第六章平面向量及其应用单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

河南省高一数学下学期阶段测试 （人教A版必修二第六章） （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）已知向量，，且，则（    ） A．-2 B． C． D．2 2．在△ABC中，分别为内角所对的边，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 4．如图，在△ABC中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，，分别为内角，的对边，若，则△ABC的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 10．已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若和的夹角为锐角，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若，则和的夹角为 11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（   ） A．△ABC三个内角满足关系 B．△ABC的周长为 C．若为的中点，，与交于点，则的长为 D．若为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．在△ABC中，已知，，则_____ ． 13．（原创）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 14．已知△ABC中内角A、B、C满足，若在边AB，BC，CA上各取一点M、N、P，满足，则△ABC的面积的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知平面向量满足，与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 16.(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 17．（15分）在△ABC中，内角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18．（17分）在△ABC中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 19．（17分）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $河南省高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第六章） 参考答案 1.D 【详解】因为向量a=(1,-4),b=(8,m),且a16,所以a.6=0, 即8-4m=0,解得m=2. 2.B 【详解】由(b+a(b-a)=c(b-c,得b2-a2=bc-c2,即b2+c2-a2=bc, 故co4-+c心d=c=),又0<A<,所以A=骨 2bc2bc 2 3.C 【详解】由=人5.到得-不小5矿+P-2,则五=5eos120=2×1x(》-1. 所以(a+2b)}'=a2+4a5+462=4-4+4=4,则a+26=V4=2. 4.B 【详解】因为D为BC边上靠近B的三等分点，所以BD=】BC, 所以而=丽+D=西+ac-西-子+}4C, 因为E为0的中点，所以亚-兮而-亚+兮c背亚+c. 所以cG=征-c-传a+后4C4c=写-C 5.A 【详解】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 M B :AB是圆M的直径，且△ABC为边长为2的等边三角形， A-1,0),B1,0,C(0,3, 设圆上a动点P(cos0,sin0),0e[0,2π，PA=(-1-cos0,-sin0),PC=(-cos0,V3-sin0), .P4.PC=(-1-cos0)(-cos0)+(-sin0)(3-sin0)=cos0+cos20-3sin0+sin20 =l+cos0-5sn0=l+2cos0+号） os0+写e-l.l+2eo0+ ∈[-1,3]，即PA.PC的取值范围为[-1,3] 6.D 【详解】因为e,e,e是在同一平面内的三个单位向量，且·e=0, 所以e⊥e,设e,与e的夹角为a,g与e,的夹角为B, 又因为e·e,>0,e·e>0,所以cosa>0且cosB>0,即e与e和e,的夹角均为锐角， 又因为e⊥e,若把e,e,e平移到同一起点，则e在e和e之间， B ○ A 如图所示，其中0A=日，0B=G,0C=g,则有a+B= 2 一2一2一2 则g+e2+e=6+6+e+2g8+2ee+2e,e 2 -3+2cosa+2cos=3+2sina+2cosa-3+2sim+ 4: /0<a< 因为 2 0<B=π 即0<a<5,所以<a+<3江 π 44 -0< 2 2 9<me+}1.两听+6d-53+2可 即+e+g∈(V5,2+1. 7.B 【详解】若atan B+btan 4=tan Atan B,得a sin+bsin4 a+b cosB =(a+b)sin Asin B cosA cos Acos B' 由正弦定理可得sinAsinB +sin B sin4=(sin 4+sin B) sin Asin B cosB cosA cos Acos B' 化简可得cosA+cosB=sinA+sinB,即sinA-cosA=-sinB-cosB), 利用销助角公式可5m4-》-5如8-引升 4 所以4-子-至8成4-香+子B=,4B-受或音1-日=合 44 所以ABC一定是直角三角形 8.C 【详解】如图，作OE⊥OC,分别以OC,OE为x轴，y轴建立平面直角坐标系， E 1V3 则0，C40,22 D(-2,25, 则P(4cos0,4sin0), 由0p=x0C+y0D可得4cos0=4x-2y,4sin0=2V5y, 对于A,若y=x,则16cos8+sin29)=(4x-2y2+(23y=16,解得x=y=1(负值舍去)， 故x+y=2,故A正确； 对于B, AB= 3√5 22 ,PO=(3cos0,3sin0), 则AB.P0= 2c0s+36 2 0剖，所a-引m0-引 3 所以AB.P0>-5,故B正确： 4 2 对于C,若y=3x,则cos0= y-2y= V, am6=sin9-25y-35 cos0 2 3 所以os6=V万 14 因为OA.OP=4cos0=4x5_25￥0，故C错误： 147 对于D.于PA-l-os91-4n0,历}cos0,5n0 2 (-c001-cos-ia) -4sin0 31-2cos0-2W5sin0=-4sin9+2 6: 所以P7P8=3引-4sim9+≥1-4= 2 6 2 2, 故D正确. 9.AD 【详解】对于A,因为sinA>sinB,由正弦定理可得a>b,所以A>B,故A正确； 对于B,由余弦定理cosC=。+6-C>0,可知C为锐角， 2ab 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断ABC是否为锐角三角形，故B错误； 对于C,因为a cosA=bcos B,所以sin Acos A=sin B cosB,即sin2A=sin2B, 又A,B∈(0，π，所以2A,2B∈(0,2π，所以2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B=于即48C为等腰三角形或直角三角形，故C错误： 对于D,因为三角形有两解，所以bsnA<a<b,即2x5-5<a<2,即a的取值范围为 2 (5,2),故D正确。 故选：AD 10.ABD 【详解】选项A,若ā16，得a.b=x1+25=x+10=0,解得x=-10,A正确， 选项B,由a与五夹角为锐角，得：d,b=x+10>0→x>-10, 当两向量共线，得5x=1x2→x=5, 2 26，为同向共线，夹角为0°（不是锐角2，需排除 2 B正确， 选项C,当x=-3时，a=-3,2),a在五方向上的投影向量为 -b ā-6=-3x1+2×5=7,6=+52=26,因此投影向量为7万≠)五，C错误， 26 2 选项D,对a+万0a-2万，两边平方：(a+b)2=(a-2b)2, 展开整理得：6ā万=3，代入=26，得ā6=13， 又a-6=x+10=13→x=3,因此a=(3,2)，0=82+22=, 设夹角为0：c0006三325=，由0e0,I80例得0=459，D正雅 11.ABD 【详解】由题意sinA:sinB:sinC=2:√7：3，.a:b:c=2:√7：3，不妨设 a=2k,b=7k,c=3k 由余弦定理到得m8:少4设？-付8-440- 2ac 12 3 ,:4+C=2B,选 项A正确 又S.c=65=)acsin=5 ×6k2,k=2.则a=4,b=2√7，c=6 4 :aABC的周长为a+b+c=4+2√万+6=10+2√万，选项B正确. 如图所示，：E为AC的中点 BE=(BA+BC), F -VBi+c+2ccosB-vac-1o 设BP=BE=之(BA+BC)=2BA+BC,P=4AF :.BP=BA+AP=BA+HAF=BA+H(BF-BA)=BA+H(BC-BA)=(1-H)BA+4BC=BA+BC 3 2 1-4= 2 1、1 解得 选项C错误 、 32 4 如图所示，取AB,BC的中点，记为M,N,:O是ABC的外心 :OM⊥BA,ON1BC,结合平面向量数量积的几何意义可知： BO.BA+BC=BO.BA+BO.BC=BM BA+BN BC =3x6+2x4=26 选项D正确 M B 12.3 【详解】设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,结合余弦定理，可得19=a2+4-2×a×2×cos120° 即a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍去)，所以BC=3. 13.16 【详解】因为点A,B,C共线，且A在B,C之间，所以存在实数元∈(0,1使得BA=λBC, 则PA-PB=元PC-PB,整理得PA=(1-2)PB+2PC 因为PA=xPB+yPC,所以x+y=1-入+元=1. 所以根摆基本不等式的性质可得？=(x++-1+95+兰+9≥10+2 9x￥=16 x y (x v y x 1 3 当自仅当，即气时等号成立，此时+？取最小值为16 4 x V 14.28V3 3 6 【详解】由sin2A+sin2B+sin2C=2√3 sin Asin Bsin C和正弦定理可得 a2+b2+c2=23bcsin A, 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,代入上式得2b2+2c2-2 bccos A=2V3 besin A, 整理可得+=c0s4+V3sin4=2sin(1+30,因b+≥2伦×92 所以sinA+30)≥1，当且仅当b=c时，等号成立， 又因sinA+30)≤1，所以sinA+30)=1, 由A∈(0,180），可得A+30°=90°，即A=60°， 又因b=c,则ABC为等边三角形A=60° 如图，在△MNP中，由余弦定理得NP=V(2V5)2+42-2×2V3×4cos30°=2， 所以MN2+NP2=MP2,所以∠MNP=90°，从而∠MPN=60°， 设∠APM=a,则∠AMP=120°-a,∠CPN=120°-a,∠PNC=a, 在△CPN中，由正弦定理得PC。2 sina"sin60,则PC=4 sina, 在4W中，曲正弦定是得n20-am0,测4P-20-a小， AP 4 所以AC=AP+PC=8 sim120-a)+4 sina=4cosa+8 4万 sina= sin(a+0), 其中tan6=5 )，所以4C的最大值为47，当。三90一6时取得最大值露 所以(5.r=5 4C:=5x16x7285 4 43 3 15. 【详解】(1)因为6=，5)，所以=V2+5=2,则ai=acos=3, 由a⊥(a-mb),得a.(a-mb)=0, 所以(@-ma-i=0,即-ma-i=0,则9-3m=0,解得m=3 (2)-25-@-2=-40-6+4-i丽，a-(a-20)=-2a-6=3, 所以cos<a,a-2b> a(a-2b)。3 3 aa-2 3×V1313 16. 【详解】设所需时间为t小时，则BC-10t,AB=105 在△ABC中，∠ACB=45°+(180°-105)=120°， 根据余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2 AC.BCcos.∠ACB, 可得(10,502=102+(10t02-2×10x10 ntxcos120°， 整理得22-t10,解得1或（舍去） 故护航舰需1小时靠近货船此时AB=105,BC-=10, 又AC=10,所以∠CAB=30°，所以护航舰航行的方位角为75°. 17.【详解】(1)由bcosC=c2sinA-cosB), 根据正弦定理，得sinBcosC=sinC2sinA-cosB), 2sinAsinC sinBcosC cosBsinC sin(B+C)=sinA, 在48c中，n40,则nc=分又ce0,所以c-无或c- 6 (2)因为ABC为锐角三角形，所以C= 6, -c4 由正弦定理：sinA sinB sinC1 8a=8sinA.b=8sinB, 2 Sc=absinC=8sinA-8sinB.=16sinAsinB=16sinBsin-B 2 6 =16sinB [}s8+5n9-4n28-4icos28+4v5-onf2B-}45. 0<B<π 2 0<A=5 解得<B< -B<π 3 2 ，即 则<2B-<2 33 <sB-}1,所以5meB.s+4. 18. 【详解】(1)因为V3b=2(a-ccos B), 由正弦定理得√3sinB=2(sinA-sin Ccos B),所以V3sinB=2[sin(B+C)-sin Ccos B], 可得3sinB=2 2sin BosC,因为sinB>0,所以cosC-5 2 因为0<C<元，所以C= 6 (2)设LADC=a,平面四边形ABCD的面积为S, 在△ACD中，由余弦定理得AC2=8+16-2×2√2×4cosa=24-16√2cosa, 所以S=S4Bc+Sacm号)×ACsin6中7×4x2V2sin@ -6Jo)4in6+in-cow) =6+8sna- 因为ae(0,,所以&-∈_元，3π 44’4 当a-子号，即a-时，平面四边形BCD面积的最大值为14. 4 19. 【详解】1》由题意可知，日、G的夹角为子：G6旧HG1cos至=5 42 :a=(1,√2)，则a=e+√2e, a=(G+2g=G+22e6+2g2=1+22. 2 +2=5 1a=√层=√5 (2)由a=(-1,3),6=(-3,),得：a=-e+3e,b=-3e+e,ee2=1×1×cosa=cosa, a=(-e+3e,)}=e2-6ee,+9g,=10-6cosa B2=(-38+G)2=9e-6e·e+622=10-6cosa 2 0 则川ā=b=V10-6cosa, a.6=(-g+36)(-3e+e)=3g+36-10g·6=6-10cosa :a与稍夹角为行：o 元a.b6-10cosa1 3 lalb 10-6cosa 2 1 解得cosa=7 （3)张题意设Bm0、C0,m>0n>0,且∠B0C=号，BC=1, 。7 B :F为BC的中点， :or=0丽+所=0丽+c-0i+oc-0网-0c+05-g+g 2 :E为BD中点，同理可得：0E=)0D+号O=)m 7 38g 6 mn+-mne·e2 76 4 1 由题意可知，G2=6=1,日g=1P×cos 2 76 76 mn 在△0BC中依据余弦定理得：m2+n2-mn=1→mn=m2+n2-1 代入上式得：0E.0F号m+高r-名br+5)-9 191 7619 76 BC OB OC 在△OBC中，由正弦定理： sinπsin∠COB sin∠Bco 3 设∠BC0=0,则sin∠CB0=sin9+ ,目0<0<2，..n=、 2 -sin0,n= 3 3 X一 2 3 2 10 3+7s129-l小，夫巾p为说角，且ap 11 55' :0<9<径，则-0<0-9<经-p, 3 故当29-9受时，8m+5m取最大值号3+7)=0 1 匹0-r3亮g98 19 题号 题型 分值 难度系数 核心考点 1 单选题 5分 0.90 利用向量垂直求参数 2 单选题 5分 0.85 余弦定理解三角形 3 单选题 5分 0.85 坐标计算向量的模 4 单选题 5分 0.85 用基底表示向量 5 单选题 5分 0.85 由向量线性运算解决最值和范围问题 6 单选题 5分 0.70 向量与几何最值 7 单选题 5分 0.65 正、余弦定理判定三角形形状 8 单选题 5分 0.50 平面向量基本定理的应用 9 多选题 6分 0.90 正弦定理判定三角形解的个数；正弦定理边角互化的应用；二倍角的正弦公式；正、余弦定理判定三角形形状 10 多选题 6分 0.65 向量夹角的计算；向量垂直的坐标表示；求投影向量 11 多选题 6分 0.50 正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；平面向量数量积的几何意义；余弦定理解三角形 12 填空题 5分 0.85 余弦定理解三角形 13 填空题 5分 0.80 基本不等式“1”的妙用求最值；平面向量基本定理的应用 14 填空题 5分 0.6 三角恒等变换的化简问题；求含sinx(型)函数的值域和最值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形 15 解答题 13分 0.85 数量积的运算律；已知数量积求模；向量夹角的计算；垂直关系的向量表示 16 解答题 15分 0.80 正弦定理、余弦定理的实际应用 17 解答题 15分 0.70 三角恒等变换的化简问题；求含sinx(型)函数的值域和最值；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用 18 解答题 17分 0.65 求三角形面积的最值或范围；正弦定理边角互化的应用 19 解答题 17分 0.5 已知数量积求模；向量夹角的计算；向量新定义；由向量线性运算解决最值和范围问题 学科网（北京）股份有限公司 $