2 题型3 尺规作图题（抢分小卷）-【正大中考】2026年山东省初中学业水平考试数学中考仿真预测

题型三 1.如图，已知钝角∠BAC,以顶点A为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N,再分别以 点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两 弧交于点D,作射线AD,过点D作DC⊥AC于点 C,过点D作DB∥AC,交AB于点B.若AC=2, AD=5,则BD的长为 () 1 Q31 D.5 4 B.2 4 B A NC 第1题图 第2题图 2.如图，已知线段AB=13.①分别以点A,B为圆 心，大于4B的长为半径画孤，两孤相交于点P, Q;②画直线PQ交AB于点0，以0为圆心，OA 长为半径画圆；③在⊙0上取一点C,连接BC交 PQ于点D,连接AC,AD.当tanB= 时，△ACD 12 的周长是 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB上，以点A 为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F,再分别 以点E,F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧 相交于点P,连接AP并延长，交BC于点D. (1)求证：DE=DF, (2)当EB=ED时，判断四边形AEDF的形状，并 说明理由. 尺规作图题 4.如图，在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,利用尺 规以点A为圆心，线段AB的长为半径作弧，交 BC于点D,分别以点B,D为圆心，大于2BD的 长为半径作弧，两弧交于点E,作射线AE,交BC 边于点F (1)求证：AE⊥BC. (2)求CD的长 5如图，分别以点B和点C为圆心，大于2BC的长 为半径作弧，两弧相交于A,M两点，作直线AM, 连接AB,AC. (1)△ABC是什么三角形？说明理由. (2)在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，BF是 ∠ABC的平分线.求证：BF=CE. 8 6.【探究】用尺规作图作过直线1外一点P作已知 直线1的平行线时，小美的作法是：①在直线1上 任取两点A、B,连接PA;②以P为圆心，AB长为 半径画圆弧；③以B为圆心PA长为半径画圆弧， 两圆弧交于点Q;④作直线PQ 【问题1】根据小美的作法，证明：PQ亿. 【问题2】作∠PAB的平分线，交PQ于点C,若 AB=5,PA=3,求QC的长 7.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径 作弧，交AD于点F,分别以点B、F为圆心，大于 之B即的长为半径作弧，两弧交于点6，连接AG 并延长交BC于点E,AE,BF相交于点O. (1)证明：A0=E0. (2)请你利用无刻度直尺和圆规作EH⊥AD,交 AD于H(不写作法，保留作图痕迹)，若AE=16, BF=12,求线段EH的长 0 B 8.「创新考法」数学活动课上，在学生们学习了圆的 切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段AB为直径的半⊙0和AB延 长线上一点P.你能利用尺规作过点P的半⊙O 的切线PQ吗？ 向阳小组讨论出一种作切线PQ的方法：如图， ①分别以点P和点0为圆心，大于P0的长为 半径作弧，两弧分别交于M,N两点； ②作直线MN,交线段PO于点O1; ③以点01为圆心，P01的长为半径作⊙01，与半 ⊙0相交于点Q; ④作直线PQ. 直线PQ即是所求作的切线， (1)根据上述作法，求证：PQ是半⊙0的切线. (2)过点Q作QC⊥AB于点C,若PQ=10,0Q= 5水提的位 米M 0 P 01:BC0图1 图2 图3 如图2，当1<x≤2时，重叠部分为三角形ABC,面积y= 2×2×2=2为定值，图象为平行于x轴的线段； 如图3，当2<≤3时，重叠部分为梯形，面积y=×2x2 2×(2x-4)2=-2(x-2)2+2,.图象为抛物线的一部分且 开口向下，综上只有A选项符合.故选A. 8.A【解析】如图，过点P作PG⊥AB 交BF的延长线于点G,则∠APG= ∠BPG=90°， .∠FPG+∠BPF=90° ·四边形PDAC和四边形PEBF均为矩形， .AC∥DF,∠C=∠BFP=90°， .∠PAC=∠BPF,∠C=∠GFP=∠GPB=90° .·∠APC+∠PAC=90°，∴.∠APC=∠FPG. 又.PC=PF,.△ACP≌△GFP(ASA), .PG=PA,S△ACP=S△GFp.PA=x,∴.PB=4-x, y=S1+S2=2S△BPe=PB·PG=x(4-x)=-x2+4x, 即y=-x2+4x=-(x-2)2+4, y是x的二次函数，开口向下，顶点坐标为(2,4)， .A选项正确.故选A 题型三 尺规作图题 1.A2.17 3.（1)证明：由题意，得AE=AF,AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. 在△AED和△AFD中， AE=AF, ∠EAD=∠FAD, AD=AD, .△AED≌△AFD(SAS),∴.DE=DF, (2)解：四边形AEDF是菱形. 理由如下：.AB=AC,.∠B=∠C EB=ED,∴.∠B=∠EDB, ∴.∠C=∠EDB,.DEAC,∴.∠CAD=∠ADE .·∠BAD=∠CAD,∴.∠BAD=∠ADE,∴.AE=DE AE=AF,DE=DF,.'.AE=AF=DE=DF, .四边形AEDF是菱形 4.（1)证明：连接AD,BE,DE,如图 所示 根据作图，可知AB=AD,BE=DE, .点A,E都在线段BD的垂直平分 线上， .AE垂直平分BD,AE⊥BC. (2)解：由(1)，得BF=DF.设BF=DF=x,则CF=BC-BF= 6-x. .AE⊥BC,∴∠AFB=∠AFC=90°， .根据勾股定理，得AF2=AB2-BF2,AF2=AC2-CF2, ∴.AC2-CF2=AB2-BF2, 52-(6-x)2=42-2,解得x=9 CD=BC-BD=699=3 .BF=DF=9 44-2 5.(1)解：△ABC是等腰三角形 理由如下：根据作图，知AM是BC的垂直平分线， .AB=AC,.△ABC是等腰三角形. (2)证明：：△ABC是等腰三角形，AB=AC, .∴.∠ABC=∠ACB. 又：CE是∠ACB的平分线，BF是∠ABC的平分线， LFBC=1 LABC,∠BCB=3LACB, ∴.∠FBC=∠ECB 又：BC=CB,.△BCF≌△CBE(ASA), ∴.BF=CE. 6.【问题1】证明：如图，连接BQ. 由作图可得PQ=AB,AP=BQ, ∴.四边形ABQP是平行四边形， ∴.PQh. A B 【问题2】解：如图，AC为∠PAB的平分线. 由问题1】可知PQ亿，即PQ∥AB, .∠PCA=LBAC. AC为∠PAB的平分线，∠PAC=∠BAC, ∴.LPAC=∠PCA,.PC=AP=3. 四边形ABQP是平行四边形， .PO=AB=5,..OC=PO-PC=2. 7.(1)证明：如图，连接EF. 由作图，可得AF=AB,AE平分∠BAF, .LBAE=LEAF. 四边形ABCD是平行四边形，.ADBC, ∴LEAF=∠AEB,∴.∠BAE=∠AEB, ..AB=BE,..AF=BE. 又AF∥BE,.四边形ABEF是菱形， ∴.A0=E0. H D 0 B (2)解：如图，EH即为所求 由(1)得，四边形ABEF是菱形，AE⊥BF AE=16,BF=12, sw=74B.BF=×1612=96,40=B=8, 1 0F=2BF=6, .AF=√A02+0F=√82+6=10. EH⊥AD,EH是菱形ABEF的高， ÷EH=S复福r_96.48 AF-10-51 3 8.(1)证明：.P0是⊙0，的直径 .∠PQ0=90°，即PQ10Q. 0Q是⊙0的半径，.PQ是半⊙0的切线. (2)解：由(1)知∠PQ0=90° .PQ=10,0Q=5, .P0=√PQ2+Q02=√102+52=55. 0c1P0,Sm=2P0.00=2P0:QC, 00-P0o0.10x5=25, P055 ∴.0C=w0Q2-QC2=5 0B=0Q=5,.BC=5-√5，PB=55-5, .PB55-5(5√5-5)(5+5)25W5+25-25-55 六BC5-5 (5-√5)(5+5) 25-5 20w5 =5. 20 题型四函数与方程的实际应用 1.解：(1)设甲头盔的销售单价为x元/个，乙头盔的销售单 价为y元/个. 依题意，得10+5y150,解得=5， 16x+12y=810, (y=40 答：甲头盔的销售单价为55元/个，乙头盔的销售单价为 40元/个 (2)设购进甲头盔m个，则购进乙头盔(100-m)个 依题意，得40m+30(100-m)≤3400，解得m≤40. 答：最多能购进甲头盔40个 (3)在(2)的条件下，不能实现获利1300元的目标. 理由如下：设购进甲头盔a个，则购进乙头盔(100-a)个 依题意，得(55-40)a+(40-30)(100-a)=1300, 解得a=60. 又(2)中甲头盔最多购进40个，.在(2)的条件下，不 能实现获利1300元的目标. 2.解：(1)①设每千克这种产品应降价x元， 根据题意，得(100+10x)(90-60-x)=3360. 整理，得x2-20x+36=0,解得x1=2,x2=18. 答：每千克这种产品应降价2元或18元. ②由①，知在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利 于顾客，赢得市场，每千克这种产品应降价18元， 此时，售价为每千克90-18=72（元）， 72÷90×100%=80%=八折. 答：该店应按原售价的八折出售. (2)设每天获得的利润为W元，每千克这种产品降价 x(0≤x≤30)元，则W=(100+10x)(90-60-x) =-10x2+200x+3000 =-10(x-10)2+4000. -10<0, .当x=10时，W有最大值，最大值为4000. 答：该专卖店销售这种产品每天最多获利4000元 3.解：(1)：仪表盘显示电量y2(%)与行驶里程s(千米)之 间的函数关系为一次函数， ∴.设y2=as+b(a≠0)，将(0,100)，(100,75)分别代入y2= as+b,得 00.解得a=-025, 75=100a+b, (b=100, :.仪表盘显示电量y,(%)与行驶里程s(千米)之间的函 数关系式为y2=-0.25s+100. (2)由题意得，先在满电的情况下行驶了s=100×3=300 (千米)，此时剩余电量y2=25,剩余路程s=600-300=300 (千米). 由表格可得，行驶300千米耗电75%， 设充电充了t小时.·电池充电状态下汽车仪表盘显示电 是y1=40t, .25+40t≥75，解得t≥1.25 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要 在服务区充电1.25小时 4解：(1)设CD段反比例函数的解析式为y= 把D(24,10)的坐标代入y=中，得k=24x10=240, 240 .y= 当=20时，20=20解得12，即a=12 ∴CD段反比例函数的解析式为y=240(12≤≤24). (写12<x≤24也算对) (2)由(1)，知a=12.B(2,20), .恒温阶段保持的时间有12-2=10(h). 答：恒温阶段保持的时间有10h. (3)设AB段的解析式为y=mx+n(m≠0,0≤x≤2)， 把(0,10)，(2,20)分别代人y=mx+n中，得=10， （2m+n=20, 解得m=5, (n=10, .AB段的解析式为y=5x+10(0≤x≤2). 在y=5x+10中，当y=12时，12=5x+10,解得x=0.4. 在y-240中，当y=12时，12=240，解得x=20, ∴.20-0.4=19.6(h). 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6h 5.解：(1)设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模 型的单价为(x+200)元. 根据题意，得4000-2400 x+200x ,解得x=300. 经检验，x=300是所列分式方程的解，且符合题意. 300+200=500(元). 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单 价为300元. (2)设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型 (40-m)台. 根据题意，得40-m≤3m,解得m≥10. 设共花费w元， 则w=0.8×500m+0.8×300(40-m)=160m+9600. :k=160>0,∴.w随m的增大而增大 .m≥10，∴.当m=10时，w值最小， 0最小=160×10+9600=11200,40-10=30（台） 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少， 最少花费是11200元.