出三角形面积，再由点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键. 题型08：阿基米德三角形的综合应用 【典型例题1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能 【答案】B 【分析】设出直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断. 【详解】 如图，设，，则，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，则，．易知切线的斜率肯定不为0， 设过点的切线方程为，联立， 整理得， 则，即， 设过点的切线方程为，同理可得， 则，得，， 则两条切线的斜率之积为，故是直角三角形． 故选：B． 【典型例题2】阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 【答案】D 【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断． 【详解】联立方程，消去得：，解得或 即，则，A正确； ∵，即 对于，切线斜率分别为 ∴，即，B正确； 在点A的切线方程为，即 同理可得在点B的切线方程为 联立方程，解得，即P，D不正确； ∵，则， ∴，即，C正确； 故选：D． 【典型例题3】为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】D 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确； 点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确； 设直线，联立方程组，根据，可判定C正确； 取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】如图：    依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 【典型例题4】过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述： ①点必在抛物线的准线上； ②； ③设、，则的面积的最小值为； ④； ⑤平行于轴. 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为. 证明如下： 由于点在抛物线上，则， 联立，可得，即，， 所以，抛物线在其上一点处的切线方程为. 如下图所示： 设、，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可得，， 对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 联立，解得，所以点的横坐标为， 即点在抛物线的准线上，①正确； 对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，， 所以，，②正确； 对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时； 当不与轴垂直时，直线的斜率为， 直线的斜率为，，则. 综上，，④正确； 对于命题③，， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，③错误； 对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误. 故选：B. 【变式训练8-1】（多选）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【详解】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式求出最小值. 【变式训练8-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 【变式训练8-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】对于A，设，则， 化简得，，即，则选项A正确； 对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误； 对于C，设曲线上的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， ， 的准线方程为：， 所以的最小值为点到直线的距离减半径， 即为，故D正确.    故选：ACD. 【变式训练8-4】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 即， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 故本选项说法正确； C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以， 直线的方程为： 所以点坐标为：，点 到直线的距离为： ， ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确； D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： 所以阿基米德三角形的面积， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 【变式训练8-5】若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【变式训练8-6】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】设，，设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，利用直线与抛物线相切条件分别求得过点的切线斜率为.对于A，计算，从而可判断；对于B，求得点A ，B处的切线方程分别为：，从而可得，进而可得，从而有，根据数量积的定义和相似三角形的性质即可判断；对于C，设AB的中点为，得到，从而轴，而，即可判断；对于D，设准线与轴的交点为，由面积的，可知当最短时（最短为），也最短，最短为，即可判断. 【详解】    设，，设直线， 联立，化为，而， 所以. 设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得. 同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得, 又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练8-7】圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用两角和的正切公式表示出，再由基本不等式求出的最小值. 【变式训练8-8】（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 【变式训练8-9】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想. 【变式训练8-10】（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确. 【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得， 再设，则，所以A正确； 对于B中，由抛物线.可得，则， 则过点的切线斜率为，且，即， 则切线方程为：，即， 若时，则过点的切线方程为：，所以B正确； 对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，所以C错误； 对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为， 联立直线的方程可得， 所以， ， ， 则，当时，有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练8-11】（多选题）．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 解析：对于A项，设直线的方程为，，联立方程组，消去整理得，， ，即，又因为，所以上式可化简整理得， 所以，所以直线的方程为，即，所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则，所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，因为且，所以，若，则， 所以直线直线；同理可知当也可判断直线直线，所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图，为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故项正确.故选：ABD. 【变式训练8-12】圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】 由已知可设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法依次判断各命题即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点，斜率不存在的直线与抛物线只有一个交点，不符合已知条件， 故可设直线方程为， 联立，消得，， 方程的判别式， 所以， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以点P在直线上，命题①正确； ，命题②错误； ，命题③错误； 因为， 所以， ， 所以，命题④正确； 故答案为：①④. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 抛物线的阿基米德三角形 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：定点问题 9 题型02：定直线问题 14 题型03：定值问题 19 题型04：参数问题 22 题型05：面积问题 25 题型06：点坐标 30 题型07：证明 34 题型08：阿基米德三角形的综合应用 39 一. 考查位置 高考圆锥曲线大题（第20/21题）高频二级结论模型，常在抛物线大题压轴、选填压轴出现；新高考全国卷、地方卷每年1–2次直接/间接考查。 二. 命题特点 1.不直接考定义，常隐藏在切线、弦中点、面积、定点定值、最值中 2.核心围绕：两条切线+一条弦构成阿基米德三角形 3.常结合：韦达定理、中点、斜率、面积、定点、最值、参数范围 4.难度：中档偏难，属于圆锥曲线提分关键点，掌握结论可大幅简化计算 三. 高频考法 1.证明：顶点与弦中点连线平行于抛物线对称轴 2.求：阿基米德三角形面积、最小面积 3.定点：切线交点恒过定点 4.定值：斜率积、向量数量积、面积比例定值 5.最值：面积最值、距离最值 1. 准确识别抛物线阿基米德三角形结构： 抛物线弦AB，过A、B分别作切线交于P，则三角形PAB即为阿基米德三角形 2. 熟记并会推导5大核心性质，不硬背，理解来源 3. 能在大题中规范使用结论（可直接用，也可简单证明） 4. 掌握通法+二级结论两套解题路径，大题优先通法，选填直接秒杀 5. 熟练解决：面积、定点、定值、最值四类高频题型 6. 能快速构造模型，将复杂抛物线切线问题转化为阿基米德三角形模型 知识点一：圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线方程 曲线上一点处的切线方程 圆 椭圆 双曲线 知识点二：抛物线阿基米德三角形 一、定义 抛物线的弦与两端点的切线围成的三角形叫做阿基米德三角形。 二、切线方程 证法1：设抛物线上一点的切线方程为：，代入，整理得，由，得 因为抛物线上一点处的切线是唯一的， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 证法2：导数法：，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。 三、性质 1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的。 2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。 证明：设,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，，联立方程 解得两切线交点，又， 3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行. 证明：设，弦AB的中点，则 带入抛物线满足方程，所以点P在抛物线上， 4、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线。 证明：设为抛物线内的定点，弦AB的过定点C，， 满足，， 5、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线方程为: ,则定点的坐标为 . 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，与表示同一条直线，其中是弦AB经过的定点，所以 可得：弦AB所在的直线过定点. 6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹． 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线，其中为弦AB的经过的定点．∵点C又为弦AB的中点，，而弦AB所在的直线方程斜率由点差法可得，又∵直线AB与Q的轨迹方程不重合，故可知两线平行． 7、底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 证明：设，弦AB的中点，， 点Q到AB的距离8、. 证明：， ． 所以. 8、抛物线上任取一点(不与 重合), 过作抛物线切线交于,连接 , 则的面积是面积的2倍 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦和弦与抛物线围成的曲面面积，即 所以的面积是面积的2倍 9、在阿基米德三角形中, 10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 在准线上,则底边一定过焦点。 证明：因为点Q的轨迹方程为直线，且 反之，若Q的轨迹方程为，因为弦AB过得定点为，所以弦AB过焦点。 11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 证明：，所以 12、在抛物线上任意取一点,（不与A、B重合），过做抛物线的切线交QA、QB、于S、T两点，则三角形QST的重心在准线上。 证明： 知识点三：椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 知识点四：双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 概念混淆：误将任意弦与切线构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件 ——弦的中点与抛物线顶点连线平行于对称轴，或切线需与抛物线相切于弦的端点。 切线方程失误：求切线方程时，记错抛物线切线公式（如在点处切线为，或代入点坐标时符号出错。 面积公式误用：阿基米德三角形面积与弦长、抛物线参数 p 相关，易混淆为普通三角形面积公式，忽略面积与弦到焦点距离的关联，或计算时遗漏参数 p 的系数。 性质推论遗漏：忽略 “阿基米德三角形的外接圆过抛物线焦点”“切线交点轨迹与抛物线的对偶关系” 等推论，导致解题时无法利用隐含条件简化计算。 策略一：通用解题四步法（大题必用） 1. 设点设线 设A(,),B(,)，直线AB:x=my+n（抛物线优先设横截式，减少计算） 2. 联立抛物线 联立 =2px 与直线，得韦达：+, 3. 求切线交点P 抛物线切线方程：y=p(x+) 联立两条切线，解得P坐标 4. 用性质求解目标 ①平行对称轴：直接用= ②面积： ③定点/定值：用韦达化简 ④最值：转化为单变量函数求范围 策略二：二级结论秒杀法（选填、大题快速验算） 策略三：避坑提醒 1. 大题不能只写结论，必须简单推导切线交点或联立过程 2. 开口向左/上/下抛物线，性质形式略有变化，优先统一用=2px 3. 面积公式优先用纵坐标差，计算远简单于横坐标 题型01：定点问题 【典型例题1】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 解析：（1）设,,则．又因为，所以. 故，整理得.设，同理得. ,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2）由（1）得直线的方程为.由，可得， 于是 .设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时，因此，四边形的面积为或. 【典型例题2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； （3）通过联立直线与抛物线方程求出、坐标，进而表示出的面积，再求其最小值. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. （3）由（2）可得的方程为的方程为， 又直线， 所以， 所以 ， 由（2）可得， 所以点到直线的距离为， 所以 令， 由， 得，当时等号成立， 所以 令， 则 令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 此时或， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，由，得，当时等号成立，把三角形的面积表示为关于t的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【变式训练1-1】抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 【变式训练1-2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 【变式训练1-3】在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记，的面积为，，求的值. 【变式训练1-4】已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程； （Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点. 【变式训练1-5】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 题型02：定直线问题 【典型例题1】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即, 故选：C． 【典型例题2】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值. 【答案】（1）不在，证明见详解；（2） 【分析】 （1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果. （2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果. 【详解】 （1）设直线方程， 根据题意可知直线斜率一定存在， 则 则 由 所以 将代入上式 化简可得，所以 则直线方程为， 所以直线过定点， 所以可知点不在直线上. （2）设 线段的中点为 线段的中点为 则直线的斜率为， 直线的斜率为 可知线段的中垂线的方程为 由，所以上式化简为 即线段的中垂线的方程为 同理可得： 线段的中垂线的方程为 则 由（1）可知： 所以 即，所以点轨迹方程为 焦点为， 所以 当三点共线时，有最大 所以 【点睛】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题. 【典型例题3】已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 （1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上. 【详解】 解：（1）设， 则有，化简得， 故轨迹的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为与 联立得， 设，， 则，， 又，所以， 所以切线的方程为， 即， 同理切线的方程为 联立得，. 两式消去得， 当时，，， 所以交点的轨迹为直线，去掉点. 因而交点在定直线上. 【点睛】 本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题. 【变式训练2-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】过抛物线内一点任意作弦，分别过作抛物线的切线，两条切线交于点，求证：点在定直线上． 【变式训练2-3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【变式训练2-4】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点． （1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上． 【变式训练2-5】已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点． （1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程； （2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上． 【变式训练2-6】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程. 题型03：定值问题 【典型例题1】已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【变式训练3-3】如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值 【变式训练3-4】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 题型04：参数问题 【典型例题1】已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 由抛物线定义即可得； (2) 联立，利用，再结合向量的数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，，联立方程组得， 则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为. 同理可得，的方程为. 由，解得，即点. 因为，，，且， 所以，即 ， 化简得， 因此或， 故. 【变式训练4-1】阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式训练4-2】如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为． (1)若的焦点为，且的最小值为，求的值； (2)若存在点，使得，求的取值范围． 【变式训练4-3】已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 题型05：面积问题 【典型例题1】过点的两条直线与抛物线分别相切于两点,则三角形的面积为（ ） A． B．3 C．27 D． 解析：抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理 故直线的方程为，由得， 故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：. 【典型例题2】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】 易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得， 显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4. 故选：C. 【典型例题3】过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得. 【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0, 因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程； 联立得， 所以， 由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为： ， 联立得，，即. 点到直线的距离， 当且仅当时取到最小值. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养. 【典型例题4】已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点． (1)求曲线，的方程； (2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程. （2）设点，，，其中，联立直线方程和抛物线线方程，消元后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得的中点满足平行于轴并可用表示三角形的面积，从而可求其最大值. 【详解】（1）根据对称性可得，，在椭圆上， 故，且，故，所以. 椭圆的右焦点为，所以即， 故. （2） 设点，，，其中， 由可得， 整理得到：， 所以，故， 且，故， 同理，， 故为方程的两个根，故， 而的中点的纵坐标为，故平行于轴， 故三角形面积为 由可得，故或（舍）， 故， 故当时，有. 【变式训练5-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练5-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【变式训练5-5】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【变式训练5-6】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【变式训练5-7】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且． (1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标； (2)若点为轴上一定点，且； （ⅰ）求出点坐标； （ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值． 【变式训练5-8】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【变式训练5-9】已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点，，是切点. （1）若，，求直线的方程； （2）若点在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值； （3）证明：. 题型06：点坐标 【典型例题1】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定直线过抛物线焦点，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长公式可求得，结合具有的性质，可求得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 直线经过抛物线的焦点， 由题意，设，， 联立，得， 所以，，，解得， ∴， 当时，，所以直线PF方程为：， 因为为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线上， 所以点， 由抛物线对称性可知，当时，， 故选：B． 【典型例题2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设， 由，得， 由， 所以， 所以，解得或， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 综上，的顶点P的坐标为或. 故答案为：或 【典型例题3】已知抛物线，过点的直线与抛物线交 于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（公众号：凌晨讲数学） （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 解析：（1）设.由，得，所以方程为：，整理得：.同理，方程为：.联立得：.设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，有.所以点在定直线上. （2）在的方程中，令，得，所以面积.故，带入可得：. ，解得：或.所以点的坐标为或. （3）抛物线焦点，由得直线斜率， 所以，同理，所以是外接圆的直径.若点也在该圆上，则.由，得直线的方程为：.又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为. 【变式训练6-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【变式训练6-2】已知抛物线，圆是上异于原点的一点. (1)设是上的一点，求的最小值； (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标. 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为. （1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值； （2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 【变式训练6-4】抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2. （1）求拋物线的方程. （2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标. 【变式训练6-5】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1. （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 【变式训练6-6】如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． （Ⅰ）设线段的中点为； （ⅰ）求证：平行于轴； （ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07：证明 【典型例题1】设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切. （1）求动点E的轨迹C的方程； （2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线. 【答案】（1）＝4y；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设E点坐标为(x，y)，由E到x轴的距离等于即可求解. （2）设A，B两点的坐标分别为，，利用导数求出曲线在A，B处切线的斜率，从而可得x2＝－，再求出的斜率，证出 kAF＝kAB，即证. 【详解】 （1）设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心， 设为E，则E点坐标为. ∴E到x轴的距离等于， 即＝，化简得x2＝4y. ∴点E的轨迹C的方程为＝4y. （2）证明：由（1）知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝x2， 设A，B两点的坐标分别为，， ∵曲线方程为y＝，∴y′＝x， ∴曲线在A，B处切线的斜率分别为＝，＝， ∵＝－1，∴·＝－1，∴＝－， ∴A，B两点连线的斜率为 ＝＝－＋， A，F两点连线的斜率为＝＝－＋x1＝， ∴A，B，F三点共线. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A，B两点的坐标求出x2＝－，考查了计算求解能力. 【典型例题2】已知抛物线：的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为，解得，即可得出答案； （2）设，，，直线方程为，联立抛物线的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点处的切线方程，联立上述两切线方程，解得，，计算，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线C的焦点为，准线方程为， 所以焦点F到其准线的距离为， 因为，解得. 所以抛物线C的方程为. （2）由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为， 代入抛物线方程，整理得. 设，，， 则，. 函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得， 同理，抛物线在点B处的切线方程为， 联立上述两切线方程，解得，， 因为，， 所以， 所以. 【典型例题3】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点． （Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明； （Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【分析】 设的方程为 ．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为． 【详解】 由题设，设，则，且 ． 记过两点的直线为，则的方程为 （Ⅰ）由于在线段上，故， 记的斜率为的斜率为，则， 所以 （Ⅱ）设与轴的交点为， 则， 由题设可得，所以（舍去），． 设满足条件的的中点为． 当与轴不垂直时，由可得． 而，所以． 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为 【点睛】 本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法． 【变式训练7-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2． （1）求抛物线C的方程； （2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形． 【变式训练7-2】如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）设中点为，且，，证明：； （3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值. 【变式训练7-3】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB． 【变式训练7-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【变式训练7-5】过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 题型08：阿基米德三角形的综合应用 【典型例题1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能 【答案】B 【分析】设出直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断. 【详解】 如图，设，，则，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，则，．易知切线的斜率肯定不为0， 设过点的切线方程为，联立， 整理得， 则，即， 设过点的切线方程为，同理可得， 则，得，， 则两条切线的斜率之积为，故是直角三角形． 故选：B． 【典型例题2】阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 【答案】D 【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断． 【详解】联立方程，消去得：，解得或 即，则，A正确； ∵，即 对于，切线斜率分别为 ∴，即，B正确； 在点A的切线方程为，即 同理可得在点B的切线方程为 联立方程，解得，即P，D不正确； ∵，则， ∴，即，C正确； 故选：D． 【典型例题3】为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】D 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确； 点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确； 设直线，联立方程组，根据，可判定C正确； 取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】如图：    依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 【典型例题4】过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述： ①点必在抛物线的准线上； ②； ③设、，则的面积的最小值为； ④； ⑤平行于轴. 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为. 证明如下： 由于点在抛物线上，则， 联立，可得，即，， 所以，抛物线在其上一点处的切线方程为. 如下图所示： 设、，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可得，， 对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 联立，解得，所以点的横坐标为， 即点在抛物线的准线上，①正确； 对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，， 所以，，②正确； 对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时； 当不与轴垂直时，直线的斜率为， 直线的斜率为，，则. 综上，，④正确； 对于命题③，， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，③错误； 对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误. 故选：B. 【变式训练8-1】（多选）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【变式训练8-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【变式训练8-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【变式训练8-4】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【变式训练8-5】若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【变式训练8-6】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【变式训练8-7】圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【变式训练8-8】（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【变式训练8-9】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【变式训练8-10】（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【变式训练8-11】（多选题）．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 【变式训练8-12】圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $