2 题型9 几何探究综合题（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

题型九几何探究综合题 类型1折叠探究 1.【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平 行四边形纸片ABCD进行折叠变换后，发现结论并解决问题 【成果展示】 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕与AD,BC边分别交于 点E,F,发现DE=DF,请证明他们发现的结论 (2)“希望”小组：如图2，E,F分别是AD,BC边上的动点，且AE=CF,连接EF,将平行四边形ABCD沿EF 折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,K,发现EK= FG,请证明他们发现的结论， (3)教师提问：在图1的基础上，连接CE与DF交于点H,如图3所示，若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，直接 写出线段FH的长 AE D B G 图1 图2 图3 23- 类型2旋转探究 2.我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形.数学兴趣小组的几名同学对 “手拉手”图形进行了探究 (1)初步探究 如图1，△AOB与△COD的顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB,OC=OD,连接AD,BC,他们通过测 量发现在△AOB和△COD绕点O转动的过程中，AD=BC,请你证明他们的结论. (2)大胆猜想 如图2，在(1)的条件下，连接AC,BD,他们猜想△AOC的面积与△B0D的面积相等，请证明他们的猜想是 正确的 (3)拓展延伸 如图3，在(2)的条件下，当∠AC0=90°时，延长C0交BD于点G,CG=8,△BC0的面积为18，求AC的 长度 B 0 D D 图1 图2 图3 24 类型3类比探究 3.【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF= 90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证：AE=EF.(提示：取AB的中点G,连接EG.) (1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出 ,进而得到AE=EF. 【类比探究】 (（2)如图2，四边形ABCD是矩形，且gA,E是边BC的中点，∠ABF=90,且Fr交矩形外角的平分线CP F点F,求的值用含n的式子表示】 【综合应用】 3 (3)如图3，P为边CD上一点，连接AP,PF,在(2)的基础上，当n-之，∠PAE=45°，PF=5时，请直接写出 BC的长 图2 图3 -25 类型4动点、动图探究 4.如图1，矩形ABCD与Rt△EFG叠放在一起（点D,C分别与点G,F重合，点E落在对角线上），已知AB= 15cm,AD=20cm,∠GEF=90°.如图2，△EFG从图1的位置出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s;动 点P同时从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s.设它们的运动时间为t(s)(0<t<10),连接PE. 解答下列问题： (1)求EG的长 (2)当t为何值时，点D在线段PE的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使△DPE的面积是矩形ABCD面积的。？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 50 理由 (4)如图3，点F,是点F关于BD的对称点，连接FP,GP,当t为何值时，FP+PG的值最小？ F 、G D(C E E B C(F) 图1 图2 图3 —26 类型5最值问题 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线 折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是 A O E B F 第5题图 第6题图 6.如图，在菱形ABCD中，AB=6,E为射线DA上的动点，F为射线DC上的动点，且DE=DF,连接CE,BF,若 菱形ABCD的面积为18，则BF+CE的最小值为 7.综合与探究 数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究. 【初步感知】如图1，E是正方形ABCD的边BC上一动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F.求证：△ABE一 △ECF. 【类比探究】如图2，E是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AE交对角线BD于点M,若线段AB是线段BE 和BC的比例中项，求证：AE⊥BD. 【拓展提升】如图3，口ABCD的对角线AC,BD相交于点M,过点C作CE⊥AC交边AD的延长线于点E,若 AC=6,CE=8,求线段BD的最小值， M B 图1 图2 图3 27— 8.【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动， 如图1，在矩形ABCD和矩形AGFE中，CD=√3BC=43,E,G分别是AD,AB的中点，连接CF. 【特例感知】 BG, BG (1)请直接写出C的值， CF 【类比探究】 (2)如图2，将图1中的矩形4GE绕若点A顺时针旋转，连接BG,探究BC的值是否改变，并证明你的 结论， 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，如图3，连接CE,取CE的中点H,连接DH,求线段DH长度的最大值和最小值 C D C D H 图1 图2 图3 —28∴.∠1=∠2，.△ACE为等腰直角三角形， .∠1=∠2=45°，0A⊥0C .CD∥AO,.CD⊥OC. :0C为⊙0的半径，.CD为⊙0的切线. E 0 图1 图2 (2)解：过点C作⊙0直径CE交AB于M,连接EB,过M 作MF⊥AC于F,如图2所示， 则∠EBC=90° .CDAO,∴.∠OAM=∠D 1 ∴.tan∠OAM=tanD= 3 由(1)，可知0A10C,∠0CA=45°. 在R△0AM中，：tan∠OAM=OM1 0A3, .设0M=a,0A=3a,0C=0A=3a, ∴.MC=0C-0M=3a-a=2a. .∠OCA=45°，MF⊥AC, .△MCF为等腰直角三角形， MF=CF- 2 2 MC- 2a=√2a. 2 在Rt△0AC中，cos∠0CA=, ∴.AC= 0C_3a cos∠0 CAcos450=32a, ..AF=AC-CF=3/2a-/2a=2/2a, 在R△AMF中，an∠MMC=MF-2a=L AF 2a 2 1 .∠MAC=∠BAC,∴.tan∠BAC= 2 1 又：∠E=∠BAC,.tanE=tan∠BAC= 2 BC 1 在Rt△EBC中，.BC=2,tanE= BE2’ 21 BEBE=4, ∴.CE=√BC2+BE2=√22+42=25， 40A=EC=5. 2 题型九几何探究综合题 1.(1)证明：.·四边形ABCD是平行四边形 ADBC,.∠DEF=∠BFE. 根据折叠的性质，得∠BFE=∠DFE, ∴.LDEF=∠DFE,.DE=DE (2)证明：·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠A=∠C,∠B=∠D. 根据折叠的性质，得AE=AE,∠A=∠A1,∠B=∠B1, .∠A1=∠C,∠B1=∠D. 又AE=CF, 5 ..A,E=CF. ∠DHK=∠BHG,∴.∠DKH=∠B1GH, .∠A1KE=LCGF. 在△A,KE和△CGF中， ILA,KE=∠CGF, ∠A1=∠C, ·△A,KE≌△CGF(AAS), A E=CF, ∴.EK=FG. e器 [提示]过点D作DN⊥BC 交BC的延长线于点N,如图， :四边形ABCD是平行四边形，B ∠ABC=60°，AB=4,BC=6, ∴.∠ADC=∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，CD=AB= 4,AD=BC=6,AD∥BC, ∴.∠DCN=180°-∠BCD=60°， .∴.∠CDN=30°， CN-CD-2DN-/CD-CN-2/3. 根据折叠的性质，得∠ABC=∠A,DF=60°，∠BAD=∠A1= 120°，AE=AE, ∴.∠FDC=∠A1DE=60°-∠EDF,LA1=∠BCD=120° 由(1)可得DE=DF ∴.△A,DE≌△CDF(AAS), ,.A1E=FC,∴.AE=AE=FC 设AE=AE=FC=x,则DF=DE=AD-AE=6-x,FN=FC+ CN=x+2. 在Rt△DFN中，由勾股定理得，DN2+FN2=DF2, (23)+(x+22=(6-x)2,解得x= 49 DE=DF=6-x=6-4F4 519 .'AD∥BC,∴.△DEH∽△FCH, 5 FC FH 吾0，解得Pm=经检骏H ·DEDH·19=19 961 96 -FH 44 是方程的解。 2.(1)证明：：∠A0B=∠C0D=90°，∴.∠A0D=∠B0C. 在△A0D与△BOC中， 1A0=B0, ∠AOD=∠BOC, OD=0C. .△AOD≌△BOC(SAS),.AD=BC (2)证明：过点O作OH⊥AC于点H,延长H0交BD于点 F,过点B作BM⊥HF于点M,过点D作DE⊥HF交HF的 延长线于点E,如图1. .:∠OHC=∠DEO=∠COD=90°， .∠OCH+∠HOC=∠HOC+∠DOE=90°， ..∠OCH=∠DOE. .·OC=OD,.∴.△OCH≌△DOE(AAS), :'.DE=OH,SAOCH=SADOE 同理△AOH≌△OBM, ∴S△4on=S△BOM,OH=BM, .DE=BM. .∠DEF=∠BMF=9O°，∠DFE=∠BFM, .△DEF≌△BMF(AAS),∴.SADEF=S△BMr :SAAOC=S△0cH+S△AoH, S△B0n=S△DoP+S△BMr+S△BOM=S△DOF+S△DBr+S△A0H=S△DoB+ S△4oH=S△ocH+S△A0H, .S△40c=S△B0D: 图1 图2 (3)解：过点B作BN⊥OG交OG的延长线于点N,如图2， 易证△OAC≌△BON(AAS),∴AC=ON,OC=BN. OC=OD,..OD=BN. 在△DOG与△BNG中， ∠DOG=∠BNG=90°， ∠OGD=∠NGB DO=BN, .△DOG≌△BNG(AAS),.OG=GN,∴.AC=2OG. 1 SARc0=2 CO.BN=18,..OC=BN=6. CG=8,.0G=2,.AC=20G=4. 3.解：(1)△GAE△CEF[提示]如图1，取AB的中点G, 连接GE,设点I在BC的延长线上 :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠DCI=90° ·G,E分别是AB和BC的中点， ∴.AG=BG=CE=BE, ∴.∠BGE=∠BEG=45°，∴.∠AGE=135 :EF交正方形外角的平分线CF于点F, .∠DCF=45°，∴.∠ECF=135°=∠AGE. ∠AEF=∠B=90°， ∴.∠CEF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90° ∴.∠CEF=∠BAE,即∠CEF=∠GAE, ∴.△GAE≌△CEF(ASA),∴.AE=EF 图1 图2 图3 (2)如图2，在AB上取点H,使BH=BE,连接HE,设点I在 BC的延长线上 由(1)同理，可得∠CEF=∠BAE,∠AHE=∠ECF=135°， AE AH ·.△HAE∽△CEF,EFCE : BC=m,E为BC的中点，设BC=2x, 则BH=BE=CE=x,AB=2nx, .AH=(2n-1)x, -5 ABAH_(2n-1)x=2n-1. (3)22 [提示]如图3，延长AP,EF交于点Q,过点Q作QM LBC, 交BC的延长线于点M,作QN⊥CD于点N,则QW=CM. ∠PAE=45°，∠AEF=90°， △AEQ是等腰直角三角形，AE=EQ 由(1)同理可得∠BAE=∠MEQ. 又∠B=∠M,.△BAE≌△MEQ(AAS), ∴.BE=QM,AB=EM .AB 提m =2n-1=2, ..AE=2EF,..EQ=2EF. 设BE=CE=x,则AB=EM=3x, ..CM=NO=2x=AD. ∠D=∠QNP,LAPD=∠NPQ, .△ADP≌△QNP(AAS),.AP=QP, .PF为△AEQ的中位线， .AE=2PF=25,x2+(3x)2=(25)2, 解得x=√2（负值已舍），∴.BC=2BE=22. 4.解：(1)：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=15cm,BC=AD=20cm,∠BCD=90°， .BD=√BC2+CD2=25cm. .:∠GEF=∠BCD=90°，∠CDB=∠EGF, GF EG ·△BCD∽△FEG,BDCD' 28-智BG=9m (2)点D在线段PE的垂直平分线上，.DP=DE. .AD=20 cm,AP=2t cm,.'.DP=(20-2t)cm. DB=(9+)cm,.20-2=9+t,解得=3， 11 故当：=号时，点D在线段PE的垂直平分线上 (3)存在某一时刻，使得△DPE的面积是矩形ABCD面积 的多 如图1，过点E作EH⊥AD于点H. ··四边形ABCD是矩形，EH⊥AD, .∠BAD=∠EHD=90°， ∴.EH∥AB,∴.△EDH△BDA, EH DE EH 9+t ABBD'1525' EH=27+3 5 “△DPE的面积是矩形ABCD面积的 '50, .PD.EH=XAB·AD, 50 2(20-20）.7号"0x1520. 27+3t7 解得t=5(负值已舍去)， 七当1=5时，△DPE的面积是矩形ACD面积的0 图1 图2 (4)如图2，连接FG. 点F是点F关于BD的对称点， .∴.F,G=GF=15cm. PF+PG≥GF1, ∴.当G,P,F,三点共线时，F,P+PG的值最小 如图2，连接AF1,过点A作AH⊥BD于点H,过点C作 CK⊥BD于点K, 由(1)知，DK=9cm, .EF=CK=CD2-DK2 =12 cm,BH=9 cm, 易得AH=12cm, :点F是点F关于BD的对称点， ∴.EF=EF1=12cm,∴.EF1=AH, 易知EF∥AH,四边形AHEF,是平行四边形 :∠AHE=90°，.四边形AHEF,是矩形， ..AF =EH=BD-DG-EG-BH=25-1-9-9=(7-t)(cm), AF∥EH, 当G,P,F,三点共线时，易得△APF,∽△DPG, AF AP 7-t 2t 70 六Dc0p120-22t=17 =70是原分式方程的解，且符合题意 经检验，1-17 时，F,P+PG的值最小 :.当t=17 5.2√10-2 6.62 7.【初步感知】证明：：在正方形ABCD中， .∠B=∠C=90°， ∴.∠BAE+∠BEA=90° .EF⊥AE,∴.∠CEF+∠BEA=90°， .∴.∠BAE=∠CEF,·.△ABE∽△ECF 【类比探究】证明：在矩形ABCD中，AB=CD,∠ABE=∠C=90. :线段AB是线段BE和BC的比例中项， AB=BE·BC,则AB_BCBC BE AB CD :∠ABE=∠C=90,MBBC 'BE CD .△ABEM△BCD,∴.LBAE=LCBD. 在Rt△ABE中，∠ABE=90°=∠BAE+∠BEA, .∠CBD+∠BEA=90°， 即在△BEM中，∠EBM+∠BEM=90°， 则∠BME=90°， ∴.AE⊥BD 【拓展提升】解：CE⊥AC,AC=6,CE=8, ∴.在Rt△ACE中，由勾股定理可得AE=√AC2+CE2=10. 在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点M,则AM=CM= 24c=3,ND=M0=D, 1 :点M是定点、点D是边AE上的一个动点，且BD=2DM, .求线段BD的最小值，就是求线段MD的最小值， 由直线外一个定点与直线上一个 D 动点之间的距离，垂线段最短可B、 知，当MD⊥AE时，线段MD有最小 值，如图所示 ∠MAD=∠EAC,∠MDA=∠ECA=90°， .△ADM△ACE, 则0即解得0 MD CE' 5 24 .线段BD的最小值为2MD= 5 &解，(0号 （2S的值设有发生交化证明如下： 如图1，连接AC,AF CD=√3BC=43,四边形ABCD是矩形， .BC=AD=4,AB=CD=43,∠ABC=90°， .AC=√AB2+BC=√/(43)2+42=8. E,G分别是AD,AB的中点，四边形AGFE是矩形， ∠F0=90r,6F=A404=2, 4G=1AB=}x43=25, 21 2 .AF=W22+(23)=4, ,AG23√3 AF42 AB 433 AB AG AC 82AC AF 将矩形AGFE绕点A顺时针旋转， .∠BAG=LCAF, .△GAB△FAC, ,BGAB√3 CF AC 2 图1 图2 (3)如图2，连接AC,取AC的中点T,连接HT. H是CE的中点， ,HT是△ACE的中位线， m-极=2=1， .H在以T为圆心，1为半径的圆上 ~D7=Ac=4, .DH的最大值为DT+r=4+1=5, 最小值为DT-r=4-1=3. 2