精品解析：陕西省西咸新区秦汉中学2025-2026学年度第二学期八年级数学期中适应练习题

初二数学期中适应练习题 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 说明： （1）全卷共三个大题，26个小题，满分120分，时间120分钟； （2）请将所有答案填写在答题纸上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 5. 如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若分式方程无解，则a的值是（    ） A. 3或2 B. 1 C. 1或3 D. 1或2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：_____________． 10. 若代数式有意义，则的取值范围是____________． 11. 公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 13. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______． 14. 如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为________． 三、解答题（本大题共12个小题，共78分） 15. 计算． 16. 解分式方程． 17. 先化简，，再从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 18. 如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，与相交于点，，，，求证：． 20. 一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将绕原点顺时针旋转得，请画出； （2）在旋转的过程中，点的运动轨迹的长度为多少？（结果保留） 22. 在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． （1）若多项式为，当时，写出所有的取件码______． （2）某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． （3）若多项式为，当，求出所有的取件码． 23. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利，某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司最少购买乙型无人机多少架？ 24. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长． 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，的对应点为，则_____________； 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，，为边上的点，已知，，求的边长； 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形生物基地即，用来种植花卉，如图③，其中，为边上一点，为边上一点，，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为元/，种植石竹的费用为元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学期中适应练习题 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 说明： （1）全卷共三个大题，26个小题，满分120分，时间120分钟； （2）请将所有答案填写在答题纸上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 4. 如图，在中，，，，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，可得，进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. 5. 如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平移的性质得出，，由等边三角形的性质得出，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：∵将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到， ∴，，， ∴的周长是． 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图像可知，直线  和直线  的交点坐标 ．   当  时，直线  的图像在直线  的图像上方，   不等式  的解集为 ． 7. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 8. 若分式方程无解，则a的值是（    ） A. 3或2 B. 1 C. 1或3 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法是解题的关键． 分式方程无解分两种情况讨论，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算这两种情况对应的a值即可． 【详解】解：∵原分式方程为， 将方程变形为， 两边同乘得， 整理得： ①当整式方程无解时，的系数为0且常数项不为0， 即，解得，此时不成立，整式方程无解，原分式方程无解． ②当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 将代入得，， 解得． 综上，的值为1或2． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果． 【详解】解： 10. 若代数式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足分母不等于0， 即 解得． 11. 公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据点C的不同位置分两种情况讨论，根据“一线三直角”模型构造三角形全等，利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， 过点B作x轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 过点B作y轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或 13. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解： 解不等式①得：x>1， 解不等式②得：x<， ∴不等式组的解集是1＜x＜， ∵x的一元一次不等式组有2个整数解， ∴x只能取2和3， ∴， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围． 14. 如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB＝PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长． 【详解】解：如图， 连接BE交AD于点P′， ∵△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点， ∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线， ∴P′B＝P′C， P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE， 根据两点之间线段最短， 点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长． BE＝＝， 所以P′E+P′C的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用等边三角形的性质． 三、解答题（本大题共12个小题，共78分） 15. 计算． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 16. 解分式方程． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】先整理方程，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为增根，判断原方程的解的情况． 【详解】解： 整理原方程得， 方程两边同乘最简公分母得，， 展开整理得，   移项合并同类项得，  解得，  检验：把代入最简公分母，得， 因此是原分式方程的增根，原分式方程无解． 17. 先化简，，再从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，时值为． 【解析】 【分析】本题运用分式的运算法则化简原式，根据分式有意义的条件确定可选取的的值，再代入计算得到最终结果． 【详解】解：原式    分式有意义时，分母不能为，因此，  可得且  因此选取代入 当时，原式． 18. 如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】由题意，，故先作的角平分线，然后在角平分线上截取即可；本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：∵， ∴； 先作的角平分线，然后在角平分线上截取； ，点即为所求． 19. 如图，与相交于点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】先证明得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】略 20. 一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？ 【答案】工人师傅每次最多只能搬运重物18箱 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出一元一次不等式成为解题的关键． 先根据题意列出一元一次不等式，再解不等式并求得最大整数解即可解答． 【详解】解：工人师傅每次搬运重物x箱，由题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最大值为18 ∴工人师傅每次最多只能搬运重物18箱． 答：工人师傅每次最多只能搬运重物18箱． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将绕原点顺时针旋转得，请画出； （2）在旋转的过程中，点的运动轨迹的长度为多少？（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定，绕原点旋转后的对应点，，再顺次连接即可； （2）先利用勾股定理求解的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，旋转， ∴点的运动轨迹的长度为； 22. 在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． （1）若多项式为，当时，写出所有的取件码______． （2）某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． （3）若多项式为，当，求出所有的取件码． 【答案】（1）1119和1911 （2）20 （3）262323、232623、232326 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【小问1详解】 解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； 【小问2详解】 解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； 【小问3详解】 解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 23. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利，某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司最少购买乙型无人机多少架？ 【答案】（1）甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 （2）该公司最少购买乙型无人机架 【解析】 【分析】（1）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型无人机每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （2）设乙型无人机台，则甲型无人机台，根据题意求出的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型无人机每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； 【小问2详解】 解：设乙型无人机台，则甲型无人机台， 由题意得，， 解得， 答：该公司最少购买乙型无人机架． 24. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， ∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE， 即∠AEC=∠ACE， ∴AC＝AE； （2）3． 【解析】 【分析】（1）依据∠ACB=90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD=∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE=∠DCE，进而得出∠AEC=∠ACE，即可得到结论成立． （2）依据∠ACD=∠BCE=∠DCE，∠ACB=90°，即可得到∠ACD=30°即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠AEC=2∠B， ∴∠B=∠BCE， 又∵∠ACD=∠B，∠BCE=∠DCE， ∴∠ACD=∠BCE=∠DCE， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=30°，∠B=30°， ∴Rt△ACD中，AC=2AD=2， ∴Rt△ABC中，AB=2AC=4， ∴BD=ABAD=41=3． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 26. 【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，的对应点为，则_____________； 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，，为边上的点，已知，，求的边长； 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形生物基地即，用来种植花卉，如图③，其中，为边上一点，为边上一点，，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为元/，种植石竹的费用为元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1） （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，，先证明，可得，再证明，可得，然后根据垂直平分，可得，由勾股定理可得，从而得到的长度，即可； （3）把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P，可得点N，M，A，D四点共线，再证明，可得，分别在和中，利用勾股定理可得，，可得，可求出四边形的面积，取的中点Q，连接，则，证明四边形，均是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 【小问2详解】 如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的边长为； 【小问3详解】 如图，把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P， 由旋转的性质得：， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点N，M，A，D四点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， ∴四边形，均是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵种植三色堇的费用为元/，种植石竹的费用为元/， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $