第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合科技前沿（如研发资金增长）、文化传承（如《四元玉鉴》题）及社会热点（如文创销售）情境，全面考查方程定义、解法、应用及根的判别式等核心知识，适配单元复习目标，培养数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程定义、根、判别式、应用|结合科技增长（第7题）、文化典籍（第10题）考查概念辨析| |填空题|5/15|一般形式、解方程、构造方程、几何应用|第13题开放构造方程，第15题结合几何翻折考查建模| |解答题|10/77|解法、根与系数关系、应用题、新定义、几何综合|23题文创销售（社会热点）、24题理想方程（创新定义）、25题动态几何（空间观念），梯度分明|

第二十五章一元二次方程单元测试卷（含答案） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 2．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时， ，该选项不符合题意； B、当时， ，该选项符合题意； C、当时， ，该选项不符合题意； D、当时， ，该选项不符合题意． 故选：B． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若是一元二次方程的两根，则，，求出和的值后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：由题意得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意可知：且， 且 6．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 7．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 8．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 9．如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到数量关系是解题的关键．根据题意列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 解得， 故选：A． 10．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 12．方程的解是______． 【答案】， 【分析】将原方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程为， 可得或， 解得，． 13．写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可． 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为，可设另一根为， 则方程为，展开得， 取，得， 故答案为：（答案不唯一）． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 15．如图，的顶点都在坐标轴上，且，将沿着翻折，点的对应点恰好落在轴的负半轴上．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】设交y轴于点E，连接，由翻折知，可得，得，得，设，则， ，由勾股定理得，解得， 即得B点坐标为． 【详解】解：设交y轴于点E，连接， 由翻折知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），或． ∴B点坐标为． 三、解答题（一）（每题6分，共18分） 16．解方程： 【答案】， 【详解】解： 或 ∴， 17．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根为5 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）根据根与系数的关系得出的取值范围； （2）把代入方程得出的值，再解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， ， 的取值范围； （2）把代入得， 解得：， 方程的两根为，， 综上所述，，另一个根为5． 18．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 四、解答题（二）（每题7分，共28分） 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 20．如图，在中，于D，于E，与相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）由（1）可得，，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 21．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______ ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即． 22．学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． (1)若矩形生物园的面积是，求边的长； (2)矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 由（1）可知：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形生物园的面积不能达到． 【分析】（1）设边的长为，则有，由题意得，然后进行求解即可； （2）由（1）可得方程，然后整理化简，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：设边的长为，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：边的长为． （2）略 五、解答题（三）（第23题9分，第24题10分，第25题10分，共29分） 23．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 24．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 25．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 6．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 9．如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 10．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 12．方程的解是______． 13．写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 15．如图，的顶点都在坐标轴上，且，将沿着翻折，点的对应点恰好落在轴的负半轴上．若，则点的坐标为_____． 三、解答题（一）（每题6分，共18分） 16．解方程： 17．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根． 18．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 四、解答题（二）（每题7分，共28分） 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．如图，在中，于D，于E，与相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 21．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______ ． 22．学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． (1)若矩形生物园的面积是，求边的长； (2)矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 五、解答题（三）（第23题9分，第24题10分，第25题10分，共29分） 23．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 24．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 25．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $