2 题型8 圆的综合（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

题型八 圆的综合 1.（1)证明：连接AD,如图. :BE=DE,.LBAE=∠DAE, .∠BAD=2∠BAE. 又：∠C=2LBAE,∴∠C=∠BAD. AB为⊙0的直径，∠ADB=90°， .∠B+∠BAD=90°， ∠C+∠B=90°，.∠BAC=90°，∴.BA⊥AC. 又：点A在⊙0上，AC是⊙0的切线. (2)解：：∠CAD+∠C=90°，∠B+∠C=90°， ∴.∠CAD=∠B. 又，·∠BAE=∠DAE,∴.∠B+∠BAE=∠DAE+∠CAD, 即∠AFC=∠FAC,∴.CA=CF 在Rt△ABC中，BC=√AC+AB2=√62+82=10. 又CF=CA=6, .BF=BC-CF=10-6=4. 2.（1)证明：连接0C,如图. .·0C=0E, ∴.∠OCE=∠OEC 0 CD=DF. .∠DCF=∠DFC=∠EFO. OE⊥AB,.∠E0F=90°， .∠E+∠0FE=90°， .∠OCF+∠DCF=90°， ∴.∠0CD=90°，∴.0C⊥DC. OC是⊙0的半径，∴DC是⊙0的切线. (2)解：∠0EC=15°，∠E0F=90°， ∴.∠OFE=∠DFC=∠DCF=75°， .∠D=30°，.∠C0D=60° .·0C=0E=3,.CD=30C=33 :.图中阴影部分的面积=△COD的面积-扇形COB的面积= 2×3x33-60mx32933m 360 22 3.(1)证明：如图，连接0D,BD. AB是⊙0的直径， ∴，∠ADB=∠BDC=90° 在Rt△BDC中，E是BC的中点， g=号c=E, .∠1=∠2 0D=0B,∠3=∠4. .∠ABC=∠2+∠4=90° .∠ODE=∠1+∠3=90°，即OD⊥DE. 又：0D是⊙0的半径 .DE是⊙0的切线. (2)解：.E是BC的中点，O是AB的中点， .OE是△ABC的中位线， .OE∥AC,∴.∠BAD=∠BOE」 3 ∴.cos∠BAD=cos∠BOE= 5 ·∠ABC=90°，cs∠B0E=0B-3 0E51 .设0B=3x,则OE=5x,.BE=4x. 14 7 BE= 3x= 6 40E=5x=6 35 4.(1)证明：如图，连接OD,则0D=0B, ∠ABD=LODB. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD, .∠ODB=∠CBD, .OD∥BC,∠AD0=∠C=90°，即AC⊥0D. OD是⊙0的半径，且AC⊥OD, .AC是⊙0的切线。 B A (2)解：如图，连接OE,过点0作O1⊥BE于点I, 则0E=0B=8,∠0IE=90°. ∠ODC=∠C=90°，.四边形OICD是矩形， ∴.01=CD=43, .B=IE=√0E2-0=√82-(43)7=4， .BE=OE=OB=8,.△B0E是等边三角形， ..∠B0E=60°， 60×π×821 .S阴影=S期形B0B-S△B0E= 3602 ×8×45 =32m-483 3 5.(1)证明：AC与⊙0相切于点E, .0E⊥AC,.∠CE0=90 0C平分∠B0E,∠C0E=∠C0B. 在△C0E和△C0B中， 10C=0C, ∠C0OE=∠COB,.△COE≌△COB(SAS). 、OE=OB, .∴.∠CB0=∠CE0=90°，∴.OB⊥BC 又OB是⊙0的半径，BC是⊙0的切线. (2)解：在Rt△AOE和Rt△DOB中， OA=OD,:R△AOE≌R△DOB(HL), (0E=0B, .DB=AE=3...CB=BD+CD=12. .CB,CA是⊙O的切线， .'.CE=CB=12,..AC=AE+CE=15, .AB=√JAC2-BC=√152-122=9. 设0B=x,则0E=x,0A=9-x, AE2+0E=0A2, .32+x2=(9-x)2,解得x=4, .⊙0的半径长为4. 6.(1)证明：过点C作⊙0的直径CE,连接AE,如图1所示， .∠1=∠ABC. ∠OAC=∠ABC,∴.∠1=∠OAC. CE为⊙0的直径，0A=0C, .∠EAC=90°，∠2=∠OAC, ∴.∠1=∠2，.△ACE为等腰直角三角形， .∠1=∠2=45°，0A⊥0C .CD∥AO,.CD⊥OC. :0C为⊙0的半径，.CD为⊙0的切线. E 0 图1 图2 (2)解：过点C作⊙0直径CE交AB于M,连接EB,过M 作MF⊥AC于F,如图2所示， 则∠EBC=90° .CDAO,∴.∠OAM=∠D 1 ∴.tan∠OAM=tanD= 3 由(1)，可知0A10C,∠0CA=45°. 在R△0AM中，：tan∠OAM=OM1 0A3, .设0M=a,0A=3a,0C=0A=3a, ∴.MC=0C-0M=3a-a=2a. .∠OCA=45°，MF⊥AC, .△MCF为等腰直角三角形， MF=CF- 2 2 MC- 2a=√2a. 2 在Rt△0AC中，cos∠0CA=, ∴.AC= 0C_3a cos∠0 CAcos450=32a, ..AF=AC-CF=3/2a-/2a=2/2a, 在R△AMF中，an∠MMC=MF-2a=L AF 2a 2 1 .∠MAC=∠BAC,∴.tan∠BAC= 2 1 又：∠E=∠BAC,.tanE=tan∠BAC= 2 BC 1 在Rt△EBC中，.BC=2,tanE= BE2’ 21 BEBE=4, ∴.CE=√BC2+BE2=√22+42=25， 40A=EC=5. 2 题型九几何探究综合题 1.(1)证明：.·四边形ABCD是平行四边形 ADBC,.∠DEF=∠BFE. 根据折叠的性质，得∠BFE=∠DFE, ∴.LDEF=∠DFE,.DE=DE (2)证明：·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠A=∠C,∠B=∠D. 根据折叠的性质，得AE=AE,∠A=∠A1,∠B=∠B1, .∠A1=∠C,∠B1=∠D. 又AE=CF, 5 ..A,E=CF. ∠DHK=∠BHG,∴.∠DKH=∠B1GH, .∠A1KE=LCGF. 在△A,KE和△CGF中， ILA,KE=∠CGF, ∠A1=∠C, ·△A,KE≌△CGF(AAS), A E=CF, ∴.EK=FG. e器 [提示]过点D作DN⊥BC 交BC的延长线于点N,如图， :四边形ABCD是平行四边形，B ∠ABC=60°，AB=4,BC=6, ∴.∠ADC=∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，CD=AB= 4,AD=BC=6,AD∥BC, ∴.∠DCN=180°-∠BCD=60°， .∴.∠CDN=30°， CN-CD-2DN-/CD-CN-2/3. 根据折叠的性质，得∠ABC=∠A,DF=60°，∠BAD=∠A1= 120°，AE=AE, ∴.∠FDC=∠A1DE=60°-∠EDF,LA1=∠BCD=120° 由(1)可得DE=DF ∴.△A,DE≌△CDF(AAS), ,.A1E=FC,∴.AE=AE=FC 设AE=AE=FC=x,则DF=DE=AD-AE=6-x,FN=FC+ CN=x+2. 在Rt△DFN中，由勾股定理得，DN2+FN2=DF2, (23)+(x+22=(6-x)2,解得x= 49 DE=DF=6-x=6-4F4 519 .'AD∥BC,∴.△DEH∽△FCH, 5 FC FH 吾0，解得Pm=经检骏H ·DEDH·19=19 961 96 -FH 44 是方程的解。 2.(1)证明：：∠A0B=∠C0D=90°，∴.∠A0D=∠B0C. 在△A0D与△BOC中， 1A0=B0, ∠AOD=∠BOC, OD=0C. .△AOD≌△BOC(SAS),.AD=BC (2)证明：过点O作OH⊥AC于点H,延长H0交BD于点 F,过点B作BM⊥HF于点M,过点D作DE⊥HF交HF的 延长线于点E,如图1. .:∠OHC=∠DEO=∠COD=90°， .∠OCH+∠HOC=∠HOC+∠DOE=90°， ..∠OCH=∠DOE. .·OC=OD,.∴.△OCH≌△DOE(AAS), :'.DE=OH,SAOCH=SADOE 同理△AOH≌△OBM, ∴S△4on=S△BOM,OH=BM,题型八圆的综合 1.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙0交BC于点D,点E在⊙0上，BE=DE,连接AE交BD于点F,∠C= 2∠BAE. (1)求证：AC是⊙0的切线， (2)若AB=8,AC=6,求BF的长. 0 B 2.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙O的弦，半径OE⊥AB,CE交AB于点F,点D在AB的延长线上，且 DC=DF. (1)求证：DC是⊙0的切线. (2)若∠0EC=15°，0E=3,求图中阴影部分的面积. 0 B 3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是⊙0的切线. (2)连接0E,若cosBAD=3 ,BE=14 ,求0E的长 D -21- 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D, 交BC于点E. (1)求证：AC是⊙0的切线， (2)若OB=8,CD=4√5，求图中阴影部分的面积 0. D 5.如图，在△ABC中，0是AB边上一点，以点0为圆心，OB长为半径作⊙0，AC与⊙0相切于点E,连接OE, 0C,OC平分∠B0E. (1)求证：BC是⊙0的切线. (2)D为BC边上一点，且OD=OA,若AE=3,CD=9,求⊙0的半径长. 6.如图，已知AB为⊙O的弦，连接AO,过⊙O上的点C作CD∥AO,交AB的延长线于点D,且∠OAC=∠ABC. (1)求证：CD为⊙0的切线. (2)若8C=2,mD写求0A的K ·0 一22