第03讲 用反比例函数解决问题（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材苏科版

第03讲 用反比例函数解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 用反比例函数解决问题 同学们，想象一下，假如周末你和科技小组的伙伴们去野外考察，突然遇到了一片十几米宽的烂泥湿地.如果直接踩过去，肯定会陷进泥里出不来.但是，聪明的考察队员只要沿着前进路线铺垫上几块木板，就能轻松、安全地走过去. 大家有没有想过，这看似简单的“垫木板”动作，背后藏着什么数学原理？ 其实，这运用了物理学中的压强知识.当人和木板的总重量（也就是对地面的压力 F）是固定的时候，人对地面的压强（p）和脚底接触的面积（S）有着密不可分的关系.假设你和装备的总重量产生的压力是 600牛（N），那么压强 p与接触面积 S 的关系就是：. 知识点 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【题型1 根据实际问题列反比例函数关系式】 【例1】一批零件个，一个工人每小时做个，用关系式表示人数与完成任务所需的时间之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】根据等量关系“x个工人所需时间＝工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式． 【详解】由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为：y＝300÷15x． 故答案为y． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解答此题的关键． 【变式1-1】三角形面积是，底边为，高是，则与的关系式的图象位于________象限． 【答案】第一 【分析】根据三角形的面积公式易得y与x之间的关系式，根据y与x的取值可得所在象限． 【详解】∵三角形的面积=12×底边×高， ∴ ∵x>0，y>0， ∴y与x的关系式的图象位于第一象限. 故答案为第一. 【点睛】考查反比例函数的图象，三角形的面积，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键. 【变式1-2】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 【变式1-3】（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 【例2】某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求得解析式，进而观察函数图象，根据反比例函数的性质，即可判断②③④ 【详解】解：根据函数图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， 得， ∴与的函数关系式是，故①符合题意； 观察函数图象，随着的增大而减小，则时，，故②符合题意 ③当时，，故③符合题意 ④当时，,则当时，的取值范围是．故④不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式2-1】（2025·山西晋中·二模）在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，得，再运用数形结合思想得当时，得，故，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 当时，结合图象得， 则， 故选：A 【变式2-2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案． 【详解】解：设，当时，， 所以，即， 所以ρ与V的函数关系式是， 当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B不符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D符合题意； 故选：D． 【变式2-3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【题型3 经济生活类反比例函数的应用】 【例3】某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 【答案】w与x之间的函数关系式为，日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式． 由表知，据此可得， 根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式；进而根据反比例函数的性质求解可得最大利润． 【详解】解：设，则， 解得， ． 把x、y的实数对代入函数关系式都能满足， 的函数关系式为． ， ∴当时，w有最大值， 最大值为（元）． 答：w与x之间的函数关系式为， 日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元． 【变式3-1】铜仁市第五中学组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 【答案】(1)反比例函数  ， (2)260元 【分析】本题考查了反比例函数的定义，分式方程的应用； （1）根据表格中数据可知，然后可得函数关系式； （2）根据每天的销售利润为4500元得出方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：由表格中数据可知：， ∴y是x的反比例函数， ∴y与x函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：，经检验，是原方程的解且符合题意， 答：其售价应定为260元． 【变式3-2】某宾馆客房有60个房间供游客居住．旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲．具体数据如下表： 每个房间的定价x（元） 200 240 250 300 每天入住的房间数y（间） 60 50 48 40 （1）请你认真分析表中数据，求出能表示其变化规律的函数表达式． （2）对有游客入住的房间．宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，当每天入住的房间数为30时，求宾馆每天的总利润． 【答案】（1）；（2）宾馆每天的总利润为13050元 【分析】（1）根据题意可得每天入住的房间数=12000÷每个房间的定价； （2）首先求出每天入住的房间数为30时每个房间的定价，再根据题意宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，及市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，即可求出每天入住的房间数为30时宾馆每天的总利润． 【详解】解：（1）由题意得：xy=12000， ∴ （2）y=30时，x， （400-15+50）×30=13050． 答：每天入住的房间数为30时宾馆每天的总利润为13050元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据题意列出函数解析式，进而解决问题． 【变式3-3】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【答案】(1) (2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为． 把代入，得． 关于的函数表达式为． （2）试销6天共销售苹果千克 苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克， 销售10天后，还剩下苹果（千克）． 由，得． 把代入中得， ，随的增大而减小， 当时，， 新的售价最高可以定为6元/千克， 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 【题型4 行程问题类反比例函数的应用】 【例4】红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 【答案】(1) (2)108千米/时 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）根据高速公路的路程一定，得到，即可得出结果； （2）先求出行驶时间，代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）（小时）， ∴当时，千米/时； 答：红红爸爸在该高速公路上的行驶速度为108千米/时． 【变式4-1】国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时． 【答案】(1)关于t的函数表达式为 (2)他从银屏山回到家需要4小时 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得从家到银屏山旅游的路程为240km，然后可根据路程=速度×时间可进行求解； （2）根据（1）可进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为 ∴关于t的函数表达式为； （2）解：当时， 解得； 答：他从银屏山回到家需要4h． 【变式4-2】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】(1) (2)车到达B地所需的最短时间为 (3)乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用： （1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围； （2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意知， 关于的函数表达式为：， 速度限定为不超过120千米/时， ， ， ； （2）解：到用时小时，到用时小时， 将代入，得：， 将代入，得：， 汽车行驶速度的范围为． 【题型5 工程工作类反比例函数的应用】 【例5】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 【答案】(1) (2)采摘完这个苹果园所需的时间为天 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设反比例函数为，由题意当时，，代入即可解得； （2）当时，代入反比例函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：采摘完这个苹果园所需的时间为天． 【变式5-2】某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存． (1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式； (2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？ (3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？ 【答案】(1) (2)30 (3)160人 【分析】（1）根据工作时间工作总量工作效率可得函数关系式； （2）直接把代入解析式求解即可； （3）根据题意求出剩余的玉米一天内全部入库需职工人数为200人，所以需增加的人数即可求出． 【详解】（1）解：根据关系式：工作时间工作总量工作效率可得： 入库所需的时间 t 与入库速度 v 的函数关系式为； （2）根据题意得：， ∴预计将全部大米入库最快可在30天内完成； （3）粮库的职工连续工作了25天的入库量为， 由题可知：剩下的粮食需要再一天内完成入库， 则所需人数为 （人）， （人）． 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 【变式5-3】（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每天至少要卸载48吨． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【详解】（1）解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； （2）解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 【题型6 物理学中的反比例函数的应用】 【例6】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． (1)求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设频率关于电磁波的波长的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． 答：当时，此电磁波的波长为． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 【变式6-3】数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 【题型7 方案设计类反比例函数的应用】 【例7】某电商店铺为促销一件标价59元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A（限购8件），除包邮外，享受每满240元（标价）减40元，但在收货之前不能退换，小华正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买． （1）请求出小华每件商品实付款的均价与购买商品A的件数的关系； （2）小华对该商品的实际需求为4件，为了追求最大优惠，小华考虑以下两种方案： 方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货； 方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）． 若以小华的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小华选择一个优惠的购买方案． 【答案】（1）y＝；（2）小华选择方案二购买，见解析． 【分析】（1）设每件商品实付款的均价为元，购买商品A的件数为x件，根据x的条件得出y得值即可； （2）x＝5，分类讨论即可； 【详解】解：（1）设每件商品实付款的均价为y元，购买商品A的件数为x件， 当0＜x≤4时，y＝59， 当4＜x≤8时，y＝， 综上，y＝； （2）方案一：x＝5，y＝59﹣， 方案二：x＝5（买5件退一件）， y＝ ∴小华选择方案二购买． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 【变式7-1】如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围； (2)边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】(1)y＝（x≥5） (2)方案1：AB的长为5m，BC的长为6m； 方案2：AB的长为6m，BC的长为5m． 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y＝，再结合墙长为6m，即可得出x≥5； （2）由x，y均为整数，x≥5，且y＝，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案． 【详解】（1）解：依题意得：xy＝30， ∴y＝． 又∵墙长为6m， ∴≤6， ∴x≥5． ∴y关于x的函数表达式为y＝（x≥5）． （2）∵x，y均为整数，x≥5，且y＝， ∴x可以为5，6，10，15，30． 又∵2x+y≤20，即2x+≤20， ∴x可以为5，6， ∴共有2种围建方案， 方案1：AB的长为5m，BC的长为6m； 方案2：AB的长为6m，BC的长为5m． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值． 【变式7-2】（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答． 【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 【题型8 反比例函数与一次函数的综合应用】 【例8】（25-26九年级上·江西上饶·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲21分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】(1)第六分钟时学生的注意力更集中 (2)老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第六分钟和第三十二分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和21比较，大于21则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：设的解析式为， 代入点，得 解得 故的解析式为． 设双曲线的解析式为， 代入点，得， 故的解析式为． 当时（在段），； 当时（在段），． ， 第六分钟时学生的注意力更集中． （2）解：段：令， 解得，故，时长（分钟）； 段恒大于32， 时长（分钟）； 段：令， 解得， 故，时长（分钟）． 总时长：三段达标时长之和为（分钟），， 老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【变式8-1】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成正比例，药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式； (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 【答案】(1) (2)微克 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为， 把时，代入得：， 解得， ∴药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为． （2）解：在中，当时，． 答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为微克． 【变式8-2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键． （1）设可变电阻与物体质量之间的关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入求出结果即可； （2）设电流I与电阻之间的关系式为，再代入求解即可； （3）由题意可知当取得最小值时，x取得最大值，将代入中求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； （2）解：电流与总电阻成反比例， 又 ， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； （3）解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者每晚骑行骑行的过程中，骑行的速度与时间之间的关系用图象大致可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用路程、速度、时间的关系式推导函数类型． 已知骑行路程为定值，根据公式可推导出速度与时间的反比例函数关系，再结合实际场景中、的限制，匹配对应的函数图象． 【详解】解：∵骑行的路程， ∴()， 该函数为反比例函数，其图象在第一象限内是一条从左上向右下延伸，且逐渐靠近坐标轴但不与坐标轴相交的曲线，只有选项B符合． 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 利用已知条件时，，从而得到 w 与 n 的反比例关系式． 【详解】解：设， 由题意可得时，，代入可得， ， 解得， 故函数关系式为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过这段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项C符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（   ）． A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，第时水温不低于 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象以及实际应用，结合实际背景，求出函数解析式，逐个验证选项即可． 【详解】解：对于A：∵加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A正确； 对于B：由题意可知，反比例函数的图象过点， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B正确； 对于C：将代入，解得， ∴该茶吧机每为一个周期，循环加热， ∵， ∴第时的水温等同于第时的水温， 将代入，得，即此时水温为， ∵， ∴C错误； 对于D：从加热到需要， 将代入，解得， ∴一个加热周期内，水温不低于的时间为，故D正确． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见表，则下列说法不正确的是（    ） 信息窗 与m之间满足 A．在一定范围内，越小，越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图2关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据动力×动力臂=阻力×阻力臂即可得函数关系式． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力动力臂阻力阻力臂）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力与阻力臂的函数图象如图所示，如果他想用动力（）去撬起这块石头，则动力臂至少长___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据图象，得，再根据“杠杆原理”，得，根据反比例函数的性质，代入求解即可． 【详解】解：由图象可得，阻力与阻力臂的关系符合反比例函数， 当时，，此时， 动力动力臂阻力阻力臂， ， ， 当时，取得最小值，此时（）． 故答案为：． 8．如图，对于一定质量的气体在温度不变的情况下，压强是体积的反比例函数.当体积为时，压强为48千帕，则当体积为时，压强为________________千帕． 【答案】80 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．求解出反比例函数的解析式是解决本题的关键． 通过设出压强与体积的反比例函数关系式，利用已知的体积和压强数据求出函数中的常数，进而根据函数关系式求出指定体积下的压强． 【详解】解：设压强p与体积V的反比例函数表达式为． 已知当体积时，压强千帕， 将其代入反比例函数表达式中，可得． 得到． 所以，压强p与体积V的反比例函数表达式为． 当时，将代入中，可得（千帕）． 故答案为：80． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 10．（24-25九年级下·陕西西安·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：， 则C的坐标是， 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， ∵上口宽， ∴点F的横坐为， 当时，． 答：整个冷却塔的高是． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 12．（25-26九年级上·河南许昌·期末）古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 【答案】(1) (2)壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，理解题意，求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据杠杆平衡原理得出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据“杠杆原理”，得， ． 答：关于的函数解析式为． （2）解：当时，由得： ， 对于，当时，越小，越大， 壮壮最多能使出的力， ， 所以，壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要． 13．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，求反比例函数值； （1）用待定系数法即可解答； （2）将代入函数表达式计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 已知时，， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为． （2）解：把代入得， 解得， ∴当时，右边托盘与天平中间立柱的距离为． 14．（25-26九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； （2）证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又 与的相似比为， 与的“视觉比”为． 15．（25-26九年级上·安徽池州·期末）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为 时，制冷启动，当温度降低到设定温度 时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到 时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； (3)当冰箱温度刚好达到 时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)继续运行120分钟冰箱内的温度是 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时，设关于的函数解析式为 由题意知：解得： ∴当时，关于的函数解析式为 当时，设关于的函数解析式为   由题意知：，解得： 此时，关于的函数解析式为 当时，   解得： ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟 ∴ （3）解：当冰箱温度刚好达到 时，已运行了，继续运行，总共为 冰箱运行个周期零，当时， 继续运行分钟冰箱内的温度是 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 用反比例函数解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 用反比例函数解决问题 同学们，想象一下，假如周末你和科技小组的伙伴们去野外考察，突然遇到了一片十几米宽的烂泥湿地.如果直接踩过去，肯定会陷进泥里出不来.但是，聪明的考察队员只要沿着前进路线铺垫上几块木板，就能轻松、安全地走过去. 大家有没有想过，这看似简单的“垫木板”动作，背后藏着什么数学原理？ 其实，这运用了物理学中的压强知识.当人和木板的总重量（也就是对地面的压力 F）是固定的时候，人对地面的压强（p）和脚底接触的面积（S）有着密不可分的关系.假设你和装备的总重量产生的压力是 600牛（N），那么压强 p与接触面积 S 的关系就是：. 知识点 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【题型1 根据实际问题列反比例函数关系式】 【例1】一批零件个，一个工人每小时做个，用关系式表示人数与完成任务所需的时间之间的函数关系式为________． 【变式1-1】三角形面积是，底边为，高是，则与的关系式的图象位于________象限． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 【例2】某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2025·山西晋中·二模）在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【题型3 经济生活类反比例函数的应用】 【例3】某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 【变式3-1】铜仁市第五中学组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 【变式3-2】某宾馆客房有60个房间供游客居住．旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲．具体数据如下表： 每个房间的定价x（元） 200 240 250 300 每天入住的房间数y（间） 60 50 48 40 （1）请你认真分析表中数据，求出能表示其变化规律的函数表达式． （2）对有游客入住的房间．宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，当每天入住的房间数为30时，求宾馆每天的总利润． 【变式3-3】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【题型4 行程问题类反比例函数的应用】 【例4】红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 【变式4-1】国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时． 【变式4-2】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【题型5 工程工作类反比例函数的应用】 【例5】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 【变式5-2】某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存． (1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式； (2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？ (3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？ 【变式5-3】（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【题型6 物理学中的反比例函数的应用】 【例6】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． (1)求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【变式6-3】数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【题型7 方案设计类反比例函数的应用】 【例7】某电商店铺为促销一件标价59元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A（限购8件），除包邮外，享受每满240元（标价）减40元，但在收货之前不能退换，小华正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买． （1）请求出小华每件商品实付款的均价与购买商品A的件数的关系； （2）小华对该商品的实际需求为4件，为了追求最大优惠，小华考虑以下两种方案： 方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货； 方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）． 若以小华的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小华选择一个优惠的购买方案． 【变式7-1】如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围； (2)边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案． 【变式7-2】（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【题型8 反比例函数与一次函数的综合应用】 【例8】（25-26九年级上·江西上饶·期末）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲21分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【变式8-1】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成正比例，药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式； (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 【变式8-2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者每晚骑行骑行的过程中，骑行的速度与时间之间的关系用图象大致可以表示为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（   ）． A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，第时水温不低于 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见表，则下列说法不正确的是（    ） 信息窗 与m之间满足 A．在一定范围内，越小，越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 6．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力动力臂阻力阻力臂）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力与阻力臂的函数图象如图所示，如果他想用动力（）去撬起这块石头，则动力臂至少长___________． 8．如图，对于一定质量的气体在温度不变的情况下，压强是体积的反比例函数.当体积为时，压强为48千帕，则当体积为时，压强为________________千帕． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 10．（24-25九年级下·陕西西安·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 11．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 12．（25-26九年级上·河南许昌·期末）古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 13．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 14．（25-26九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 15．（25-26九年级上·安徽池州·期末）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为 时，制冷启动，当温度降低到设定温度 时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到 时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； (3)当冰箱温度刚好达到 时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $