2 题型7 锐角三角函数的实际应用（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

题型七锐角三角函数的实际应用 1.注重真实情境如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图.经测量：支架AB=AC= 19cm,托盘器外沿BD=CE=3cm.支架AB,AC可绕点A转动，BD⊥AB,CE⊥AC.经调研发现，当45°≤ ∠BAC≤75时，操作人员手势自然， (1)当点D和点E重合时，求∠BAC的度数. (2)若一圆形盘盘口的直径为24cm,请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然 (参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81) E E 图1 图2 备用图 2.地域特色泰山，世界文化遗产和世界自然遗产，世界地质公园，中国5A级旅游景区，位于山东省泰安市 中部，是中外闻名的游览胜地.主峰玉皇顶海拔1532.7m,气势雄伟磅礴，有“五岳之首”“天下第一山”之 称.泰山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道.设计示意图如图2所示，以 山脚A为起点，沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平 行的观光平台BC.索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m, DF⊥AF,垂足为点F.(图中所有点都在同一平面内，点A,E,F在同一水平线上) (1)求索道AB的长.（结果精确到1m) (2)求山顶点D到水平地面的距离DF的长.（结果精确到1m)(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27，√2=1.41) D BGA45° 15° E 图1 图2 -18 3.地域特色]潍坊“渤海之眼”摩天轮（图1）采用桥梁与摩天轮结合的形式，横跨白浪河，是世界少有的无 轴摩天轮.如图2、3为“渤海之眼”摩天轮简化示意图.假日小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游 玩，摩天轮直径为80m,小明乘坐A车厢，小刚乘坐B车厢，∠A0B=90°，妈妈站在摩天轮正下方P处（人 身高不计)，即OP⊥CD于点P. P N 图1 图2 图3 (1)摩天轮转动后到达图2位置，妈妈仰望两人时发现，A,B两处车厢刚好在同一视线上，且此时仰角 ∠CPA=60°，求证：0P=√2OB (2)当摩天轮转动到图3位置时，妈妈看小明的视线PA刚好与⊙0相切于点A,AP平分∠OPD. ①四边形OPAB是 ( A.一般四边形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 ②求此时小刚所在的B处到地面的距离. 19 4.注重真实情境图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背 AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=10cm, ∠ABC=35°. A CE D E D B B 图1 图2 图3 (1)图2中，∠BCD= (2)靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图3，杯托E处凹陷深度为0.7cm,若此 时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E). ①∠ACD= ②求乘客水杯的最大高度.（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°≈0.82） —20—于点M,过点O作OH⊥MN于 点H, 则M(0,c),N(c,0),0H≥2， .∴.OM=ON=c, .OH=MH=NH,..OM=20H. 0H≥2，.0M=√20H≥2， 0 ∴.c≥2. ②当c<0时，同理，得c≤-2. 综上，c的取值范围是c≥2或c≤-2. 题型七锐角三角函数的实际应用 1.解：(1)如图1，连接AD,AE. BD⊥AB,∴.∠ABD=90° 在Rt△ABD中，BD=3,AB=19 BD 3 .∴.tan∠BAD= B19≈0.16，.LBMD≈9. 同理，可得∠CAE≈9. 点D,E重合，.∠BAC≈18. B B C D E D E 图1 图2 (2)如图2，连接BC,过A点作AH⊥BC于点H. :AB=AC,BC=24,∴BH=7BC=12,LBAC=2∠BA▣ .在Rt△BAH中，sin∠BAH= u0. .∴.∠BAH≈39°，∴.∠BAC≈78°. 78>75°，.此时操作人员取盘手势不自然 2解：(1)在Rt△ABE中，in∠BAE=BE AB 由题意，得L∠BAE=15°， .AB=-BE=BE 130 sin BAE sin 15 0.26 =500(m), 即索道AB的长约为500m. (2)如图，延长BC交直线DF于点 D G,易得CG⊥DF,GF=BE=130m 在Rt△CCD中，sinLDCG=DG CD 15° A 由题意，得∠DCG=45°， ∴.DG=CDXsin∠DCG=500sin45°≈352.5(m), .DF=DG+GF=352.5+130≈483(m), 即山顶点D到水平地面的距离DF的长约为483m. 3.(1)证明：.·摩天轮直径为80m, .∴.OA=OB=40m. 0 过点O作OM⊥PA于点M,如图1. .·∠A0B=90°，0A=OB, .∠0AB=45°， .在Rt△AOM中，OM=sinA·OA= 图1 0A(m): 2 又∠CPA=60°，∠0PC=90°，.∠0PM=30. 在Rt△POM中，sin∠OPM= OM OP √2 OM ..OP= -=√20A=√20B sin∠OPM1 2 (2)解：①B[提示]PA是⊙0的切线， .∠PAO=∠AOB=90°，∴OB∥AP. 又.·PA平分∠OPD, ∴.∠OPA=∠APD=45°， .∠POA=45°=∠OAB,.OP∥AB .四边形OPAB是平行四边形. 又PA≠P0,∠0PA=45°， .四边形OPAB不会是菱形或矩形.故选B. ②如图2，延长BA交CD于点N. 0 图2 在Rt△AOB中， AB=√0A2+0B=√402+402=40V2(m). 四边形OPAB是平行四边形， .'PA=OB=40 m, AN=PA·sim∠APv=40x 2 =202(m), .BN=BA+AN=40V2+20√2=602(m), .小刚所在的B处到地面的距离为60W2m. 4.解：(1)125[提示]过点B作BF∥CD,如图1， .∠BCD+∠CBF=180°，∠ABC+∠CBF=90°. LABC=35°，.∠CBF=55°， .∠BCD=180°-55°=125°. A C E D D B -----p B 图1 图2 (2)①55[提示]当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板 支架CB重合的位置时， 由(1)，知∠BCD=125° .∠ACD=180°-∠BCD=550 ②如图2，过点E作CD的垂线交AB于点F. “在Rt△CEF中，tan∠FCE=EF CE ∴.EF=tan∠FCE·CE=tan55°×10≈1.43×10=14.3(cm), 14.3+0.7=15(cm). 答：乘客水杯的最大高度约为15cm :