第11章 8.微专题27 带电粒子在交变电磁场、空间电磁场中的运动（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考物理大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦带电粒子在交变与空间电磁场中的运动，通过分级典例构建“场分析-运动分解-轨迹建模”的解题体系，强化科学思维与物理观念的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交变电磁场运动|2题（含2022河北真题）|周期匹配法、运动阶段分解、轨迹几何分析|从洛伦兹力提供向心力切入，结合电场力冲量特性，推导交变场中粒子垂直打板条件| |空间电磁场运动|3题（含三维螺旋运动）|速度正交分解、螺旋运动参数计算、空间轨迹投影法|以匀速圆周运动为基础，拓展到空间螺旋运动，通过截面分析简化三维问题|

微专题27　带电粒子在交变电磁场、空间电磁场中的运动 题组1　带电粒子在交变电磁场中的运动 1.★★★(2025届山东日照三模)如图甲所示,足够大的两平行板P、Q水平固定,间距为d,板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向,磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示,电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻,一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子(不计重力),以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时,可使粒子经一段时间垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、E0、v0、d均为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在板间运动的时间以及水平位移; (2)若同时加电场和磁场,且磁感应强度B0=,粒子垂直打在P板上,求粒子在板间运动的位移大小。 1.答案　(1)　d　(2) 解析　(1)若只加磁场且磁感应强度B0=,根据洛伦兹力提供向心力有qv0B0=,解得R1= 粒子在磁场中的轨迹如图1 图1 由图1可知R1+2R1 sin θ=d,解得θ=30° 水平位移x=R1-2R1(1- cos θ)=d 圆周运动的周期T1== 运动时间t=T1= (2)若同时加电场和磁场,且磁感应强B0=,根据洛伦兹力提供向心力有qv0B0= 解得R2= 粒子在磁场中的轨迹如图2所示 图2 圆周运动的周期T2== 粒子在一个电场周期内,沿电场方向的速度变化量为零,要使粒子垂直打到P板上,有T2=nTE(n=1,2,3,…) 解得TE=(n=1,2,3,…) 粒子沿电场方向的位移大小 y=nTE=n××××TE= 在磁场中的位移x==d 粒子在板间运动的位移大小s== 2.★★★★(2022河北,14,16分)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示。金属板与可调电源相连形成电场,方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场,方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源,可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量。求: (1)t=0时刻释放的粒子,在t=时刻的位置坐标; (2)在0~时间内,静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功; (3)在M点放置一粒子接收器,在0~时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。 图1 图2 2.答案　(1)　(2) (3)和 解析　(1)在0~时间内,带电粒子在电场中做匀加速直线运动 由E0q=ma,v1=at,y1=at2,解得v1=、y1= 在~时间内,带电粒子在磁场中做了半个周期的匀速圆周运动 由qB0v1=,x1=2R,解得x1= 带电粒子在0~时间内的运动轨迹如图甲所示,故在时刻带电粒子的位置坐标为。 　 (2)在时刻,v1= 在~时间内,由2E0q=ma2,v2=-v1+a2, 解得v2= 在~时间内,由3E0q=ma3,v3=-v2+a3, 解得v3= 由W=m,解得在0~时间内,静电力对带电粒子做的功为W= (3)设=T,=a。 (ⅰ)若在0~时间内某时刻t'释放,粒子的运动轨迹如图乙所示,粒子首次加速时间为(T-t'),则首次加速后速度大小v1'=a(T-t'),在磁场内偏转的半径R1= 由(1)易知,粒子至少要再次加速并偏转才可能通过xM= 设粒子在的速度大小为v2',在磁场内偏转半径为R2=,则v2'=-v1'+2aT,解得v2'=a(T+t'), 经过两次半个周期的圆周运动,在x方向上的位移 x=2R1+2R2== 即x=··==xM,可见在0~时间内任意时刻释放,经历两次偏转后水平位移x=xM恒成立。 现分析该过程中在y方向上的位移 第一次加速后,y1'=a(T-t')2 第二次加速后,y2'=-v1'T+·2aT2=aTt'或y2'==aTt' 此时纵坐标Y=y1'+y2'=a(T-t')2+aTt'=a(T2+t'2) 经过第二次偏转后进入第三次匀变速运动,加速度为3a, 此时粒子向下运动的最大距离 Δy1=== 则纵坐标的最小值 Y'=Y-Δy1=a(T2+t'2)-=a(t'2-Tt'+T2) Y'=a,即当t'==时Y'有最小值 Ymin'=aT2=··==yM 可见当t'=时,在~阶段中粒子向下减速到速度为0时恰好能被捕获。 (ⅱ)若在~时间内某时刻释放,粒子加速时间为(T-t″), 则有v1″=2a(T-t″),y1″=·2a(T-t″)2,在x方向上的位移x1″=2R1″==-t″ 可见要到达xM应在t″=0即时刻释放, 此时v1″=2aT 则y轴方向上y1″=·2aT2=aT2=·= 偏转后向下移动的最大距离Δy1'==aT2= 此时纵坐标的最小值Y″=y1″-Δy1'=>,即不可能到达yM而被捕获。 (ⅲ)若在~时间内某时刻释放, 则加速后速度v1‴=3a(T-t‴) 在x方向上的位移x1‴=2R1‴== 解得x1‴=-t‴ 令x1‴=xM,即-t‴=,得t‴== 即在+t‴=时刻释放能满足到达xM的条件, 此时粒子加速后的速度v0=3a=2aT= 此时Y1=·3a(T-t‴)2=aT2=,粒子偏转后,纵坐标的最小值Y1″=Y1-=aT2=··=< 即偏转后粒子向下运动过程中必经过M点。 综上可知在0~时间内有两个时刻即和释放的粒子满足要求。 题组2　带电粒子在空间电磁场中的运动 1.★★★(多选)(2025届湖北二模)匀强磁场B水平向左,一带正电的粒子以速度v0进入磁场,初速度方向与磁场反方向夹角为θ,已知粒子质量为m,电荷量为q,忽略粒子重力,粒子运动轨迹如图所示,则以下说法正确的是(　　) A.螺旋的半径为 B.相邻两螺旋间距为 C.带电粒子在运动时加速度大小不变 D.若带电粒子速度大小不变,方向可以变化,则当夹角θ满足某一条件时,粒子在一个周期内运动轨迹所包围的体积有最大值 1.答案　CD 2.★★★★(2025陕晋青宁,14,14分)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,足够长圆柱形筒半径为R,正中央有一电子发射源O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量) (1)电子的比荷; (2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。 　　 2.答案　(1)　(2)2π2R2 解题导引　本题为定速不定向粒子源发射的粒子在空间磁场中的运动,电子运动分布在三维空间中,对空间运动的分析方法是截取截面进行研究,题中已给出两个视角的截面图,所以题目已经给出解题的思路。 解析　(1)由题意可得,当磁感应强度B从0开始调大的过程中,洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力,有evB=m,解得r= 由电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径公式可知电子的轨迹半径在变小,所以当磁感应强度增大至B0时,电子恰好没有落在筒壁上,此情况下电子的运动轨迹如图甲所示 可知电子做圆周运动的轨迹半径r0= 则有ev0B0= ,联立解得 =。 　　 (2)当磁感应强度大小调至 时,电子运动轨迹的半径r'=2r0=R,从筒的横截面看,电子轨迹如图乙所示,筒壁截面任意位置均有电子落到。 取轴截面分析,根据对称性,可分析单边侧壁,如图丙所示,当电子速度与磁场不垂直时,将速度分解为vx和vy,电子做螺旋线运动 　　　　　 方向平行于横截面的分运动是速率为vx的匀速圆周运动,沿轴向的分运动是速率为vy的匀速直线运动,如图丁;当平行于横截面做匀速圆周运动的轨迹直径为R时,电子恰好不落到筒壁上,即运动半径r0=,根据evxB=,代入r0=、B=、= 联立解得vx= 则vy=,解得vy= 周期T=【点拨:二级结论】 戊 或T== 所以筒壁上沿轴向下半部分有电子落上的高度d=vy·= ,如图戊所示 由对称性可知,整个筒壁沿轴向有电子落到区域的高度为2d 则筒壁上落有电子的区域面积S=2πR·2d 联立解得S=2π2R2。 3.★★★★(2025届广东广州市铁一中学月考)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动,某控制装置如图所示,区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场,半径为R的中心线O'O处的电场强度大小处处相等,且大小为E1,方向指向圆心O1;在空间坐标系Oxyz中,区域Ⅱ是棱长为L的正方体空间,该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知);区域Ⅲ也是棱长为L的正方体空间,空间内充满平行于xOy平面,与x轴负方向成45°角的匀强磁场,磁感应强度大小为B,在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板;一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场,所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ,不计带电粒子所受重力和粒子间的相互作用。 (1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0,该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中,已知P点坐标为,求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小; (2)保持(1)问中E2不变,为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上,求粒子的比荷需要满足的条件。 3.答案　(1)　　(2)≤≤ 解析　(1)某一粒子进入辐向电场的速率为v0,粒子在辐向电场中做匀速圆周运动,由静电力提供向心力可得 q0E1=m0 解得该粒子的比荷= 粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动,沿x轴方向有L=v0t 沿y轴方向有a=,=at2 联立解得E2=。 (2)设粒子进入辐向电场的速率为v,则粒子在辐向电场中有 qE1=m 解得v= 粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动,设粒子都能进入区域Ⅲ,则沿x轴方向有L=vt' 沿y轴方向有a'=,y=a't'2,vy=a't' 联立解得y=,vy= 可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中,设进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ,则有tan θ==1 解得θ=45°【点拨:粒子垂直进入磁场,在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动】 粒子进入区域Ⅲ的速度大小v'== 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力,则有 qv'B=m 解得r== 为了保证粒子能够直接打到粒子收集板上,如图所示 由几何关系可知粒子在磁场中的轨迹半径需要满足 L≤r≤L 联立解得粒子的比荷需要满足≤≤。 第 3 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $