2025--2026学年北师大版八年级数学下册期末重点题型巩固练习

**基本信息** 初中数学期末专项训练，以几何与代数综合题型为载体，融合抽象能力与推理意识，构建"概念-方法-应用"三阶训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形性质|6题（含3道综合证明）|轴对称性质应用、三角形中位线构造、全等判定转化|从图形识别到性质应用，形成"判定-性质-计算"逻辑链| |代数运算|8题（含2道应用题）|分式方程验根技巧、不等式参数求解、函数建模思想|遵循"概念理解-运算规则-实际应用"递进关系| |综合应用|2题（跨模块融合）|数形结合转化、动态问题分类讨论|整合几何直观与代数推理，体现数学思维整体性|

北师大版八年级下册期末重点题型巩固练习 一．选择题（共11小题） 1．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 4．《算术之钥》中记载着一道非常受人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，那么每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？设这群人共有x人，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝10x C． D．x（x+1）＝10x 5．若实数m满足﹣1＜m≤2，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（　　） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，AB＝CD＝2，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 7．若代数式+（x﹣2）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1且 x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 8．根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力F浮与物体重力G重的关系决定物体的状态：当F浮＞G重时物体上浮；当F浮＝G重时物体悬浮或漂浮；F浮＜G重时物体下沉．不等式F浮＞G重做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（　　） A．F浮+a＞G重+b B．2F浮+a＞2G重+a C．F浮﹣a＞G重﹣b D．2F浮﹣a＞2G重﹣b 9．若正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 10．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．+2 D．±2 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G．则下列结论：①△BDG≌△ADE；②△GDE是等腰直角三角形；③四边形DFEG的周长为2中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二．填空题（共6小题） 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC的面积为10，则DM+BM的最小值为　 　 ． 13．如果不等式组的解为1＜x＜6，则m的值为　 　 ． 14．已知二次三项式x2﹣3x+m有一个因式是x+3，则m的值为　 　 ． 15．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 　 　 ． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6cm，则梯形ABCD的周长为 　 　 ． 17．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 18．解分式方程： （1）； （2）． 19．某厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元． （1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案请你设计出来； （2）设生产A、B两种产品总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x．试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大，最大利润是多少？ 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4），B（1，2），C（5，3）． （1）将△ABC向左6平移单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1； （2）请计算平移结束时，线段AB扫过的面积； （3）将△ABC绕原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，并直接写出A2的坐标． 21．【读一读】 数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，Rt△ABC中，点A、B在y轴上，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4． （1）尺规作图：分别作出点A关于x轴的对称点D，点C关于y轴的对称点E（保留作图痕迹，不写作法），连接CD、BE，并直接写出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，作点D关于直线n（直线n可左右平移，直线n上各点的横坐标都为m）的对称点D′，若△BDD′的面积为3，求m的值； （3）点P、Q分别为CE、CD上的动点，求DP+PQ+QE的最小值． 22．（1）解不等式组：，并写出所有的非负整数解； （2）解分式方程； （3）化简：，并在﹣2，1，3三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值． 北师大版八年级下册期末重点题型巩固练习答案 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】解含a的一元一次不等式，然后根据题意列得关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：ax﹣2＞3x+1， 整理得：（a﹣3）x＞3， ∵关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2， ∴a﹣3＝﹣， 解得：a＝， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 3．下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可． 【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意； C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查命题与定理，熟练掌握其知识点是解题的关键． 4．《算术之钥》中记载着一道非常受人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，那么每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？设这群人共有x人，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝10x C． D．x（x+1）＝10x 【分析】根据果园的石榴的总数不变，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1+2+3+…+x＝10x， 即＝10x． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．若实数m满足﹣1＜m≤2，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（　　） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【分析】求出不等式组的解集，结合﹣1＜m≤2求出整数解，然后求和即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴m≤x＜5， ∵﹣1＜m≤2， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴.0+1+2+3+4＝10或1+2+3+4＝10或2+3+4＝9， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，AB＝CD＝2，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得△HEF是等腰直角三角形，即可求解EF的值． 【解答】解：设H为BD的中点，连接HE，HF， 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，，HE∥AB，HF∥CD， 所以∠DHF＝180°﹣∠BDC＝60°，∠ABD＝∠EHD＝30°， 所以∠EHF＝∠EHD+∠DHF＝90°， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．若代数式+（x﹣2）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1且 x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 【分析】结合二次根式有意义和零指数幂有意义求x的取值范围． 【解答】解：由题意得：， 解得：x≥1且x≠2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式和零指数幂有意义．要注意是两个条件同时成立，学生做题时容易忽略x﹣2≠0． 8．根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力F浮与物体重力G重的关系决定物体的状态：当F浮＞G重时物体上浮；当F浮＝G重时物体悬浮或漂浮；F浮＜G重时物体下沉．不等式F浮＞G重做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（　　） A．F浮+a＞G重+b B．2F浮+a＞2G重+a C．F浮﹣a＞G重﹣b D．2F浮﹣a＞2G重﹣b 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知不等式F浮＞G重， 当两边同时加上a得F浮+a＞G重+a，无法确定F浮+a与G重+b的大小关系，则A不符合题意， 两边同时乘以2再同时加上a得2F浮+a＞2G重+a，则B符合题意， 当两边同时减去a得F浮﹣a＞G重﹣a，无法确定F浮﹣a与G重﹣b的大小关系，则C不符合题意， 两边同时乘以2再同时加上a得2F浮﹣a＞2G重﹣a，无法确定2F浮﹣a与2G重﹣b的大小关系，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 9．若正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】利用正多边形外角和性质求解，任意多边形的外角和为360°，正多边形的所有外角都相等，据此计算可得边数． 【解答】解：∵任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角都相等， ∴这个多边形的边数为． 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆，正确进行计算是解题关键． 10．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．+2 D．±2 【分析】根据题意得到|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，计算即可求出． 【解答】解：由条件可知|x|﹣2＝0，x﹣2≠0， ∴|x|＝2，x≠2，∴x＝﹣2； 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的概念及性质，熟练掌握该知识点是关键． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G．则下列结论：①△BDG≌△ADE；②△GDE是等腰直角三角形；③四边形DFEG的周长为2中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】由∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝∠CEB＝∠GDE＝90°，得∠DBG＝∠DAE＝90°﹣∠C，∠BDG＝∠ADE＝90°﹣∠ADG，而∠DAB＝∠ABC＝45°，则BD＝AD，即可证明△BDG≌△ADE，可判断①正确； 所以DG＝DE，则△GDE是等腰直角三角形，可判断②正确； 因为∠DEG＝∠DGE＝45°，所以∠DEC＝∠CEB﹣∠DEG＝45°，由翻折得FE＝DE，∠FEC＝∠DEC＝45°，则∠DEF＝90°，由AB＝3，BG＝AE＝1，得BE＝＝2，由EG＝DE＝2﹣1，得DF＝DE＝2﹣1，FE＝DG＝DE＝2﹣，求得DF+FE+EG+DG＝3+2，可判断③正确． 于是得到问的答案． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DG⊥DE交BE于点G， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝∠CEB＝∠GDE＝90°， ∴∠DBG＝∠DAE＝90°﹣∠C，∠BDG＝∠ADE＝90°﹣∠ADG， ∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴BD＝AD， 在△BDG和△ADE中， ， ∴△BDG≌△ADE（ASA）， 故①正确； ∴DG＝DE， ∴△GDE是等腰直角三角形， 故②正确； ∴∠DEG＝∠DGE＝45°， ∴∠DEC＝∠CEB﹣∠DEG＝90°﹣45°＝45°， 由翻折得FE＝DE，∠FEC＝∠DEC＝45°， ∴∠DEF＝2∠DEC＝2×45°＝90°， ∵AB＝3，BG＝AE＝1， ∴BE＝＝＝2， ∴EG＝＝DE＝BE﹣BG＝2﹣1， ∴DF＝＝DE＝2﹣1，FE＝DG＝DE＝2﹣， ∴DF+FE+EG+DG＝（2﹣1）×2+（2﹣）×2＝3+2， 故③正确， 故选：A． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、翻折变换的性质等知识，推导出∠DBG＝∠DAE，∠BDG＝∠ADE，进而证明△BDG≌△ADE是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC的面积为10，则DM+BM的最小值为　5　 ． 【分析】连接AD，AM，由作图可得EF垂直平分AB，则MA＝MB，从而得出BM+DM＝AM+DM≥AD，当且仅当点M在AD上时取等号，即BM+DM的最小值为AD，求出AD即可． 【解答】解：如图，连接AD，AM， ∵EF垂直平分AB， ∴MA＝MB， ∴BM+DM＝AM+DM≥AD，当且仅当点M在AD上时取等号， ∴BM+DM的最小值为AD， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴BD＝BC＝2，AD⊥BC， ∵△ABC的面积为10， ∴BC•AD＝×4×AD＝10， ∴AD＝5， ∴当BM+DM的最小值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．如果不等式组的解为1＜x＜6，则m的值为　1　 ． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：由得，x＜6， 由﹣x＜﹣m得，x＞m， 因为不等式组的解集为1＜x＜6， 所以m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 14．已知二次三项式x2﹣3x+m有一个因式是x+3，则m的值为　﹣18　 ． 【分析】设另一个因式是x+k，计算（x+3）（x+k）后即可求得答案． 【解答】解：设另一个因式是x+k， 则（x+3）（x+k） ＝x2+kx+3x+3k ＝x2+（k+3）x+3k ＝x2﹣3x+m， 则k+3＝﹣3，m＝3k， 那么k＝﹣6，m＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点评】本题考查因式分解的意义，理解因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键． 15．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 　45°　 ． 【分析】过B作BM∥AC，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：取格点M，连接BM， ∴BM∥AC，如图，连接DM， 由勾股定理得：DM＝，BM＝，BD＝，AC＝， ∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2， ∴△DMB是等腰直角三角形， ∴∠DBM＝45°， ∵AC∥BM， ∴∠APB＝∠DBM＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形等知识点，能构造直角三角形是解此题的关键． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6cm，则梯形ABCD的周长为 　30　 ． 【分析】由在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6，易求得AD＝CD＝BC＝6，AB＝2BC＝12，继而求得答案． 【解答】解：∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD＝BC＝6， ∵AC⊥BC，∠B＝60°， ∴∠BAC＝30°，∠DAB＝∠B＝60°， ∴AB＝2BC＝12，∠DAC＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD＝6， ∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+AD＝12+6+6+6＝30． 故答案为：30． 【点评】此题考查了等腰梯形的性质、含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 17．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 　25　 ． 【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE，AE的长． 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN， ∵BN⊥AN， ∴∠ANB＝∠ANE＝90°， 在△ABN和△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE＝AB＝6，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×1.5＝3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25， 故答案为：25． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形的性质证得BN＝NE，进而应用三角形中位线定理解决问题． 三．解答题（共5小题） 18．解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后并检验即可； （2）将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后并检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：x+5＝4x﹣10， 解得：x＝5， 检验：当x＝5时，2x﹣5≠0， 故原方程的解为x＝5； （2）原方程去分母得：（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）， 整理得：2x﹣3＝﹣1， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 19．某厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元． （1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案请你设计出来； （2）设生产A、B两种产品总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x．试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50﹣x）件，那么根据每种产品需要的原料数量可列不等式组进行解答，求出范围，从而得出生产方案； （2）在（1）的基础上，根据每种产品的获利情况，列解析式，根据（1）中x的取值范围求出最值即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50﹣x）件，根据题意，得 解得30≤x≤32．因为x是自然数，所以x只能取30，31，32． 所以按要求可设计出三种生产方案： 方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件； 方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件； 方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件； （2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，由题意，得 y＝700x+1200（50﹣x）＝﹣500x+60000 因为a＜0，由一次函数的性质知，y随x的增大而减小． 因此，在30≤x≤32的范围内，当x取最小值时y最大， 所以当x＝30时，y取最大值，且y最大值＝45000（答案不唯一）． 【点评】（1）利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质； （2）用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题． 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4），B（1，2），C（5，3）． （1）将△ABC向左6平移单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1； （2）请计算平移结束时，线段AB扫过的面积； （3）将△ABC绕原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，并直接写出A2的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质找出点A1，B1，C1，然后连线画图，再根据图形写出点A1的坐标； （2）线段AB扫过的面积即为平行四边形A1B1BA的面积； （3）根据旋转的性质确定点A2，B2，C2，然后连线画图，再根据图形写出点C2的坐标． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，4）； ； （2）线段AB扫过的面积即为平行四边形A1B1BA的面积， ∴6×2＝12； （3）如图2，△A2B2C2即为所求．A2（4，﹣3）； ． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积，作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 21．【读一读】 数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，Rt△ABC中，点A、B在y轴上，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4． （1）尺规作图：分别作出点A关于x轴的对称点D，点C关于y轴的对称点E（保留作图痕迹，不写作法），连接CD、BE，并直接写出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，作点D关于直线n（直线n可左右平移，直线n上各点的横坐标都为m）的对称点D′，若△BDD′的面积为3，求m的值； （3）点P、Q分别为CE、CD上的动点，求DP+PQ+QE的最小值． 【分析】（1）依据题意画图，再根据30°直角三角形的性质求解即可； （2）由题易得BD＝AB﹣OA﹣OD＝2，DD'＝2m，再根据面积建立方程求解即可； （3）易得△BCE、△ACD都是等边三角形，所以DP+PQ+QE＝AP+PQ+QB≥AB＝4，当且仅当点A、P、Q、B依次共线时取等． 【解答】解：（1）点D和点E如图所示： 在Rt△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝2， ∵∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°， 在Rt△ACO中，OA＝AC＝1， ∵点D和点E关于x轴对称， ∴OD＝OA＝1， ∴D（0，1）； （2）如图， ∵OD＝OA＝1， ∴BD＝AB﹣OA﹣OD＝2， 由题可知DD'＝2|m|， ∴S△BDD'＝BD•DD'＝3， 即2|m|＝3， ∴m＝±； （3）如图，连接BQ、AP， 则∠CBE＝2∠ABC＝60°，CE＝CE，∠CDA＝∠CAD＝60°， ∴△BCE、△ACD都是等边三角形， ∵∠OCD＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∴CD垂直平分BE， ∴QB＝QE， ∴点A和点D关于x轴对称， ∴PD＝PA， ∴DP+PQ+QE＝AP+PQ+QB≥AB＝4，当且仅当点A、P、Q、B依次共线时取等， 故DP+PQ+QE的最小值为4． 【点评】本题主要考查了含有30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（1）解不等式组：，并写出所有的非负整数解； （2）解分式方程； （3）化简：，并在﹣2，1，3三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值． 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）两边都乘以2（x﹣2），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，继而检验即可得出答案； （3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由2x﹣≤1，得：x≥﹣3， 由5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜2； （2）两边都乘以2（x﹣2），得：2（5﹣x）﹣6＝2x﹣4， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，2（x﹣2）＝0， ∴原分式方程无解； （3）原式＝（+）÷ ＝÷ ＝• ＝， ∵a+2≠0且a﹣1≠0， ∴a≠﹣2且a≠1， ∴a＝3， 则原式＝＝2． 【点评】本题考查的是解分式方程、一元一次不等式组及分式的化简求值，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则和分式的混合运算顺序及其运算法则是解答此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/17 7:54:30；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $