第六章平面向量及其应用 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 人教A版必修第二册平面向量单元卷，以核心素养为导向，通过基础概念辨析、几何应用与实际测量问题，实现单元知识系统巩固与数学思维提升，适配高中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量概念（1）、投影向量（2）、解三角形（5）|基础题辨析概念本质，如第1题考查向量基本性质| |多选题|3|共线向量（9）、正六边形几何（10）|中档题融合几何直观，如第10题结合软木锅垫情境| |填空题|3|向量模长（12）、线性运算（13）|小综合题考查运算能力，如13题用基底表示向量| |解答题|5|夹角计算（15）、面积范围（19）|综合题体现现实应用，如19题结合测量情境求周长最小值|

人教A版必修第二册 平面向量 一、单选题 1．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 4．在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 10．软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 三、填空题 12．已知向量、满足，若为单位向量，则_________． 13．中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 四、解答题 15．已知三个点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 16．已知向量，. (1)若，求； (2)若向量与向量共线且，求的值. 17．在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． (1)求的值； (2)若是线段的中点，求的值． 18．在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A B A B ACD ACD 题号 11 答案 AB 1．D 【详解】选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误； 选项B，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，B错误； 选项C，两个向量不能比较大小，C错误； 选项D，若，两个向量方向相反、共线，故，D正确． 2．B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 3．C 【详解】由，，可得：， 所以. 由，得：， 代入坐标计算：， 解得. 4．C 【详解】. 5．A 【详解】由可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以的形状为等腰三角形. 6．B 【详解】由和的夹角为锐角得且 故“和的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件 7．A 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 8．B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 9．ACD 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 10．ACD 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确．    11．AB 【详解】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 12．/ 【详解】由已知，故 由两边平方得， 所以. 13． ； . 【详解】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 14． 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为， ， ， ， ， 所以． 故向量与的夹角为． （2）设点D的坐标为， 则，． 由题意得，，，则， 解得，故点D的坐标为． 16．(1)； (2). 【详解】（1）由题意，， 因为，则， 两边平方可得，即， 又因为，所以，即，所以，所以. 所以，. （2）由题意，向量与向量共线，则， 因为，且，所以， 则. 由，可得， 又，所以. 故. 17．(1)； (2)． 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 又因，由余弦定理，． （2）因为是线段的中点，所以， 则， 即，即的值为． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. （3）解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 19．(1)； (2) (3) 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $