精品解析：湖北荆门市沙洋县第一初级中学2025 2026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷

20252026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷 本试题卷共4页，考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，4，4 C. 4，5，7 D. 7，24，25 3. 如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 4. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 5. 小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ） A. 向北 B. 向南 C. 向西 D. 向南或向北 6. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 是的平分线 9. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 12. 等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 13. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__° 14. 如图，在四边形中，，，，，若分别是边，上的动点，则的周长最小为_______． 15. 甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE，，，求证：四边形ABCD是正方形． 19. 某地要开发一块三角形植物园，如图，测得，，． （1）若入口在边上，且，求从入口到出口的路线的长； （2）若线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠造价为元，则点在距离多远处，此水渠造价最低，并求出水渠的最低总造价． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 21. 如图，在中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G． （1）连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD=30°； 条件2：AB=BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 23. 实践探究 如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角． 知识应用 (1)小明按照以上方法剪出两个边长为的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形的面积为______． (2)小明发现，正方形 在绕点转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明． 拓展延伸 小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且．如图④放置，其中点是的中点，点在的延长线上，，当点是的中点，时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，且． （1）求A、B、C三点的坐标及的长； （2）在y轴上确定一点P，使取得最小值，并求出点P的坐标； （3）点M在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点N在上方时，求点N的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20252026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷 本试题卷共4页，考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需根据同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除法则逐一判断选项． 【详解】解：A．与是不同类二次根式，不能合并，A选项错误； B．，B选项错误； C．，C选项正确； D．，D选项错误． 故选C． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，4，4 C. 4，5，7 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组数即可. 【详解】解：选项A. 本组数中最长边为，，，， 不能组成直角三角形，选项A不符合题意. 选项B. 本组数中最长边为， ，， ， 不能组成直角三角形，选项B不符合题意. 选项C. 本组数中最长边为，，，， 不能组成直角三角形，选项C不符合题意. 选项D. 本组数中最长边为，，， ，能组成直角三角形，选项D符合题意. 3. 如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 先证明是的中位线得，再根据菱形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：C． 4. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 5. 小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ） A. 向北 B. 向南 C. 向西 D. 向南或向北 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 6. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意． 7. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点B对应的数为1， 点D表示的数是， 故选：A． 8. 如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 是的平分线 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质推出，，，，求出，证明，推出，求出，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵分别是和的平分线． ∴ ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、根据和平行四边形不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； 9. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处， ∴BC=EC， 在△BFC与△CDE中， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴， ∴AD=BC=CE=， ∴AE=AD-DE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，学会分类讨论直角三角形的边长是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若两直角边长为12和5，则第三边长为； 若斜边长为12，其中一条直角边长为5，则第三边长为． ∴综上所述，第三边长为13或． 12. 等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围． 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 13. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__° 【答案】45 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质得到∠EDB＝∠CDB，可得∠ADB−∠BDC＝∠ADE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△EAD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】如图，找到C点关于DB的对应点，连结DE，AE， 则∠EDB＝∠CDB， ∴∠ADB−∠BDC＝∠ADB−∠BDE＝∠ADE， ∵，， ∴ ∴， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴∠ADE＝45°，即∠ADB−∠BDC＝45°． 故答案为：45． 【点睛】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠ADB−∠BDC＝∠ADE是解题关键． 14. 如图，在四边形中，，，，，若分别是边，上的动点，则的周长最小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6． 【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点，连接交和于点和点，，连接、，在和上分别取一动点和（不同于点和， 连接，，和，如图1所示： ，，， ， 又，，， ， 故当与M重合、与N重合，即、M、N、共线时，的周长最小，最小值为的长； 连接，过点作于的延长线于点， 如图示2所示： 在中，，， ， 由轴对称性质得，，，， ∴， ∴是等边三角形，则 ， ， 又， ， ， ， 又， ，则， ，， 在中，由勾股定理得：． 故的周长最小为6． 15. 甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 【答案】 ①. 35 ②. 75 【解析】 【分析】（1）根据图中的信息和等量关系，列方程求出和的值，再计算即可； （2）先求出甲乙的路程，计算即可． 【详解】解：（1）由图1可知，当时，，， 则，解得， 由图1可知，当时，甲乙的速度相等， 则，解得， ； （2）当时间为时，甲的路程为，乙的路程为， 甲乙两车之间的距离． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题关键在于理解并应用二次根式有意义的条件，即根号内的表达式具有非负性．通过分析给出的条件，可以确定a和b的具体数值，进而完成整个代数式的求解． 【详解】解：， 根据二次根式的性质，可以将原式化简为： ， ，由于根号下要求非负，所以有： ，解得：， 再将代入得到： ， 将和代入原式得：． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE，，，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据AAS证明可得，再结合四边形ABCD是矩形可得结论． 【详解】证明：在和中， ∴（AAS）， ∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解答此题的关键． 19. 某地要开发一块三角形植物园，如图，测得，，． （1）若入口在边上，且，求从入口到出口的路线的长； （2）若线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠造价为元，则点在距离多远处，此水渠造价最低，并求出水渠的最低总造价． 【答案】（1）从入口到出口的路线的长为 （2）水渠的最低总造价为元 【解析】 【分析】（1）先根据勾股逆定理，证明为直角三角形，且，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）根据垂线段最短，当时，最短，水渠造价最低，由等面积法可得，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ， 为直角三角形，且， ， 为的中点，即为边上的中线， ， 答：从入口到出口的路线的长为； 【小问2详解】 解：当时，最短，水渠造价最低， ， ， 在中，， 此时，总造价为（元）， 答：点在距离处，此水渠造价最低，水渠的最低总造价为元． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意易得到，在中，根据勾股定理得到，据此列方程，解方程即可． 【详解】解：设， 、 在中，由勾股定理得 解得 因此，秋千绳索的长度为尺． 21. 如图，在中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G． （1）连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义可得，可得，可得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得到，，，可得，利用勾股定理可得，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD=30°； 条件2：AB=BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE； （2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形． 【小问1详解】 证明：∵BE=FD， ∴BE+EF=FD+EF， 即BF=DE， ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠CDE， 又∵∠BAF=∠DCE=90°， ∴△ABF≌△CDE(AAS)； 【小问2详解】 解：若选择条件①： 四边形AECF是菱形，　 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAF=90°，BE=EF， ∴AE=BF， ∵∠BAF=90°，∠ABD=30°， ∴AF=BF， ∴AE=AF， ∴平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②： 四边形AECF是菱形， 连接AC交BD于点O， 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AO=CO， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 即EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 实践探究 如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角． 知识应用 (1)小明按照以上方法剪出两个边长为的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形的面积为______． (2)小明发现，正方形 在绕点转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明． 拓展延伸 小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且．如图④放置，其中点是的中点，点在的延长线上，，当点是的中点，时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积． 【答案】实践探究：；知识应用：（1）；（2）两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的；拓展延伸： 【解析】 【分析】实践探究：根据展开后的图形是正方形得出结论即可； 知识应用：（1）根据点是正方形的中心点得出结论即可； （2）作于点，作于，证，即可得出结论； 拓展应用：设与交于点，连接，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得出的长，证，得出是的中点，根据勾股定理求出及的长度，证，然后求出的面积即可． 【详解】解：实践探究：由题意知，折痕为正方形的对角线，则剪口与折痕成角， 故答案为：； 知识应用：（1）由图知，点是正方形的中心点，四边形是边长为的正方形， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：； （2）两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的，证明如下： 作于点，作于， 由(1)知，四边形OMBN是正方形， ∴OM=O， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， 阴影部分的面积等于正方形的面积，是正方形面积的， 即两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的； 拓展延伸： 设与交于点，连接，过点作于点， 在和中， ， ， ， 和都是等腰直角三角形，是的中点， 和是等腰直角三角形， 在中，， 即 解得，舍去负值， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， 两个等腰直角三角形重叠部分的面积的面积， 即两个等腰直角三角形重叠部分的面积． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，且． （1）求A、B、C三点的坐标及的长； （2）在y轴上确定一点P，使取得最小值，并求出点P的坐标； （3）点M在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点N在上方时，求点N的横坐标． 【答案】（1），，，的长为4 （2） （3）①证明：如图2，连接，交于G， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴， ∴，则． ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． 的最小值为2； ②2 【解析】 【分析】(1)由平方和算术平方根的非负性可得出，从而求出，再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； (2)连接交y轴于，连接，此时取得最小值，即为的长，然后求得直线的表达式为，即可得出P的坐标； (3) ①连接，交于G，根据菱形的性质及等边三角形的性质可得，得，由点到直线的垂线段最短，可知，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证得，得，则，可知点N的运动轨迹为过点C且垂直于x轴的直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ，， ∴， ∴，则，即． ∵四边形为菱形，，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，连接交y轴于，连接，此时取得最小值， 由(1)知， ∴点关于y轴对称， ∴， ∴当点三点共线时，即为最小值， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∵， ∴点， 设直线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 ①解：由点到直线的垂线段最短，可知， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即 的最小值为 2； ②解：如图3，连接交于G，连接， 由①可知是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的运动轨迹为过点C且垂直于x轴的直线． ∵， ∴点N的横坐标为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $