2 题型6 二次函数性质综合（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

题型六二次函数性质综合 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+4ax+4a2+4a-3(a为常数). (④)若该二次函数的图象的顶点在直线y=+3上，求a的值 (2)当a-4≤x≤a-2时，y的最小值为2a,求a的值. (3)设y=x2+4ax+4a2+4a-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),若1x1-x2<2,求a的取值范围. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)开口向下，过A(-1,0),B(m,0)两点，且1<m<2. (1)判断b的正负. (2)若m=1.5,求3a+2c的值 (3)当a≤-1时，证明：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根. (4)若m=1.5,点P(n+3,y3),Q(2n-1,y4)在抛物线上，且y3<y4,求n的取值范围. -15 3.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2bx-4经过点(-1，m) (1)求抛物线的对称轴（用含m的关系式表示） (2)已知点(x1,y1),(x2,y2)都在抛物线上，若0<x1<1,1<x2<2时，都有y1<y2,求m的取值范围 (3)若6=0，将抛物线向上平移4个单位长度得到的新抛物线与直线y=x+4相交，若直线被抛物线截得 的线段长不大于5，求k的取值范围. 4.已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)的顶点的横坐标是抛物线y=-x2+4x+c的顶点的横坐标的2倍. (1)求b的值 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+4x+c上，点B(x1+m,y1+t)在抛物线y=-x2+bx+c上. ①求t(请用含m,x1的代数式表示)， ②若x1=m+1且-1≤x1≤2，求t的最大值. 16 5.已知二次函数y=-x2+bx+5(b为常数) (1)该函数图象与x轴交于A,B两点，若点A的坐标为(-1,0). ①b的值是 ,点B的坐标是 ②当0<y<8时，结合图象直接写出自变量x的取值范围. (2)若对于一切实数x,函数值y<t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）. (3)已知当m<y<n(其中m,n为实数，m<n)时，自变量x的取值范围是1<x<3,求m和b的值以及n的取 值范围. 6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-2，c). (1)求a,b之间的关系式 (2)若c=-1,函数y=ax2+bx+c在-2≤x≤3时的最大值为a+2,求a的值. (3)将抛物线y=ax2+bx+c向右平移a(a>0)个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的顶点记为点 P,若OP≥√2，求c的取值范围 -17则一次函数的解析式为y=-x+2. (2)对于一次函数y=-x+2, 当x=0时，y=2,C(0,2),.0C=2. NM⊥x轴，且N(t,0)(t>0), t ONOG+ONAN4, 1 1 13. 2tx2 2x>4,解得>2.5 9解：（1)将41,4)的坐标代入y=点，得么=4， 4 反比例函数的表达式为y= 将心4.a的坐标代人y=兰，得a=1B4,1. 将A(1,4),B(4,1)的坐标分别代入y=r+h,得+6=4， 八4k+b=1, 解得1， b=5, ∴.一次函数的表达式为y=-x+5.。 (2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得到直线 y=-x+5-m “平移后的直线与反比例医数y女(0)的图象有且只 有一个公共点， ∴.0<m<5且-x+5-m=—有且只有一个解， 将方程整理，得x2-(5-m)x+4=0, .4=(5-m)2-16=0, 即5-m=±4，解得m=1或m=9. m=9>5,m=9不符合题意，舍去， ∴.m=1. (3)存在.：延长A0交反比例函数的图象于点C, .点A与点C关于原点对称，.C(-1,-4). 设P(p,0), .AC2=(1+1)2+(4+4)2=68,AP2=(1-p)2+42, PC2=(-1-p)2+(-4)2. ①当∠APC=90°时，AC2=AP2+PC2, ∴68=(1-p)2+42+(-1-p)2+(-4)2,解得p=±√17， .P(-√17,0)或（√17,0）： ②当∠PAC=90°时，PC2=AP2+AC2」 ∴.(-1-p)2+(-4)2=(1-p)2+42+68,解得p=17, .P(17,0); ③当∠PCA=90°时，AP2=PC2+AC2, ∴.(1-p)2+42=(-1-p)2+(-4)2+68, 解得p=-17,∴.P(-17,0). 综上所述，点P的坐标为(-√17,0)或（√7,0）或(17， 0)或(-17,0). 题型六二次函数性质综合 1.解：(1).二次函数y=x2+4ax+4a2+4a-3=(x+2a)2+ 4a-3, .二次函数图象的顶点坐标为(-2a,4a-3), 4a-3=-2×(-2a)+3,解得a=2 (2)由(1)，可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线 x=-2a. 分类讨论： ①如图1，当a-2<-2,即a<子时， x=-2a x=a-2时，y取最小值，y最小=2a, a-2 .(3a-2)2+4a-3=2a, a-4日 1 解得a,=g4=1(舍)； 图1 ②如图2，当a-4≤-2a≤a-2,即2 x=-2a a≤号时，=-2a时，y原最小值， -2/ a-4 y最小=2a, .4a-3=2a,解得a= 图2 ③如图3，当-2a-4即心>时， x=-2a x=a-4时，y取最小值，y最小=2a, ∴.(3a-4)2+4a-3=2a, a-4/ a-2x 13 解得a=1(舍)，a,=g, 图3 a的值为)安号 (3)根据题意，得△=(4a)2-4(4a2+4a-3)=-16a+12≥0， 解得a≤} 由根与系数的关系，得x1+x2=-4a,x1x2=4a2+4a-3. 1x1-x21<2,.（x1-x2）2<4, (x1+x2)2-4x1x2<4,(-4a)2-4(4a2+4a-3)<4, 1 解得a>2 综上可知，a的取值范围是a≤子 3 1*20, 2.(1)解：由题意，知抛物线的对称轴为直线x= b20. ·对称轴在y轴右侧，2 抛物线开口向下，∴a<0,.b>0. b (②)解：当m=15三时抛物线的对称销为直线安2 3 -1+21 -1+m=246=2a. 2 当x=-1时，y=a-b+c=0, 3a. 2+c=0,3a+2c=0. (3)证明：抛物线过A(-1,0),B(m,0)两点， .可设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-m), .方程ax2+bx+c=1可转化为方程a(x+1)(x-m)=1, 整理，得ax2+a(1-m)x-am-1=0, ∴.△=[a(1-m)]2-4a(-am-1)=a2(m+1)2+4a. …1<m<2,a≤-1，∴.△>0， ∴.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的 实数根 (4)解：若m=1.5, -1+1.51 则抛物线的对称轴为直线x=2 224 若P(n+3,y3),Q(2n-1,y4)在抛物线上，且y3<y4, 则当点P在对称轴左侧，即n+3<时，可得a+3<2n-1< 4×2-(n+3),无解，不符合题意 当点P在对称轴右侧，即n+3>时，可得}×2-(a+3)< 2n-1<n+3,解得-0.5<n<4. 综上所述，n的取值范围为-0.5<n<4. 3.解：(1)将(-1，m)代入y=x2-2bx-4,得m=1+2b-4, 6=m+3 2 又对称轴为直线x=b,“对称轴为直线=m+3 2 (2)由(1)知，对称轴为直线x=m+3 2 .0<x1<1,1<x2<2,∴.1<x1+x2<3, 1x1+x23 222 :抛物线开口向上，y1<y2, ·.（x1,y1)离对称轴更近 又：x1<x2,.(x1,y1)与(x2,y2)的中点在对称轴的右侧， tm+3.m+31 21 22≤2…m≤-2 (3)由题意，得平移后新抛物线的解析式为y=x2, （y=x2, 联立〈 10 1得2-- =kx+4, 设两交点为(x,),(名，)， 则城=6，=行 .(x-x2)2=(x+x2)2-4xx=2+1, (-)2=[+4）(（+)门=(x-)2= k2(k2+1), ·两交点之间的线段长为√(x-x)2+(y-y)2=2+1, .k2+1≤5，.k2≤4，.-2≤k≤2. 4.解：(1)y=-x2+4x+c=-(x-2)2++4, .抛物线y=-x2+4x+c的顶点的横坐标为2. :抛物线y=-+x+c的顶点的横坐标为x=2,且为抛 物线y=-x2+4x+c的顶点的横坐标的2倍， ·2=2x2,解得6=8 b (2)①，点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+4x+c上，点B(x1+m, y1+t)在抛物线y=-x2+bx+c上，b=8, ∴.y1=-x号+4x1+c,y1+t=-(x,+m)2+8(x1+m)+c, .t=-(x1+m)2+8(x1+m)+c-y1,即t=-(x1+m)2+8(x1+ m)+c-(-x1+4x1+c), .t=-m2+4x1-2mx1+8m. ②x1=m+1, .t=-m2+4x1-2mx1+8m=-m2+4(m+1)-2m(m+1)+8m= 5)237 -3m2+10m+4=-3m-3)+3 -1≤x1≤2，.-1≤m+1≤2，解得-2≤m≤1. 3<0,当m≤弓时4随若a的增大而指大， .当m=1时，t有最大值，最大值为-3+10+4=11. 5.解：(1)①4(5,0) ②-1<x<1或3<x<5. b12.b2+20 (2)y=-x2+bx+5=- +4 当=2时，y有最大值“420 4 对于一切实数x,函数值y<t总成立， 66+20 4 (3)由题意，得直线y=n在抛物线y=-x2+bx+5的上方， 直线y=m与抛物线的两个交点为(1，m),(3,m), ∴.点(1，m)与(3，m)关于抛物线的对称轴对称， 、抛物线的对称轴为直线=分-生=4， .y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, .m=-(1-2)2+9=8. 当x=2时，y有最大值9，.n>9. 6.解：(1)把(-2，c)代入y=ax2+bx+c中， 得4a-2b+c=c, .∴.4a-2b=0,∴.b=2a. (2)当c=-1时，y=ax2+bx-1. b=2a,∴.y=ax2+2ax-1=a(x+1)2-a-1, .当x=-1时，y=-a-1, 当x=-2时，y=-1,当x=3时，y=15a-1. 分两种情况： ①当a>0时，-a-1<-1<15a-1, 故函数y=ax2+bx+c在-2≤x≤3时的最大值为15a-1, 3 .15a-1=a+2,.a=14 ②当a<0时，15a-1<-1<-a-1, 故函数y=ax2+bx+c在-2≤x≤3时的最大值为-a-1, 3 .-0-1=a+2,.a=2 综上，心的值是或-子 3 Γ14 (3)由(1)，知b=2a, ..y=ax2+bx+c=ax2+2ax+c=a(x+1)2-a+c, ∴.将抛物线y=ax2+bx+c向右平移a(a>0)个单位，再向上 平移1个单位，得到的新抛物线的解析式为 y=a(x+1-a)2-a+c+1, .顶点P的坐标为(a-1,c+1-a), .顶点P在直线y=-x+c上. 若a(a>0)为任意正实数时，0P≥√2， 则点O到直线y=-x+c的最小距离为2. 分两种情况： ①如图，当c>0时，设直线y=-x+c交x轴于点N,交y轴 7 于点M,过点O作OH⊥MN于 点H, 则M(0,c),N(c,0),0H≥2， .∴.OM=ON=c, .OH=MH=NH,..OM=20H. 0H≥2，.0M=√20H≥2， 0 ∴.c≥2. ②当c<0时，同理，得c≤-2. 综上，c的取值范围是c≥2或c≤-2. 题型七锐角三角函数的实际应用 1.解：(1)如图1，连接AD,AE. BD⊥AB,∴.∠ABD=90° 在Rt△ABD中，BD=3,AB=19 BD 3 .∴.tan∠BAD= B19≈0.16，.LBMD≈9. 同理，可得∠CAE≈9. 点D,E重合，.∠BAC≈18. B B C D E D E 图1 图2 (2)如图2，连接BC,过A点作AH⊥BC于点H. :AB=AC,BC=24,∴BH=7BC=12,LBAC=2∠BA▣ .在Rt△BAH中，sin∠BAH= u0. .∴.∠BAH≈39°，∴.∠BAC≈78°. 78>75°，.此时操作人员取盘手势不自然 2解：(1)在Rt△ABE中，in∠BAE=BE AB 由题意，得L∠BAE=15°， .AB=-BE=BE 130 sin BAE sin 15 0.26 =500(m), 即索道AB的长约为500m. (2)如图，延长BC交直线DF于点 D G,易得CG⊥DF,GF=BE=130m 在Rt△CCD中，sinLDCG=DG CD 15° A 由题意，得∠DCG=45°， ∴.DG=CDXsin∠DCG=500sin45°≈352.5(m), .DF=DG+GF=352.5+130≈483(m), 即山顶点D到水平地面的距离DF的长约为483m. 3.(1)证明：.·摩天轮直径为80m, .∴.OA=OB=40m. 0 过点O作OM⊥PA于点M,如图1. .·∠A0B=90°，0A=OB, .∠0AB=45°， .在Rt△AOM中，OM=sinA·OA= 图1 0A(m): 2 又∠CPA=60°，∠0PC=90°，.∠0PM=30. 在Rt△POM中，sin∠OPM= OM OP √2 OM ..OP= -=√20A=√20B sin∠OPM1 2 (2)解：①B[提示]PA是⊙0的切线， .∠PAO=∠AOB=90°，∴OB∥AP. 又.·PA平分∠OPD, ∴.∠OPA=∠APD=45°， .∠POA=45°=∠OAB,.OP∥AB .四边形OPAB是平行四边形. 又PA≠P0,∠0PA=45°， .四边形OPAB不会是菱形或矩形.故选B. ②如图2，延长BA交CD于点N. 0 图2 在Rt△AOB中， AB=√0A2+0B=√402+402=40V2(m). 四边形OPAB是平行四边形， .'PA=OB=40 m, AN=PA·sim∠APv=40x 2 =202(m), .BN=BA+AN=40V2+20√2=602(m), .小刚所在的B处到地面的距离为60W2m. 4.解：(1)125[提示]过点B作BF∥CD,如图1， .∠BCD+∠CBF=180°，∠ABC+∠CBF=90°. LABC=35°，.∠CBF=55°， .∠BCD=180°-55°=125°. A C E D D B -----p B 图1 图2 (2)①55[提示]当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板 支架CB重合的位置时， 由(1)，知∠BCD=125° .∠ACD=180°-∠BCD=550 ②如图2，过点E作CD的垂线交AB于点F. “在Rt△CEF中，tan∠FCE=EF CE ∴.EF=tan∠FCE·CE=tan55°×10≈1.43×10=14.3(cm), 14.3+0.7=15(cm). 答：乘客水杯的最大高度约为15cm :