精品解析：福建省福州立志中学2025-2026学年下学期二检模拟适应性训练 九年级数学试卷

福州立志中学2025-2026学年下学期二检模拟适应性训练 初三数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键．根据无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．3.14不是无理数，不符合题意； B．不是无理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．不是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ）． A. 的倍 B. 与的积 C. 个相加的和 D. 个相乘 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 3. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（    ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【详解】解：俄罗斯稀土储量为1000万吨吨吨， ∵中国稀土储量是俄罗斯的4.4倍， ∴中国稀土储量为吨． 4. 如图所示的几何体从前面看到的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不同方向看几何体，根据从前面看到的图形，即可得到答案． 【详解】根据题意，从前面看到的几何体的形状是： 故选：A． 5. 每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机抽样，解题的关键是熟练掌握随机抽样的定义：为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．据此分析即可． 【详解】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意． B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意； C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意． D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意； 故选：B． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式加法、积的乘方、多项式乘法、完全平方公式的基础运算，逐一根据对应运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，运算结果正确，故C正确； D、，故D错误． 7. 下列图形标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解:、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故选：A． 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组 10. 已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点、，是二次函数图象上的两个点， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ∴ 解得：， 只有2符合题意， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 12. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度________度． 【答案】25 【解析】 【分析】设与相交于点，利用平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集为得，求解即可. 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：； 故答案为：. 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 15. 在一列数1，8，，4，9，4，11中，众数是4，平均数是7，中位数是8，则数的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数等知识，根据算术平均数为7列出关于x的方程，求出的值，再代入检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：由题意知：， 解得， 检验：将代入，该组数据为1，8，12，4，9，4，11， 将其从小到大排列为1，4，4，8，9，11，12，其中位数为8，众数为4，符合题意； 故答案为：12． 16. 如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角结合勾股定理求出的长，进而得出半径的长，再根据垂径定理和勾股定理计算得出的长度，由此判断点的运动轨迹，故可得出的最小值． 【详解】解：如图所示，连接， 为的直径， ， 在中，由勾股定理可得，  ，  为的中点，，  ，， 在中，由勾股定理可得，  点在以为圆心，半径为的圆上， 当点运动到线段上时，取最小值， 的最小值为． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，四边形的对角线，相交于点E，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角边角判定是解题的关键． 根据题目信息可推得，从而得出，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ． 19. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值知识点，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，对原式进行正确化简，并注意分式有意义的条件． 先对原式括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后根据分式分母不为零的条件选取合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 在化简过程中出现在分母中的因式， 有、、， ，，， ，，， 当时，原式． 20. 在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个． （1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； （2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得分，问小聪有哪几种摸法，并写出作答过程．（所得结论的格式为；红球摸*次，黄球摸*次，蓝球摸*次） 【答案】（1） （2）小聪共有两种摸法：红球摸0次，黄球摸3次，蓝球摸3次或 红球摸1次，黄球摸1次，蓝球摸4次． 【解析】 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式求解； （2）根据题意列出二元一次方程组，找到符合题意的解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有种可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种可能的结果， ． 【小问2详解】 解：设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有次． 由题意得： ， 即． ． ∵x，y，均为自然数， ∴当时，， ； 当时， ， ； 当时， ，不符合题意． 小聪共有两种摸法：红球摸0次，黄球摸3次，蓝球摸3次或 红球摸1次，黄球摸1次，蓝球摸4次． 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 22. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23. 已知二次函数（为常数，）． （1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； （2）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式判断根的个数，先计算判别式，再结合条件，判断，从而证明方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个公共点； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴和顶点，当时，令顶点在轴下方，且区间端点、处的函数值均大于，列不等式组求解；当时，令顶点在轴上方，且区间端点、处的函数值均小于 ，列不等式组求解，最后合并两种情况，得到最终结果． 【小问1详解】 证明：根据题意可知，， ， ，， ， 故该函数的图象与轴有两个公共点． 【小问2详解】 解：，可知该抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 当，抛物线开口向上，若，则抛物线的顶点在轴下方，当和时，， ， 解得； 当，抛物线开口向下，若，则抛物线的顶点在轴上方，当和时，， ， 解得， 综上，的取值范围是或． 24. 某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； （2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】（1）米 （2） （3）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 25. 如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）在（2）的条件下，如图，若平分交于点，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例，方程思想与几何图形结合等知识点． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，继而得证结论． （2）设，根据勾股定理建立关于的一元二次方程，得到． （3）过点作于点，过点作于点，延长交于点，通过证明均为等腰直角三角形，设，根据勾股定理得到关于的等式 ，继而根据等面积法得到，代入上式得到，继而得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设，则， ∵， ∴ ， ∵，即， ∴在中，， ∴，解得：或（不合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵在中，，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴即，解得：， ∴在中，， ∵， ∴ ， ∴，代入 ，得：， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州立志中学2025-2026学年下学期二检模拟适应性训练 初三数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ）． A. 的倍 B. 与的积 C. 个相加的和 D. 个相乘 3. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（    ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 4. 如图所示的几何体从前面看到的形状是（ ） A. B. C. D. 5. 每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 10. 已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个正五边形的外角和为________． 12. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度________度． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 15. 在一列数1，8，，4，9，4，11中，众数是4，平均数是7，中位数是8，则数的值是______． 16. 如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，四边形的对角线，相交于点E，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 20. 在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个． （1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； （2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得分，问小聪有哪几种摸法，并写出作答过程．（所得结论的格式为；红球摸*次，黄球摸*次，蓝球摸*次） 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 23. 已知二次函数（为常数，）． （1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； （2）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 24. 某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； （2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 25. 如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）在（2）的条件下，如图，若平分交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $