2025-2026学年人教版八年级数学下册各章节压轴题专项训练

**基本信息** 以“考情-思路-精练”三阶架构系统突破八下数学压轴题，融合分类讨论、数学建模等思想，构建“方法-题型-知识”三维训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|16题|双重非负性、整体代换、分类讨论|承接实数运算，为函数几何奠基| |勾股定理|14题|模型应用、折叠方程、动态分类|数形结合核心，关联四边形与函数| |四边形|15题|性质判定体系、变换全等、最值模型|三角形进阶，构建平面几何网络| |函数|14题|概念辨析、变量分析、图像规律|函数思想启蒙，衔接一次函数| |一次函数|22题|数形结合、含参讨论、面积模型|代数几何融合，中考压轴核心| |数据的分析|14题|统计量辨析、方差应用、决策分析|数据观念培养，关联实际应用|

八年级数学下册各章节压轴题专项训练 1、 包括章节：《第十九章：二次根式》、《第二十章：勾股定理》、《第二十一章：四边形》、《第二十二章：函数》、《第二十三章：一次函数》、《第二十四章：数据的分析》 2、 适合期中、期末、月考、暑假、阶段测试等场景的拔高训 目 录 第十九章：二次根式 2 （一）压轴考情 2 （二）解题思路 2 （三) 好题精练 3 第二十章：勾股定理 16 （一）压轴考情 16 （二）解题思路 16 （三) 好题精练 17 第二十一章：四边形 46 （一）压轴考情 46 （二）解题思路 46 （三) 好题精练 47 第二十二章：函数 90 （一）压轴考情 90 （二）解题思路 90 （三) 好题精练 91 第二十三章：一次函数 120 （一）压轴考情 120 （二）解题思路 120 （三) 好题精练 121 第二十四章：数据的分析 179 （一）压轴考情 179 （二）解题思路 179 （三) 好题精练 180 第十九章：二次根式 （一）压轴考情 二次根式是八年级下册代数核心开篇章节，承接七年级实数运算，是初中根式运算体系的核心内容，也是勾股定理、特殊四边形、反比例函数综合计算的基础，为期中、期末高频拔高压轴考点，多以选择填空压轴、代数综合探究解答题形式考查。本章压轴题脱离基础的根式化简与简单运算，侧重含参数根式分类讨论、根式与代数式综合求值、根式恒等变形、多结论探究综合四大拔高方向，命题综合性、易错性极强，是八下代数区分度核心题型。 常考压轴题型包含：二次根式有意义的参数取值范围（含恒成立、无解情况）、根式平方与绝对值结合的分类化简问题、复杂根式的整体代入求值、分母有理化进阶运算与化简、根式新定义运算、根式规律归纳猜想、二次根式与整式、方程结合的多问梯度探究题。命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础定义域、简单化简运算，第二、三问延伸参数讨论、分类化简、恒等变形与结论探究，重点考查学生严谨的分类讨论思维、整体代换思想与代数变形能力，广泛适用于阶段测试、期中期末拔高训练，是后续初中几何、函数综合计算题的重要运算根基。 （二）解题思路 1. 坚守双重非负性，夯实解题核心：熟练掌握二次根式被开方数非负、根式结果非负的双重核心性质，所有根式压轴题优先判定定义域，遇多个非负式子相加为0的模型，直接判定每一项均为0，快速求解参数值，杜绝忽略取值范围导致的根本性错解。 2. 分类讨论破化简难点：针对含字母、含参数的化简压轴题，固定解题逻辑为先判正负、再去根号、最后去绝对值，根据题干条件、隐含定义域或数轴位置判断底数正负，分类讨论不同取值情况，严格规避“直接开方、忽略符号”的高频易错点。 3. 活用整体代换，简化复杂求值：面对根式代数式综合求值压轴题，摒弃单独求解未知数的繁琐思路，优先观察已知式与所求式的结构关联，通过配方、变形、构造整体的方式，利用整体代入、整体加减思想解题，大幅简化运算步骤，规避复杂计算失误。 4. 精准把控参数临界，杜绝漏解多解：针对含参数根式有意义、恒成立、化简结果为定值等压轴题型，先根据定义域列出不等式，结合题干限定条件求解参数范围，重点验证临界值能否取等号，结合分类讨论筛选有效取值，保证参数求解严谨完整。 5. 熟练恒等变形，攻克进阶运算：熟练掌握分母有理化、根式拆分、根式凑对等进阶变形技巧，应对复杂根式化简、比较大小、最值类压轴题，通过式子变形统一结构、简化形式，快速突破常规运算难以解决的拔高题型。 6. 归纳规律、规范步骤应对探究题：针对根式新定义、数列规律探究压轴题，通过特例运算归纳通用规律，严格遵循题干运算规则解题；多问探究题保持逻辑连贯，活用前问结论，规范书写化简、分类、推理步骤，做到分类严谨、步骤完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 1．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 2．若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 3．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可列方程求得x的值，进而求解． 【详解】解：根据题意得：3x-2+（5x+6）=0， 解得：x=， 则这个数是（3x-2）2=（）2=； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 4．已知 、，满足，则的平方根为________． 【答案】 【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入求出的平方根. 【详解】∵， ∴x-1=0，y+2=0， ∴x=1，y=-2， ∴=1+8=9， ∴的平方根为， 故答案为：. 【点睛】此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x、y的值是解题关键. 5．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的小数部分， ∴，则，故①正确； ∵， ∴， 即 ∴，即， ∵b、c为有理数 ∴，解得， ∴，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确， 故正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键． 6．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 7．已知关于x的不等式组的解集是，则______． 【答案】 【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是得到，再利用求出，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意正确计算是解题的关键． 8．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配． 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ， 故选B． 9.如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 10．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 11．将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，根据题意每行的数字个数与行数数字相同，被开方数是连续自然数的2倍，据此可解答． 【详解】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为， ∵， ∴被开方数是连续自然数的2倍 ∴第八行左起第1个数是第29个数，即， 故选：C． 12．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 13．下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，是真命题； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，原命题是假命题； （3）27的立方根是3，原命题是假命题； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题； （6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 14．若与互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 16．已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把， ， 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 第二十章：勾股定理 （一）压轴考情 勾股定理是八年级下册几何核心重难点章节，是初中几何数形结合的核心工具，承接三角形基础性质，是解直角三角形、几何线段计算、图形折叠翻转的核心依据，为期中、期末必考核心压轴考点，多以选择填空压轴、几何综合探究大题、动点几何压轴形式考查，属于初中几何拔高压轴核心题型。本章压轴题脱离基础的边长简单计算，侧重勾股定理模型应用、折叠与最值综合、动点几何探究、分类讨论求值四大拔高方向，综合性、几何逻辑性极强。 常考压轴题型包含：经典勾股模型（飞镖模型、梯子模型、折叠模型）综合计算、直角三角形判定与分类讨论、图形折叠、翻折、平移中的线段长度求解、立体图形最短路径最值问题、动点产生的直角三角形存在性问题、勾股定理与面积结合探究、多问梯度几何综合证明计算题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础定理应用与简单边长计算，第二、三问延伸动态变化、最值探究、分类讨论与结论证明，常结合三角形、四边形、轴对称等前置知识，重点考查学生几何建模能力、动态分析思维与分类讨论思想，区分度极高，是八下数学拉开分数的关键题型，同时为后续解直角三角形、圆、几何综合大题奠定核心解题基础。 （二）解题思路 1. 吃透核心定理，区分定理与逆定理：熟练掌握勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”及逆定理判定方法，明确定理用于求边长、逆定理用于判直角的核心逻辑，精准区分适用场景，杜绝定理混用，是解决所有勾股定理压轴题型的基础前提。 2. 熟记经典几何模型，快速秒杀常规压轴：勾股定理压轴题高度依赖固定几何模型，重点掌握梯子滑动模型、折叠求边长模型、立体最短路径模型、勾股树面积模型，牢记各类模型的边长变化规律与解题套路，遇到对应题型直接套用思路，快速突破解题卡点。 3. 折叠翻折问题抓等量，方程思想破题：针对折叠、翻折类高频压轴题型，核心思路为抓折叠全等、定相等边长、构造直角三角形，根据折叠性质锁定对应边相等，设未知边长，利用勾股定理列一元一次方程求解，规避直接观察求值的思维误区，精准求解隐藏线段长度。 4. 动态动点问题分类讨论，杜绝漏解：针对动点形成直角三角形、动点边长最值等动态压轴题，遵循“定动点位置、分直角顶点、构直角三角形”的思路，分三种情况讨论直角顶点位置，结合运动范围、线段长度列式计算，全面覆盖所有可能性，有效避免漏解、错解。 5. 转化立体图形，破解最值压轴：针对立体图形最短路径压轴问题，核心方法为立体转平面，将圆柱、长方体、阶梯等立体图形侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形，结合勾股定理求出最短路径长度，攻克几何最值难点。 6. 规范几何推理，严谨应对综合探究：多问勾股综合压轴题逻辑连贯性强，前一问的边长结论、垂直关系可直接用于后一问推导，解题时规范书写构图、判定、计算步骤，分类讨论题型标注清晰讨论条件，做到推理有据、步骤完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 17．如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再根据三角形面积公式得出，从而可得为直角三角形，即，过点作交于，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，进而得出，证明，得出，，再证明，得出，结合题意求出，，由勾股定理可得，，设点到的距离为，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，， ∵与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 如图，过点作交于，连接， ， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②③；由，，比较两者大小即可判定④． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形； ∴； 故①②正确； ∵ ； 故③正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 故④错误． 故选：C． 19．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，故①正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴，故③正确； 过A作于G，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 20．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵和是的对称图形， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④符合要求； ∵，，，， ∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 21．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 22．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】解：，平分， ， ， ， 如图，过点P作交于点D， 的角平分线相交于点P，，， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 故选：A． 23．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 24．如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（        ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②符合题意； ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 如图，过作于，过作于，而，平分， ∴， ∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，    ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为1；故⑤不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25．如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． (1)求证； (2)若为等腰三角形，求的长； (3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或2 (3)，见解析 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的判定和性质证明即可； （2）分类计算即可； （3）过点A作于点A，且，连接，利用等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，根据折叠的性质，得， 故直线是线段的垂直平分线， 故． （2）解：， ，， 当时，过点E作于点H，过点D作于点Q， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ，， ， 当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意； 综上所述，的长为或2． （3）解：之间的数量关系为．理由如下： 过点A作于点A，且，连接， 则，， 根据折叠的性质，得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 26．已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27．在长方形中，，点为边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点为的中点，延长交边于点． ①求证：； ②连接，求的长度． (2)如图2，若点为边上的一动点，连接能否为直角三角形？若能，直接写出的值__________；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，． (2)3或6 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①如图：连接，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； ②连接，设，则，在中利用勾股定理求解；先求得，再说明，，再根据面积公式求解即可； （2）分和两种情况，分别根据矩形的性质、勾股定理、折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：①证明：如图1中，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵将沿翻折后得到． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1，连接，设，则，， 在中，， ∴，解得：． ∴． ∴， ∴，，， ∴． ∵将沿翻折后得到， ∴， ， ∵， ∴，解得：． （2）解：存在．如图2，当时，B，F，D共线，设，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 如图3中，当时，． 综上所述，满足条件的的值为3或6． 28．“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 【答案】（1）①见解析，②，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）①先根据全等三角形的判定，证明，得到，，进一步证明，即可证明结论； ②根据①的方法证明，即可得出结论； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，根据①的方法证明，得到，，并根据温馨提示求出，同时证明，即可根据勾股定理求出答案． 【详解】解：（1）①， ， 即， 又，， ， ，， ，，， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，， ， ， 即， 又，， ， ，， ，， ，， ， ． 29．【初步感知】 （1）如图1，和均为等边三角形，绕点C逆时针旋转，连接、相交于点F．求证： 【深入探究】 （2）如图2，连接，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，以为边在外部作，且，，连接，过点A作于H，若，，求． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）5． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据半角关系利用对称作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题求出；过点C作，于点M，N，根据角平分线的判定定理得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）作点关于的对称点，连接、、，设，则，利用三角形内角和和角的和差计算得出，结合等腰三角形三线合一证明，进而可得，由此得出是直角三角形，再证明，由此求出，再根据勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 在上截取，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，连接、、， 设，则， 由对称可知：，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．【了解概念】如图1，在和中，，，，连接，连接并延长与交于点，那么将叫做和的底联角． (1)【探究归纳】两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？并说明理由． (2)【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：如图2，，，，，求的度数； (3)如图3，在四边形中，，，点为四边形内一点，且，，，直接写出的长． 【答案】(1)两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先利用“”证，得，再根据，，即可说明； （2）根据题意分两种情况，当点在的内部时，延长交于点，由（1）中的结论可得，，再根据三角形外角的性质可直接求出；当点在的外部时，交于点，交于点，利用“”可证，则，从而可求，最后计算即可求解； （3）连接、交于点，易得，根据勾股定理可得，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角． 理由：如图1，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点在的内部时，如图2甲，延长交于点，   ，，， ， ， ； 当点在的外部时，如图2乙，交于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或； （3）如图3，连接、交于点， ，，， ， ，， ，， ， ，，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查新定义“底联角”的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，掌握相关知识和“底联角”的定义是解题的关键． 第二十一章：四边形 （一）压轴考情 平行四边形及特殊四边形是八年级下册几何核心重难点章节，承接三角形、勾股定理几何基础，是初中平面几何体系的进阶核心，也是期中、期末必考高分值压轴考点，多以选择填空压轴、几何综合证明大题、动态几何探究大题形式考查，是初中几何拔高压轴的核心板块。本章压轴题脱离基础的图形判定、边长角度简单计算，侧重特殊四边形综合判定、几何动点动态探究、折叠旋转变换综合、最值与存在性探究四大拔高方向，综合性、逻辑性、灵活性极强。 常考压轴题型包含：平行四边形、矩形、菱形、正方形的递进式综合判定证明、四边形折叠、旋转、平移几何变换综合计算、动点产生的特殊四边形存在性问题、四边形线段最值与周长面积最值探究、四边形与勾股定理综合求值、多条件多结论正误判断、梯度式几何综合探究题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础性质应用与简单判定证明，第二、三问延伸动态变化、图形变换、存在性探究与最值求解，常融合三角形全等、勾股定理、轴对称等前置知识，重点考查学生几何建模能力、动态分析思维、逻辑推理与分类讨论思想，区分度极高，是八下数学拉开分数的关键题型，同时为后续圆、几何综合大题、函数几何综合题型奠定核心基础。 （二）解题思路 1. 熟记性质判定体系，筑牢解题根基：系统梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的边角、对角线、对称性核心性质与判定定理，明确各类四边形的递进从属关系，精准区分不同图形的判定条件，杜绝定理混淆、条件缺失，是解决四边形压轴题的核心前提。 2. 紧抓图形变换特征，突破折叠旋转难点：针对四边形折叠、旋转、平移类压轴题型，核心思路为抓变换全等、保边角不变、寻等量关系，图形变换前后边长、角度、图形形状保持不变，锁定对应等量，结合勾股定理、全等三角形构造等式，求解未知边长、角度，破解变换类几何难点。 3. 动态动点分类讨论，规避漏解错解：针对动点构成特殊四边形的存在性压轴题，遵循“定轨迹、设动点、分情况、判图形”的核心思路，根据动点运动轨迹与速度，用代数式表示线段长度，结合不同特殊四边形的判定条件，分类讨论不同位置情况，逐一验证图形存在性，全面覆盖所有解题情况。 4. 活用几何模型，速解最值压轴：针对四边形周长、线段、面积最值类高频压轴题，熟练运用将军饮马模型、定点定长最值、垂线段最短等经典模型，结合轴对称转化线段位置，将折线最值转化为直线距离，搭配勾股定理快速求解最值，突破几何拔高难点。 5. 综合联动知识点，构建解题闭环：四边形压轴题综合性极强，解题时主动联动三角形全等、勾股定理、轴对称、方程思想，遇到边长未知问题，设未知数结合勾股定理列方程求解；遇到证明问题，层层推导、步步有据，实现判定与计算的有机结合，简化复杂综合题型。 6. 规范推理步骤，严谨应对梯度探究：多问四边形综合压轴题逻辑递进性强，前一问的判定结论、边长角度关系可直接用于后一问推导，解题时规范书写证明、计算、推理步骤，分类讨论题型清晰标注讨论范围，杜绝跳步、逻辑断层，保证解题严谨完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 31．如图，在正方形中，为上一动点，连接，点与关于直线对称，连接，，并延长交于点．连接，，相交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】连接，作于，设,根据条件可以表示出正方形的边长，然后根据正方形性质和折叠性质，可证明可得等于正方形的边长，进而可证，，可得，，再设，利用三边关系列出方程，求出即可求解此题。 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： ， 和都是直角三角形， ， 设，则， ， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 点与关于直线对称， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， 设，则， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在 中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键． 32．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 33．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，   正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 34．如图，已知正方形边长是5，点P是线段上一动点，过点D作于点E．连接．若，则的面积是（   ） A． B．20 C．3 D．10 【答案】D 【分析】过点C作于H，得，再证明，得，，从而，在中由勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于H， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，构造垂线从而证明三角形全等是解题的关键． 35．如图，在中，，为的中点，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，为的中点，，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，，从而可得，根据平行四边形的性质可知，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边和角之间的关系，再利用边、角之间的关系求解． 36．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 37．在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明可判定①；设，则，求得，从而得，即可判定②；连接，由直角三角形斜边上中线的性质得，再由，即可判定③；取的中点G，连接，则；由直线是的垂直平分线及等腰三角形的性质得：，由勾股定理即可求得的长，从而判定④；最后可得答案． 【详解】解：在正方形中，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 故①正确； ∵为等腰直角三角形， ∴； 在正方形中，； 设，则， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 如图，连接， ∵，且M是斜边的中点， ∴， ∴； 在正方形中，， ∴是线段的垂直平分线； 故③正确； 取的中点G，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵直线是的垂直平分线，且，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理即得， 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 38．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 39．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 40．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 41．如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）________． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形性质得出，，则，证明，推出，求出即可判断；取的中点，的中点，连接，，，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断；由知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到正确；延长至，使得，证，推出，，求出是等腰直角三角形，即可判断． 【详解】解：如图， ∵正方形，，均为中点， ∴，，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正确； 如图，取的中点，的中点，连接，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，，三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴正确； 由知：， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴；故正确； 如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，分别是，的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线等知识点的综合运用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 42．如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（    ）． A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 43．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 44．在矩形中，，，点为上一点，连接，如图1，将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，则的长为_____；如图2，继续将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处，连接，则的长为_____． 【答案】 1 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可得，从而可得，设，则，由勾股定理计算可得，，过点作于点，则，由折叠的性质可得，，，再由等面积法计算可得，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点， ∴，，，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，则， ， ∵将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 45．如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 46．如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 47．【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 【答案】(1)（或相等） (2)证明：如图1，延长，，交于点． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ∴点是线段的中点， 又， ． (3)的长为8或2 【分析】（1）由正方形的性质易得，则有； （2），延长，，交于点．由正方形的性质可证明，再证明，则可得点是线段的中点，进而可证明结论成立； （3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时，利用平行四边形的判定与性质及全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（或相等）． （2）证明：略； （3）解：的长为8或2． ①如图2，当点靠近点时，过点作，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ． ，，， ， ， ， ； ②如图3，当点靠近点时，过点作．同理，可得． 综上所述，的长为8或2． 48．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 49．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 50．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 第二十二章：函数 （一）压轴考情 函数基础与正比例函数是八年级下册函数入门核心章节，是变量与函数思想的启蒙内容，承接平面直角坐标系知识，是一次函数、后续初高中函数体系的铺垫根基，为期中、期末高频基础拔高压轴考点，多以选择填空压轴、函数概念综合探究小题、简单函数综合解答题形式考查。本章压轴题脱离基础的变量识别、函数求值、简单图像认读，侧重函数概念辨析、自变量取值范围分类讨论、正比例函数含参探究、图像规律与动态变化分析四大拔高方向，侧重考查变量思维与数形结合基础能力，是函数板块拔高分层的关键前置题型。 常考压轴题型包含：函数定义的唯一性判定、多关系式函数辨析、含分式、根式、实际场景的自变量取值范围综合求解、正比例函数定义含参求值与参数取舍、正比例函数增减性与图像象限含参讨论、正比例函数图像规律探究、动点产生的正比例函数变化问题、多问概念辨析梯度探究题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础概念识别、简单求值与取值判断，第二、三问延伸参数讨论、规律归纳、错解辨析与实际场景限定分析，常融合实数性质、不等式、坐标系基础知识点，重点考查学生严谨的概念辨析能力、分类讨论思维与变量变化分析能力，区分度明显，是学生从代数计算过渡到函数动态思维的核心分水岭，为一次函数综合压轴学习筑牢思想基础。 （二）解题思路 1. 吃透函数核心概念，杜绝概念混淆：精准掌握变量、常量、函数、自变量、函数值的核心定义，牢记函数核心判定标准：对于自变量每一个确定的值，函数有唯一确定的值与之对应，熟练区分关系式、表格、图像三类函数表达形式，杜绝“一对多”误判为函数的高频错误，是解决本章压轴题的根本前提。 2. 综合限定条件，精准求解自变量范围：针对自变量取值范围压轴题型，综合结合整式、分式、二次根式、实际场景四大限定条件，分式保证分母不为0、根式保证被开方数非负、实际问题保证变量符合现实意义，多条件叠加时联立不等式求解，精准筛选有效取值范围，规避漏条件、忽略实际限制的错解。 3. 紧扣正比例函数定义，突破含参题型：针对正比例函数含参压轴题，严格锁定解析式为y=kx（k≠0）的核心定义，满足自变量次数为1、比例系数不为0两大条件，列式求解参数后务必验证k≠0的隐藏条件，剔除增根，杜绝参数取值疏漏。 4. 依托图像性质，分析增减与象限：熟练掌握正比例函数k的几何意义，明确k的正负对应图像增减趋势、经过象限，针对含参数图像位置、增减性判定题型，通过参数范围反推图像特征，结合分类讨论分析不同参数下的函数变化规律，实现代数参数与几何图像的双向转化。 5. 归纳变化规律，应对探究压轴：针对函数图像动点变化、规律探究类拔高题型，通过代入特殊值、描点分析、对比变量变化趋势，归纳自变量与函数值的增减变化、比例变化规律，结合数形结合思想预判图像走向，快速解决规律归纳与结论猜想题型。 6. 严谨取舍验证，规范解题步骤：函数基础压轴题多隐藏限定条件，解题时坚持“先定定义、再算数值、最后验证取舍”的逻辑，含参问题必验隐藏条件，实际问题必验取值合理性，多问探究题层层递进、规范书写步骤，规避细节漏洞，全面提升函数入门压轴题得分率。 （三)好题精练 51．如图1，在中，，动点从点出发向点运动，连接，设，，如图2是关于的函数图象，点是函数图象上的最低点，观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，的值为7；④当时，是钝角三角形，其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】过点作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点处时，最短，由图象可得，当点运动到点处时，此时，即，当点运动到点处时，此时，，即，，即可判断①正确；求出，取的中点，连接，则，证明为等边三角形，得出，即可判断故②错误；当是直角三角形时，且，此时点与点重合，即，，此时，当是直角三角形时，且，此时，求出，即，即可判断③错误；当时，点在上运动（不含点、），结合，即可判断④正确；从而即可得出结果． 【详解】解：如图：过点作于点， ， ∵动点从点开始出发向点运动， ∴由垂线段最短可得，当点运动到点处时，最短， 由图象可得，当点运动到点处时，此时，即，当点运动到点处时，此时，，即，，故①正确； ∴， 取的中点，连接，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②错误； 当是直角三角形时，且，此时点与点重合，即，，此时， 当是直角三角形时，且， ∵， ∴， ∴，即； 综上所述，当是直角三角形时，的值为7或，故③错误； 当时，点在上运动（不含点、）， ∵， ∴是钝角三角形，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 52．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 53．如图1，在矩形ABCD的边AD上取一点E，连接BE．点M，N同时以1cm/s的速度从点B出发，分别沿折线B-E-D-C和线段BC向点C匀速运动．连接MN，DN，设点M运动的时间为t s，△BMN的面积为S cm2，两点运动过程中，S与t的函数关系如图2所示，则当点M在线段ED上，且ND平分∠MNC时，t的值等于（　　） A．2+2 B．4+2 C．14﹣2 D．12﹣2 【答案】D 【分析】分析图像得出BE和BC，求出AB，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于点G，求出EF和M1N2，在△DM1N2中，利用面积法列出方程，求出t值即可． 【详解】解：由题意可得：点M与点E重合时，t=5，则BE=5， 当t=10时，点N与点C重合，则BC=10， ∵当t=5时，S=10， ∴，解得：AB=4， 作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于点G， 则EH=AB=4，BE=BF=5， ∵∠EHB=90°， ∴BH==3， ∴HF=2， ∴EF=， ∴M1N2=， 设当点M运动到M1时，N2D平分∠M1N2C， 则DG=DC=4，M1D=10-AE-EM1=10-3-（t-5）=12-t， 在△DM1N2中，， 即， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，矩形的性质，勾股定理，面积法，解题的关键是读懂图象，了解图象中每个点的实际含义． 54．如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（     ） A．四边形ABCD的面积为12 B．AD边的长为4 C．当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D．ΔAOP的面积为3时，x的值为3或10 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥AC于点E，根据ΔAOP的边OA是一个定值，OA边上的高PE最大时是点P分别与点B和点D重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断． 【详解】A、过点P作PE⊥AC于点E，当点P在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到点B时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0，而y=中，OA为定值，所以y是先增大后减小，在B点时面积最大，在C点时面积最小； 观察图②知，当点P与点B重合时，ΔAOP的面积为3，此时矩形的面积为：4×3=12，故选项A正确； B、观察图②知，当运动路程为7时，y的值为0，此时点P与点C重合，所以有AB+BC=7, 又AB∙BC=12，解得：AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3，但AB<BC，所以AB=3，BC=4，根据四边形ABCD为矩形，所以AD=4，故选项B正确； C、当x=2.5时，即x<3，点P在边AB上 由勾股定理，矩形的对角线为5，则OA=2.5，所以OA=AP，△AOP是等腰三角形，但△ABC是三边分别为3，4，5的直角三角形，故∠BAC不可能为60°，从而△AOP不是等边三角形，故选项C错误； D、当点P在AB和BC边上运动时，点P与点B重合时最大面积为3，此时x的值为3； 当点P在边CD和DA上运动时，PE逐渐增大，到点D时最大，然后又逐渐减小，到点A时为0，而y=也是先增大再减小，在D点时面积最大，在A点时面积最小；所以当点P与点D重合时，最大面积为3，此时点P运动的路程为AB+BC+CD=10，即x=10，所以当x=3或10时，ΔAOP的面积为3，故选项D正确． 故选：C． 【点睛】本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、解方程等知识，关键是确定点P到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口． 55．如图1，在矩形中，E为上一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D．设运动时间为t（秒），，图2是点P运动过程中y随t变化的函数图象．当时点P运动到点D，则a的值为______． 【答案】 【分析】当时，点P在B点处，可得，当点P在点E处时，可知此时y取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点P运动到点D，过E点作于点N，结合图象有：，在中，，据此即可作答． 【详解】解：当时，点P在B点处，， ∴结合图象有：，即， 当点P在点E处时，， 如图，连接， ∴，， ∴可知当点P运动到E点时，y取最小值， ∴结合图象有：， ∵在中，， ∴， ∴解得：或者， ∴或者， ∵， ∴，， 当时点P运动到点D，过E点作于点N，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵结合图象有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴解得：， ∴， ∵点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D， ∴当时，点P运动到点D． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键． 56．为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早分钟跑步出门，分钟后他们相遇．两人寒暄分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是米/分，乙的速度是米/分．练习分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离（千米）与甲跑步所用时间（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟． 【答案】11 【分析】由图象可以看出，0-1min内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min内，根据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始是240米/分，则他们的速度之差是60米/分，则5分钟相差400米，设再经过t分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t+120t=400，然后求出t后加上前面的10分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和． 【详解】甲出门时的速度v1=（540-440）=100（米/分）， 设乙出门时的速度为v2（米/分）， 根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分， 甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始为240米/分，他们的速度之差是60米/分，5分钟相差300米， 设再经过t分钟两人相遇，则180t+120t=300，解得t=1（分） 所以甲从家出发到他们再次相遇时5+5+1=11（分）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键． 57．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为___________． 【答案】 【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，根据三角形的面积公式求出正方形的边长，EP，EC，BE的长，再根据当时，P点在CD上，根据 ，即可求解． 【详解】设正方形的边长为， ① 当点P在点D时， ， 解得：， ② 当点P在点C时， ， 解得：，即，， ③当时，如下图所示： 此时，，， 当时， = = 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键． 58．如图，在矩形中，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，以为邻边构造，设与矩形重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒）．    (1)当时，与矩形重叠部分的面积为______，当时，与矩形重叠部分的面积为______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当与矩形重叠部分的图形是四边形时，求与之间的函数关系式； (4)当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)2；12 (2) (3) (4)2或6 【分析】（1）根据时，得出和的长，进而利用矩形的面积公式解答即可；根据时，得出和的长，进而利用矩形的面积公式解答即可； （2）根据列出方程即可解决问题； （3）分三种情形分别求解①当时，②当时，③当时，分别求解即可； （4）根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，得出，进而得出四边形是矩形，利用矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动；动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动， 当时，，，如图所示：    在矩形中，，， ， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积； 当时，，点运动路程为，则，如图所示：    矩形中，，， 四边形与矩形重叠部分的面积四边形的面积； 故答案为：2；12； （2）解：当点与点重合时，如图所示：    矩形中，， 由题意可得，， 以为邻边构造， ， 矩形中，， ，解得， 故答案为：； （3）解：当四边形与矩形重叠部分的图形是四边形时，分三种情况： ①当时，如图所示：    ，， 四边形的面积； ②当时，如图所示：    矩形中，， 由题意可得，， 四边形的面积； ③当时，与交于，如图所示：    此时重叠部分是五边形，不合题意； ④当时，与交于，如图所示：    在中，根据题意可知， ， 连接， ∵，， ∴， ∴， ； 综上所述：与之间的函数关系式为； （4）解：由（3）可知， ①当时，如图所示：    当与重合时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ； ②当时，如图所示：    ， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则， ， 以为邻边构造， ， 而当在上时，与不垂直，故此种情况不存在； ③当时，与交于，如图所示：    矩形中，， 由题意可得，， 以为邻边构造， ， 矩形中，，则， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则， ，解得； 综上所述，当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确画出图形，学会用方程的思想思考问题，注意不能漏解． 59．如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛海里处，已知两船的航速如下表所示： 最大航速 经济航速 海监46 16节 14节 海监49 15.2节 14.5节 其中，一节等于海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问： (1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由； (2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？ (3)设海监46航行时间为，求两海监船之间的距离与之间的函数关系式． 【答案】(1)海监49先到，见解析 (2)海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时 (3) 【分析】（1）求出海监49到达钓鱼岛所用的时间，再比较，即可求解； （2）设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）先求出监46出发小时，海监49号追上海监46，然后分五段讨论解答，即可求解． 【详解】（1）解：海监49先到． ， 海监49先到． （2）解：设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时， 则由题意得：解得， 答：海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时和小时． （3）解：设在海监46出发小时，海监49号追上海监46， 则由题意得： 解得 当时，． 当时，． 当时，． 当时，． 当时，． 综上与的函数关系式为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 60．图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． (1)根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； (2)写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： (3)点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 【答案】(1)a=160；b=18；c=28 (2)y= (3)4秒或24秒 【分析】（1）根据△DAB的面积求出a的值；再根据时间=路程÷速度求出b的值，再根据c=10+b求出c的值； （2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28三种情况，分段写出y与x的关系式即可； （3）先求出矩形面积，再根据△APD的面积是长方形ABCD面积的，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由图②知，当x=10时，AP=10×2=20（cm）， 此时点P与点B重合， ∴S△DAP=S△DAB=AB•AD=×20×16=160（cm2）， ∴a=160； 当点P在BC边上运动时，△ADP的面积为定值160不变， ∵BC=AD=16cm， ∴b=10+=18； ∵CD=AB， ∴点P在CD上运动的时间与在AB上运动时间相同， ∴c=10+8+10=28； （2）①当0≤x≤10时，如图甲所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ②当10＜x≤18时，如图乙所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ③当18＜x≤28时，点P在CD上运动，此时DP=AB+BC+CD-（AB+BC+CP）=CD-CP， ∴y=20-2（x-18）=-2x+56． 综上所述，点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式为： y=； （3）∵AD=16cm，AB=20cm， ∴矩形ABCD的面积为20×16=320（cm2）， 当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，S△APD=S矩形ABCD=×320=64（cm2）， 当0≤x≤10时，SAPD=AD•AP=×16×2x=64， 解得：x=4， 根据矩形的性质和点P的运动过程可知，当x=28-4=24时，△APD的面积是长方形ABCD面积的， ∴点P出发4秒或24秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 61．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是BC的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为1时，x＝　 　秒． （2）若△DPQ的面积为S，用含x的代数式表示S（0≤x＜7）． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点．当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x的取值范围． 【答案】（1）5或7；（2），（3）或或． 【分析】（1）根据题意，点与点的距离为1，设Q运动的路程为，则，根据速度为1，进而求得时间； （2）分三种情况讨论，①点在边上运动；②点在边上运动；③点在边上运动；根据情形写出△DPQ的面积即可； （3）分三种情形讨论，①点未到达点时，②点原路原速返回时，根据情形分相遇和追及问题写出路程差不超过2时，③当点回到点A，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，列出不等式组求解即可，注意两点运动的总时间会影响取值范围，即点先停止运动． 【详解】（1）， ， 设Q运动的路程为，依题意则， ， 解得或， 速度为每秒1个单位长度， 或者， 故答案为：或； （2）速度为每秒1个单位长度，Q运动的时间为x秒． 点的路程为， ①点在边上运动； ， , （）， ②点在边上运动； P是BC的中点， ， ， （）， ③点在边上运动， ， （）， 综合①②③得： ， （3）速度为每秒1个单位长度，Q运动的时间为x秒． 点的路程为， 设的运动时间为，根据题意，Q从A出发3秒后，才出发， 则，即， 的路程为，点的路程为， , 点全路程所用时间为秒， 则点的全路程所用时间为秒， 分三种情形讨论，①点未到达点时， 点出发3秒后，共同完成的路程为 根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则， ， 即， 解得， ， ②点原路原速返回时，根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则， ， 即， 解得， ． ③当点回到点A，根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则； 综合①②③可得x的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了动点问题，路程问题，一元一次不等式的应用，弄清动点运动的方向和路程是解题的关键． 62．动点P在□ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度/s，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图像如图2所示． （1）若a＝3，求当t＝8时△BPQ的面积； （2）如图3，点M，N分别在函数第一和第三段图像上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2，设t1、t2时点P走过的路程分别为，若＝ 16，求t1、t2的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）当时，点在点，可知；当点运动到点时，，结合图2，可知的值；当点运动到点时，的值与点在点时的值相等，可求得与的值；时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，则可得时的值；在中，由勾股定理求得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可； （2）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组，解方程组即可． 【详解】解：（1）如图： 由题意知：当时，点在点，此时最长为，即； 当点运动到点时，， ； 当点运动到点时，的值最长，与点在点时的值相等，即， ， 当时，点在边上，即， ， 则时对应的点在和之间的函数图象上， 设此时函数为，把，分别代入得： ， 解得：， 当时，， 在中，由勾股定理得：， ； （2）由题意可得，． ， ①， 线段平行于横轴， ，即此时的值相同， ，即②， 联立①②得：， 解得：， ，． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键． 63．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为t（单位：），甲乙两车之间的距离为y（单位：），甲乙两车的车速与t的关系如图1所示，y与t的关系如图2所示，请解决以下问题： （1）______，________； （2）求c的值，并说出点M的实际意义； （3）如果甲乙两车从开始一起均匀减速，甲车每秒减少，乙车每秒减少，要保持与前方甲车至少有的安全距离，d的最小值为多少？ 【提示：距离=平均速度×时间，平均速度（其中是开始时的速度，是t秒时的速度）】 【答案】（1）20，15；（2），点M表示当行驶时间为15秒时乙车的速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为；（3）2.2 【分析】（1）根据题意后再次确认与前方甲车的距离为，可得乙比甲多走了，可求出a 的值，再根据每秒减少，可求出b的值； （2）根据图象坐标和甲乙两车之间的路程变化情况即可得到点M的意义，及c的值； （3）设经过x秒后两车速度相同， 用甲所走的路程加100减去乙走的路程大于等于50列出不等式，解出即可； 【详解】（1）根据题意可知后再次确认与前方甲车的距离为 可得：200-100=10×（30-a） 解得：a=20， ∵每秒减少 2m/s ∴（30-20）÷2=5 b=10+5=15 故答案为：20，15． （2）∵乙车在后降到与前方甲车速度相同 而减速过程中，乙车的平均速度为： ∴． 点M表示当行驶时间为15秒时乙车的速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为． （3）设经过x秒后两车速度相同，则， ∴， ∴甲车的平均速度为：， 乙车的平均速度为：， ∴ 得 ∵ 即：． 解得：， ∴d的最小值为2.2． 【点睛】本题考查不等式的应用应用以及函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数图像的性质和数形结合的思想解答． 64．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4cm，点P从点C出发，沿C→B→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为xs，C，P两点间的距离为ycm． 小玉根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行了探究．下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表： x/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 3.6 3.5 3.6 m 4.6 5.3 6.1 6.9 观察、思考可得，表格中m的值是　 　； （2）在下面的平面直角坐标系中，补充描出（1）题表格中所有以各对对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象． （3）结合画出的函数图象，解决下列问题： ①在前4秒内，点P始终在Rt△ABC的边　 　上运动； ②当点P运动到图象曲线部分的最低点对应的位置时，在△ABC中画出点P所在的位置；并求出此时x和y的准确值（结果保留根号）； ③当点P运动到点（8，m）时，△ACP的面积是　 　cm2（结果保留根号）． 【答案】（1）4.0；（2）见解析；（3）①BC；②图见解析x＝6，y＝2；③4 【分析】（1）证明连接BC，证明△PCB是等边三角形即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①根据BC的长度判断即可；②根据垂线段最短，作CP⊥AB即可；③证明AP＝PB，推出S△PAC＝S△ABC即可． 【详解】解：（1）如图1中，连接PC，当x＝8s时，BC+BP＝8（cm）， ∵BC＝4cm， ∴BC＝BP＝4（cm）， ∵∠B＝60°， ∴△BCP是等边三角形， ∴y＝BC＝4.0（cm）． 故答案为：4.0． （2）函数图象如图所示． （3）①在前4秒内，点P始终在Rt△ABC的边BC上运动， 故答案为：BC． ②当点P运动到图象曲线部分的最低点对应的位置时，点P的位置如图所示：、 当CP⊥AB时，y的值最小， ∵∠CPB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BCP＝30°， ∴PB＝BC＝2（cm），PC＝＝＝2（cm）， ∴x＝4+2＝6，y＝2． ③当点P运动到点（8，m）时， ∵∠ACB＝90°，BC＝4cm，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝8（cm）， ∴AC＝＝＝4（cm）， 由（1）可知，m＝4， ∴PA＝PB＝4（cm）， ∴S△PAC＝S△ACB＝××4×4＝4（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，函数图象等知识，解题的关键是学会利用描点法画出函数图像，灵活运用所学知识解决问题． 第二十三章：一次函数 （一）压轴考情 一次函数是八年级下册代数核心重难点，是初中函数体系的核心主干内容，承接函数基础与正比例函数知识，完美融合代数计算与几何图形性质，是八下期中、期末分值最高、区分度最强的压轴考点，多以选择填空压轴、多问梯度函数综合大题、几何函数动态压轴题形式考查，属于初中数学核心拔高压轴题型。本章压轴题完全脱离基础的解析式求解、图像简单性质判断，侧重一次函数含参分类讨论、函数与方程不等式综合、一次函数几何融合、动态最值与存在性探究四大拔高方向，综合性、动态性、数形结合性极强。 常考压轴题型包含：含参数一次函数图像位置、增减性、经过象限的综合讨论、一次函数解析式多情况求解与错解问题、两直线交点与二元一次方程组综合、一次函数与一元一次不等式解集对应探究、一次函数与坐标系面积综合计算、动点生成函数图像分析、线段最值、周长最值、等腰/直角三角形/平行四边形存在性压轴、一次函数分段函数与实际方案最值探究题。 命题均采用梯度设问模式，第一问侧重求解析式、找点坐标、基础性质判断，第二、三问延伸动态分析、参数讨论、几何存在性与最值探究，常融合方程、不等式、三角形、四边形、勾股定理等前后知识点，重点考查学生数形结合思维、动态建模能力与分类讨论思想，是八下数学满分的核心壁垒，也是后续反比例函数、二次函数综合压轴的核心基础。 （二）解题思路 1. 夯实函数基础性质，筑牢解题根基：熟练掌握一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式特征、图像增减性、k与b的几何意义、直线平移与对称规律、坐标轴交点坐标求法，精准区分k、b正负对应的图像象限分布，熟记平行、垂直直线k值关系，杜绝性质混淆、规律记错，是解决所有一次函数压轴题型的根本前提。 2. 数形结合联动方程不等式，突破综合难点：针对函数与方程、不等式综合压轴题，牢固树立交点对应方程解、图像高低对应不等式解集的核心逻辑，利用两直线交点横坐标划分取值区间，直观判断函数大小关系，快速求解不等式解集、参数取值范围，规避纯代数分析的繁琐计算与易错漏洞。 3. 分类讨论破解含参与存在性题型：针对含参数一次函数、图像不确定、动点特殊图形存在性压轴题，坚持位置分类、图形分类、临界分类的原则，根据直线斜率正负、动点运动区间、图形顶点顺序分情况讨论，逐一列式求解并验证取值合理性，彻底杜绝漏解、少解问题。 4. 固定模型套路，速解面积压轴：针对一次函数与坐标系面积综合高频考点，熟练掌握铅垂高水平法、割补法、定点动面积模型，打破常规底高局限，通过固定铅垂高、水平宽快速求解斜三角形、不规则图形面积，结合面积定值反求参数或动点坐标，大幅简化复杂运算。 5. 动态问题抓恒量，转化几何最值：针对一次函数动态轨迹、线段最值、周长最小压轴题，核心思路为定点找不变、动点找轨迹、最值用模型，熟练运用将军饮马、平移最值、垂线段最短等经典几何模型，将动态折线最值转化为定线段长度，结合勾股定理、函数解析式精准求解最值与对应点位坐标。 6. 规范梯度步骤，严谨应对综合探究：一次函数压轴题多问递进特征显著，前一问的解析式、交点坐标、结论可直接用于后一问推导，解题时规范书写设元、列式、求解、验证完整步骤，分类讨论清晰标注每种情况的成立条件，逻辑连贯、步骤完整，规避跳步与逻辑断层，全面拔高函数压轴满分率。 （三)好题精练 65．已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（   ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解；得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ， ∴，故符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于，则， 当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：D． 66．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 67．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 68．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 【详解】解：∵直线与轴负半轴交于点， ∴， ∴， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ∴， 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， ∴的横坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键． 69．等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 【答案】A 【分析】设，则，根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③，从而得到答案． 【详解】解：如图，在等腰三角形中，，记，周长为，   ， 设，则，，， ， ， 对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故①说法正确，符合题意； 三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， 对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故②说法错误，不符合题意； 若三角形是等腰直角三角形，则， ，， ， ，即， 若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 70．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， ， ， A、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为负数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； B、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； C、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为正数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， 正负不能确定，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； D、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由确定的正负， ，为直线上的三个点， ，，则，该选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图像与性质，由题中条件判断出正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的关键． 71．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，    ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，是等边三角形， ∵， ∴ ∴， ∴有最小值为， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键． 72．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 73．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【详解】解：对于直线：， 当时，可有， 当时，可有，解得， ∴， 又∵， ∴， 如下图，取点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， 即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题． 74．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点，点A，点B的坐标，根据即可求解； （2）分点在线段上和在点的右边进行讨论计算即可求解． 【详解】解：（1）令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式是． 故答案为：． （2）由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， 当点在线段的处时，如图， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 当在点的右边处时，如图， 连接并延长交于点， ∵， ∵轴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴点与点关于点对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 75．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为_____． 【答案】3 【分析】如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接，求解，，可得，同理可得：，证明，再利用三角形的面积进一步求解即可. 【详解】解：如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接， ∵， 当，则， 当，则， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键. 76．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三角形与坐标系的综合题型，关键在于合理利用辅助线，熟练掌握基础知识是正确解答此题的关键． 首先取的中点，连接，，，可求得与的长，然后由三角形三边关系，求得点到原点的最大距离． 【详解】解：当时，，则； 当时，，则， ∴，，， 如图所示： 取的中点，连接，，， ，，， ，， ， 当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为， 故答案为：． 77．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为________； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）根据即可解答； （2）根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积，可设直线的解析式为，即可求出直线的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为，求出直线的解析式为，则直线与直线的交点坐标为，再由过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴， 即， （2）∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积， 如图， l直线l与x轴的交点为点，直线l与直线的交点为点， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为， ∴， ∵点坐标为，点D坐标为， ∴直线的解析式为， ∵当时，直线与直线平行，此时直线不可能平分四边形的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解并检验得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：（1）24；（2）． 78．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 79．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 80．阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； （2）解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； （3）解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 81．已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，． （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，再进一步求解即可． （3）情况①：点C在点M左侧，如图，设，在线段上，证明，可得，求解，进一步可得答案；情况②：点C在点M右侧，如图，同理可得： ，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，． （2）解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为． （3）解：如图，设，在线段上， ∴， 当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的应用，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 82．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，折叠的性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在中，令得，令得，即得点、两点的坐标； （2）求出，根据将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，知， ，故，设，由勾股定理得，即可解得，再用待定系数法可得直线的表达式为； （3）设，分两种情况∶当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，证明，有，，故可解得；当P为直角顶点时，过P作轴于H，过A作于G，同理可得． 【详解】（1）解：在中， 令得， 令得，解得． ，． （2）解：由（1）知，，． ． 将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处， ， ． ． ． 设，则，． ， ，解得． 即． 设直线的表达式为． 把，代入， 得，解得． 直线的表达式为． （3）解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 设， 当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图 ． 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中 ， ． ，． ． 解得， ； 当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G， 同理可得． ，． ． 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 83．【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标； 【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； 【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 84．定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①见解析；②，理由见解析； (4)，或，或，或，． 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果； （2）作的角平分线，交于点，则四边形为“美好四边形”； （3）由角平分线的定义可得，由等角的余角相等可得，再结合，即可得证；②过点作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，从而可得，即可得证； （4）先求出，，再结合“美好四边形”的定义，分四种情况，并结合勾股定理计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图：作的角平分线，交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵平分， ∴四边形为“美好四边形”； （3）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 由①可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵四边形为“美好四边形”， ∴①如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则， ∵，，且， ∴， 解得：， 此时，； ②如图，当，平分时 ， 由①可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时，； ③如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：， 此时，； ④如图，当平分，时， ， 由③可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，； 综上所述，满足条件的点C和对应的点D的坐标为，或，或，或，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． 85．在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，． (1)点作变换得到，点作变换得到，那么_____． (2)已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点． ①若点在线段上运动，当时，求的坐标． ②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点作变换得到，点作变换得到，再利用勾股定理计算即可得出结果； （2）①由题意可得直线的解析式为，设，则点先作变换得到，再作变换得到点，表示出，再求出，求出直线的解析式为，令直线交轴于点，求出，得出，表示出，结合，得出，计算即可得出结果；②设，则点先作变换得到，再作变换得到点，表示出，，，再分三种情况：当时，；当时，；当时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，点作变换得到，点作变换得到， ∴点作变换得到，点作变换得到， ∴； （2）解：①∵点的坐标为，点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上运动， ∴设， ∴点先作变换得到，再作变换得到点， ∵， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令直线交轴于点， 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的坐标为； ②∵点在射线上运动， ∴设， ∴点先作变换得到，再作变换得到点， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 当时，， 解得：或， 此时或； 当时，， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活应用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 86．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）先利用待定系数法求得直线，再联立求解即可； （2）先求得点，设点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）作的平分线交于点，根据题意求得，设交直线于点，证明，求得，再利用勾股定理求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，可求得点的坐标，再利用对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得， ∴直线， 联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设交直线于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在直线中， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设，又， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 由对称性知点也符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算． 第二十四章：数据的分析 （一）压轴考情 数据的分析是八年级下册统计核心重难点章节，承接七年级数据的收集与整理知识，是初中统计模块的进阶拔高内容，为期中、期末高频压轴考点，多以选择填空压轴、统计综合探究大题形式考查，属于统计板块拔高压轴核心题型。本章压轴题脱离基础的平均数、中位数、众数简单计算，侧重统计量综合辨析、含参数统计量求值、方差波动分析、统计决策与方案对比四大拔高方向，综合性、应用性、辨析性极强。 常考压轴题型包含：含参数平均数、中位数、众数的分类讨论求值、多组数据统计量对比分析、方差意义与数据稳定性探究、剔除异常数据后的统计量重算、统计量变化规律探究、结合实际场景的统计决策与方案优选、梯度式统计综合探究题。命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础统计量计算与数据整理，第二、三问延伸参数讨论、数据修正、波动分析与实际决策，常结合图表信息、生活实际场景设问，重点考查学生数据处理能力、统计辨析思维与实际应用能力，区分度突出，是八下统计板块拉开分数的关键题型，同时为后续概率统计综合题型奠定核心基础。 （二）解题思路 1. 吃透统计量核心定义，规避基础混淆：精准区分平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的核心定义与适用场景，熟练掌握各类统计量的计算公式，明确中位数唯一性、众数可多个、方差反映数据波动的核心特征，杜绝概念混淆、公式套用错误，是解决统计压轴题的基础前提。 2. 分类讨论突破含参压轴问题：针对含参数统计量求值的高频压轴题型，核心思路为先定范围、再分类、逐一验证，根据数据个数、排列顺序、众数唯一性、中位数取值特征，分类讨论参数的不同取值情况，结合统计量定义筛选符合条件的参数值，杜绝漏解、多解。 3. 紧抓方差核心意义，分析数据波动：针对方差类拔高题型，牢记方差越小、数据越稳定，方差越大、数据波动越大的核心规律，不仅能熟练计算方差，更能结合实际场景分析数据稳定性、优劣性，解决数据对比、选手选拔、方案筛选等实际压轴问题。 4. 修正异常数据，精准重算统计量：针对含异常值、剔除极端数据的压轴题型，先准确剔除不合理、极端数据，再重新排序数据、计算新的统计量，对比前后统计量的变化规律，分析异常数据对平均数、中位数、方差的不同影响，掌握数据修正的核心逻辑。 5. 对比多组数据，科学统计决策：面对多组数据对比、方案优选的压轴探究题，综合结合平均数、中位数、众数、方差多个统计量多角度分析，不单一依靠平均数判断，结合实际场景权衡数据平均水平与稳定性，有理有据做出科学决策与方案评价。 6. 规范步骤逻辑，应对梯度探究：多问统计综合压轴题层层递进，活用前问的统计量结果分析后续问题，计算类步骤清晰、数据准确，说理类问题遵循“统计特征+实际意义+结论”的答题逻辑，严谨表述数据规律与决策依据，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 87．体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据定义设出五个数据，结合条件推出最大数的取值范围，即可判断． 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 88．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【答案】A 【分析】本题主要考查了箱线图，解题的关键是掌握箱线图的定义． 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 89．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 90．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该公式，下列说法错误的是（　　） A．n值是3 B．中位数是3 C．众数是2 D．平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，n值是7，则该选项符合题意； B、样本的中位数是3，则该选项不符合题意； C、样本的众数是2，则该选项不符合题意； D、样本的平均数是，则该选项不符合题意； 故选：A． 91．将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方差、平均数和中位数，理解题意是解决本题的关键． 方差不变要求满足线性变换为且或；同时平均数和中位数均需发生变化，即或时b任意，据此判断即可． 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变 ∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意； B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意； D：，，方差变化，不符合题意； 故选C． 92．把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查离差平方和，为了使组内离差平方和最小，应将数据分成两组，使得每组内部数据尽可能接近，即方差小． 通过计算各选项的组内离差平方和，比较大小即可． 【详解】数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 93．为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”． 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 b 35% (1)完成填空：________，________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)；； 补全条形图如图： (2) 八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由如下： 两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高， 故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； (3)（人） 【分析】（1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出A等级的人数，补全条形图即可； （2）利用中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，八年级A等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：88，89， ∴； 九年级中A等级的人数为， B等级的人数为， C等级的人数为， D等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； （2）略 （3）解：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有（人）． 94．“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【答案】(1)19 (2)24 (3)①，；②答案不唯一，合理即可 【分析】本题主要考查了列式计算、方差、中位数、众数，熟练掌握相关定义列式计算是解题的关键． （1）先利用方程组求得：胜1场得3分，平1场得1分，负得0分，则可得郴州队：胜4，平7，负2，则积分；岳阳队：胜5，平4，负4，积分，据此即可解答； （2）依据题意，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27，故可得第4、5个数的平均数为其中位数，然后计算即可解答； （3）①依据题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5，根据众数的定义可得；先求得缺少的数据，再将永州队进球个数从小到大排：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4，则中位数是第7个：，进而可以得解；②依据题意，分别从平均数、中位数、方差的角度分析判断即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场得x分，平1场得y分，负得z分， 由题意可得：，解得：， ∴胜1场得3分，平1场得1分，负得0分， ∴以郴州：胜4，平7，负2，则积分； 岳阳队：胜5，平4，负4，积分， ∴． 故答案为：19． （2）解：由题意知，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27， ∵共8个数， ∴中位数是第4、5个数的平均数：中位数． 故答案为：24． （3）解：①由题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5， ∴2出现5次，此时最多，即众数为； 又∵永州队共比赛13场，总进球数为24，而题干文字部分只给出12个进球数据，其和为23， ∴永州队缺失的一个进球数据为. ∴永州队13场比赛的进球数据排序后为：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4， ∴中位数是第7个，即． ②“永州胜长沙纯属偶然”不同意．理由如下： ∵长沙队平均数 2，永州队平均数， ∴两队平均进球非常接近． ∵中位数都是 2， ∴说明两队中间水平一样． ∵永州队方差大于长沙队， ∴永州队发挥波动更大，更容易打出高比分． 又∵单场淘汰赛偶然性本来就存在，但从数据看，两队进攻能力在同一档次， ∴永州队并非完全没有赢球可能．故不能说纯属偶然． 95．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 96．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【分析】（1）把八年级成绩按照从小到大排列，求其下四分位数即可； （2）从集中趋势或离散程度比较两个年级成绩，说法合理即可； （3）①设一次函数关系为，因为当时，；当时，代入即可求得解析式； ②由题意，米接力成绩y秒四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间，据此列出关系式即可； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，九（3）班的交接棒训练时长为小时，设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒，设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒，由①②可知：，，因为九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒，即，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 【点睛】本题考查箱线图，下四分位数数，用统计量进行判断，一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 97．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 98．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)人 (3)八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解析． 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据七年级人的得分可求出；根据扇形统计图和组得分可得出和； （）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可； （）根据平均数，众数和中位数的意义． 【详解】（1）解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普检测中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 99．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；② (2)乙； 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为： ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 100．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】(1)，， (2) (3) 解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； （2）解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； （3）略 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下册各章节压轴题专项训练 1、 包括章节：《第十九章：二次根式》、《第二十章：勾股定理》、《第二十一章：四边形》、《第二十二章：函数》、《第二十三章：一次函数》、《第二十四章：数据的分析》 2、 适合期中、期末、月考、暑假、阶段测试等场景的拔高训 目 录 第十九章：二次根式 2 （一）压轴考情 2 （二）解题思路 2 （三) 好题精练 3 第二十章：勾股定理 6 （一）压轴考情 6 （二）解题思路 7 （三) 好题精练 7 第二十一章：四边形 13 （一）压轴考情 13 （二）解题思路 14 （三) 好题精练 14 第二十二章：函数 21 （一）压轴考情 21 （二）解题思路 22 （三) 好题精练 23 第二十三章：一次函数 30 （一）压轴考情 30 （二）解题思路 31 （三) 好题精练 32 第二十四章：数据的分析 42 （一）压轴考情 42 （二）解题思路 43 （三) 好题精练 43 第十九章：二次根式 （一）压轴考情 二次根式是八年级下册代数核心开篇章节，承接七年级实数运算，是初中根式运算体系的核心内容，也是勾股定理、特殊四边形、反比例函数综合计算的基础，为期中、期末高频拔高压轴考点，多以选择填空压轴、代数综合探究解答题形式考查。本章压轴题脱离基础的根式化简与简单运算，侧重含参数根式分类讨论、根式与代数式综合求值、根式恒等变形、多结论探究综合四大拔高方向，命题综合性、易错性极强，是八下代数区分度核心题型。 常考压轴题型包含：二次根式有意义的参数取值范围（含恒成立、无解情况）、根式平方与绝对值结合的分类化简问题、复杂根式的整体代入求值、分母有理化进阶运算与化简、根式新定义运算、根式规律归纳猜想、二次根式与整式、方程结合的多问梯度探究题。命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础定义域、简单化简运算，第二、三问延伸参数讨论、分类化简、恒等变形与结论探究，重点考查学生严谨的分类讨论思维、整体代换思想与代数变形能力，广泛适用于阶段测试、期中期末拔高训练，是后续初中几何、函数综合计算题的重要运算根基。 （二）解题思路 1. 坚守双重非负性，夯实解题核心：熟练掌握二次根式被开方数非负、根式结果非负的双重核心性质，所有根式压轴题优先判定定义域，遇多个非负式子相加为0的模型，直接判定每一项均为0，快速求解参数值，杜绝忽略取值范围导致的根本性错解。 2. 分类讨论破化简难点：针对含字母、含参数的化简压轴题，固定解题逻辑为先判正负、再去根号、最后去绝对值，根据题干条件、隐含定义域或数轴位置判断底数正负，分类讨论不同取值情况，严格规避“直接开方、忽略符号”的高频易错点。 3. 活用整体代换，简化复杂求值：面对根式代数式综合求值压轴题，摒弃单独求解未知数的繁琐思路，优先观察已知式与所求式的结构关联，通过配方、变形、构造整体的方式，利用整体代入、整体加减思想解题，大幅简化运算步骤，规避复杂计算失误。 4. 精准把控参数临界，杜绝漏解多解：针对含参数根式有意义、恒成立、化简结果为定值等压轴题型，先根据定义域列出不等式，结合题干限定条件求解参数范围，重点验证临界值能否取等号，结合分类讨论筛选有效取值，保证参数求解严谨完整。 5. 熟练恒等变形，攻克进阶运算：熟练掌握分母有理化、根式拆分、根式凑对等进阶变形技巧，应对复杂根式化简、比较大小、最值类压轴题，通过式子变形统一结构、简化形式，快速突破常规运算难以解决的拔高题型。 6. 归纳规律、规范步骤应对探究题：针对根式新定义、数列规律探究压轴题，通过特例运算归纳通用规律，严格遵循题干运算规则解题；多问探究题保持逻辑连贯，活用前问结论，规范书写化简、分类、推理步骤，做到分类严谨、步骤完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 1．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 3．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 4．已知 、，满足，则的平方根为________． 5．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 7．已知关于x的不等式组的解集是，则______． 8．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 9.如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 10．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 11．将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 12．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．若与互为相反数，则的值为_____． 15．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 16．已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 第二十章：勾股定理 （一）压轴考情 勾股定理是八年级下册几何核心重难点章节，是初中几何数形结合的核心工具，承接三角形基础性质，是解直角三角形、几何线段计算、图形折叠翻转的核心依据，为期中、期末必考核心压轴考点，多以选择填空压轴、几何综合探究大题、动点几何压轴形式考查，属于初中几何拔高压轴核心题型。本章压轴题脱离基础的边长简单计算，侧重勾股定理模型应用、折叠与最值综合、动点几何探究、分类讨论求值四大拔高方向，综合性、几何逻辑性极强。 常考压轴题型包含：经典勾股模型（飞镖模型、梯子模型、折叠模型）综合计算、直角三角形判定与分类讨论、图形折叠、翻折、平移中的线段长度求解、立体图形最短路径最值问题、动点产生的直角三角形存在性问题、勾股定理与面积结合探究、多问梯度几何综合证明计算题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础定理应用与简单边长计算，第二、三问延伸动态变化、最值探究、分类讨论与结论证明，常结合三角形、四边形、轴对称等前置知识，重点考查学生几何建模能力、动态分析思维与分类讨论思想，区分度极高，是八下数学拉开分数的关键题型，同时为后续解直角三角形、圆、几何综合大题奠定核心解题基础。 （二）解题思路 1. 吃透核心定理，区分定理与逆定理：熟练掌握勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”及逆定理判定方法，明确定理用于求边长、逆定理用于判直角的核心逻辑，精准区分适用场景，杜绝定理混用，是解决所有勾股定理压轴题型的基础前提。 2. 熟记经典几何模型，快速秒杀常规压轴：勾股定理压轴题高度依赖固定几何模型，重点掌握梯子滑动模型、折叠求边长模型、立体最短路径模型、勾股树面积模型，牢记各类模型的边长变化规律与解题套路，遇到对应题型直接套用思路，快速突破解题卡点。 3. 折叠翻折问题抓等量，方程思想破题：针对折叠、翻折类高频压轴题型，核心思路为抓折叠全等、定相等边长、构造直角三角形，根据折叠性质锁定对应边相等，设未知边长，利用勾股定理列一元一次方程求解，规避直接观察求值的思维误区，精准求解隐藏线段长度。 4. 动态动点问题分类讨论，杜绝漏解：针对动点形成直角三角形、动点边长最值等动态压轴题，遵循“定动点位置、分直角顶点、构直角三角形”的思路，分三种情况讨论直角顶点位置，结合运动范围、线段长度列式计算，全面覆盖所有可能性，有效避免漏解、错解。 5. 转化立体图形，破解最值压轴：针对立体图形最短路径压轴问题，核心方法为立体转平面，将圆柱、长方体、阶梯等立体图形侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形，结合勾股定理求出最短路径长度，攻克几何最值难点。 6. 规范几何推理，严谨应对综合探究：多问勾股综合压轴题逻辑连贯性强，前一问的边长结论、垂直关系可直接用于后一问推导，解题时规范书写构图、判定、计算步骤，分类讨论题型标注清晰讨论条件，做到推理有据、步骤完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 17．如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 21．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 22．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（   ） A． B． C． D．2 23．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 24．如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（        ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． (1)求证； (2)若为等腰三角形，求的长； (3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 26．已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 27．在长方形中，，点为边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点为的中点，延长交边于点． ①求证：； ②连接，求的长度． (2)如图2，若点为边上的一动点，连接能否为直角三角形？若能，直接写出的值__________；若不能，请说明理由． 28．“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 29．【初步感知】 （1）如图1，和均为等边三角形，绕点C逆时针旋转，连接、相交于点F．求证： 【深入探究】 （2）如图2，连接，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，以为边在外部作，且，，连接，过点A作于H，若，，求． 30．【了解概念】如图1，在和中，，，，连接，连接并延长与交于点，那么将叫做和的底联角． (1)【探究归纳】两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？并说明理由． (2)【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：如图2，，，，，求的度数； (3)如图3，在四边形中，，，点为四边形内一点，且，，，直接写出的长． 第二十一章：四边形 （一）压轴考情 平行四边形及特殊四边形是八年级下册几何核心重难点章节，承接三角形、勾股定理几何基础，是初中平面几何体系的进阶核心，也是期中、期末必考高分值压轴考点，多以选择填空压轴、几何综合证明大题、动态几何探究大题形式考查，是初中几何拔高压轴的核心板块。本章压轴题脱离基础的图形判定、边长角度简单计算，侧重特殊四边形综合判定、几何动点动态探究、折叠旋转变换综合、最值与存在性探究四大拔高方向，综合性、逻辑性、灵活性极强。 常考压轴题型包含：平行四边形、矩形、菱形、正方形的递进式综合判定证明、四边形折叠、旋转、平移几何变换综合计算、动点产生的特殊四边形存在性问题、四边形线段最值与周长面积最值探究、四边形与勾股定理综合求值、多条件多结论正误判断、梯度式几何综合探究题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础性质应用与简单判定证明，第二、三问延伸动态变化、图形变换、存在性探究与最值求解，常融合三角形全等、勾股定理、轴对称等前置知识，重点考查学生几何建模能力、动态分析思维、逻辑推理与分类讨论思想，区分度极高，是八下数学拉开分数的关键题型，同时为后续圆、几何综合大题、函数几何综合题型奠定核心基础。 （二）解题思路 1. 熟记性质判定体系，筑牢解题根基：系统梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的边角、对角线、对称性核心性质与判定定理，明确各类四边形的递进从属关系，精准区分不同图形的判定条件，杜绝定理混淆、条件缺失，是解决四边形压轴题的核心前提。 2. 紧抓图形变换特征，突破折叠旋转难点：针对四边形折叠、旋转、平移类压轴题型，核心思路为抓变换全等、保边角不变、寻等量关系，图形变换前后边长、角度、图形形状保持不变，锁定对应等量，结合勾股定理、全等三角形构造等式，求解未知边长、角度，破解变换类几何难点。 3. 动态动点分类讨论，规避漏解错解：针对动点构成特殊四边形的存在性压轴题，遵循“定轨迹、设动点、分情况、判图形”的核心思路，根据动点运动轨迹与速度，用代数式表示线段长度，结合不同特殊四边形的判定条件，分类讨论不同位置情况，逐一验证图形存在性，全面覆盖所有解题情况。 4. 活用几何模型，速解最值压轴：针对四边形周长、线段、面积最值类高频压轴题，熟练运用将军饮马模型、定点定长最值、垂线段最短等经典模型，结合轴对称转化线段位置，将折线最值转化为直线距离，搭配勾股定理快速求解最值，突破几何拔高难点。 5. 综合联动知识点，构建解题闭环：四边形压轴题综合性极强，解题时主动联动三角形全等、勾股定理、轴对称、方程思想，遇到边长未知问题，设未知数结合勾股定理列方程求解；遇到证明问题，层层推导、步步有据，实现判定与计算的有机结合，简化复杂综合题型。 6. 规范推理步骤，严谨应对梯度探究：多问四边形综合压轴题逻辑递进性强，前一问的判定结论、边长角度关系可直接用于后一问推导，解题时规范书写证明、计算、推理步骤，分类讨论题型清晰标注讨论范围，杜绝跳步、逻辑断层，保证解题严谨完整，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 31．如图，在正方形中，为上一动点，连接，点与关于直线对称，连接，，并延长交于点．连接，，相交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 32．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 33．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 34．如图，已知正方形边长是5，点P是线段上一动点，过点D作于点E．连接．若，则的面积是（   ） A． B．20 C．3 D．10 35．如图，在中，，为的中点，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 37．在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 38．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 39．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 40．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 41．如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）________． A． B． C． D． 42．如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（    ）． A．8 B．9 C． D． 43．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 44．在矩形中，，，点为上一点，连接，如图1，将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，则的长为_____；如图2，继续将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处，连接，则的长为_____． 45．如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 46．如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 47．【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 48．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 49．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 50．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 第二十二章：函数 （一）压轴考情 函数基础与正比例函数是八年级下册函数入门核心章节，是变量与函数思想的启蒙内容，承接平面直角坐标系知识，是一次函数、后续初高中函数体系的铺垫根基，为期中、期末高频基础拔高压轴考点，多以选择填空压轴、函数概念综合探究小题、简单函数综合解答题形式考查。本章压轴题脱离基础的变量识别、函数求值、简单图像认读，侧重函数概念辨析、自变量取值范围分类讨论、正比例函数含参探究、图像规律与动态变化分析四大拔高方向，侧重考查变量思维与数形结合基础能力，是函数板块拔高分层的关键前置题型。 常考压轴题型包含：函数定义的唯一性判定、多关系式函数辨析、含分式、根式、实际场景的自变量取值范围综合求解、正比例函数定义含参求值与参数取舍、正比例函数增减性与图像象限含参讨论、正比例函数图像规律探究、动点产生的正比例函数变化问题、多问概念辨析梯度探究题。 命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础概念识别、简单求值与取值判断，第二、三问延伸参数讨论、规律归纳、错解辨析与实际场景限定分析，常融合实数性质、不等式、坐标系基础知识点，重点考查学生严谨的概念辨析能力、分类讨论思维与变量变化分析能力，区分度明显，是学生从代数计算过渡到函数动态思维的核心分水岭，为一次函数综合压轴学习筑牢思想基础。 （二）解题思路 1. 吃透函数核心概念，杜绝概念混淆：精准掌握变量、常量、函数、自变量、函数值的核心定义，牢记函数核心判定标准：对于自变量每一个确定的值，函数有唯一确定的值与之对应，熟练区分关系式、表格、图像三类函数表达形式，杜绝“一对多”误判为函数的高频错误，是解决本章压轴题的根本前提。 2. 综合限定条件，精准求解自变量范围：针对自变量取值范围压轴题型，综合结合整式、分式、二次根式、实际场景四大限定条件，分式保证分母不为0、根式保证被开方数非负、实际问题保证变量符合现实意义，多条件叠加时联立不等式求解，精准筛选有效取值范围，规避漏条件、忽略实际限制的错解。 3. 紧扣正比例函数定义，突破含参题型：针对正比例函数含参压轴题，严格锁定解析式为y=kx（k≠0）的核心定义，满足自变量次数为1、比例系数不为0两大条件，列式求解参数后务必验证k≠0的隐藏条件，剔除增根，杜绝参数取值疏漏。 4. 依托图像性质，分析增减与象限：熟练掌握正比例函数k的几何意义，明确k的正负对应图像增减趋势、经过象限，针对含参数图像位置、增减性判定题型，通过参数范围反推图像特征，结合分类讨论分析不同参数下的函数变化规律，实现代数参数与几何图像的双向转化。 5. 归纳变化规律，应对探究压轴：针对函数图像动点变化、规律探究类拔高题型，通过代入特殊值、描点分析、对比变量变化趋势，归纳自变量与函数值的增减变化、比例变化规律，结合数形结合思想预判图像走向，快速解决规律归纳与结论猜想题型。 6. 严谨取舍验证，规范解题步骤：函数基础压轴题多隐藏限定条件，解题时坚持“先定定义、再算数值、最后验证取舍”的逻辑，含参问题必验隐藏条件，实际问题必验取值合理性，多问探究题层层递进、规范书写步骤，规避细节漏洞，全面提升函数入门压轴题得分率。 （三)好题精练 51．如图1，在中，，动点从点出发向点运动，连接，设，，如图2是关于的函数图象，点是函数图象上的最低点，观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，的值为7；④当时，是钝角三角形，其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 52．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．如图1，在矩形ABCD的边AD上取一点E，连接BE．点M，N同时以1cm/s的速度从点B出发，分别沿折线B-E-D-C和线段BC向点C匀速运动．连接MN，DN，设点M运动的时间为t s，△BMN的面积为S cm2，两点运动过程中，S与t的函数关系如图2所示，则当点M在线段ED上，且ND平分∠MNC时，t的值等于（　　） A．2+2 B．4+2 C．14﹣2 D．12﹣2 54．如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（     ） A．四边形ABCD的面积为12 B．AD边的长为4 C．当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D．ΔAOP的面积为3时，x的值为3或10 55．如图1，在矩形中，E为上一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D．设运动时间为t（秒），，图2是点P运动过程中y随t变化的函数图象．当时点P运动到点D，则a的值为______． 56．为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早分钟跑步出门，分钟后他们相遇．两人寒暄分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是米/分，乙的速度是米/分．练习分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离（千米）与甲跑步所用时间（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟． 【答案】11 【分析】由图象可以看出，0-1min内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min内，根据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始是240米/分，则他们的速度之差是60米/分，则5分钟相差400米，设再经过t分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t+120t=400，然后求出t后加上前面的10分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和． 【详解】甲出门时的速度v1=（540-440）=100（米/分）， 设乙出门时的速度为v2（米/分）， 根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分， 甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始为240米/分，他们的速度之差是60米/分，5分钟相差300米， 设再经过t分钟两人相遇，则180t+120t=300，解得t=1（分） 所以甲从家出发到他们再次相遇时5+5+1=11（分）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键． 57．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为___________． 58．如图，在矩形中，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，以为邻边构造，设与矩形重叠部分的面积为，点的运动时间为（秒）．    (1)当时，与矩形重叠部分的面积为______，当时，与矩形重叠部分的面积为______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当与矩形重叠部分的图形是四边形时，求与之间的函数关系式； (4)当以为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出的值． 59．如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛海里处，已知两船的航速如下表所示： 最大航速 经济航速 海监46 16节 14节 海监49 15.2节 14.5节 其中，一节等于海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问： (1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由； (2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？ (3)设海监46航行时间为，求两海监船之间的距离与之间的函数关系式． 60．图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． (1)根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； (2)写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： (3)点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 61．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是BC的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为1时，x＝　 　秒． （2）若△DPQ的面积为S，用含x的代数式表示S（0≤x＜7）． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点．当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x的取值范围． 62．动点P在□ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度/s，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图像如图2所示． （1）若a＝3，求当t＝8时△BPQ的面积； （2）如图3，点M，N分别在函数第一和第三段图像上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2，设t1、t2时点P走过的路程分别为，若＝ 16，求t1、t2的值． 63．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为t（单位：），甲乙两车之间的距离为y（单位：），甲乙两车的车速与t的关系如图1所示，y与t的关系如图2所示，请解决以下问题： （1）______，________； （2）求c的值，并说出点M的实际意义； （3）如果甲乙两车从开始一起均匀减速，甲车每秒减少，乙车每秒减少，要保持与前方甲车至少有的安全距离，d的最小值为多少？ 【提示：距离=平均速度×时间，平均速度（其中是开始时的速度，是t秒时的速度）】 64．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4cm，点P从点C出发，沿C→B→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为xs，C，P两点间的距离为ycm． 小玉根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行了探究．下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表： x/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 3.6 3.5 3.6 m 4.6 5.3 6.1 6.9 观察、思考可得，表格中m的值是　 　； （2）在下面的平面直角坐标系中，补充描出（1）题表格中所有以各对对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象． （3）结合画出的函数图象，解决下列问题： ①在前4秒内，点P始终在Rt△ABC的边　 　上运动； ②当点P运动到图象曲线部分的最低点对应的位置时，在△ABC中画出点P所在的位置；并求出此时x和y的准确值（结果保留根号）； ③当点P运动到点（8，m）时，△ACP的面积是　 　cm2（结果保留根号）． 第二十三章：一次函数 （一）压轴考情 一次函数是八年级下册代数核心重难点，是初中函数体系的核心主干内容，承接函数基础与正比例函数知识，完美融合代数计算与几何图形性质，是八下期中、期末分值最高、区分度最强的压轴考点，多以选择填空压轴、多问梯度函数综合大题、几何函数动态压轴题形式考查，属于初中数学核心拔高压轴题型。本章压轴题完全脱离基础的解析式求解、图像简单性质判断，侧重一次函数含参分类讨论、函数与方程不等式综合、一次函数几何融合、动态最值与存在性探究四大拔高方向，综合性、动态性、数形结合性极强。 常考压轴题型包含：含参数一次函数图像位置、增减性、经过象限的综合讨论、一次函数解析式多情况求解与错解问题、两直线交点与二元一次方程组综合、一次函数与一元一次不等式解集对应探究、一次函数与坐标系面积综合计算、动点生成函数图像分析、线段最值、周长最值、等腰/直角三角形/平行四边形存在性压轴、一次函数分段函数与实际方案最值探究题。 命题均采用梯度设问模式，第一问侧重求解析式、找点坐标、基础性质判断，第二、三问延伸动态分析、参数讨论、几何存在性与最值探究，常融合方程、不等式、三角形、四边形、勾股定理等前后知识点，重点考查学生数形结合思维、动态建模能力与分类讨论思想，是八下数学满分的核心壁垒，也是后续反比例函数、二次函数综合压轴的核心基础。 （二）解题思路 1. 夯实函数基础性质，筑牢解题根基：熟练掌握一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式特征、图像增减性、k与b的几何意义、直线平移与对称规律、坐标轴交点坐标求法，精准区分k、b正负对应的图像象限分布，熟记平行、垂直直线k值关系，杜绝性质混淆、规律记错，是解决所有一次函数压轴题型的根本前提。 2. 数形结合联动方程不等式，突破综合难点：针对函数与方程、不等式综合压轴题，牢固树立交点对应方程解、图像高低对应不等式解集的核心逻辑，利用两直线交点横坐标划分取值区间，直观判断函数大小关系，快速求解不等式解集、参数取值范围，规避纯代数分析的繁琐计算与易错漏洞。 3. 分类讨论破解含参与存在性题型：针对含参数一次函数、图像不确定、动点特殊图形存在性压轴题，坚持位置分类、图形分类、临界分类的原则，根据直线斜率正负、动点运动区间、图形顶点顺序分情况讨论，逐一列式求解并验证取值合理性，彻底杜绝漏解、少解问题。 4. 固定模型套路，速解面积压轴：针对一次函数与坐标系面积综合高频考点，熟练掌握铅垂高水平法、割补法、定点动面积模型，打破常规底高局限，通过固定铅垂高、水平宽快速求解斜三角形、不规则图形面积，结合面积定值反求参数或动点坐标，大幅简化复杂运算。 5. 动态问题抓恒量，转化几何最值：针对一次函数动态轨迹、线段最值、周长最小压轴题，核心思路为定点找不变、动点找轨迹、最值用模型，熟练运用将军饮马、平移最值、垂线段最短等经典几何模型，将动态折线最值转化为定线段长度，结合勾股定理、函数解析式精准求解最值与对应点位坐标。 6. 规范梯度步骤，严谨应对综合探究：一次函数压轴题多问递进特征显著，前一问的解析式、交点坐标、结论可直接用于后一问推导，解题时规范书写设元、列式、求解、验证完整步骤，分类讨论清晰标注每种情况的成立条件，逻辑连贯、步骤完整，规避跳步与逻辑断层，全面拔高函数压轴满分率。 （三)好题精练 65．已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（   ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A．个 B．个 C．个 D．个 66．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 67．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 68．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 69．等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 70．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 71．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 72．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 73．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 74．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 75．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为_____． 76．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是___________． 77．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为________； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为________． 78．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 79．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 80．阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 81．已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 82．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 83．【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 84．定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 85．在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，． (1)点作变换得到，点作变换得到，那么_____． (2)已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点． ①若点在线段上运动，当时，求的坐标． ②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 86．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 第二十四章：数据的分析 （一）压轴考情 数据的分析是八年级下册统计核心重难点章节，承接七年级数据的收集与整理知识，是初中统计模块的进阶拔高内容，为期中、期末高频压轴考点，多以选择填空压轴、统计综合探究大题形式考查，属于统计板块拔高压轴核心题型。本章压轴题脱离基础的平均数、中位数、众数简单计算，侧重统计量综合辨析、含参数统计量求值、方差波动分析、统计决策与方案对比四大拔高方向，综合性、应用性、辨析性极强。 常考压轴题型包含：含参数平均数、中位数、众数的分类讨论求值、多组数据统计量对比分析、方差意义与数据稳定性探究、剔除异常数据后的统计量重算、统计量变化规律探究、结合实际场景的统计决策与方案优选、梯度式统计综合探究题。命题普遍采用分层设问形式，第一问侧重基础统计量计算与数据整理，第二、三问延伸参数讨论、数据修正、波动分析与实际决策，常结合图表信息、生活实际场景设问，重点考查学生数据处理能力、统计辨析思维与实际应用能力，区分度突出，是八下统计板块拉开分数的关键题型，同时为后续概率统计综合题型奠定核心基础。 （二）解题思路 1. 吃透统计量核心定义，规避基础混淆：精准区分平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的核心定义与适用场景，熟练掌握各类统计量的计算公式，明确中位数唯一性、众数可多个、方差反映数据波动的核心特征，杜绝概念混淆、公式套用错误，是解决统计压轴题的基础前提。 2. 分类讨论突破含参压轴问题：针对含参数统计量求值的高频压轴题型，核心思路为先定范围、再分类、逐一验证，根据数据个数、排列顺序、众数唯一性、中位数取值特征，分类讨论参数的不同取值情况，结合统计量定义筛选符合条件的参数值，杜绝漏解、多解。 3. 紧抓方差核心意义，分析数据波动：针对方差类拔高题型，牢记方差越小、数据越稳定，方差越大、数据波动越大的核心规律，不仅能熟练计算方差，更能结合实际场景分析数据稳定性、优劣性，解决数据对比、选手选拔、方案筛选等实际压轴问题。 4. 修正异常数据，精准重算统计量：针对含异常值、剔除极端数据的压轴题型，先准确剔除不合理、极端数据，再重新排序数据、计算新的统计量，对比前后统计量的变化规律，分析异常数据对平均数、中位数、方差的不同影响，掌握数据修正的核心逻辑。 5. 对比多组数据，科学统计决策：面对多组数据对比、方案优选的压轴探究题，综合结合平均数、中位数、众数、方差多个统计量多角度分析，不单一依靠平均数判断，结合实际场景权衡数据平均水平与稳定性，有理有据做出科学决策与方案评价。 6. 规范步骤逻辑，应对梯度探究：多问统计综合压轴题层层递进，活用前问的统计量结果分析后续问题，计算类步骤清晰、数据准确，说理类问题遵循“统计特征+实际意义+结论”的答题逻辑，严谨表述数据规律与决策依据，全面提升压轴题得分率。 （三)好题精练 87．体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 88．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 89．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 90．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该公式，下列说法错误的是（　　） A．n值是3 B．中位数是3 C．众数是2 D．平均数是 91．将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 92．把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 93．为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”． 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 b 35% (1)完成填空：________，________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 94．“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 95．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 96．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 97．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 98．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 99．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 100．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $