5 单元培优卷(四)(第二十一章)-【单元金卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

5单元培优卷（四） 单元金卷 (第二十一章) 数学八年级-下册 时间：100分钟满分：120分) 题号 二 三 总分 得分 r 张扬乐学思学的个性，坚守不骄不躁的心态 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(衡阳中考)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC.添加下列条 装 件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C 2.(益阳中考)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论 订 一定成立的是 () A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 出 第2题图 第3题图 3.(辽宁中考)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等 线边三角形时，∠AEB为 ( A.30° B.45° C.60° D.120° 4.如图，将正五边形ABCDE中的∠D沿直线MN折叠，点D的对应 点为点D',则∠1+∠2= ( A.72° B.108° C.144° D.216° B M 第4题图 第5题图 -25 5.(杭州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若 ∠A0B=60°，则AB () BC 1 B.3-1 3 2 2 03 6.(安阳期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点 B作BE⊥CD于点E,连接OE.若OA=4,S菱形BcD=24,则OE的 长为 A.3 B.√5 C.3 D.4 D 第6题图 第7题图 第8题图 7.(商丘期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC边 的中点，点P是AB边上的动点（不与点A,B重合），沿直线PE将 △PBE折叠后点B落在点B'处，连接B'D,DE.当∠DB'E=90° 时，PB的长等于 () 9 A.4 5 B.2 C.1 8.如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD,连接AE,交BD于 点F.连接CF,若∠CDE=38°，则∠BFC的度数为 () A.71° B.72° C.81° D.82° 9.如图，在矩形ABCD中，AD=13,CD=12,点E,F分别在BC,CD 上，BE=5,CF=6,若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接 GH,则GH的长为 () A.4 B.5 C.6 D.7 第9题图 第10题图 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着 BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作 AD的垂线交AD于F点，连接EF,则EF的长度最小为() 4 24 A. C.5 D.7 —26— 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.(兰州中考)如图，在□ABCD中，BD=CD,AE⊥BD于点E,若 ∠C=70°，则∠BAE= D B 第11题图 第12题图 12.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一 点，分别作P点到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于 13.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图1）， 如图2是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ABCDEF,连接AC,CF,则∠ACF的度数为 图1 图2 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC= 16,BD=12,则AB边上的高DH= H 第14题图 第15题图 15.(广西中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是 BC,CD上的动点，M,N分别是EF,AF的中点，则MN的最大值 为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=DC,DE平分 ∠ADC交AC于点E,DF平分∠BDC交BC于点F,∠DFC= 90°，求证：四边形CEDF是矩形. —27 17.(9分)（郑州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E,G分别是OB,OC上的点，CE与DG的延长线相交于点 F.若DF⊥CE,求证：OE=OG. 18.(9分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠C,DE⊥BC于 点E,DB⊥AB于点B. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； （(2)若DB=2DE,BC=8,求AB的长. 19.(9分)科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有 意义的方面.下面就两个情景请你作出判断： (1)木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示的样 子钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学道理是 (2)在科技创新大赛期间，八年级(1)班的小强有一个设想，他 计划设计一个内角和是2010°的多边形图案，他认为这非常有 意义，他的愿望能实现吗？请用数学知识说明你的结论， —28— 20.(9分)如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O. (1)求证：AF与DE互相平分； (2)连接DF,EF,当△ABC满足 时，四 边形ADFE是正方形. 21.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC, BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线 于点E,连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=√5，BD=2,求OE的长 D 22.(10分)利用无刻度直尺完成下列各题作图，保留作图痕迹（结 果用实线，辅助线用虚线). (1)如图1，在平行四边形ABCD中，E为边AD上一点，DE=DC, 作∠BAD的平分线. (2)如图2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到△BDC',交AD 于点O,作∠BOD的平分线 (3)在平行四边形ABCD中，AD=2AB,∠B=60°，E,F分别是边 AD,BC的中点. ①在图3中画一个以点A,C为顶点的菱形； —29— ②在图4中画一个以点B,C为顶点的矩形 ※※※※ 兴 ※ 米 ※※ ※ ※ ※※ 23.(11分)（长沙月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将 菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”. ※ 装 ※ ※ ※ ※※ ※ 米 (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的 ※ “接近度”定义为lm-nl,于是|m-nl越小，菱形就越接近正 方形 ※※※ ①当菱形的一个内角为70时，“接近度”= ②当菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形 ※ 订※ (2)若我们将菱形的“接近度”定义为(m<m),则： ※※ ※ ※ ①菱形的一个内角为60时，“接近度”= 兴※ ②当菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形 ※※ ※ ※ (3)小昕同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了如下矩形的“接 近度”定义： ※ ※ 设矩形相邻两条边长分别为a,b(a<b),将矩形的“接近度”定义 为。，于是“越小，矩形越接近于正方形 线 你认为他的定义是否合理？若不合理，请你给出一个合理的 ※ ※ 定义 ※※ ※ ※ 卡 ※ ※※ ※ ※ ※※※※ ※※※※ —3023.(1)证明：：AB∥CD,∴.∠CDF=∠FEB, ∠DCF=∠EBF, 点F是BC的中点，.CF=BF, 在△DCF和△EBF中， ∠CDF=∠FEB ∠DCF=∠EBF CF=BE ∴.△DCF≌△EBF(AAS),∴.DC=EB. 又.·DC∥AB,·.四边形DBEC是平行四边形 (2)①2②4 【解法提示】①四边形DBEC是矩形，.∠CEB= 90°，∠ABC=120°，∴.∠CBE=60°，∴.∠ECB=30°， 1 ·BE=2BC=2 ②.四边形BECD是菱形，∴.BE=CE,:∠ABC= 120°，.∠CBE=60°，.△CBE是等边三角形， .∴.BE=BC=4. 5单元培优卷（四）》 0 快速对答案： 1~5 CCCDD 6~10 CAABB 0 11.50124.813.3014.48 15.√2 8.A【解析：四边形ABCD是正方形，.AD=CD. ∠ADB=∠CDB=45°.∴.'ED=CD,∴.AD=DE ∴.∠DAE=∠DEA.:∠CDE=38°，.∠ADE=90°+38°= 128°，∴.∠DAE=∠DEA=26.在△ADF中，∠DAF+ ∠AFD+∠ADF=180°，.26°+∠AFD+45°=180°， ∴.∠AFD=1O9°：DF=DF,∴.△ADF≌△CDF ∴.∠AFD=∠CFD=109°，∴.∠BFC=180°-∠CFD= 180°-109°=71°.故选A. 9B【解析】如图，连接BG,并延长 交AD于点N,连接NF,·四边形 ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠D=90° ∴.∠NAG=LBEG,点G是AE的中 点，∴.AG=EG,.·∠AGN=∠BGE ∴.△AGNW≌△EGB(ASA),∴.AN=BE=5,NG=BG,.∴.DN =AD-AN=13-5=8,:CD=12,CF=6,∴.DF=CD-CF=6, ∴.NF=√DW+DF=10,H是BF的中点，BG=NG, GH是△BNF的中位线，.GH=2NF=5,故选B. 10.B【解析】如图，连接AP,PE⊥AB,PF⊥AD, ∴.∠AEP=∠AFP=90°.：四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°∴.四边形AEPF为矩形.∴AP=EF. 当AP的值最小时，EF也达到最小值点P从 B点沿着BD往D点移动，.当AP⊥BD时，AP取 最小值.此时在Rt△BAD中，∠BAD=90°，AB=6, AD=8,.BD=√AB+AD=10.SABm=2AB· AD-2AP BD.AP-ABAD BD =5EF的长度 最小为行故连B. 第10题图 第15题图 15W2【解析】如图，连接AE.M,N分别是EF,AF 的中点，MN是△AEF的中位线，.MN=AE 2 四边形ABCD是正方形，∠B=90°，AE= √AB+BE=√4+BE2,当BE最大时，AE最大， 此时MW最大.E是BC上的动点，当点E和 点C重合时，BE最大，此时即为BC的长度，此 时A6=V4+2=2ENN=24证=2MN的 最大值为√2. 16.证明：.DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,∴.∠CDE= ∠ADE=号LADC,∠CDF=∠BDF= ∠BDC, 1 ·∠EDF=LCDE+LCDF=2(LADC+LBDC)= 90°，又.AD=DC,DE平分∠ADC, .DE⊥AC,.∠DEC=90 .·∠DFC=90°，.四边形CEDF是矩形 17.证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,OD=OC, .∠D0G=∠C0E=90° ∴.∠OEC+∠0CE=90. DF⊥CE,∴.∠OEC+∠ODG=90°， .∴.∠OCE=∠ODG, ∴.△0CE≌△ODG,∴.OE=0G. 18.(1)证明：.AD∥BC,∴.∠ADC+∠C=180° .∠A=∠C,.∠ADC+∠A=180°， ∴AB∥CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.S△ABD=S△BDc ·.·DE⊥BC,DB⊥AB ·`·4B·DB=BC·D⊙ DB=2DE,BC=8,..AB=4. 19.解：(1)四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性. (2)不能实现.理由如下： 设多边形的边数为n,根据题意，得 （a-2）·180°=2010°，解得n=13石 .·边数n为正整数， .他的愿望不能实现 20.(1)证明：：△ABC的中线AF与中位线DE相交 于点0， .EF是△ABC的中位线，AD=BD, EF∥AB,EF=AB=AD, 2 .四边形ADFE是平行四边形， ∴.AF与DE互相平分. (2)AB=AC,且∠BAC=90° 21.(1)证明：AB∥DC,.∠OAB=∠DCA, .AC为∠BAD的平分线，.∠OAB=∠DAC, ∴.∠DCA=∠DAC, .CD=AD=AB, :AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形， 又，AD=AB,∴.四边形ABCD是菱形. (2)解：四边形ABCD是菱形， .OA=OC,BD⊥AC, CE⊥AB,.OE=OA=0C, BD=2,.OB=1BD=1, 2 在Rt△A0B中，AB=√5，OB=1, .0A=√AB2-0B2=√5-I=2,.0E=0A=2. 22.解：(1)如图1所示，AF即为∠BAD的平分线. 图1 图2 (2)如图2所示，OE即为∠B0D的平分线。 (3)①如图3所示，四边形AFCE即为所求作 菱形. ②如图4所示，四边形ABGC即为所求作矩形. G的 图3 图4 23.解：(1)①40②0 (2)①2 ②1 (3)不合理. 如定义为6 ,。越接近1，矩形越接近于正方形 【提示】当=1时，矩形就变成了正方形，即只有 矩形的越接近1，矩形才越接近正方形. 6期中检测卷（一） 8°0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0O0⊙0e 快速对答案： 1~5 BACDB 6~10 CADCB 11.对角线相等的四边形是矩形12.-1 0 13.1.514.1515.1 9.C解析】如图，过，点D作DG1 AF于点H,与AB交于点G..·四 边形ABCD为矩形，∴.AD=BC.又 DF=BC,∴.DA=DF,∴.AH=FH. AF⊥BE,∴.DG∥BE,.AG= BC=1 AB=3.在矩形ABCD 中，AB∥CD,.四边形BEDG为平行四边形.：AB= DC=6,∴.DE=BG=3,∴.CE=CD-DE=6-3=3.故选C. 14.15【解析】四边形ABCD是矩形，∴.0A=0C= 1 OB-OD,AD/BCSLABC= 90°，BC=√AC2-AB2=√132-52=12(cm), S矩形ABCn=AB·BC=5×12=60(cm2),.SAAOD= 4X6=15(cm),'AD∥BC,∠0FD=∠0EB, I∠OEB=∠OFD 在△OEB和△OFD中， ∠EOB=∠FOD. OB=OD .△OEB≌△OFD(AAS),∴.SAOER=SAoD, .Sm影=SA4oD=15cm2. 15.1【解析】连接A0.:四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=W2,BD=2,∠DAB=90°.又OM⊥ AD,ON⊥AB,.∴.四边形AMON是矩形，.AO=MN :当A0⊥BD时，A0有最小值，则MN的值最小，此 1 时A0=BD=1,.MW的最小值为1. 2 16.解：(1)原式=25+63- 3 235 3 (2)原式=6-26+1-(9-5)》 =3-2√6 17.解：(1)由题意可知MN⊥AB 在Rt△MNB中，BN=√BM-MW=√J1502-120= 90(m), ∴.AN=AB-BN=250-90=160(m). 在Rt△AMN中，AM=√AW2+MN2=√J1602+1202= 200(m)., ∴.供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m. (2).'AB=250m,AM=200m,BM=150m, .AB2=BM2+AM2,. ∠AMB=90°. 18.解：(1)所经过的路线正好构成一个外角是30°的 正多边形， 360÷30=12.12×10=120(米) 答：小明一共走了120米. (2)根据题意，得(12-2)×180°=1800°. 答：这个多边形的内角和是1800°. 19.(1)证明：BC=14,CD=9,∴.BD=5. AB=13,AD=12,52+122=132, ∴.BD+AD2=AB2 .△ABD是直角三角形，AD⊥BD. (2)解：由(1)得AD⊥BD, ∴.△ADC是直角三角形. AD=12,CD=9,∴.AC=√AD2+CD2=15. :E是边AC的中点一DE三)ACe 15 20.(1)证明：由题意得，CE∥D0,DE∥C0, .四边形ECOD为平行四边形， :四边形DCBA为菱形， ∴.AC⊥DB,则∠C0D=90°， ∴.四边形ECOD为矩形 (2)解：，四边形DCBA是菱形，AC=43, C-CD,0A=OC=AC=2/3,0B=0D- 2 AC⊥BD, ∠BCD=60°，.△DCB是等边三角形， .AC⊥BD,∴.∠BCO=∠DCO=30°， 设OB=x,则BC=2x, 在Rt△BC0中，由勾股定理，得(23)2+x2=(2x)2, 解得x=2(负值已舍去)，∴.OD=0B=2 由(1)知：四边形ECOD为矩形，∴.CE=OD=2, ∠0CE=90°. ∴.在Rt△CEA中，由勾股定理，得AE=√CE+AC= √/22+(43)2=213 1 5√6（答案合理即可） 1 6 21.解：(1)/4 +1=(n+1) 1 (2)n n+2 Vn+2 /n2+2n+1 (3)证明：等式左边= /(n+1)2 V n+2 Nn+2 1 (n+1)./ =右边，故猜想成立. Nn+2 (4)2023√2 22.(1)证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥ CD于点N. .·四边形ABCD是正方形 .∴.∠BCD=90°，∠ECN=45°， .∴.∠EMC=∠ENC=∠BCD=9O°，且EN=NC, .四边形EMCN为正方形，