第二十一章 四边形 单元复习题 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 新人教版八下期末复习四边形单元卷，覆盖10个核心考点，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合社会情境与几何推理，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约12题|多边形内角和、平行四边形性质、特殊四边形判定|结合交通指示牌正八边形考内角和，体现数学眼光观察现实世界| |填空|约8题|三角形中位线、菱形对角线、直角三角形斜边上中线|以菱形对角线计算、中位线性质考查空间观念| |解答|约10题|特殊四边形证明、折叠问题、新定义探究|含矩形折叠综合题、正方形中线段关系探究，新定义“等对角四边形”培养推理能力与创新意识|

新人教版八下期末复习第二十一章四边形 考点1 四边形及多边形 1．下列图形中不具备稳定性的是（    ） A．B． C． D． 2．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 3．在正六边形中，下列说法正确的是（   ） A．它的内角和是 B．它的一个外角为 C．它具有稳定性 D．它共有9条对角线 4．如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 7．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 考点2 平行四边形的性质 8．在平行四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．在中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．对角线、相交于点，若，，，则的周长为（   ） A．24 B．15 C．14 D．12 11．如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 12．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 平行四边形的判定 13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 15．已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 16．如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 考点4 矩形的性质与判定 17．如图，矩形的对角线，，则的长为（   ） A．2cm B．4cm C．8cm D．cm 18．如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，，则的长为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9 19．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为__________． 21．如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 22．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，其中． (1)如图，若，求的长； (2)如图，若，求的长． 23．如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 考点5 菱形的性质与判定 24．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 25．如图，菱形中，对角线，，，则_____．    26．如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 27．如图，在中，平分，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E，交于点要求：保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）所作的图中，连接、．求证：四边形是菱形； (3)求（2）中的菱形的边长． 考点6 正方形的性质与判定 28．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 29．如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交的延长线于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有____________． 30．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 31．如1图，在正方形中，点P在边上，点M在边上，点N在边上，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)如2图，若，点O为线段的中点，，求的长． 考点7 直角三角形斜边上的中线 32．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 33．如图，中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 考点8 三角形的中位线 34．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 35．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为___________． 36．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，已知，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 38．如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 39．如图，在£中于点． (1)尺规作图：作边中点，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知，若点是对角线的交点，连接，求的长． 考点9 四边形的综合提升 40．如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)请用含有的代数式表示出线段的长； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 41．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 42．在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，连接交于点P，求证：P为的中点； (3)试探究，，的数量关系并证明． 考点10 新定义问题 43．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版八下期末复习第二十一章四边形（解析版） 考点1 四边形及多边形 1．下列图形中不具备稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴四个图形中，只有C选项中的图形不具有稳定性． 2．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正八边形的内角和． 3．在正六边形中，下列说法正确的是（   ） A．它的内角和是 B．它的一个外角为 C．它具有稳定性 D．它共有9条对角线 【答案】D 【分析】依次利用多边形内角和公式、外角和定理、稳定性、对角线公式计算判断各选项即可． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，正六边形边数， ∴内角和为，A不符合题意； ∵任意多边形外角和为，正六边形各外角相等， ∴每个外角为，B不符合题意； ∵只有三角形具有稳定性，六边形不具有稳定性， ∴C不符合题意； ∵边形对角线条数公式为，代入， ∴对角线条数为 ，D符合题意． 4．如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和求出边数，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知，小明每次向左转的角度为，这相当于正多边形的一个外角， ∵多边形的外角和为， ∴该正多边形的边数 ， ∵每次前进的距离为， ∴共走路程为 ． 5．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正五边形和正三角形的内角，以及周角，求出的度数． 【详解】解：3个正五边形的边长相等， 所以3个正五边形的每个内角都相等， 正五边形的内角和为， 每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为，周角为，． 6．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 【答案】(1)这个多边形的内角和为900° (2)的值为8 【分析】（1）由内角和公式直接计算即可； （2）根据任何多边形的外角和为360度，可以先求出所求多边形的内角和，再用内角和公式列方程即可求出该多边形的边数． 【详解】（1）解：当时，多边形内角和为： 则这个多边形的内角和为900° （2）解：由题意得， 解得， 则的值为8． 7．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 【答案】(1)正六边形 (2)①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦ (3) 【分析】（1）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （2）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （3）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）解：正六边形的一个内角为，， 故正六边形可以进行平面密铺； （2）解：∵①正三角形的内角为，②正方形的内角为，③正五边形的内角为，④正六边形的内角为，⑤正八边形的内角为，⑥正十边形的内角为，⑦正十二边形的内角为， ∵，， ，，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦； （3）解：由题意得：， 即， 故答案为：． 考点2 平行四边形的性质 8．在平行四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合角度比例关系求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴设，， ∴， 解得． ∴． ∴． 故选：B． 9．在中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形中与相等，与相等，因此四个角的比中，对应与的份数相等，对应与的份数相等，据此筛选正确选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴中，第一个角的度数等于第三个角的度数，第二个角的度数等于第四个角的度数．逐一对比选项，只有C选项符合条件． 10．对角线、相交于点，若，，，则的周长为（   ） A．24 B．15 C．14 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的对角线关系是解题关键．直接利用平行四边形的对角线互相平分进而得出的长，即可解决问题． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：B． 11．如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是关键． 根据平行四边形的性质，运用勾股定理得到，如图所示，过点作交于点，得到四边形，四边形都是平行四边形，可证，得，同理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理，，得， 在平行四边形中，， ∴， 故答案为：5 ． 12．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 考点3 平行四边形的判定 13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 14．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及外角性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质等知识，根据平行四边形的性质及角平分线得到是等边三角形，结合得到即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； 过A作， 在中，，， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 过作， ， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 15．已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】证明见解析. 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】解：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA＝OD，OB＝OC． ∵AE＝DF， ∴OA﹣AE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 16．如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，结合，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G．根据勾股定理得到，，由得到．在中，利用勾股定理得到、，再由可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 考点4 矩形的性质与判定 17．如图，矩形的对角线，，则的长为（   ） A．2cm B．4cm C．8cm D．cm 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先证明是等边三角形，求解，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． 故选：D 18．如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，，则的长为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，由折叠的性质得出的长，再根据勾股定理求解即可．掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质知：，， 在中，，， ， 设，则，， ∴中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 19．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为__________． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 21．如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 22．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，其中． (1)如图，若，求的长； (2)如图，若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，角的性质，勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，进而可知，根据角的性质即可求出的长； （2）根据勾股定理求出，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ∴， ， 中，，， ； （2）由题知中，，， ， ， 设，则， 中 ， ， 的长是． 23．如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析；1 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，角平分线的性质： （1）根据矩形的性质以及折叠的性质可得，即可解答； （2）由折叠的性质得：，，，然后根据角平分线的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点5 菱形的性质与判定 24．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质逐一进行判断即可，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， 故选：C． 25．如图，菱形中，对角线，，，则_____．    【答案】// 【分析】由菱形的性质和勾股定理可得，再根据，进行计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 26．如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理逆定理，证明，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，熟练掌握定理和判定是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形，，， ∴，． ∵， 故， ∴为直角三角形，且． ∴． ∴四边形是菱形． 27．如图，在中，平分，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E，交于点要求：保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）所作的图中，连接、．求证：四边形是菱形； (3)求（2）中的菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的边长为 【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键． 根据题目要求作出图形； 由线段垂直平分线的性质可得，，可得，，由角平分线的性质可得，可证，，可得四边形是平行四边形，即可得结论； 设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：平分， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形； （3）解：设，则 ∵ ∴在中，由勾股定理得：， 解得， 菱形的边长为． 考点6 正方形的性质与判定 28．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用．解答时求出，分类讨论是关键． 由图1和图2根据正方形的性质和等边三角形的性质就可以求出是等腰三角形，再由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图1，当在正方形外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图2，当在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 29．如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交的延长线于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有____________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查正方形性质及判定，等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，矩形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确， 连接交于， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为对角线上一动点， ∴当点与点重合时，点与点重合，此时， ∴， 故结论②不正确， 过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴③正确， ∵矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确， 故答案为：①③④． 30．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据菱形的性质可得，进而可得，即得四边形是菱形，再证明即可得解． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 菱形是正方形． 31．如1图，在正方形中，点P在边上，点M在边上，点N在边上，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)如2图，若，点O为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先过点N作于点E，根据正方形的性质，证明四边形为矩形．结合，得出，整理得，证明，进行作答即可． （2）连接，证明是的垂直平分线，以及运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，运用勾股定理算出．把数值代入，解得，再算出，即可作答． 【详解】（1）证明：过点N作于点E， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：连接，设， 则． ∵，点O为线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 在中，点O为线段AP的中点． ∴． ∴． 在中，， 即， 解得． ∴． 由（1）知． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的定义与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点7 直角三角形斜边上的中线 32．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 33．如图，中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B 考点8 三角形的中位线 34．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 【答案】6 【分析】利用中位线的性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 又BC=12， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 35．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为___________． 【答案】1 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质得出，，，证明，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵的平分线与边相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 36．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，已知，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理． 先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据中位线定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，是的中点， ∴， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 37．如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】解：连接AC、BD．AC交FG于L． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DH＝HA，DG＝GC， ∴GH∥AC，   同法可得：，EF∥AC， ∴GH＝EF，GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同法可证：GF∥BD， ∴∠OLF＝∠AOB＝90°， ∵AC∥GH， ∴∠HGL＝∠OLF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选B． 38．如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短，利用平方根解方程，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，得到最小值，即，根据勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值，此时， 则， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得（负值舍去）， ∴长为， 故选：B． 39．如图，在£中于点． (1)尺规作图：作边中点，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知，若点是对角线的交点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （2）由点是对角线的交点可得点O为的中点，，则，为直角斜边上的中线，为的中位线，可得，，则，，进而可得． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点E，连接， 则点E即为所求． （2）∵点是对角线的交点， ∴点O为的中点，． ∵， ∴． ∵点E为的中点， ∴为直角斜边上的中线，为的中位线， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点9 四边形的综合提升 40．如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)请用含有的代数式表示出线段的长； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为秒或秒或秒时，为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的对边相等，得到，求解即可； （2）分点在边上，点在边上，点在边上三种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）四边形为矩形， ，，， 在中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）①当点在边上时，， ，， ； ②当点在边上时，， 点运动的距离为， ； ③当点在边上时，，如图， 则， ． 综上，； （3）①当时，如图，当点位于边上， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， （秒） ②当时，如图，当点位于边上， 此时点与点重合， ， （秒）； ③当时，则点位于边上，如图， 由（2）知，则． 在中，， 在中，， 在中， ， ， （秒） 综上，当为秒或秒或秒时，为直角三角形． 41．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，进而证明 ，可得； （2）设，则，，利用勾股定理解即可； （3）证明，根据对应边成比例求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，边长为， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：设，则， 由折叠得， ， 在中，， ， 解得， 的长度为； （3）解：由（2）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 42．在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，连接交于点P，求证：P为的中点； (3)试探究，，的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，进而得出，从而； （2）连接，，可证得，从而，从而，可证得，从而，，从而，从而得出，从而，即P为的中点； （3）连接，作，交于H，可证得是等腰直角三角形，从而得出，从而，可证得，从而，从而得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是得平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图1， 连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴P为的中点； （3）如图2， ，理由如下： 连接，作，交于H， ∴， 由（1）（2）知， ，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点10 新定义问题 43．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②不正确，反例见解析 (3)或 【分析】（1）根据定义和四边形内角和定理求解即可． （2）①连接，根据定义以及等腰三角形的判定和性质求证即可． ②当相等角的两边相等时，结论不正确． （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵等对角四边形中，， ∴． ∵， ∴． （2）①如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ②不正确，反例如图，，但． （3）①如图，当时，延长交于点， ∵， ∴，, ∴， ∵， ∴． ∴． ②如图，当时，过点作于点，于点F， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， 综上，的长为或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $