精品解析：广东梅州市梅县区2025-2026学年第二学期八年级数学科试题

2025-2026学年第二学期八年级数学科 满分120分 考试用时110分钟 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；据此即可求解. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C 2. 下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，横坐标变为，纵坐标保持2不变． 因此，平移后的点坐标为， 故选A． 4. 如图，在中，，，点是边的中点，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 点是边的中点， ， 在中，，， 则， 故选：B ． 5. 如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 6. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：；原说法正确，符合题意； B、，则：；原说法错误，不符合题意； C、，则：；原说法错误，不符合题意； D、，则：；原说法错误，不符合题意； 故选A． 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设， 故选：A． 8. 如图，已知在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求得，进而根据旋转的性质得出，，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到，使点在上， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与的图象交点的横坐标为3，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数与的图象交点的横坐标为3， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时最小，即此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，， 同理可得，则， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，2）关于原点对称， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是Q（﹣x，﹣y）是解题的关键． 12. 若是关于的一元一次不等式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得，求解即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移，由平移的性质得，，即得，进而可求出四边形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：． 14. 如图，中，过点作于点，，，取中点，连接，若平分，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的相关计算，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；由题意求得，过点E作，，由平分得，证得，再证是等边三角形即可解答． 【详解】解：，， ， 点是的中点， 过点E作， 平分 ， 是等边三角形 故答案为4． 15. 如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有____________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键．根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵和是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ，故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故答案为①②④． 三．解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上） 16. 解不等式、不等式组 （1）解不等式： ； （2）解不等式组：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为“”进行求解即可； 分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式 ； 解不等式 ， ， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．连接，先根据角平分线的判定定理可得平分，再根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵，，， ∴平分， ∵在等腰三角形中，， ∴是中点（等腰三角形的三线合一）． 18. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 四．解答题（二）（本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 19. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是 ； （3）若将绕某一点旋转可以得到；请在坐标系中作出旋转中心，点的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作出、、三点的对称点、、，并依次连接即可； （2）先根据点和点的坐标确定平移方式，再根据平移方式确定点的坐标； （3）分别连接、相交于点，则点就是旋转中心，再由中点坐标公式求旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的对应点的坐标为， 平移方式为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点的对应点的坐标是，即； 【小问3详解】 解：分别连接、相交于点，则点就是旋转中心，则点的坐标为，即． 20. 我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、求一元一次不等式的解集，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到，再解不等式即可； （2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再根据解集与（1）中的不等式解集相同，即可求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， 解得：， 不等式的解集为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， 解得：， 关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同， ， 解得：， 的值为． 21. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套简约版成本价为9元，每套创意版成本价为17元 （2）总利润最高是920元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设售出套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣，根据题意得出，再结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元； 【小问2详解】 解：设售出套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣， 由题意可得：， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 故总利润最高是元． 五．解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 22. 已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且 ． （1）如图1，若为的中点，，求的长． （2）如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】（1） （2），理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即 ， 在 中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ， ，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得 ，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出 ，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【小问1详解】 解：为等边三角形， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作交延长线于点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23. 在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 【答案】问题1：见解析；问题2：；证明见解析；问题3： 【解析】 【分析】问题1：证明，即得； 问题2：将绕点B逆时针旋转到，连接、，证明，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据勾股定理得出即可； 问题3：过点C作，取，连接、，证明，根据勾股定理求出，，证明，得出． 【详解】问题1：证明：， ，即， ，， ， ； 问题2：；证明如下： 将绕点B逆时针旋转到，连接、，如图所示： 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 问题3：过点C作，取，连接、，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学科 满分120分 考试用时110分钟 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点是边的中点，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 6. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 12. 若是关于的一元一次不等式，则_____． 13. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 14. 如图，中，过点作于点，，，取中点，连接，若平分，则___________． 15. 如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有____________________． 三．解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上） 16. 解不等式、不等式组 （1）解不等式： ； （2）解不等式组：． 17. 如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 18. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 四．解答题（二）（本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 19. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是 ； （3）若将绕某一点旋转可以得到；请在坐标系中作出旋转中心，点的坐标为 ． 20. 我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． 21. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 五．解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 22. 已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且 ． （1）如图1，若为的中点，，求的长． （2）如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 23. 在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $