山西省吕梁市2025--2026学年人教版七年级数学下册期末模拟卷（二）

**基本信息** 2026年吕梁市人教版七年级数学期末模拟卷，以代数、几何、统计知识为载体，通过潜望镜实践、围棋销售等真实情境，考查抽象能力、推理意识与数据意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、不等式解集、相交线|结合数轴、角度计算考查基础| |填空题|5/15|命题改写、趋势预测、不等式整数解|融入高新技术出口趋势等现实数据| |解答题|8/75|二元一次方程组、平行线性质、统计应用|潜望镜实践（几何直观）、围棋销售方案（模型意识）、综合探究（推理能力）|

2026年山西省吕梁市人教版七年级期末模拟卷（二）（解析版） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的结果是（     ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：． 2．如图，数轴上表示的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴上表示的不等式组的解集． 3．如图，直线，相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等可得，利用角平分线的定义可得，进一步利用邻补角的含义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．为了解我校八年级700名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计，下列判断正确的是（     ） A．样本容量是100 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．八年级700名学生是总体 【答案】A 【详解】解：A、样本容量是样本中个体的数目，本题抽取了容量为100的样本，则样本容量是100，故A正确； B、个体是每名学生的数学成绩，被抽取的100名学生的数学成绩是样本不是个体，故B错误； C、总体的一个样本是被抽取的100名学生的数学成绩，不是100名学生，故C错误； D、总体是我校八年级700名学生的期中数学考试成绩，不是700名学生，故D错误． 5．某校七年级学生共有745人，男生人数为女生人数的2倍少2人，问男生女生各多少人？若设女生人数为人，男生人数为人，问下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设女生人数为人，男生人数为人，由题意，得： . 故选B 6．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由点A及其对应点C的坐标得出平移规律，再计算点B对应点D的坐标即可. 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移规律为横坐标加，纵坐标加， ∴点按此规律平移得到点D， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为. 7．在物理课上，小淇利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．“超速行驶,生命堪忧”，超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如图频数分布直方图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车大约有（     ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】超速即速度大于，对应直方图，两组，把两组频数相加求和即可． 【详解】解：据图可知，速度在以上的车辆有（辆）． 9．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 10．如图阴影部分是某商标标识，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 【详解】解：把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数． 12．小明根据1995——2020年每隔5年我国高新技术产品的出口额（单位：亿美元）绘制了趋势图，如图．则根据趋势图预测我国2030年高新技术产品出口额大约为________亿美元． 【答案】31000（答案不唯一） 【分析】本题考查了趋势图，趋势图是用于显示数据的总体变化趋势，重点突出数据的发展走向，可能会对原始数据进行一定处理以更清晰地展现趋势． 直接根据趋势图作答即可． 【详解】根据趋势图预测我国2030年高新技术产品出口额大约为31000亿美元， 故答案为：31000（答案不唯一） 13．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 14．甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时上坡变为回程下坡，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，， 去时：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴ 回程：原路返回，去时的上坡路变为下坡路，平路长度不变，因此下坡路程为，速度为，用时，平路用时仍为，总时间为， ∴； ∴可列方程组． 15．如图，，平分，，点G是直线上一点，，则的值为____． 【答案】或 【分析】根据平行线的性质求出，再分两种情况讨论，当G在的延长线上时，当G在的延长线上时，再分别求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 当G在的延长线上时，如图， ，， ； 当G在的延长线上时，如图， ， ， ； 综上所述，的值为或． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(10分)计算： (1) (2)求满足 的x的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 17．（8分）在学习“相交线与平行线”一章时，老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小宁所在组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理，并且发现无论镜子位置如何改变，入射光线与反射光线与镜子的夹角始终相等，即入射光线与反射光线满足 (1)图2中，代表镜子摆放的位置，当镜子，试判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由 (2)如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置也会随之改变，如图3，当光线m射到平面镜上时，会反射到平面镜上，光线又被平面镜反射，当两面平面镜的夹角的度数是多少时，入射光线m与反射光线n满足呢？并说明理由 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判断与性质即可证明； （2）当时，，而，代入，即可得到，则． 【详解】（1）解： 理由： ． ， ． ，即． ∴； （2）解： 理由：， ， ， ． ， ． 18．（8分）每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，______； (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 【答案】(1)50，32 (2)见解析 (3) (4)每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【分析】（1）用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出n； （2）用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； （3）用乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； （4）用2000乘以C和D的占比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是； ∴； （2）解：D的人数为（人） ∴C的人数为（人） 补全条形统计图如下： （3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为； （4）解：（名）． 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名． 19．（8分）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，． (1)有点． ①请你描出点，，；并顺次连接点、、，组成三角形； ②若在线段上任意取一点，并将三角形向右平移个单位，向下平移个单位，点也随之平移，点的对应点为点．那么点的坐标可以为__________（写出一个即可），则点的坐标为__________； (2)若点也通过（1）中的平移方法得到对应点，则__________． 【答案】(1)①见解析②， (2) 【分析】（1）①根据坐标描点，连线即可；②选取上的一点，按照平移方法求的坐标即可； （2）根据平移的方法列方程求解即可. 【详解】（1）解：①如图所示： ②解：∵将三角形向右平移个单位，向下平移个单位， ∴向右平移个单位，向下平移个单位得到； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴. 21．（9分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： (1)直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． (2)应用整体思想完成练习中题目的解答． (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想解二元一次方程组，一元一次不等式，理解“整体思想”是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2），得，，得，然后联立，即可得到答案； （3）由得，即，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：5，，理由如下： 得，①-②得， 故答案为：5，； （2）解：， ，得， ，得， 则 ，得， ，得， 原方程组的解为； （3）解：，理由如下： 由 得，即． ， ，解得． 22．（12分）综合与实践 在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，坐标轴上是否存在一点（不与点重合），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，交轴于点，如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在． 理由如下：连接，如图所示：    设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时点坐标为， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或． 23．（13分）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由，得到，根据，依据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用，得到，由邻补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，得到，即可求出的度数； （3）过点E作，根据，得到，，进而推出，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）． 理由：如图，过点E作．    ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省吕梁市人教版七年级期末模拟卷（二） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的结果是（     ） A．8 B． C．4 D．2 2．如图，数轴上表示的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．为了解我校八年级700名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计，下列判断正确的是（     ） A．样本容量是100 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．八年级700名学生是总体 5．某校七年级学生共有745人，男生人数为女生人数的2倍少2人，问男生女生各多少人？若设女生人数为人，男生人数为人，问下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在物理课上，小淇利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 8．“超速行驶,生命堪忧”，超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如图频数分布直方图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车大约有（     ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 9．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．如图阴影部分是某商标标识，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 12．小明根据1995——2020年每隔5年我国高新技术产品的出口额（单位：亿美元）绘制了趋势图，如图．则根据趋势图预测我国2030年高新技术产品出口额大约为________亿美元． 13．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 14．甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 15．如图，，平分，，点G是直线上一点，，则的值为____． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(10分)计算： (1) (2)求满足 的x的值． 17．（8分）在学习“相交线与平行线”一章时，老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小宁所在组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理，并且发现无论镜子位置如何改变，入射光线与反射光线与镜子的夹角始终相等，即入射光线与反射光线满足 (1)图2中，代表镜子摆放的位置，当镜子，试判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由 (2)如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置也会随之改变，如图3，当光线m射到平面镜上时，会反射到平面镜上，光线又被平面镜反射，当两面平面镜的夹角的度数是多少时，入射光线m与反射光线n满足呢？并说明理由 18．（8分）每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，______； (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 19．（8分）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，． (1)有点． ①请你描出点，，；并顺次连接点、、，组成三角形； ②若在线段上任意取一点，并将三角形向右平移个单位，向下平移个单位，点也随之平移，点的对应点为点．那么点的坐标可以为__________（写出一个即可），则点的坐标为__________； (2)若点也通过（1）中的平移方法得到对应点，则__________． 21．（9分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： (1)直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． (2)应用整体思想完成练习中题目的解答． (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 22．综合与实践 （12分）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，坐标轴上是否存在一点（不与点重合），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 23．（13分）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．    试卷第2页，共20页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $