第二十章勾股定理 期末复习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过7大考点系统覆盖基础应用、实际建模、几何拓展及综合证明，构建“概念-应用-拓展”递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理|8题|含圆锥、数轴、网格等图形计算，涉及方程思想|直接应用定理解决直角三角形边长问题| |应用|3题|树断裂、物理实验、风筝高度等实际场景|建立数学模型，体现应用意识与空间观念| |勾股树|3题|正方形、圆、月牙形面积关系|深化定理几何意义，培养几何直观| |逆定理|3题|边长判断、角度关系推理|逆向思维应用，强化推理能力| |逆定理应用|1题|地标距离计算|实际问题中逆定理的综合运用| |网格问题|1题|网格图形周长与角度计算|结合坐标与定理，提升空间观念| |综合提升|1题|《几何原本》定理证明|溯源定理推导，培养创新意识与推理能力|

新人教版八下期末复习第二十章《勾股定理》 考点1 勾股定理 1．如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 4．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 5．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边的长是______． 7．在中，，，，则________． 8．已知中，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D； (2)求长． 考点2 勾股定理的应用 9．如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为3米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（   ） A．9米 B．米 C．米 D．6米 10．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 11．某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据． 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 测量示意图   说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上． 测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米； ②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． 根据以上信息，完成下列任务： (1)求出风筝离地面的垂直高度的长； (2)若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？ 考点3 勾股树 12．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为______． 13．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为______． A．24 B．18 C．12 D．6 14．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 考点4 勾股定理的逆定理 15．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．2，4，5 B．1，，2 C．5，12，13 D．3，4，5 16．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D．∶∶∶∶ 17．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 考点5 勾股定理逆定理的应用 18．如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 考点6 勾股定理与网格问题 19．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求的度数． 考点7 勾股定理的综合提升 20．《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法． 已知：如图， 中，．    求证：． 证明思路如下： 【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证； 【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系； 【步骤三】证明； 【步骤四】同理可证，． 所以， 又因为， 所以． (1)请写出【步骤一】中证明的过程； (2)请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系； (3)请写出【步骤三】中证明的过程． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版八下期末复习第二十章《勾股定理》 考点1 勾股定理 1．如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理列式计算，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 在中，， ∴的长为． 故选：B． 2．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系．根据勾股定理得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数． 【详解】解： ，，， ， 由题知，，点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 3．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 4．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理． 先求出，，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示： ∵正方形和正方形的面积分别是49和25， ∴，，， ∵M，A，B在同一条直线上， ∴， 在中， 由勾股定理得：． 故选：D． 5．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标和勾股定理，解题关键是熟练掌握通过添加辅助线解答问题．延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F，根据已知条件得到：，，然后根据对顶角的性质得到，再根据全等三角形的判定定理证明，从而得到，，再根据点的坐标求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示：延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F， 由题意可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴光线从A点到C点经过的路线长是：， 故选：B． 6．若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边的长是______． 【答案】6或 【详解】解：当为斜边时，由勾股定理得第三边的长为：；当、都为直角边，由勾股定理得第三边的长为：； 故答案为：6或． 7．在中，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 8．已知中，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D； (2)求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图—线段垂直平分线、勾股定理的知识，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作法作答即可； （2）连接，如图所示：根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求； （2）解：连接，如图所示： 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ，， ， 即， 解得：， 即的长为． 考点2 勾股定理的应用 9．如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为3米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（   ） A．9米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，米， ∴米， ∴米， 故选：B． 10．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 11．某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据． 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 测量示意图   说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上． 测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米； ②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． 根据以上信息，完成下列任务： (1)求出风筝离地面的垂直高度的长； (2)若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？ 【答案】(1)16.6米 (2)7米 (3)12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论； （3）根据勾股定理计算即可得到结论 ． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴(米)， 答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米； （2）风筝沿方向下降了9米后，米， 此时风筝线的长为(米)， (米)， 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线； （3）∵将风筝线放出8米后，米， 此时水平距离的长为(米)， (米)， 答：放风筝组员需要向后移动12米． 考点3 勾股树 12．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为______． 【答案】100 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理结合圆的面积公式，推出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， 由题意，得：，，， ∴． 13．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为______． A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 14．如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 考点4 勾股定理的逆定理 15．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．2，4，5 B．1，，2 C．5，12，13 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．最长边为5，验证，而．∵ ，∴ 不能构成直角三角形．故该选项符合题意． B．最长边为，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． C．最长边为13，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． D．最长边为5，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． 故选：A． 16．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D．∶∶∶∶ 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 17．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、求直角三角形面积等知识点．勾股定理用于直角三角形中求边长，勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，注意要先判定直角三角形，进而计算四边形面积． （1）知道两直角边长运用勾股定理，即可求出斜边长度； （2）先运用勾股定理的逆定理判定形状，再分别求直角与面积，两个三角形面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ． 的长是5． （2）（2）， 又， ． ， ． ， ． 四边形的面积． 四边形的面积是11． 考点5 勾股定理逆定理的应用 18．如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）和勾股定理逆定理（若三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 ）是解题的关键．因为，，所以 ．然后在和中，利用勾股定理，设垂直于某点（实际是线段，可通过勾股定理建立等式），分别表示出、、 、的关系，进而求出的长度． 【详解】解：，， ． 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 在中，，， ， ， ， ∴点到点的距离为． 考点6 勾股定理与网格问题 19．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）解：，，，； 四边形的周长为 ． （2）解：连接， ，，， ． ． ， ． 考点7 勾股定理的综合提升 20．《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法． 已知：如图， 中，．    求证：． 证明思路如下： 【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证； 【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系； 【步骤三】证明； 【步骤四】同理可证，． 所以， 又因为， 所以． (1)请写出【步骤一】中证明的过程； (2)请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系； (3)请写出【步骤三】中证明的过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及由图形面积的关系来证明勾股定理和面积的知识，需熟练掌握三角形全等中边角边的证明方法；且熟知平行线间的距离相等，即三角形同底是解决本题的关键． （1）由正方形的性质可得边相等，再由边角边的证明方程证明即可． （2）由平行线之间的距离相等，可得三角形的高与矩形的宽相等，再由三角形的面积公式以及矩形的面积公式代入求解即可． （3）由数量关系可将矩形的面积转化为的面积来求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． ，即． ， ． （2）解：，且， ，， ； 同理可知，，， ． 故数量关系为：． （3）解：由（1）得，， ， 在正方形中，， ． 由（2）得，， ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $