精品解析：福建省漳州市平和县2025-2026学年下学期初中毕业班学情诊断试题 九年级数学科

2025-2026学年下学期初中毕业班学情诊断试题九年级数学科 （考试时间：120分钟，满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求． 1. 的相反数是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 漳州市全力加速推进漳汕高铁等重点项目的建设，1-3月推进省级季度新开工项目127个，总投资387亿元，年度计划投资为52.9亿元，较原计划开工数量增加33个．数据中387亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9. 福建省城市足球联赛在福州开幕．第1轮5场比赛结束后某校兴趣小组统计七年级三个班级所有同学在比赛期间的平均观看时间，结果如下表所示： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 2 1 0.6 通过计算得到三个班级平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（ ） A. 45人、35人、46人 B. 44人、36人、40人 C. 40人、40人、40人 D. 34人、44人、46人 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论a为何值， D. 无论a为何值， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式2x＋3＞1的解集为______． 12. 等边中，点D是中点，，垂足为E．若，则的值为______． 13. 某校开展“宪法宣传周”系列教育活动后，进行测评，随机抽取6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名学生成绩的中位数为______分． 14. 已知，，，都在二次函数的图象上，当时，．若，则的取值范围是________． 15. 如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 16. 在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大； ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，菱形的对角线交于点O，过点O的直线分别与的延长线交于点E，F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某汽车杂志为了解甲、乙两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取10辆进行了续航里程实测，部分结果如表所示（续航里程用x（单位：公里）表示）： 甲 1 4 4 1 乙 1 2 注：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫作这个小组的组中值，用组中值计算平均数（例如，其组中值为 ）． 请根据表格中提供的信息，解答下面的问题： （1）求甲款纯电动汽车的平均实际续航里程； （2）某人认为：“乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数大于甲款纯电动汽车，则乙款纯电动汽车的平均实际续航里程一定大于甲款纯电动汽车”你认为他的说法正确吗？请说明理由． 21. 如图，已知和射线，，． （1）在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图条件下，若，求证：． 22. 在矩形中，，为上一点，且，射线，垂足为． （1）求作矩形，使得点落在射线上且恰好经过点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，为的中点，求的长． 23. 二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． （1）求a，b应满足的数量关系； （2）已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 24. 综合实践探究：圆柱体商品的长方体包装箱最优化设计． 【任务1】当圆柱体商品单层排列时，探究使长方体包装箱表面积最小的排列方式． （1）已知某种圆柱体商品底面半径，高，规格为10个/箱．图为10个圆柱体商品按2×5方式的单层齐排列和单层错排列的底面示意图，分别计算它们的包装箱表面积，并指出哪种排列方式的包装箱表面积最小？（参考数据：） （2）若某种圆柱体商品底面半径为r，高为h，规格为n个/箱，什么样的包装箱可以使单层齐排列圆柱体商品时，对应长方体包装箱的表面积最小？ 【任务2】当圆柱体商品多层齐排列时，探究使长方体包装箱表面积最小的排列方式． （3）当某种圆柱体商品底面半径为r，高为，规格为n个/箱时，直接写出如何多层齐排列圆柱体商品可以使对应长方体包装箱的表面积最小？ 25. 如图，在中，P，Q分别是半径及其延长线上的点，交于点B，且，连接． （1）如图1，求证：为的切线； （2）如图2，是经过点P的弦． ①求证：； ②连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期初中毕业班学情诊断试题九年级数学科 （考试时间：120分钟，满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求． 1. 的相反数是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算的值，再根据相反数的定义得到结果，即可选出正确选项． 【详解】解：∵根据零指数幂法则，任何不等于0的数的0次幂都等于1， ∴， 又∵只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是， ∴的相反数是． 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有意义， ∴， 解不等式得 ． 3. 漳州市全力加速推进漳汕高铁等重点项目的建设，1-3月推进省级季度新开工项目127个，总投资387亿元，年度计划投资为52.9亿元，较原计划开工数量增加33个．数据中387亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据中387亿用科学记数法表示为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式幂运算的基本法则，需要根据同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法的法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质，得的度数，由，利用三角形外角的性质，即可计算出的度数． 【详解】由题可得， ， ， ， ． 6. 2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算从10支球队中随机抽取2支的所有可能情况数，再得到第三轮中符合条件的对阵情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵从10支球队中随机选2支，总的情况数为 种， 又∵第三轮共有5对对阵，符合条件的情况数为5种， ∴所求概率 ． 7. 2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】基数为2024年投诉数量，现量为2025年投诉数量，利用“现量基数(增长率)”的关系列方程． 【详解】解：∵设2024年福建省消协组织受理投诉的数量为万件， ∴2025年受理投诉的数量为万件． 又∵已知2025年受理投诉的数量为万件， ∴可列方程． 8. 已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 9. 福建省城市足球联赛在福州开幕．第1轮5场比赛结束后某校兴趣小组统计七年级三个班级所有同学在比赛期间的平均观看时间，结果如下表所示： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 2 1 0.6 通过计算得到三个班级平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（ ） A. 45人、35人、46人 B. 44人、36人、40人 C. 40人、40人、40人 D. 34人、44人、46人 【答案】C 【解析】 【分析】设三个班级人数分别为，根据加权平均数公式列方程化简，再代入选项验证即可得到答案． 【详解】设1班人数为，2班人数为，3班人数为， 根据题意得， 化简得：， 依次代入选项验证： A选项：左边 ，右边 ， ，不成立； B选项：左边 ，右边 ， ，不成立； C选项：左边，右边 ，等式成立，符合要求； D选项：左边 ，右边 ， ，不成立； 故选：C． 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论a为何值， D. 无论a为何值， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式2x＋3＞1的解集为______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据不等式的解法即可． 【详解】解：∵2x＋3＞1 移项得：2x＞-2 化系数为1得：x＞-1 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题，解题的关键是熟知一元一次不等式的基本解法． 12. 等边中，点D是中点，，垂足为E．若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作于点H，证明得，则，再根据等腰三角形三线合一的性质得，则，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵点D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 某校开展“宪法宣传周”系列教育活动后，进行测评，随机抽取6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名学生成绩的中位数为______分． 【答案】 【解析】 【分析】从折线统计图中提取6名学生的成绩数据．取排序后第3和第4个数据，计算它们的平均数，该平均数就是中位数． 【详解】解：将这6名学生的测试成绩（分）按照从小到大的顺序排列为80，85，90，90，95，100，第3个数和第4个数均为90， 故中位数为（分）． 14. 已知，，，都在二次函数的图象上，当时，．若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得二次函数开口向下，利用二次函数的增减性解答即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握增减性是解题的关键． 【详解】解：二次函数可化为， 故抛物线的对称轴为， 由时，，可知离对称轴越远函数值越小， 故抛物线开口向下，即， 由，得， 整理，得， 当时，恒成立； 当时，，解得， 当时，，无解， 故的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由矩形及反比例函数的轴对称性可得，A，B两点关于直线对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为． 16. 在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大； ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度；当或360时，与在同一方向上，此时，当时，与在相反方向上，此时，其余情况时，；③如若小船沿正北方向行进，此时． 【详解】解：①如图①，当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度，故①正确； ②∵， ∴当或时，与在同一方向上，此时， 当时，与在相反方向上，此时， 其余情况时，， 综上所述，，故②不正确； ③如图②，若小船沿正北方向行进，此时， 则，故③正确；综上所述，①③正确． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，菱形的对角线交于点O，过点O的直线分别与的延长线交于点E，F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由菱形的性质得到，，进而证明，即可证明． 【详解】证明：略． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 某汽车杂志为了解甲、乙两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取10辆进行了续航里程实测，部分结果如表所示（续航里程用x（单位：公里）表示）： 甲 1 4 4 1 乙 1 2 注：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫作这个小组的组中值，用组中值计算平均数（例如，其组中值为 ）． 请根据表格中提供的信息，解答下面的问题： （1）求甲款纯电动汽车的平均实际续航里程； （2）某人认为：“乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数大于甲款纯电动汽车，则乙款纯电动汽车的平均实际续航里程一定大于甲款纯电动汽车”你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）公里． （2）解：说法不正确．理由如下： 当乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数为， ∴乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数是， ∴乙款纯电动汽车的平均实际续航里程为： （公里）； ∵， ∴某人说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法结合组中值的含义求解即可； （2）举例：当乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数为，可得乙款纯电动汽车的实际续航里程在中的频数是，再求解平均数并比较大小即可． 【小问1详解】 解：甲款纯电动汽车的平均实际续航里程为： （公里）； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知和射线，，． （1）在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图条件下，若，求证：． 【答案】（1） 解：如图①，点E即为所求作； （2） 证明：如图②，过点B作交的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接交于点H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长，作出，与的交点即为点E； （2）过点B作交的延长线于点F，推导出为等腰直角三角形，得到，，连接交于点H，推导出垂直平分，得到，继而推导出，得到，则，得到，可推导出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图①， 理由如下：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 22. 在矩形中，，为上一点，且，射线，垂足为． （1）求作矩形，使得点落在射线上且恰好经过点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，为的中点，求的长． 【答案】（1）如图，四边形即为所作的矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线交于点，在垂线上截取，连接交于点，则四边形即为所作的矩形； （2）证明，利用相似三角形的性质求得，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ，，， ， 为的中点， ， 四边形是矩形； ，， ， ， ，， ， ，即， 设，则， ， 解得或， ， ， ， ，， ， ，即， ， ． 23. 二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． （1）求a，b应满足的数量关系； （2）已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 【答案】（1） （2）①； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 【解析】 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； 【小问2详解】 解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②略 24. 综合实践探究：圆柱体商品的长方体包装箱最优化设计． 【任务1】当圆柱体商品单层排列时，探究使长方体包装箱表面积最小的排列方式． （1）已知某种圆柱体商品底面半径，高，规格为10个/箱．图为10个圆柱体商品按2×5方式的单层齐排列和单层错排列的底面示意图，分别计算它们的包装箱表面积，并指出哪种排列方式的包装箱表面积最小？（参考数据：） （2）若某种圆柱体商品底面半径为r，高为h，规格为n个/箱，什么样的包装箱可以使单层齐排列圆柱体商品时，对应长方体包装箱的表面积最小？ 【任务2】当圆柱体商品多层齐排列时，探究使长方体包装箱表面积最小的排列方式． （3）当某种圆柱体商品底面半径为r，高为，规格为n个/箱时，直接写出如何多层齐排列圆柱体商品可以使对应长方体包装箱的表面积最小？ 【答案】（1）单层齐排列方式的表面积为；单层错排列方式的表面积为；单层齐排列方式的包装箱表面积最小 （2）底面长等于宽，且刚好以单层齐排列方式能放满圆柱体商品时，可以使对应长方体包装箱的表面积最小； （3）要使得对应长方体包装箱的表面积最小，多层齐排列的长宽高尽可能相等． 【解析】 【分析】（1）分别计算单层齐排列方式和单层错排列方式的包装箱表面积即可求解； （2）计算单层齐排列方式的包装箱表面积，通过变形利用不等式的性质求解即可； （3）利用（2）的结论即可得解． 【小问1详解】 解：单层齐排列方式：圆柱体底面直径为， 长方体包装箱：长为，宽为，高为， ∴表面积为； 单层错排列方式：圆柱体底面直径为， 两行圆心呈等边三角形分布， 行间距 长方体包装箱：长为，宽为，高为， ∴表面积为； ， ∴单层齐排列方式的包装箱表面积最小； 【小问2详解】 解：由题可知，n个圆柱体按方式的单层齐排列时，即，(x表示行数，y表示列数) ， 长方体包装箱的长为，宽为，高为， 其表面积为 ， ∴当时，表面积最小，则， ∵， ∴当时，长方体包装箱的表面积最小； 即底面长等于宽，且刚好以单层齐排列方式能放满圆柱体商品时，可以使对应长方体包装箱的表面积最小； 【小问3详解】 解：要使得对应长方体包装箱的表面积最小，多层齐排列的长宽高尽可能相等． 25. 如图，在中，P，Q分别是半径及其延长线上的点，交于点B，且，连接． （1）如图1，求证：为的切线； （2）如图2，是经过点P的弦． ①求证：； ②连接．求证：． 【答案】（1）证明：连接， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）①证明：延长交于点，连接，，设的半径为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②证明：过点作直径，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，求得，即，据此即可证明为的切线； （2）①延长交于点，连接，，设的半径为，证明，推出，再等量代换即可证明结论成立； ②过点作直径，连接，利用圆周角定理和切线的性质，结合等角的余角相等即可证明结论成立． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ①证明：略； ②证明：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $