专题02 期末真题百练通关（85题12考点压轴题型）（高效培优期末专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

**基本信息** 聚焦期末压轴题型，通过85题12考点构建几何与代数综合训练体系，强化逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|51题|多结论选择/双空填空/动态几何证明|从四边形性质到折叠/动点问题，构建"性质判定-全等勾股-动态建模"逻辑链| |代数应用|16题|二次根式规律探究/方程应用|以运算技巧为基，实际问题为载体，形成"概念理解-模型构建-求解验证"思维路径| |统计分析|16题|数据描述与推断|通过图表分析发展数据意识，强化"数据收集-整理分析-决策应用"完整流程|

专题02 期末真题百练通关（85题12考点压轴题型） 考点01 四边形多结论（选择小压轴） 考点07 勾股定理+四边形+全等三角形（解答压轴） 考点02几何双空题（填空小压轴） 考点08 平行四边形判定+动点（解答压轴） 考点03二次根式的应用（解答压轴） 考点09 矩形折叠解答压轴（勾股+全等） 考点04 一元二次方程及其应用（解答压轴） 考点10 菱形综合压轴（解答压轴） 考点05 一元二次方程实际应用（解答压轴） 考点11 正方形证明+计算解答压轴（最难纯几何） 考点06 四边形+全等三角形（解答压轴） 考点12 数据的初步分析（解答压轴） 考点01 四边形多结论（选择小压轴）（共5小题） 1．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．(24-25八下·安徽宿州萧县·期末)如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(24-25八下·安徽安庆大观区第四中学·期末)如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 5．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+，其中正确的序号是(　　) A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 考点02几何双空题（填空小压轴）（共16小题） 6．(24-25八下·安徽阜阳临泉县·期末)如图，矩形纸片，，，E为边上一点．将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处． （1）的长为________； （2）过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则的长为________． 7．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 8．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)如图，已知正方形的边长为6，点是对角线的交点，点是边，上的动点，且，连接． （1）线段与线段的数量关系是______； （2）连接，则的最小值为______． 9．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 10．(24-25八下·安徽铜陵枞阳县·期末)在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 11．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 12．(24-25八下·安徽阜阳太和县·期末)如图，是菱形的对角线，点和点分别是和上的点，． （1）若，则的度数为___； （2）若，，则的最小值为___． 13．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学芙蓉分校·期末)如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 14．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为____________； （2）连接，当时，长为____________． 15．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是__________． （2）若的延长线交于H，则__________．    16．(24-25八下·安徽合肥厚德中学·期末)如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是___________； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为_________． 17．(24-25八下·安徽合肥庐江实验中学·期末)如图，在中，，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，点B恰好落在上的点F处． （1）如图1，当时，______． （2）如图2，当时，______． 18．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．    （1）若，则______； （2）的最小值为______． 19．(24-25八下·安徽阜阳界首·期末)如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是________； （2）的最小值为______． 20．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 21．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______． 考点03二次根式的应用（解答压轴）（共4小题） 22．(24-25八下·安徽巢湖·期末)阅读下列解题过程：＝＝＝＝；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①，②； （2）利用上面提供的解法，请计算：． 23．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 24．(24-25八·安徽芜湖繁昌区·期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 25．(24-25八下·安徽安庆大观区第四中学·期末)阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 考点04 一元二次方程判别式、根与系数关系（解答压轴）（共2小题） 26．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 27．(24-25八下·安徽庆潜山·期末)7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求a的值． 考点05 一元二次方程实际应用（解答压轴）（共10小题） 28．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 29．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)9．项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 30．(24-25八下·安徽安庆桐城·期末)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 31．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 32．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 33．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由． 34．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 35．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． (1)求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ (2)年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 36．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 37．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 考点06 四边形+全等三角形（解答压轴）（共2小题） 38．(24-25八下·安徽六安皋城中学·期末)如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 39．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 考点07勾股定理+四边形+全等三角形（解答压轴）（共2小题） 40．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 41．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 考点08 （特殊）平行四边形判定+动点（解答压轴）（共4小题） 42．(24-25八下·安徽合肥厚德中学·期末)已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 43．(24-25八下·安徽宿州灵璧实验学校·期末)如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 44．(24-25八下·安徽巢湖·期末)如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． (1)当为何值时，是等边三角形？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 45．(24-25八下·安徽宿州灵璧县·期末)在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 考点09 矩形折叠解答压轴（勾股+全等）（共4小题） 46．(24-25八下·安徽阜阳太和县·期末)【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 47．(24-25八下·安徽合肥合肥兴国实验学校·期末)综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 48．(24-25八下·安徽马鞍山和县·期末)如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 49．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G． (1)如图（1），若点G正好落在上．求证：； (2)如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：； (3)在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度． 考点10 菱形综合压轴（解答压轴）（共6小题） 50．(24-25八下·安徽庆潜山·期末)如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 51．(24-25八下·安徽合肥庐江实验中学·期末)如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 52．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． (3)在（2）条件下，若，求的长． 53．(24-25八下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图1，在菱形中，E是边上的点，是等腰三角形，， （）． (1)如图2，当时，连接交于点P． ①直接写出的度数； ②求证： ． (2)如图1，当时，若，求的值． 54．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，. （1）求证：； （2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论. （3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由. 55．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)（1）在菱形中，，． ①如图1，点E，点F分别是，中点，求证：； ②如图2，，点E，点F分别在边，边上，求四边形的面积； （2）如图3，在菱形中，，点E，点F分别在边，边上，，求四边形的面积．    考点11 正方形证明+计算解答压轴（最难纯几何）（共14小题） 56．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)当时，求的长． 57．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)如图，已知正方形的边长为6，点、分别在、上． (1)如图①，连接与相交于点，若，与有什么关系，请说明理由． (2)如图②，取的中点，过点作交于点，交于点，连接，若，求的长． (3)如图①，在（1）的条件下，若图中四边形和的面积之和与正方形的面积之比为，请你直接写出的周长的值是 ． 58．(24-25八下·安徽滁州全椒县·期末)正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．于E，连接ED，AE，EC． （1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数； （2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长； （3）当AE＝时，求BP的长． 59．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一动点，的延长线交于点F，交的延长线于点G，M是的中点．    (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明你的结论； (3)当，并且恰好是等腰三角形时，求的长． 60．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对角线BD与点G，连接AE，AF，AG． （1）求证：AE=AF． （2）求证：BG-DG=DF． （3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长=　 　． 64．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求∠的度数； (3)如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 62．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 63．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． (3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长． 64．(24-25八下·安徽安庆桐城·期末)如图①，在正方形 中，E，F，G分别是射线，，上的点，连接，已知． 【数学思考】 （1）如图①，当点E，F，G分别在线段，，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 【猜想证明】 （2）如图②，当点E，F，G分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，当时，请直接写出线段的长度. 65．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)求证：①； ②． (3)若，求证：． 66．(24-25八下·安徽合肥庐江县柯坦初级中学·期末)已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． (1)如图1，求证：； (2)连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 67．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 68．(24-25八下·安徽六安汇文中学·期末)如图，正方形中，，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，过作于点． ①试探索线段和的数量关系，并加以证明； ②如图3，连接，则的周长为________．（直接写出结果，不需要推理过程） 69．(24-25八下·安徽六安皋城中学·期末)如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 考点12 数据的初步分析（解答压轴）（共16小题） 70．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 71．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：    a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 72．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 成绩                          整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 73．(24-25八下·安徽滁州全椒县·期末)3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．    信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人． 74．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全条形统计图； (2)表格中的 ， ； (3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）． (4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 75．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 76．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)为了迎接中考体育考试，某体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别，第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： ①将男生成绩的第2组后4个数据依次为． ②将男生测试成绩绘制成频数分布直方图，如图1； ③女生测试成绩如扇形统计图2； ④抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 166 女生 162.6 159 164 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，说明理由；（写出一条理由即可） (3)若每分钟跳绳达到160个，则成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 77．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图：    解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空_________； (2)所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． (3)该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 78．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩(一分钟跳绳次数x)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 七年级学生一分钟跳绳成绩频数分布直方图 年级 平均数 中位数 众数 七 116 a 115 八 119 126 117 七年级学生一分钟跳绳成绩(数据分7组：，，…，)在这一组的是：100，101，102，103，105，106，108，109，109，110，110，111，112，113，115，115，115，116，117，119 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ； (2)在这次测试中，七年级甲同学的成绩为122次，八年级乙同学的成绩为125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是 (填“甲”或“乙”)，理由是 ； (3)该校七年级共有300名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的共有多少人？ 79．(24-25八下·安徽六安汇文中学·期末)某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：    年级 七 八 九 157 160 169 0.8 0.6 0.9 (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在范围内的学生有________人；并补全频数分布直方图． ②七年级样本的中位数所在范围是________． ③由以上表格可知，________年级的学生身高比较整齐，理由是________________________． (2)已知七年级共有1000名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人？ 80．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： (1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； (2)已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 81．(24-25八下·安徽巢湖·期末)某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表： 组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟 A 15 B 47 C 80 D 105 E 200 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组； (2)求本次采集的这60个数据的平均数； (3)如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 82．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）； 信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 相应人数 10 16 14 平均数 信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79． 根据以上信息回答下列问题： (1)抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ； (2)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； (3)求被抽取40名学生的平均测试成绩． 83．(24-25八·安徽芜湖繁昌区·期末)月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从七、八年级中各随机抽取了名同学的成绩满分为分． 收集数据： 七年级 八年级 整理数据： 分数 人数 年级 七年级 八年级 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： (1)请直接写出表格中，，，的值． (2)通过数据分析，你认为哪个年级学生的成绩比较好？请说明理由． (3)若该校七、八年级共有人，本次竞赛成绩不低于分的为“优秀”，试估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”． 84．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为落实“双减”政策下的体育锻炼要求，我校八年级（1）班数学老师为了解学生的跳绳水平，在体育课上记录了全班40名学生1分钟跳绳的次数（单位：次），数据如下： 115，123，123，125，128，129，129，129，129，132，132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，136，136，137，138， 138， 138，139，144，144，144，144，144，146，148，149，152，153，159，160，162 (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为____________，其中_________，____________，_____________. (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 85．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题百练通关（85题12考点压轴题型） 考点01 四边形多结论（选择小压轴） 考点07 勾股定理+四边形+全等三角形（解答压轴） 考点02几何双空题（填空小压轴） 考点08 平行四边形判定+动点（解答压轴） 考点03二次根式的应用（解答压轴） 考点09 矩形折叠解答压轴（勾股+全等） 考点04 一元二次方程及其应用（解答压轴） 考点10 菱形综合压轴（解答压轴） 考点05 一元二次方程实际应用（解答压轴） 考点11 正方形证明+计算解答压轴（最难纯几何） 考点06 四边形+全等三角形（解答压轴） 考点12 数据的初步分析（解答压轴） 考点01 四边形多结论（选择小压轴）（共5小题） 1．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设 ∵， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 2．(24-25八下·安徽宿州萧县·期末)如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个， 故选：B． 3．(24-25八下·安徽安庆大观区第四中学·期末)如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； 延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故②正确； ， 与中，，， ∴， ∴， 故③正确； ∵矩形中，， ∴当时，最小，即最小， 此时是等腰直角三角形，斜边为， 则， ∴的最小值为， 故④正确； ∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形， 故⑤错误． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 4．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【详解】解：①∵四边形是正方形，边长为4， ，， 当时， 在中，由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，， ，， 由勾股定理得：， 故①正确； ②当时，过点F作，交延长线于点H，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形，边长为4， ，，， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴点B，D，F三点共线， 故②正确； ③当时， 同②可证明：， ，， ， ，， ， 故③不正确； ④当时，在上截取，连接，如图2所示： 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 又， ， ， ， 不是的角平分线， 故④不正确， 综上所述：正确的序号是①②． 故选：A． 5．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+，其中正确的序号是(　　) A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE=AF，∠EAF=60°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴BE=DF，∠BAE=∠DAF， ∴BC－BE=CD－DF， ∴CE=CF，故①正确； ∴∠BAE=∠DAF=（∠BAC－∠EAF）=15°， ∴∠AEB=90°－∠BAE=75°，故②正确； 在Rt△ABE中，∠BAE≠30°， ∴AE≠2BE， ∴EF≠BE＋DF，故③错误； 设正方形的边长为x， ∵CE=CF，∠C=90°，EF=2， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∴CE=， 则BE=BC－CE=x－， 在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2， ∴x2＋（x－）2=22， 解得：x1=，x2=（不符合实际，舍去） ∴=，故④正确． 综上：正确的有①②④． 故选A． 考点02几何双空题（填空小压轴）（共16小题） 6．(24-25八下·安徽阜阳临泉县·期末)如图，矩形纸片，，，E为边上一点．将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处． （1）的长为________； （2）过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则的长为________． 【答案】 2 【详解】解：（1）由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）如图，连接，， 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， 又， ，，共线， ， 四边形是矩形， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 7．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形，为线段的中点， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值， ∵矩形中，，，， ∴四边形是矩形， ∴； 当与点A重合时，取得最大值， ∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得． ∵矩形中，沿着折叠矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 过点N作于点E， 则四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， 故折痕的长度的取值范围为． 故答案为：． 8．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)如图，已知正方形的边长为6，点是对角线的交点，点是边，上的动点，且，连接． （1）线段与线段的数量关系是______； （2）连接，则的最小值为______． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，作点B关于的对称点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当G、E、O三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 如图所示，过点O作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 10．(24-25八下·安徽铜陵枞阳县·期末)在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 【答案】 / 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：； （2）连接， ∵ 的最小值为， 在中，由勾股定理得： ， 故最小值为：， 故答案为： 11．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 【答案】 24 【详解】解：（1）菱形的面积； 故答案为：24； （2）设与交于点O， 菱形中，，， ，，，平分， ； 作于Q，作于M， 平分，，， ， ， 当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时， ， 即的最小值是， 故答案为：． 12．(24-25八下·安徽阜阳太和县·期末)如图，是菱形的对角线，点和点分别是和上的点，． （1）若，则的度数为___； （2）若，，则的最小值为___． 【答案】 50 【详解】解：（1）四边形是菱形，， ，， ， ； 故答案为：50； （2）如图，过点作，且，连接，， 四边形是菱形，， ，，， ， 又， ， ， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ，， ， 故答案为：． 13．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学芙蓉分校·期末)如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 【答案】 60 18 【详解】解：（1）等边，F是的中点， ，平分， ， ． 故答案为：60． （2）在中，， ， ， 由（1）得，恒成立， 又当取最小值， ，即， ， ， 等边，F是的中点， ，， 设等边的边长为，则， 在中，， ， 解得：， ， 的周长为． 故答案为：18． 14．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为____________； （2）连接，当时，长为____________． 【答案】 6 【详解】解：（1）连接，如图所示： 在中，， 是等腰直角三角形， 又点O是边的中点，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当为最小时，为最小， 点D是上的动点， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小， 当点D与点O重合时，为最小，最小值为线段的长， 即的最小值为6， 的最小值为6， 故答案为：6； （2）点G是的中点，四边形是矩形， 经过点G，， 即点G是的中点， ， 是的斜边的中线， ， 当时，则， 是等边三角形， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ． 故答案为：． 15．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是__________． （2）若的延长线交于H，则__________．    【答案】 3 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 而，， ∴， ∵由旋转可得：，， ∴． 故答案为：3； （2）连接． ∵， 结合旋转可得：，，， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．(24-25八下·安徽合肥厚德中学·期末)如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是___________； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为_________． 【答案】 10 【详解】解：（1）∵于点O，，， ∴； 故答案为：10； （2）连接， ∵于点M， 于点H， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长，即， ∴的最小值为； 故答案为：． 17．(24-25八下·安徽合肥庐江实验中学·期末)如图，在中，，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，点B恰好落在上的点F处． （1）如图1，当时，______． （2）如图2，当时，______． 【答案】 2 【详解】（1）在中，，，， ，，， 当时，则是矩形， ， 由折叠性质得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：2； （2）过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 在中，，，， ，，， 当时， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 由折叠性质得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 18．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．    （1）若，则______； （2）的最小值为______． 【答案】 / 【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）连接，   ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， 当在同一直线时，最小， ， 在中，， 的最小值为：， 故答案为：． 19．(24-25八下·安徽阜阳界首·期末)如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是________； （2）的最小值为______． 【答案】 【详解】解：分别过点G作于M，于H，如图1，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作，，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， 在的延长线上取点，使得，则， 则 ∵， ∴， ∴， 则，当、、在同一直线上时取等号， 即：的最小值为， 故答案为：． 20．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点作于点，作于点，则． 四边形是正方形， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （2）∵是正方形的对角线，， 设，， ， 四边形是正方形， ，即，解得， ， ， ． 故答案为： 21．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______． 【答案】 2 【详解】解：答题空1 ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴∠FEC=90°， ∵ED平分∠FEC， ∴∠CED=45°， ∴CDE是等腰直角三角形， ∴DE=CD=2， ∴AE=AD-DE=2， 即当AE=2时，ED平分∠FEC； 故答案为：2； 答题空2 过F作FH⊥ED垂足为H，如图所示： ∵四边形CEFG是正方形， ∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°， ∵FH⊥ED， ∴∠FHE=∠D=90°，∠FED+∠EFH=90°， ∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC， 在EFH和EDC中， ∴EFH≌EDC（AAS）， ∴EH=DC=2，FH=ED， ∴由勾股定理得：AF= = = ， ∴当AE=1时，AF的最小值为； 故答案为：． 考点03二次根式的应用（解答压轴）（共4小题） 22．(24-25八下·安徽巢湖·期末)阅读下列解题过程：＝＝＝＝；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①，②； （2）利用上面提供的解法，请计算：． 【答案】（1）①；②；（2）n 【详解】解：（1）① ＝＝＋3； ② ＝＝； （2） ＝（）（） ＝（）（） ＝n． 23．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 24．(24-25八·安徽芜湖繁昌区·期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 25．(24-25八下·安徽安庆大观区第四中学·期末)阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， 由可得，即， 则或， 解得或， 由是正整数可知，舍去， ； （3）解：， ， 则， ， ， ， 则． 考点04 一元二次方程判别式、根与系数关系（解答压轴）（共2小题） 26．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 【答案】(1)且 (2)另一个根是， 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且； （2）解：代入到，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得：，， ∴另一个根是， ∴综上所述，另一个根是，． 27．(24-25八下·安徽庆潜山·期末)7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 考点05 一元二次方程实际应用（解答压轴）（共10小题） 28．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 29．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)9．项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【答案】任务一：千克；任务二：降低2元 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低元，一天可多售出千克 若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是千克； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故商店需将水果每千克的售价降低元． 30．(24-25八下·安徽安庆桐城·期末)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 (2)最多可购买电脑8台 【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台． 31．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 32．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 33．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由． 【详解】（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元； （3）商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解， 即不可能每天盈利1500元． 34．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】（1）1600元；（2）55元 【详解】解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）． 答：每天的销售利润为1600元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件， 依题意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350， 整理，得：x2-140x+4675=0， 解得：x1=55，x2=85（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 35．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． (1)求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ (2)年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 【答案】(1)甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元 (2)每箱应降5元 【详解】（1）解：设乙两种饮料每箱利润为元，则 解得 甲： 答：甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元． （2）解：设每箱应降元，则 解得，． 超市为了尽快清空库存，扩大销售量，所以． 答：每箱应降5元． 36．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务1：4月份到6月份的月平均增长率为；任务2：该泥塑的售价应定为44元/件 【详解】解：任务1：设4月份到6月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，(舍)， 答：4月份到6月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑的售价应定为元/件， 由题意得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为44元/件． 37．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1)28 (2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克 【详解】（1）解：由题意可得，（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为. （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴. 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克． 考点06 四边形+全等三角形（解答压轴）（共2小题） 38．(24-25八下·安徽六安皋城中学·期末)如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形． （2）连接，如图， ∵E是边的中点，F是边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 39．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①证明：由（1）得， 如图：延长和且交于点， 四边形是平行四边形， ， ． 由折叠可知， ， ， ． ②解：，证明如下： 如图：过点作，交于点， ． 由折叠可知． ， ， ， ， ． 由（1）可知， ， ， 四边形是平行四边形， ． 考点07勾股定理+四边形+全等三角形（解答压轴）（共2小题） 40．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． 又分别是边的中点， ∴，, ． 在和中， ， ， 又， ， 则， ； （2）解：连接并延长交于点，连接，如图． 在中，是的中点， ， ， 又， ， ， 是的中点，又是的中点， 是的中位线，则． 是的中点， ， 又， ， ． 41．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 四边形为平行四边形， ，． 又， ． ， 即为的中点． （2）证明：延长，相交于点，如图． 由（1）知，， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． （3）解：过点作于点，如图． 设，则，， ， ∴， ，，， 在中，， ， 解得（舍去）或， ． 考点08 （特殊）平行四边形判定+动点（解答压轴）（共4小题） 42．(24-25八下·安徽合肥厚德中学·期末)已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接交于点M， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ∵，C是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 43．(24-25八下·安徽宿州灵璧实验学校·期末)如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 【答案】(1) (2)或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； (3)1 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形， 只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴， ∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图， 连接交于O，    ∵线段将平行四边形面积二等分， ∴必过的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形面积二等分． 44．(24-25八下·安徽巢湖·期末)如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． (1)当为何值时，是等边三角形？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：由题意知：AP=2t，AF=8-t， 在中，， ∴，． 当AF=AP时，即时，是等边三角形， ∴当时，是等边三角形； （2）解：当时，， ，，解得； 当时，， ，，解得， ∴当或时，是直角三角形； （3）证明：，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 45．(24-25八下·安徽宿州灵璧县·期末)在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 【答案】(1)①4；②． (2). 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵周长为12， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ②如图1，过D作交的延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵周长为12， ∴， ∵P是上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 考点09 矩形折叠解答压轴（勾股+全等）（共4小题） 46．(24-25八下·安徽阜阳太和县·期末)【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)72 (2)108 (3)48或144 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，    ∴， ∵点F落在边上， 由折叠得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积； 故答案为：72； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积； （3）解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接，    ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 此时点G与C重合， ∴矩形的面积； ②如图4，点G在点B的左侧，连接，      同理， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形的面积 综上，矩形的面积是48或144． 47．(24-25八下·安徽合肥合肥兴国实验学校·期末)综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 【答案】探究一：当时,四边形为菱形，理由见解析；探究二：的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，理由见解析，长为 【详解】探究一： 当时,四边形为菱形，            理由如下： ， ， ∵翻折， ， ，                        ， ， ∴， ∴ ， ， ∴四边形为菱形；         探究二： ①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，         理由如下： 延长交边于点， ， ∴在和中， ， ， ∵翻折， ∴， ∴， 的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.          ②正方形纸片的边长为， ， ， ， 设 ， ， ， ， ，               解得，                   ∴长为． 48．(24-25八下·安徽马鞍山和县·期末)如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 49．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G． (1)如图（1），若点G正好落在上．求证：； (2)如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：； (3)在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将沿翻折，C点的对应点为G，点G正好落在上， ， ， ， ， ， ； （2）证明：将沿翻折，C点的对应点为G，点G落在矩形的内部， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， 如图（2），过点E作于M，连接、交于点N， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，设， 由 （1） 知， 则． 四边形是矩形， ，则， 又设，则 在、、和中， , ∴, 即① 在中，,即② ①②，得 ∴， 或，经检验所求解均符合题意． 时，点F与点D重合，如图1；时，如图2． 或． 考点10 菱形综合压轴（解答压轴）（共6小题） 50．(24-25八下·安徽庆潜山·期末)如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 【详解】（1）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 （2）如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， , , 四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 51．(24-25八下·安徽合肥庐江实验中学·期末)如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，E、F分别为边的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：∵，E、F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：∵交的延长线于点G， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 52．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． (3)在（2）条件下，若，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于O点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ 设菱形的边上的高为h， ∵， ， ∴，即边上的高为12． （3）解：如图所示，过点B作，交的延长线于点P， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为18．    53．(24-25八下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图1，在菱形中，E是边上的点，是等腰三角形，， （）． (1)如图2，当时，连接交于点P． ①直接写出的度数； ②求证： ． (2)如图1，当时，若，求的值． 【详解】（1）解：①在上截取，连接， ， ， ， 又， ， ∴ 四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ； ②作交于点N， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：延长使，连接，过F作交延长线于点N， ∵， ∴ ∵， ， ， 设，则， ， ， 由勾股定理，得， ， ． 54．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，. （1）求证：； （2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论. （3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由. 【详解】分析：（1）由条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，由F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD； （2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC； （3）由∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形． 详解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA． ∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG． ∵DE⊥AC，∴FG⊥DE． ∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED． ∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；  （2）过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形AEGF是菱形．证明如下： ∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．      55．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)（1）在菱形中，，． ①如图1，点E，点F分别是，中点，求证：； ②如图2，，点E，点F分别在边，边上，求四边形的面积； （2）如图3，在菱形中，，点E，点F分别在边，边上，，求四边形的面积．    【详解】（1）①证明：在菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵点E，点F分别是，中点， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：连接，如图所示：    在菱形中，， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在等边中，过D作于G，如图所示：    在中，， ∴， ∴； （2）解：连接，过D作于M，作于N，如图所示：    在菱形中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在中，，，则， ∴， 在中，，，，则， ∴． 考点11 正方形证明+计算解答压轴（最难纯几何）（共14小题） 56．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形的边长为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形的边长为； （3）解：如图，作于，设，，    ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； 同理可得，，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴的长为． 57．(24-25八下·安徽淮南寿县·期末)如图，已知正方形的边长为6，点、分别在、上． (1)如图①，连接与相交于点，若，与有什么关系，请说明理由． (2)如图②，取的中点，过点作交于点，交于点，连接，若，求的长． (3)如图①，在（1）的条件下，若图中四边形和的面积之和与正方形的面积之比为，请你直接写出的周长的值是 ． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）过点G作于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点，， ∴； （3）连接，如图所示： ∵四边形和的面积之和与正方形ABCD的面积之比为3：4，且， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴； 故答案为：． 58．(24-25八下·安徽滁州全椒县·期末)正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．于E，连接ED，AE，EC． （1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数； （2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长； （3）当AE＝时，求BP的长． 【答案】（1）140°；（2）2；（3）2． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA=DC， 又∵∠DAE＝25°， ∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝45°+25°＝70°， 在△DAE和△DCE中， ， ∴△DAE≌△DCE（SAS）， ∴∠DEA＝∠DEC， ∵∠DEA+∠AEB＝180°，∠DEC+∠CEB＝180°， ∴∠AEB＝∠CEB， ∴∠AEC＝2∠AEB＝2×70°＝140°； （2）∵∠PBC＝15°， ∴∠PBD＝30°，∠BPC＝75°， ∵PE⊥BD， ∴∠BPE＝60°， ∴∠DPE＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∵DP＝4，∠DPE＝∠EDP＝45°， ∴DE＝EP， ∵， ∴， ∴ 在Rt△EBP中，∠EBP＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴正方形的边长为； （3）连接OC，由（1）得△DAE≌△DCE， ∴EC＝AE＝， 在Rt△EBP中，O为BP中点， ∴EO＝BO＝OP， 同理：OC＝OB＝OP， ∴OE＝OC， ∵∠EBP＝45°﹣∠PBC，OE＝OB， ∴∠EOP＝2（45°﹣∠PBC）＝90°﹣2∠PBC， 又∵∠POC＝2∠PBC， ∴∠EOC＝90°﹣2∠PBC+2∠PBC＝90°， ∴EO⊥OC， 在△OCE中，OC＝OE，OE⊥OC， ∴OE＝OC＝EC＝×＝， ∴BP＝2OE＝2． 59．(24-25八下·安徽阜阳阜南县·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一动点，的延长线交于点F，交的延长线于点G，M是的中点．    (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明你的结论； (3)当，并且恰好是等腰三角形时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∵M 是 的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴一定是钝角， ∴若为等腰三角形必有， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点 E 作 于 H，设，    ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对角线BD与点G，连接AE，AF，AG． （1）求证：AE=AF． （2）求证：BG-DG=DF． （3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长=　 　． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADC=90°=∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF； （2）过E作EH⊥BC交BD于H，如图： ∵∠DBC=45°， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BE=DF，BH=BE， ∵EH⊥BC， ∴EH∥CD， ∴∠GHE=∠GDF，∠GEH=∠GFD， ∴△GHE≌△GDF（ASA）， ∴DG=HG， ∴BG-DG=BG-HG=BH， ∴BG-DG=BE=DF； （3）由（2）知：BG-DG=DF， 而DG=4，DF=， ∴BG=DG+DF=6， ∴BD=BG+DG=10， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=CD=， 故答案为：5． 64．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求∠的度数； (3)如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； （3）解：如图②，过作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 62．(24-25八下·安徽亳州蒙城县·期末)如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）证明：如图1，过点作于，    则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，    ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，    ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 63．(24-25八下·安徽安庆太湖县·期末)问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． (3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 64．(24-25八下·安徽安庆桐城·期末)如图①，在正方形 中，E，F，G分别是射线，，上的点，连接，已知． 【数学思考】 （1）如图①，当点E，F，G分别在线段，，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 【猜想证明】 （2）如图②，当点E，F，G分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，当时，请直接写出线段的长度. 【详解】解：（1）如图①所示，过点作于点，设交于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ； ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ， 故答案为：；； （2），，依然成立，证明如下： 如图②所示，过点作于点，延长交于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ， ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ； （3）如图③，当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得， ， ，， ， ， ； 如图④，当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得， ，， ， ． 65．(24-25八下·安徽合肥四十六中·期末)如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)求证：①； ②． (3)若，求证：． 【详解】（1）证明：， 四边形是正方形， ， 为等腰直角三角形． （2）①如图1，在上取一点，使，连接，， 在和中， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ∴ ，即， ， 由勾股定理得， ． ②如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，， 由勾股定理得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． （3）设，，则， ，， ，， 由勾股定理得， ， 若， 则， ， 即． 66．(24-25八下·安徽合肥庐江县柯坦初级中学·期末)已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． (1)如图1，求证：； (2)连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即， ∴， ∴； （2）①证明：如图1，过点F作交于H，则，是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的斜边上的中线， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； ②解：设，则，，， ∴， 由①可知，则， 同理①，过点F作交于H，如图2， ∵F是的中点，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． 67．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 68．(24-25八下·安徽六安汇文中学·期末)如图，正方形中，，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，过作于点． ①试探索线段和的数量关系，并加以证明； ②如图3，连接，则的周长为________．（直接写出结果，不需要推理过程） 【详解】（1）证明：如图，连接，    在正方形中，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， 证明：如图，连接交于点O，    可得，， ， 在与中， ， ， ， ； ②解：如图，延长至点，使得，过点作，连接，延长交于点，     ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 根据（1）中同理，可得， ， ， ， 的周长等于． 69．(24-25八下·安徽六安皋城中学·期末)如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 【详解】（1）证明：如图1，过点F作于点H，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． （2）①证明：如图2，延长交于点P， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴，即D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴，即； ②解：如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵D、O、B三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 考点12 数据的初步分析（解答压轴）（共16小题） 70．(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)88，85，20 (2)580名 【详解】（1）解：人工智能软件得分数据中：共个数据， A组有个数据，B组有个数据， 则人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第个、第个数据的平均数， 中位数， 豆包人工智能软件得分数据中出现的次数最多， 众数， ， ． （2）解：（名）， 估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名． 71．(24-25八下·安徽池州青阳县·期末)为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：    a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【详解】（1）解：， 故， ， 故补全的频数分布直方图如下：    结合条件可知，男生的中位数为：； （2）解：男生跳绳成绩更好 理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好； （3）解：（人）． 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 72．(24-25八下·安徽安庆怀宁县·期末)【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 成绩                          整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人， ∴组的人数为（人）， 则组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人， 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人， ∴从大到小排列，第，个数据分别为，， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是； 任务三：课前， ， ∴该校开设的心理健康课能够达到“效果显果”． 73．(24-25八下·安徽滁州全椒县·期末)3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．    信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人． 【详解】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人） 补全统计图如下：    （2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分； 50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）； 故答案为：76；78； （3）1500×=720（人）， 故答案为：720． 74．(24-25八下·安徽合肥嘉陵江路中学（合肥第四十八中学嘉陵江路校区）·期末)国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全条形统计图； (2)表格中的 ， ； (3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）． (4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为， 补全条形统计图如下： （2）330  375  435  410  410  470  380  365  365  410中，410出现的次数最多， ∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ； 故答案为：； （3）解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大， ∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）； （4）解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为： （分）， 乙款车综合得分为： （分）， ， ∴选择甲款车更合适． 75．(24-25八下·安徽合肥第四十五中学橡树湾校区·期末)每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 【详解】（1）解：将七年级成绩按从小到大排列，处在第10位和第11位的为和，故， 七年级成绩中，出现的次数最多，有次，故； （2）解：（人）， 故该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数为人； （3）解：小丽能获得“交通安全先锋”的称号，理由如下： ∵小丽的成绩分均大于两个年级的中位数， ∴小丽的排名超过总人数的一半，即能进入前名， ∴小丽能获得“交通安全先锋”的称号． 76．(24-25八下·安徽合肥三十中学·期末)为了迎接中考体育考试，某体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别，第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： ①将男生成绩的第2组后4个数据依次为． ②将男生测试成绩绘制成频数分布直方图，如图1； ③女生测试成绩如扇形统计图2； ④抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 166 女生 162.6 159 164 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，说明理由；（写出一条理由即可） (3)若每分钟跳绳达到160个，则成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【详解】（1）解：第2组所占百分比为：， ， ； 男生成绩由大到小排列第25，26个数据都是162， ， 故答案为：20，162； 补全频数分布直方图如下： ； （2）解：男生跳绳成绩更好， 理由：男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 77．(24-25八下·安徽六安轻工中学·期末)某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图：    解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空_________； (2)所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． (3)该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 【答案】(1)补全图形见解析，35 (2)众数为3本，中位数为3本； (3)估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 【详解】（1）解：读4本的人数有： （人）， 读3本的人数所占的百分比是， ∴， 补图如下：   ．   （2）根据统计图可知众数为3本， 由总数据为，排在第30个，第31个数据分别为3，3， ∴中位数为：（本）， （3）根据题意得： （人）， 答：估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 78．(24-25八下·安徽合肥肥东县圣泉中学·期末)某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩(一分钟跳绳次数x)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 七年级学生一分钟跳绳成绩频数分布直方图 年级 平均数 中位数 众数 七 116 a 115 八 119 126 117 七年级学生一分钟跳绳成绩(数据分7组：，，…，)在这一组的是：100，101，102，103，105，106，108，109，109，110，110，111，112，113，115，115，115，116，117，119 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ； (2)在这次测试中，七年级甲同学的成绩为122次，八年级乙同学的成绩为125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是 (填“甲”或“乙”)，理由是 ； (3)该校七年级共有300名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的共有多少人？ 【答案】(1)118 (2)甲；甲的成绩超过其中位数，乙的成绩低于其中位数 (3)估计一分钟跳绳不低于116次的共有162人 【详解】（1）解：将七年级学生一分钟跳绳成绩从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数， ∵，， ∴从小到大进行排序后，第25个数和第26个数位于这一组， 由这一组的数据得：第25个数和第26个数分别是117和119， ∴其中位数， 故答案为：118． （2）解：在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲，理由是甲的成绩超过其中位数，乙的成绩低于其中位数， 故答案为：甲；甲的成绩超过其中位数，乙的成绩低于其中位数． （3）解：在这一组，一分钟跳绳不低于116次共有3人， 则（人）， 答：估计一分钟跳绳不低于116次的共有162人． 79．(24-25八下·安徽六安汇文中学·期末)某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：    年级 七 八 九 157 160 169 0.8 0.6 0.9 (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在范围内的学生有________人；并补全频数分布直方图． ②七年级样本的中位数所在范围是________． ③由以上表格可知，________年级的学生身高比较整齐，理由是________________________． (2)已知七年级共有1000名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人？ 【答案】(1)①18，见解析；②；③八，方差越小，数据就越稳定（或整齐）； (2)180人 【详解】（1）①七年级抽查的总人数为人， 所以七年级身高在范围内的学生有人； 补全频数分布直方图如下：    ②将七年级的数据按照从小到大排列后，第50，51两个数据都在范围内， ∴七年级样本的中位数所在范围是； ③∵三个年级数据的方差中，八年级的方差最小， ∴八年级的学生身高比较整齐，理由是：方差越小，数据就越稳定（或整齐）； （2）人， 所以估计该校七年级身高偏矮的共有180人． 80．(24-25八下·安徽合肥五十中天鹅湖学校·期末)垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： (1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； (2)已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 【详解】（1）解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则， ∴， 解得， 故答案为：7，7； （2）解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定， ∵ ∴队员乙发挥的稳定性最好， 故答案为：乙； (3)推荐乙队员更合适，理由如下： ， 通过平均数来看选择乙和丙， 又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好， ∴推荐乙队员更合适． 81．(24-25八下·安徽巢湖·期末)某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表： 组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟 A 15 B 47 C 80 D 105 E 200 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组； (2)求本次采集的这60个数据的平均数； (3)如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 【答案】(1)补全统计图见解析， (2)本次采集的这60个数据的平均数为65分钟 (3)估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费 【详解】（1）解：组的频数为， 补全条形统计图如下：    中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组， 这60个数据的中位数落在组； 故答案为：； （2）解：（分钟）， 答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟； （3）解：（辆， 答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费． 82．(24-25八下·安徽马鞍山某校·期末)学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）； 信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 相应人数 10 16 14 平均数 信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79． 根据以上信息回答下列问题： (1)抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ； (2)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； (3)求被抽取40名学生的平均测试成绩． 【答案】(1)72 (2)124人 (3)分 【详解】（1）由题意可知，抽取的40名学生测试成绩从小到大排列、， 故答案为：72； （2）（人）； 答：该校初中三个年级496名学生中优秀的学生约为124人； （3）（分）， 答：被抽取40名学生的平均测试成绩为分． 83．(24-25八·安徽芜湖繁昌区·期末)月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从七、八年级中各随机抽取了名同学的成绩满分为分． 收集数据： 七年级 八年级 整理数据： 分数 人数 年级 七年级 八年级 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： (1)请直接写出表格中，，，的值． (2)通过数据分析，你认为哪个年级学生的成绩比较好？请说明理由． (3)若该校七、八年级共有人，本次竞赛成绩不低于分的为“优秀”，试估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”． 【答案】(1)2，90，90，90 (2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上，八年级的学生成绩好 (3)1040人 【详解】（1）解：观察八年级分的有人，故； 七年级的中位数为，故； 八年级的平均数为：，故； 八年级中分的最多，故； （2）解：七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上，八年级的学生成绩好； （3）人， 答：估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有人． 84．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为落实“双减”政策下的体育锻炼要求，我校八年级（1）班数学老师为了解学生的跳绳水平，在体育课上记录了全班40名学生1分钟跳绳的次数（单位：次），数据如下： 115，123，123，125，128，129，129，129，129，132，132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，136，136，137，138， 138， 138，139，144，144，144，144，144，146，148，149，152，153，159，160，162 (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为____________，其中_________，____________，_____________. (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 【答案】(1)箱线图；144 ；136 ；132 (2)跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小 (3)平均数大于中位数，见解析 【详解】（1）解：老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为箱线图， 其中中位数， 上四分位数， 下四分位数， 故答案为：箱线图；144 ；136 ；132． （2）解：“下半截箱子”比较短，这说明跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小； （3）解：平均数大于中位数， 因为最大值和上四分位数距离中位数比最小值和下四分位数远，会拉高平均数． 85．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【详解】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $