3 专题4 代数推理题（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

专题四 代数推理题 1.已知实数a,b满足a-b+1=0,0<a+b+1<1,则下列判断正确的是 -2<0 C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①4a+b=0;②abc>0;③a-b+c=0;④方程ax2+ bx+c=4有实数根.其中正确的个数是 () ↑Yx=2 A.1 B.2 C.3 D.4 3.观察下列算式： 1+1=3+122 88241+1514 33=2;1+1-8+132 15153x5…. 按照上面的规律完成下列各题： ,124+1 (1)第四个算式：1+2424 一二 (2)第五个算式为 4.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换：①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=（2, -1);②g(m,n)=（-m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(-3,-4)=（-3,4),那 么g[f(3,2)]= 5.幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化.如图所示，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形 的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若A=2n+1,C=4n,F=2n,则H= D 6.对任意一个四位数m,若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上 的数字不相等，则称这个数为“砺新数”.将一个“砺新数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四 个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F(m).例如，“砺新数”m=1234,去掉千位上的数字得 到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三 位数的和234+134+124+123=615,615÷3=205，所以，F(1234)=205.根据定义：F(5218)= ;若 “砺新数”n=8900+10x+y(1≤x≤9,1≤y≤9，x,y都是正整数)，F(n)也是“砺新数”，且F(n)能被8整除， 则F[F(n)]= -35 7.【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等 证明已知结果或结论. 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m,n,它们的乘积g(g=mn)与较大数的和一 定为较大数的平方： (1)举例验证：当m=4,n=5时，则g+n=4×5+5=25=52. (2)推理证明：小明同学做了如下的证明： 设m<n,m,n是连续的正整数，∴.n=m+l. q=mn,..q+n=mn+n=n(m+1)=n2, .g+n一定是正数n的平方数. 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方，请你举例验证及推 理证明， 【深入思考】若p=√q+2n+√g-2m(m,n为两个连续奇数，0<m<n,q=mn),求证：p一定是偶数 8.我们称M为“星汇数”，记M)=-2,M2=（-2)×(-2),M3)=（-2)×(-2)×(-2),Mw= (-2)×(-2)×(-2)×…×(-2)(其中n为正整数). (n个-2相乘) (1)计算：M(3)+M4= (2)求M+M(1m)的值. (3)探究2×M22与M(22s的关系，并说明理由. —36—三、中考潮 专题一学科融合题 1.B2.A3.C4.B5.B 6.解：(1)过点E作EG⊥AC于点G,如图1，则GE=CD, E B D H 图1 :AB=0cm,能号4， .BE=10cm,∴.AE=20cm .·∠AEG==10°， .GE=AE·cosa=20xcos10°≈19.6(cm), ∴.CD=GE=19.6cm. 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为19.6cm. (2)过点B作BH⊥CF于点H,BP⊥DE于点P,过点M作 MQ⊥BH于点Q,如图2， A a G- D D H 图2 则BP=BE·cosa=10×cos10°≈9.8(cm),EP=BE· sin=10xsin10°≈1.7(cm). DE=21.7cm, .PD=DE-EP=21.7-1.7=20(cm), ..BH=20cm. MN=8 cm, ∴.QH=8cm, ∴.BQ=BH-QH=20-8=12(cm). .∠ABM=145°， .∠QBM=∠ABM-a-90°=145°-10°-90°=45°， “.△BQM是等腰直角三角形， .'OM=BO=12 cm, ∴.DN=DH+HW=BP+QM=9.8+12=21.8(cm). 答：线段DW的长度约为21.8cm. 专题二数学文化题 1D2.A3.B4.D5.21(答案不唯-)8 6.200 7.1158.42π 专题三阅读理解题 1.C2.D3.C4.B5.C6.-27.62 8解：(1) b sin Asin Bsin C -5 趋势专练 b 2 sin 60sin 45,= 2 2 (2)过点A作AD⊥BC于点D,如图 在Rt△ABD中， cosB=cs60°=BD_BD AB-2· 457 .BD=1. 在Rt△ADC中，：∠C=45°， c-号6va. ·AD=CD=2 .BC=CD+BD=√3+1. △1BC的面积=子xW3x(,+1)=33 1 2 (3).∠B=60°，∠C=45° ..∠A=180°-∠B-∠C=75° .·△ABC的面积= 2 bcsin A, 1, 分×62xam75 2sim750=6+2 3+√ 4 9.(1)增 (2)证明：设x1<x2<0, 则y1y2=-5x子-(-5x2)=5(x-x)=5(x2-x1)(x2+x1), 因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x2+x1<0, 所以y1-y2=5(x2-x1)(x2+x1)<0, 所以y1<y2,因此该函数在自变量x<0时是“增函数” (3)-2≤k≤0 专题四代数推理题 1C2B3.(1)4x6(2)1+35355x7 52 135+162 4.（-3,2)5.4n-1 6.595198【解析1F(5218)=521+528+518+218-595. 3 :n=8900+10x+y, .去掉千位：900+10x+y;去掉百位：800+10x+y;去掉十位： 890+y;去掉个位：890+x; ·Fn）=（90+10x+y)）+(800+10x+y)+(890）+(890+) 3 1160+7x+y=145×8+7x+y F(n)能被8整除， .7x+y能被8整除，且1≤x≤9,1≤y≤9， ∴.当x=1,y=9时，F(n)=1176(舍去). 当x=9,y=1时，F(n)=1224, 则F[P(m)1=122+124124+224=198, 3 7.【类比猜想】解：举例验证：当m=4,n=5时，则g-m=4×5- 4=16=42.(举例不唯一) 证明如下：设m<n,m,n是连续的正整数， ∴.m=n-1. .q=mn,..q-m=mn-m=m(n-1)=m2, ∴.g-m一定是正数m的平方数，即任意两个连续正整数 的乘积与较小数的差是较小数的平方， 【深人思考】证明：m,n为两个连续奇数，0<m<n, ∴.n=m+2,∴.q=mn=m2+2m, ∴p=√m2+2m+2(m+2)+√m2+2m-2m=√(m+2)2+ √m=m+2+m=2(m+1), p一定是偶数 8.解：(1)8 (2)由题知，M=(-2)×(-2)x(-2)×…×(-2)(-2), (n个-2相乘) 所以M9=(-2)”,M(10=(-2)10, 则M9)+M(10)=(-2)9+(-2)160=29 (3)互为相反数.理由如下： 因为M(20m)=(-2)24=204,M25)=(-2）25=-2 所以2XM2=2晒， 则2xM(224)+M(202s)=0, 所以它们互为相反数. 专题五 综合与实践题 1.解：(1)2000.2 (2)800x62 200 248(名) 答：估计有意向学习行书的学生有248名. (3)评价：大部分同学喜爱隶书、行书和楷书.建议：可适 当多开设隶书、行书和楷书的书法课程.（答案不唯一，合 理即可) 2.解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b(k1,b1 为常数，且k1≠0)， 将x=8,y1=200和x=11,y1=320代人y1=k1x+b1,得 8,+0=20,解得4-40， （11k1+b1=320, (b,=-120. .y1=40x-120. 设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2(k2,b2为常数， 且k2≠0)， 将x=8,y2=500和x=11,y2=440代入y2=k2x+b2,得 84,+0,=50,解得=-20， (112+b2=440, (b2=660, .y2=-20x+660. (2)ya=y1+y2=40x-120-20x+660=20x+540, 当≥号时，40-120≥子(20+50).解得≥18： 2 2 当2≥了a时，-20x+660≥3(20x+540),解得x≤9， ∴.8时到9时，可变车道的方向设置为自西向东： 18时到20时，可变车道的方向设置为自东向西. 3.解：(1)①矩形②t (2)矩形的对边相等 (3)在B的一侧取一点E,用测角仪测量∠BEA=a,再取 一点F,测量EF的长a,以及∠BFA=B,如图. 山 体 5 AB AB .'AB⊥FB,∴.tana BE,tan B= BE .BE=AB AB BF= tan a' tan B 又：BF-BE=EF=a, AB AB tan B tan a =a,..AB=tan ctan B tan a-tan Ba 4.解：操作发现：原四边形的对角线 实践探究：(1)①如图1所示，点D即为所求.（答案不唯一） 4 01234567x 图1 ②(6,2)（答案不唯一，与①一致即可） ③相等[提示]A(4,0),B(1,2),C(4,6),D(6,2), AB2+CD2=(32+22)+(22+42)=33, BC2+AD2=(32+42)+(22+22)=33, ..AB2+CD2=BC2+AD2, ·“中点矩形”的两组对边的平方和之间的数量关系是 相等. 问题解决：(2)四边形BEGC是“中点矩形” 理由如下： 如图2，设AB,EC交于点H,连接BE,EG,CC. 图2 由正方形ABDE及正方形ACFG, 得∠EAB=∠GAC=90°，AG=AC,AE=AB, ∴.LEAB+LBAC=∠GAC+LBAC,即LEAC=∠GAB. 在△EAC和△BAG中， AC=AG, LEAC=LBAG,∴.△EAC≌△BAG(SAS), AE=AB .∠ABG=∠AEC .∠AHE=∠BHO ∴.∠AEC+∠AHE=∠ABG+∠BHO=90°， ∴.∠HOB=90°，.∴.EC⊥BG .四边形BEGC是“中点矩形” (3)AB=√5[提示]在△ABC中， ·BC=3,AC=4,D,E分别是AC,BC的中点， ~0E是△46c的中位线，A0=4C=2,BE=分6C=2 2 当四边形ABED是“中点矩形”时， 由(1)知AD2+BE2=AB2+DE2 2(侣)°=A松+（兮d)°解得AB=5(负值会去）. 4