上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 满分：100分完成时间：90分钟命题人：高二数学命题组 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1.已知i为虚数单位，则 2 -i 2.函数y=3sin(2x+乃)的最小正周期为 3.已知点A(2,3)、BQ,-1),若点P满足AP=3AB,则点P的坐标为 4.已知两点M(-3,4)、N(0,),则向量MN的单位向量的坐标为 5.设0≤0<元，且y=cos(x+)为奇函螟，则日= 6.已知a.3是两个非零肉量，且同=l=日-，则a与a+6的夹角为， 7.若直线x=二是函数f)=5sin(ox+p(@>0)的一条对称轴，则f(爱=】 6 8.函数y=sin(2x+在区间(0，上的值域是 9,已知非笔向量云5，c满足问=，c=之a.若c为5在ā上的投影向量， D 则向量，b夹角的大小为 10.如图，在矩形ABCD中，AB=V2,BC=2,点E为BC的中点， 点F在边CD上，若AB·AF=√2，则AE,BF的值是 11.已知函数fx)=V3sin2x+cos2x.若存在4，l2∈[-π，2，使得f(4)f(2)=-4,则-12的 最大值为 2,x>0 2.已知函数f(x)= 0,x=0,a、方、c为三个不同的平面向量，且同=l=日=3.若 -2,x<0 f(ab)+f(6·)+f(ca)=0,则a+6+d+a-5dad的取值范围是 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13.设乙、z2∈C,则“乙1、2中至少有一个虚数”是“3-22为虚数”的( A,充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.下列四个函数中，以π为最小正周期 且在区间(0，)上单调递减的是( A.y'os .ycos y=sinx 15.已知/=si血(x+孕、86)=cos(x-受.则下列结论中正的是（) A.函数y=∫(x)g()的最小正周期为2π D函数y=f(x)g(x)的最大值为1 C.将y=似)的图像向左平移二单位后得y=g似)的图像 2 D.将y=∫问的图像向左平移3亚单位后得y=g)的图像 16、如图所示，O为线段442外一点，若，4，少，4，…，4s中任意相邻两点间的距离相等， OA=a,OAo=b,则用ā，b表示0A+0A+0A++O425, 其结果为() A.2025(a+b) B.2026(a+6) A2025 C.1012(a+b) D.1013(a+b) 三.解答题（本大题共5题，满分52分） A3A2A1 ☑.（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分） 已知k为实数，向量ā=(k,-3),b=(6,3-k). (1)若∥b,求k的值： (2)若ā⊥6，求2ā-的值. 18.(本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分) 已知z是复数，若z+i是实数， 是纯虚数，其中1为虚数单位、 1+i (1)求复数z: (2)设复数z,2在复平面内所对应的向量分别是m,,若向量1m+n与m-2n的夹角为纯角， 求实数入的取值范围. 2 19.(本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分) 某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆孤MPN(P为此圆弧的中点)和直 径N构成，已知圆O的半径为1壬米.为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其 中荷花池观景区的形状为矩形ABCD:喷泉观景区的形状为△CDP.要求端点A、B均在直径N 上，端点C、D均在圆孤MPN上.设∠CON=9(0<0<兮。 (1)试用B分别表示矩形ABCD和△CDP的面积： 若在矩形ABCD两侧线段AD、BC的位置架起两座观景桥，已知建逃债花池的总费用为0 万元，建避观桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方干米 6万元.问：当日为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值 0 20.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分) 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点（包含端点），且OP=xOA+yOB, (1)若AP=PB,求x、y的值： (2)若P=3PB,OA=4,D丽=2，且0A与0B的灰角为60°，求0PAB的值： (3)若P=1AB,可A=4,0成=2，且OA与0B的夹角为90°，求PA:PB的取值范围. 21.(本题满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分) 设向量n=(a,b),函数f(x)=asin(oox)+bcos(awx),则称函数y=f(x)为向量n的友好函数，称 向量n为函数y=f(x)的友好向量， (1)设w=1,且函数y=fx)的友好向量为n=(1,-V3),求y=fx)的单调增区间： (2)设ω>0，函数y=fx)的友好向量为n=0,V5),且y=fx)的最小正周期为元，若y=fx) 在x∈[π，a上怡有5个零点，求实数a的取值范围： (35如果函数F(x)的定义域为D,若对于任意a,b,ceD,F(a),F(b),F(c)分别为某个三角形的 边长，则称F(x)为“三角形函数”.现已知)=3，且函数y=fx)的友好向量为n=Q,0),记 )=m对x+爱+m+1,当定义续为[0，孕时，)为“三角形酒数，求实数m的取值范国。