1.1 集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“教材巩固练-基础过关练-能力提升练”三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，强化数学抽象与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |教材巩固练|集合概念、元素特征、表示方法|结合生活情境（如十二生肖），通过填空、判断夯实基础，培养抽象能力| |基础过关练|元素关系、集合表示、简单应用|分知识点设题（如元素特性应用），以选择、解答题强化推理意识| |能力提升练|含参集合、创新定义、综合探究|通过多选、开放题（如集合新运算）提升数学思维，发展创新意识|

1.1　集合的概念 教材巩固练 1.(数学与生活)用列举法表示下列集合: (1)十二生肖组成的集合; (2)中国国旗上所有颜色组成的集合. 2.(填一填,记一记) (1)集合中元素的三大特征: ①确定性:集合中的元素是　　　　的,即给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.  ②互异性:一个给定的集合中,元素互不相同,就是在同一集合中不能出现　　　　的元素.  ③无序性:集合中的元素,不分先后,没有　　　　.  (2)常用数集及其记法: 集合 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　　　  N*或N+ Z 　　　  R (3)集合的表示方法 ①列举法:把集合的所有元素　　　出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.  ②描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有　　　　　的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.  3.(判对错) (1)与定点A,B等距离的点能构成集合.(　　) (2)由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5.(　　) (3)高中生中的游泳能手能构成集合.(　　) (4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.(　　) (5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　) (6)若a∈Q,则|a|∈Q.(　　) (7){x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合.(　　) 4.下列各组对象可以构成集合的是(　　) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系第一象限内的一些点 D.所有小的正数 5.下列关系中,正确的个数为(　　) ①∈R;②∈Q;③0={0};④0∉N;⑤π∈Q;⑥-1∈Z. A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知A={x|x=3k+1,k∈Z},问:-1,5,7三个数中,哪些数是A的元素? 基础过关练 知识点1　集合的概念与元素的特征 7.下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.中国古代四大发明 B.所有无理数 C.2024年高考数学难题 D.小于π的正整数 8.(多选)下面四个说法中正确的是(　　) A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2} C.关于x的方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2,2} D.π与{π}表示同一个集合 知识点2　元素与集合的关系 9.下列关系中正确的个数为(　　) ①2∈R,②∈Z,③0∈N,④|-|∈Q. A.1 B.2 C.3 D.4 10.不等式3x2-5x-7<0的解集为A,则(　　) A.2∈A,3∈A B.2∉A,3∈A C.2∈A,3∉A D.2∉A,3∉A 知识点3　集合中元素特性的简单应用 11.(多选)若集合A={a2+2a,3a+2,8},则实数a的取值可以是(　　) A.2 B.3 C.-4 D.5 12.已知A={a-2,2a2+5a,12},若-3∈A,则由a的值构成的集合是(　　) A.⌀ B. C.{-1} D. 13.集合A={x|(x-1)·(x2-4x+a)=0,a∈R}中恰好有两个元素,则实数a满足的条件是　　　　　.  知识点4　集合的表示方法 14.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　) A.{x|x=2n+1,n∈N,n≤8} B.{x|x=2n-1,n∈N,n≤9} C.{x|x=4n+1,n∈N,n≤4} D.{x|x=4n-3,n∈N,n≤5} 15.(多选)一次函数y=2x-3与y=x-2的图象的交点组成的集合是　(　　) A.{1,-1} 　 　B.{(1,-1)} C. 　　D. 16.选择适当的方法表示下列集合,并指出哪些是有限集,哪些是无限集. (1)小于7的合数组成的集合C; (2)关于x的方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合D; (3)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合E; (4)使函数y=有意义的实数x组成的集合F. 能力提升练 17.如果集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的值为(　　) A.1 B.2 C.0或2 D.1或2 18.已知集合M={(x,y)|x∈N,y∈N,x+y<2},则M中元素的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 19.(多选)已知集合M={x|x=m2-n2,m,n∈Z},则(　　) A.22∈M B.24∈M C.任意x=2k-1,k∈Z,x∈M D.任意x,y∈M,xy∈M 20.已知集合A={-2,-1,1,2},B=mm=,x∈A,y∈A,则集合B等于(　　) A.{-2,-1,0,1,2} B.{-2,-1,1,2} C. D. 21.对于a,b∈N*,规定:a⊗b=已知集合M={(a,b)|a⊗b=24,a,b∈N*},则M中元素的个数为　　　　.  22.已知a,b均为非零实数,集合A=,则集合A中的元素的个数为　　　　.  23.根据要求写出下列集合. (1)已知-5∈{x|x2-ax-5=0},用列举法表示集合{x|x2-4x-a=0}; (2)已知集合A=,用列举法表示集合A; (3)已知方程组分别用描述法、列举法表示该方程组的解集; (4)已知集合B={(x,y)|2x+y-5=0,x∈N,y∈N},用列举法表示该集合; (5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点组成的集合. 24.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A. (1)若3∈A,试证明A中还有另外两个元素; (2)判断集合A是否可以为只含有两个元素的集合,并说明理由. 答案 1.　(1)十二生肖组成的集合为{鼠,牛,虎,兔,龙,蛇,马,羊,猴,鸡,狗,猪}. (2)中国国旗上所有颜色组成的集合为{红,黄}. 2.(1)①确定　②相同　③顺序　(2)N　Q　(3)①一一列举　②共同特征P(x) 3.(1)√　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕　(6)√　(7)✕ 4.B　 5.A　 6.　令x=3k+1=-1,解得k=-,但-∉Z,所以-1∉A; 令x=3k+1=5,解得k=,但∉Z,所以5∉A; 令x=3k+1=7,解得k=2,2∈Z,所以7∈A. 所以7是A的元素. 7.C　对于A,中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术,符合集合定义,故能构成集合; 对于B,所有无理数能构成集合; 对于C,2024年高考数学难题定义不明确,不具有确定性,不符合集合的定义,故不能构成集合; 对于D,小于π的正整数只有1,2,3,符合集合定义,故能构成集合. 故选C. 8.AB　对于A,10以内的质数有2,3,5,7,组成的集合是{2,3,5,7},故A正确; 对于B,由集合中元素的无序性知{2,3}和{3,2}表示同一集合,故B正确; 对于C,由集合中元素的互异性可知不存在集合{2,2},故C错误; 对于D,由集合的表示方法知π不是集合,故D错误.故选AB. 9.B　对于①,因为2为有理数,有理数和无理数统称为实数,所以2∈R,所以①正确; 对于②,因为是无理数,所以∉Z,所以②错误; 对于③,因为0是自然数,所以0∈N,所以③正确; 对于④,因为|-|=是无理数,所以|-|∉Q,所以④错误. 故选B. 10.C　由于3×22-5×2-7=-5<0,故2∈A, 由于3×32-5×3-7=5>0,故3∉A.故选C. 11.BD　由集合A={a2+2a,3a+2,8}, 可得解得a≠-4,a≠2,a≠-1,故选BD. 12.D　∵-3∈A,∴当a-2=-3,即a=-1时,A={-3,-3,12},集合中有相同元素,不符合题意;当2a2+5a=-3,即a=-1(舍)或a=-时,A=,符合题意.故由a的值构成的集合是.故选D. 13.答案　a=3或a=4 　由关于x的方程(x-1)(x2-4x+a)=0得x=1或x2-4x+a=0. 当关于x的方程x2-4x+a=0存在两个相等的实数根时,Δ=(-4)2-4×1×a=0,解得a=4, 此时方程x2-4x+4=0的解为x=2,2≠1,符合题意; 当关于x的方程x2-4x+a=0存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时,12-4×1+a=0,解得a=3,解x2-4x+3=0得x=1或x=3,符合题意. 综上所述,集合A中恰好有两个元素,则实数a满足的条件是a=3或a=4. 14.C　因为集合M={1,5,9,13,17},所以根据集合中5个元素的特点知集合M中的元素x满足x=1+4n,n∈N,n≤4. 所以M={x|x=4n+1,n∈N,n≤4},故选C. 15.BC　联立解得故一次函数y=2x-3与y=x-2的图象的交点组成的集合是或{(1,-1)}.故选BC. 16.　(1)小于7的合数有4,6,所以C={4,6},是有限集. (2)关于x的方程2x2-x-3=0的实数根分别为-1,,所以D=,是有限集. (3)E={(x,y)|y=-2x2+x},是无限集. (4)由y=有意义,得x-1≠0⇒x≠1,故集合F={x|x≠1},是无限集. 17.C　当m=0时,-4x+2=0,解得x=,满足题意. 当m≠0时, 因为集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素, 所以Δ=(-4)2-4m×2=16-8m=0,解得m=2. 综上,实数m的值为0或2.故选C. 18.D　因为M={(x,y)|x∈N,y∈N,x+y<2},所以M={(0,0),(0,1),(1,0)},故集合M中元素的个数为3,故选D. 19.BCD　由x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z,易知m+n,m-n同为奇数或同为偶数,所以x为奇数或4的倍数,故A错误,B正确; 因为2k-1=k2-(k-1)2,且k-1,k∈Z,所以x=2k-1∈M,故任意x=2k-1,k∈Z,x∈M成立,故C正确; 由对A,B的分析知x,y为奇数或4的倍数, 当x,y中至少有一个为4的倍数时,xy为4的倍数,所以xy∈M,当x,y都为奇数时,xy为奇数,所以xy∈M, 故任意x,y∈M,xy∈M,故D正确.故选BCD. 20.D　已知m=+,当x=y时,m=2, 当x=-y时,m=-2, 当x=-2,y=-1或x=2,y=1或x=-1,y=-2或x=1,y=2时,m=, 当x=2,y=-1或x=-2,y=1或x=-1,y=2或x=1,y=-2时,m=-, 故B=.故选D. 21.答案　27 对于a⊗b=24,a,b∈N*, 若a和b一奇一偶,则ab=24,满足此条件的有1×24=3×8,故(a,b)有4个; 若a和b同奇偶,则a+b=24, 满足此条件的有1+23=2+22=…=11+13=12+12,共12组,故(a,b)有23个, 所以M中元素的个数为27. 22.答案　2 当a>0,b>0时,x=++=1+1+1=3, 当a>0,b<0时,x=++=1-1-1=-1, 当a<0,b>0时,x=++=-1+1-1=-1, 当a<0,b<0时,x=++=-1-1+1=-1. 故A={-1,3}.故答案为2. 23.　(1)∵-5∈{x|x2-ax-5=0}, ∴(-5)2-a×(-5)-5=0,解得a=-4. 易得x2-4x+4=0的解为x=2, ∴用列举法表示集合{x|x2-4x-a=0}为{2}. (2)∵∈N,x∈N, ∴8-x可取的值为1,2,4,8, ∴x可取的值为7,6,4,0, ∴可取的值为2,4,8,16,∴A={2,4,8,16}. (3)由解得 ∴用描述法表示该方程组的解集为{(x,y)|x=1,y=2},用列举法表示该方程组的解集为{(1,2)}. (4)当x=0时,y=5,当x=1时,y=3,当x=2时,y=1, 当x≥3时,y<0, ∴用列举法表示该集合为{(0,5),(1,3),(2,1)}. (5)坐标轴上的点满足x=0或y=0,即xy=0,则所求集合可表示为{(x,y)|xy=0}. 24.　(1)证明:若3∈A,则=-∈A, 若-∈A,则=∈A, 若∈A,则=3∈A, 所以集合A=, 故集合A中除了含有3之外,还含有-,两个元素. (2)由x∈A(x≠1且x≠0),可得∈A, 由∈A可得=1-∈A, 由1-∈A可得=x∈A, 易知方程x=,=1-,x=1-均无解, 所以x≠,≠1-,x≠1-, 故集合A中至少含有3个元素, 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $