第1章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质 预习讲义 2026年暑假苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册2 《第1章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质》预习讲义 一．预习目标 ( 1.会用描点法绘制反比例函数y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)的双曲线图像，掌握反比例函数图像形状、象限分布、增减性、对称性、k的几何意义五大核心性质；能利用待定系数法求反比例函数解析式。 2.能根据k正负判断函数图像位置与增减趋势；会比较不同点的函数值大小；掌握反比例函数中矩形、三角形面积与|k|的关系；能解决反比例函数与一次函数、简单几何图形综合基础题。 3.建立数形结合思想，区分 “ 全体定义域 ” 与 “ 同一象限内 ” 增减性的易错点；体会分类讨论（k>0、k<0）的数学方法。 4.能结合江苏本地期中、模考题规范书写解题步骤，提升函数读图、运算、几何转化能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.反比例函数图像（双曲线）的绘制步骤； 2.k的符号决定图像象限、增减性； 3.|k|的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积=|k|，直角三角形面积= |k|）； 4.图像中心对称、轴对称特征。 （二）难点 1.易错点：增减性仅在每个象限内成立，不能直接说 “ k>0时，y随x增大而减小 ” ； 2.跨象限多点函数值大小比较； 3.反比例函数与一次函数交点、几何面积综合计算； 4.利用图像解简单不等式。 ) 三．自主探究 （一）反比例函数图像画法（描点法三步） 画出反比例函数y=的图像. （1）列表 ①在取值范围内取值(x不等于O); ②一定要有代表性(兼顾 正、负); ③大小要适度(描点时好操作,值太大或太小都不宜画图); ④要尽量多取一些数值(一般情况下取8-10个点)0 （2）描点. （3）连线. 从左往右连接各点并延伸，连线必须是光滑的。曲线两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但不会与坐标轴相交 【归纳】函数形式：y=(k≠0)，自变量x≠0，函数值y≠0 （1）列表：x取正负成对数值，避开0，如±1、±2、±3； （2）描点：平面直角坐标系标出对应坐标； （3）连线：分别连接左右两支，平滑曲线，无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 图像名称：双曲线，分左右两支。 （二）反比例函数图像与性质 【探究】反比例函数有着怎样的增减性呢? 【归纳】反比例函数的图像与性质 1.反比例函数的图像和性质 反比例函数 k的取值范围 图象 性质 ①的取值范围是，的取值范围是 ②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小 ①的取值范围是， 的取值范围是 ②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大 2. 易错提示 （1） 反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0； （2） 反比例函数图像是双曲线，它的两个分支是断开的，延伸部分由逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （3） 在描述增减性时，必须注意在每一个分支所在象限内交待，切忌笼统说明。 （三）k的几何意义（必考） 设点C(x0,y0)在y=图像上，过C作CA⊥x轴、CB⊥y轴，垂足A、B： 1.矩形AOBC面积：S=|x0·y0|=|k|； 2.Rt△0AB：S=|k|； 3.推论：同一反比例函数上任意一点，对应矩形面积恒等于|k|。 4注意点 （1）反比例函数面积问题联想几何意义； （2）已知矩形（或三角形）的面积求函数表达式时，要注意由图像 所在象限（或函数增减性）来确定k的符号。 （四）图像对称拓展 1.若A(a,b)在双曲线上，则关于原点对称点A'(-a,-b)也在图像上； 2.关于y=x对称点(b,a)、关于y=-x对称点(-b,-a)均在图像上。 （五）解析式求法（待定系数法） 已知图像上任意一点坐标(x,y)，代入y=，得k=xy，直接写出解析式。 四．经典例题 例1.（2025·南通通州区期末）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像经过一、三象限 C. 点(1,-4)在函数图像上 D. 图像与坐标轴有交点 例2.（2026·无锡惠山区一模）点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在y=上，则y1、y2、y3大小关系为（ ） A. y2<y1<y3 B. y1<y2<y3 C. y_3<y1<y2 D. y2<y3<y1 例3.（2026·徐州睢宁县三模）过反比例函数y=上一点M作坐标轴垂线，围成矩形面积为7，则k的值为（ ） A. 7 B. -7 C. ±7 D. 无法确定 例4.（2025·如皋市期中）反比例函数y=图像在二、四象限，则m取值范围：______ 例5.（2025·启东市期末）点(2,a)在y=图像上，则a=______ 例6.（2026·盐城亭湖区二模）点P在y=-上，过P作x轴垂线，垂足为A，则△OPA面积=______ 例7.（2025·南通通州区期末）已知反比例函数y=过点A(2,-3) (1) 求函数解析式； (2) 判断点B(-3,2)是否在该函数图像上，说明理由。 例8.如图，一次函数与反比例函数的图像交于，B两点． （1）求b和k的值； （2）在反比例函数的图像上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于x的不等式组的解集是    ． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·徐州睢宁期中）下列关于y=描述错误的是（ ） A. 图像关于原点对称 B. 图像在一、三象限 C. x>0时，y随x增大而减小 D. x越大，y一定越小 2.（2026·盐城大丰一模）若y=(m-1)xm2-2是反比例函数，则m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 3.（2025·如皋实验初中期中）点(-2,y1)、(-0.5,y2)在y=-上，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. 无法比较 4.如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图像分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A. B. C. D. 5.如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ (m、n是非零常数)的图像交于A、B两点．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是(　　) A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2) 6.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点．函数的图象经过点，交线段于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. C. （二）填空题 7.（2026·无锡惠山三模）△AOB顶点A在y=上，AB⊥x轴，S△AOB=4，则k=______ 8.（2025·南通通州期末）点(a,4)与(-2,b)关于原点对称，且均在y=上，则k=______ （三）解答题 9.（2025·盐城亭湖期中）已知反比例函数图像过(-4,3) (1) 求函数表达式； (2) 当x=-2时，求y的值。 10.（2026·徐州睢宁二模）直线x=4交y=于点P，作PQ⊥y轴于Q。 (1) 求P、Q坐标； (2) 求△OPQ面积； (3) 若点M(t,)在图像上，0<t<4，比较M、P纵坐标。 13.一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南通通州期末）若ab<0，则反比例函数y=图像在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限 2.（2026·无锡惠山一模）下列点不在y=-上的是（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (3,2) D. (6,-1) 3.（2025·如皋期中）已知x1<0<x2，点(x1,y1)、(x2,y2)在y=，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y 2 D. y1+y2=0 4.（2026·徐州睢宁三模）矩形面积为10，长x，宽y，则y与x函数图像是（ ） A. 直线 B. 双曲线第一象限分支 C. 完整双曲线 D. 抛物线 5.（2025·启东期末）关于y=(k<0)，正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像与直线y=x无交点 C. 图像上任意两点横纵坐标乘积相等 D. 图像关于x轴对称 6.如图，、两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A. B. C. D. 8.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A. B.或 C.或 D.或 9.若反比例函数图像如图，则图中阴影部分面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，是反比例函数图像上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（   ） A.4 B.6 C.8 D.10 （二）填空题 11.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为      ． 12.若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为      ． 13.已知和是反比例函数图像上的两点，则  ．（填“>”“<”或“=”） 14.已知点，在反比例函数的图像上，且，则t的取值范围是            ． 15.若点与点是正比例函数图像与反比例系数图像的两个不同的交点，则          ． 16.如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图像相交于点A(1，3)、B(x，y)，则点B的坐标为   ． 17.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为            ． 18.如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为      ． 19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为，点A的纵坐标为6，则点C的坐标是       ． 20.在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是      ． （三）解答题 21.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 22.如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 23.我们不妨约定，若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中画“✓”，不是“H函数”的画“✕”． ①（     ）； ②（     ）； ③（     ）； ④（     ）． （2）若A（1，m）与B（n，－4）是关于x的“H函数”的一对“H点”，求mn的值． 24.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 25.如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． （1）连接，当时，求反比例函数的解析式； （2）若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． （3）点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 26.如图，点在反比例函数的图像上，过点P作轴交反比例函数的图像于点M，作轴交反比例函数的图像于点N，连接． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）连接，直接写出的面积． 27.在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册2 《第1章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质》预习讲义 一．预习目标 ( 1.会用描点法绘制反比例函数y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)的双曲线图像，掌握反比例函数图像形状、象限分布、增减性、对称性、k的几何意义五大核心性质；能利用待定系数法求反比例函数解析式。 2.能根据k正负判断函数图像位置与增减趋势；会比较不同点的函数值大小；掌握反比例函数中矩形、三角形面积与|k|的关系；能解决反比例函数与一次函数、简单几何图形综合基础题。 3.建立数形结合思想，区分 “ 全体定义域 ” 与 “ 同一象限内 ” 增减性的易错点；体会分类讨论（k>0、k<0）的数学方法。 4.能结合江苏本地期中、模考题规范书写解题步骤，提升函数读图、运算、几何转化能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.反比例函数图像（双曲线）的绘制步骤； 2.k的符号决定图像象限、增减性； 3.|k|的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积=|k|，直角三角形面积= |k|）； 4.图像中心对称、轴对称特征。 （二）难点 1.易错点：增减性仅在每个象限内成立，不能直接说 “ k>0时，y随x增大而减小 ” ； 2.跨象限多点函数值大小比较； 3.反比例函数与一次函数交点、几何面积综合计算； 4.利用图像解简单不等式。 ) 三．自主探究 （一）反比例函数图像画法（描点法三步） 画出反比例函数y=的图像. （1）列表 ①在取值范围内取值(x不等于O); ②一定要有代表性(兼顾 正、负); ③大小要适度(描点时好操作,值太大或太小都不宜画图); ④要尽量多取一些数值(一般情况下取8-10个点)0 （2）描点. （3）连线. 从左往右连接各点并延伸，连线必须是光滑的。曲线两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但不会与坐标轴相交 【归纳】函数形式：y=(k≠0)，自变量x≠0，函数值y≠0 （1）列表：x取正负成对数值，避开0，如±1、±2、±3； （2）描点：平面直角坐标系标出对应坐标； （3）连线：分别连接左右两支，平滑曲线，无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交。 图像名称：双曲线，分左右两支。 （二）反比例函数图像与性质 【探究】反比例函数有着怎样的增减性呢? 【归纳】反比例函数的图像与性质 1.反比例函数的图像和性质 反比例函数 k的取值范围 图象 性质 ①的取值范围是，的取值范围是 ②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小 ①的取值范围是， 的取值范围是 ②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大 2. 易错提示 （1） 反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0； （2） 反比例函数图像是双曲线，它的两个分支是断开的，延伸部分由逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （3） 在描述增减性时，必须注意在每一个分支所在象限内交待，切忌笼统说明。 （三）k的几何意义（必考） 设点C(x0,y0)在y=图像上，过C作CA⊥x轴、CB⊥y轴，垂足A、B： 1.矩形AOBC面积：S=|x0·y0|=|k|； 2.Rt△0AB：S=|k|； 3.推论：同一反比例函数上任意一点，对应矩形面积恒等于|k|。 4注意点 （1）反比例函数面积问题联想几何意义； （2）已知矩形（或三角形）的面积求函数表达式时，要注意由图像 所在象限（或函数增减性）来确定k的符号。 （四）图像对称拓展 1.若A(a,b)在双曲线上，则关于原点对称点A'(-a,-b)也在图像上； 2.关于y=x对称点(b,a)、关于y=-x对称点(-b,-a)均在图像上。 （五）解析式求法（待定系数法） 已知图像上任意一点坐标(x,y)，代入y=，得k=xy，直接写出解析式。 四．经典例题 例1.（2025·南通通州区期末）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像经过一、三象限 C. 点(1,-4)在函数图像上 D. 图像与坐标轴有交点 【答案】：C 【解析】：k=-4<0，图像在二、四象限；仅每个象限内y随x增大而增大，A、B错；x=1时y=-4，C正确；x、y均不为0，图像不碰坐标轴，D错。 例2.（2026·无锡惠山区一模）点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在y=上，则y1、y2、y3大小关系为（ ） A. y2<y1<y3 B. y1<y2<y3 C. y_3<y1<y2 D. y2<y3<y1 【答案】：A 【解析】：k=6>0，一、三象限；A、B在第三象限，-3<-1，同象限y随x增大减小，故y_2<y1<0；C在第一象限y3>0，因此y2<y1<y3。 例3.（2026·徐州睢宁县三模）过反比例函数y=上一点M作坐标轴垂线，围成矩形面积为7，则k的值为（ ） A. 7 B. -7 C. ±7 D. 无法确定 【答案】：C 【解析】：矩形面积|k|=7，故k=7或k=-7。 例4.（2025·如皋市期中）反比例函数y=图像在二、四象限，则m取值范围：______ 【答案】：m<2 【解析】：图像二、四象限→k=m-2<0，解得m<2。 例5.（2025·启东市期末）点(2,a)在y=图像上，则a=______ 【答案】：4 【解析】：代入x=2，a==4。 例6.（2026·盐城亭湖区二模）点P在y=-上，过P作x轴垂线，垂足为A，则△OPA面积=______ 【答案】：5 【解析】：S=|k|=×|-10|=5。 例7.（2025·南通通州区期末）已知反比例函数y=过点A(2,-3) (1) 求函数解析式； (2) 判断点B(-3,2)是否在该函数图像上，说明理由。 解：(1) 将A(2,-3)代入，k=2×(-3)=-6，解析式：y=-； (2) 当x=-3时，y=-=2，与B纵坐标相等，故点B在图像上。 例8.如图，一次函数与反比例函数的图像交于，B两点． （1）求b和k的值； （2）在反比例函数的图像上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于x的不等式组的解集是    ． 解：（1）将点代入反比例函数和一次函数， ，. （2）∵，∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，，当时，根据图像可得， 综上所述，当或时，；当时，． （3）解：由（1）得反比例函数和一次函数，联立得，解得：或，，根据图像可知，，令，则，故，根据图像可知，当时，． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·徐州睢宁期中）下列关于y=描述错误的是（ ） A. 图像关于原点对称 B. 图像在一、三象限 C. x>0时，y随x增大而减小 D. x越大，y一定越小 【答案】：D 【解析】：跨象限不成立，如x1=-1，y1=-3；x2=1，y2=3，x2>x1，y2>y1。 2.（2026·盐城大丰一模）若y=(m-1)xm2-2是反比例函数，则m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】：B 【解析】：反比例函数满足m2-2=-1并且m-1≠0，解得m=-1。 3.（2025·如皋实验初中期中）点(-2,y1)、(-0.5,y2)在y=-上，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. 无法比较 【答案】：B 【解析】：k=-2<0，第二象限内y随x增大增大，-2<-0.5，故y1<y2。 4.如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图像分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是．故选：C． 5.如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ (m、n是非零常数)的图像交于A、B两点．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是(　　) A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2) 【答案】C 【解析】∵正比例函数y=mx与反比例函数y=的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（-1，-2）．故选：C． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点．函数的图象经过点，交线段于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. C. 【答案】B 【解析】，，点为线段的中点，，函数的图象经过点，，函数，，，轴，把代入得，，点的坐标为.故选：B． （二）填空题 7.（2026·无锡惠山三模）△AOB顶点A在y=上，AB⊥x轴，S△AOB=4，则k=______ 【答案】：±8 【解析】：|k|=4，|k|=8。 8.（2025·南通通州期末）点(a,4)与(-2,b)关于原点对称，且均在y=上，则k=______ 【答案】：8 【解析】：对称点a=2，b=-4，代入(2,4)得k=8。 （三）解答题 9.（2025·盐城亭湖期中）已知反比例函数图像过(-4,3) (1) 求函数表达式； (2) 当x=-2时，求y的值。 解：(1) k=-4×3=-12，y=-； (2) x=-2，y=-=6。 10.（2026·徐州睢宁二模）直线x=4交y=于点P，作PQ⊥y轴于Q。 (1) 求P、Q坐标； (2) 求△OPQ面积； (3) 若点M(t,)在图像上，0<t<4，比较M、P纵坐标。 解：(1) x=4，y=2，P(4,2)，Q(0,2)； (2) S=×4×2=4； (3) k>0，x>0时y随x增大减小，0<t<4，故yM>yP。 13.一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 解：（1）∵反比例函数的图象过点，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为：. （2）将点代入得：，∴，将、代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为：， 令，则，∴，∴. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南通通州期末）若ab<0，则反比例函数y=图像在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限 【答案】：B 【解析】：ab<0即k<0，图像二、四象限。 2.（2026·无锡惠山一模）下列点不在y=-上的是（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (3,2) D. (6,-1) 【答案】：C 【解析】：3×2=6≠-6，不满足xy=-6。 3.（2025·如皋期中）已知x1<0<x2，点(x1,y1)、(x2,y2)在y=，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y 2 D. y1+y2=0 【答案】：B 【解析】：x1<0，y1<0；x2>0，y2>0，y1<y2。 4.（2026·徐州睢宁三模）矩形面积为10，长x，宽y，则y与x函数图像是（ ） A. 直线 B. 双曲线第一象限分支 C. 完整双曲线 D. 抛物线 【答案】：B 【解析】：xy=10，y=(x>0)，仅第一象限一支。 5.（2025·启东期末）关于y=(k<0)，正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像与直线y=x无交点 C. 图像上任意两点横纵坐标乘积相等 D. 图像关于x轴对称 【答案】：C 【解析】：xy=k恒成立；A缺“同一象限”；B有交点；D无x轴对称。 6.如图，、两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】由反比例函数的图象和性质的特点可设未知数：，，则，，由题意得：，解得：.故选：A． 7.如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，由的几何意义得，，∴，∵，∴， ∵点D的坐标是，∴，，∴， ∵正方形的面积为4，∴，而，∴．故选：B． 8.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A. B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】，，∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3，由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或.故选：C． 9.若反比例函数图像如图，则图中阴影部分面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图，连接，由图可知轴，∴阴影部分的面积等于的面积， ∵点在反比例函数图像上，∴阴影部分的面积等于的面积.故选：C． 10.如图，是反比例函数图像上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（   ） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】如图，连接、，作轴于，，是反比例函数图像上两点，，，即，，，，，是反比例函数图像上两点，，. 故选：D． （二）填空题 11.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为      ． 【答案】 【解析】反比例函数的图像经过点，，，反比例函数，该反比例函数还过，，. 12.若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为      ． 【答案】 【解析】把代入得：，解得：，则P的坐标是：，P关于y轴的对称点是：，把代入反比例函数的解析式得：，解得：． 13.已知和是反比例函数图像上的两点，则        ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】∵和是反比例函数图像上的两点，∴，∴，，∴． 14.已知点，在反比例函数的图像上，且，则t的取值范围是            ． 【答案】 【解析】∵反比例函数中的，∴该反比例函数的图像在第二、四象限，并在每一个象限中，y随x的增大而增大，∵点，在反比例函数的图像上，且，，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴且，∴. 15.若点与点是正比例函数图像与反比例系数图像的两个不同的交点，则          ． 【答案】 【解析】∵点与点是正比例函数图像与反比例系数图像的两个不同的交点，∴，解得， . 16.如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图像相交于点A(1，3)、B(x，y)，则点B的坐标为   ． 【答案】(－1，－3) 【解析】∵点A与B关于原点对称，A(1，3)，∴B点的坐标为(－1，－3)． 17.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为            ． 【答案】或 【解析】如图，过作轴于点，过作轴于点，设，将点代入得，∴，∴反比例函数的解析式为；将点代入得，∴，∴，∴，，∴，，，则 ， ，∴，即点的坐标为，当点P在MN之间时，S△PAB=S梯形ANMB-S△BMP-S△ANP，解得点的坐标为，综上，点的坐标为或． 18.如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为      ． 【答案】16 【解析】∵且D为的中点，∴，∴，∴， 由几何意义得，，∵，∴，∴，即． 19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为，点A的纵坐标为6，则点C的坐标是       ． 【答案】 【解析】设，点的坐标为，点与点在同一个反比例函数的图象上，，解得，，点，是正比例函数与反比函数在不同象限的交点，，两点关于原点对称，． 20.在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是      ． 【答案】0 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，∴，两点关于原点对称，∴，∴. （三）解答题 21.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 解：（1）由题意，将点代入得：，解得. （2）由（1）得：反比例函数的解析式为，在每一象限内，随的增大而增大， 均在反比例函数的图象上，且，． 22.如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 解：（1）如图①所示， （2）如图②所示， 23.我们不妨约定，若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中画“✓”，不是“H函数”的画“✕”． ①（     ）； ②（     ）； ③（     ）； ④（     ）． （2）若A（1，m）与B（n，－4）是关于x的“H函数”的一对“H点”，求mn的值． 解：（1）①，经过原点，关于原点对称，故是“H函数”（✓）；②，不是，关于原点对称，故不是“H函数”（✕）；③，关于原点对称，故是“H函数”（✓）；④，关于原点对称，故是“H函数”（✓）. （2）∵点A，点B是关于x的“H函数”的一对“H点”，∴点A，点B关于原点对称， ∴m=4，n=－1，∴． 24.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 解：（1）函数的图象经过，，解得：，， ，反比例函数表达式为：. （2）如图：在中， 当时，得，解得：，， ，，，，，解得：或，点P的坐标为或． 25.如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． （1）连接，当时，求反比例函数的解析式； （2）若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． （3）点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 解：（1）如图1，由题意知，，解得，或（舍去），∴反比例函数的解析式为. （2）由题意知，平移后的点坐标为，∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上，∴，解得，，∴的值为1． （3）如图2，设，则，，当在点左侧时，，则，将代入得，，∴，解得，；当在点右侧时，同理可得，，，， ∴，解得，；综上所述，k的值为或． 26.如图，点在反比例函数的图像上，过点P作轴交反比例函数的图像于点M，作轴交反比例函数的图像于点N，连接． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）连接，直接写出的面积． 解：（1）∵点在反比例函数的图像上，∴， k的值为6. （2）如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，∵点，∴，∵点M、点N在反比例函数的图像上，∴，∴， ∴，的面积为. （3）的面积为．理由：∵点M、点N在反比例函数的图像上，∴，∴ ，的面积是． 27.在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 解：（1）当时，，当时，，.画出函数的图像如图： （2）根据函数图像： ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为轴，说法错误； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值-3，说法正确. （3）由图像可知：①方程有3个解. ②不等式的解集为或 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $