第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第二十五章一元二次方程单元卷，全面覆盖定义、解法及应用，梯度设计合理，融合数学抽象、运算推理与模型应用素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|定义（1题）、解法（3、6题）、根的判别式（4题）|基础巩固，辨析易混点| |填空题|6/24|一般形式（13题）、根与系数关系（17题）、几何应用（15题）|能力提升，结合几何情境| |解答题|7/90|方程求解（19题）、利润问题（24题）、“友好方程”创新题（25题）|综合应用，体现模型意识与创新思维|

第二十五章 单元测试 (班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋3＝ C．2y－x＝1 D．x2＝2x－1 2．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ） A．3x＋1＝0 B．x2＋3＝0 C．3x2＋6x＝1 D．3x2＋1＝0 3．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为（ ） A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5 C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝5 4．一元二次方程4x2－4x＋1＝0根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．已知a，b是一元二次方程x2＋x－3＝0的两根，则a＋b－2ab的值为（ ） A．7 B．－5 C．－7 D．5 6．下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（ ） A．x2＋11x－10＝0 B．x2－x－1＝0 C．x2－3＋2＝0 D．x2＝x 7．已知关于x的方程x2＋3x－a＝0有一个根是x1＝1，则a的值为（ ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 8．用公式法解方程4x2＋12x＋3＝0，得（ ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为（ ） A．3 B．4 C．3或4 D．7 10．某聊天群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息 1 980 条，则可列方程为（ ） A.x(x－1)＝1 980 B.x(x＋1)＝1 980 C．x(x－1)＝1 980 D．x(x＋1)＝1 980 11．对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a＋b2，例如3※2＝3＋22＝7，则关于x的方程x※(x＋1)＝5的解是（ ） A．x＝－4 B．x＝－1 C．x1＝－1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 12. 如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5 cm2，则它移动的距离AA′为（ ） A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．将方程x(x－1)＝3化成一元二次方程的一般形式为________． 14．关于x的方程x2＋k＝0有两个不等的实数根，则k的值可以为_____________． 15．如图，在一个长为40 m，宽为26 m的矩形花园中修建小道(图中阴影部分)，其中AB＝CD＝EF＝GH＝x m，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864 m2，那么x＝_________． 第15题图 16．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2－2x＝0的解x时，则输出结果y＝___________. 第16题图 17．小超同学在解关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0时误将－5x看成＋5x，结果解得x1＝1，x2＝－6，则原方程的解为_________________． 18．已知实数a，b分别满足a＝a2＋和 b2＝3b－1，那么＋的值是_______________． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)解下列方程： (1)x2－2x－8＝0； (2)x(x－1)＋2(x－1)＝0； (3)(3x－2)(3x＋2)＝12； (4)x2＋2x－4＝0. 20．(11分)已知m，n是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根，求下列代数式的值： (1)(m－n)2；(2)＋. 21．(11分)受各方面因素的影响，最近两年某地平均房价由10 000元/m2，下降到 8 100元/m2，如果在这两年里，年平均下降率相同． (1)求年平均下降率； (2)按照这个年平均下降率，预计下一年的房价． 22．(12分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个不等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为α，β，且α2＋β2＝1，求m的值． 23.(13分)列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件，甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1 500个零件，求m的值． 24.(14分)某服装店销售某种T恤，根据销售经验，每件的售价x(单位：元)与每天销量y(单位：件)有如表关系： 每件售价x/元 70 69 68 67 … 40 每天销量y/件 20 22 24 26 … 80 已知y与x之间的函数关系是一次函数． (1)求y与x的函数解析式； (2)此种T恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此T恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此T恤销售价格在(2)的条件下下降了m%，同时此T恤的进货成本下降了20%，销售量也因此比原来上涨了2m%(m＜100)，8月份(按31天计算)降价销售的16天(8月16日至31日)所获总盈利，比降价前的15天(8月1日至15日)的总盈利多2 336元，求m的值． 25.(15分)定义：关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的“友好”方程．例如：－2x2－x＋1＝0是x2－x－2＝0的“友好”方程． (1)【概念感知】 2x2－3x－2＝0的“友好”方程是 ____________； (2)【问题探究】 若关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)【拓展提升】 关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的解为x1，x2(x1≠±1，x2≠±1，)，且x1，x2也是其“友好”方程的解，求a，c之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 单元测试 (班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ D ） A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋3＝ C．2y－x＝1 D．x2＝2x－1 2．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ D ） A．3x＋1＝0 B．x2＋3＝0 C．3x2＋6x＝1 D．3x2＋1＝0 3．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为（ D ） A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5 C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝5 4．一元二次方程4x2－4x＋1＝0根的情况是（ A ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．已知a，b是一元二次方程x2＋x－3＝0的两根，则a＋b－2ab的值为（ D ） A．7 B．－5 C．－7 D．5 6．下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（ D ） A．x2＋11x－10＝0 B．x2－x－1＝0 C．x2－3＋2＝0 D．x2＝x 7．已知关于x的方程x2＋3x－a＝0有一个根是x1＝1，则a的值为（ D ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 8．用公式法解方程4x2＋12x＋3＝0，得（ A ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为（ C ） A．3 B．4 C．3或4 D．7 10．某聊天群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息 1 980 条，则可列方程为（ C ） A.x(x－1)＝1 980 B.x(x＋1)＝1 980 C．x(x－1)＝1 980 D．x(x＋1)＝1 980 11．对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a＋b2，例如3※2＝3＋22＝7，则关于x的方程x※(x＋1)＝5的解是（ D ） A．x＝－4 B．x＝－1 C．x1＝－1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 12. 如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5 cm2，则它移动的距离AA′为（ D ） A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．将方程x(x－1)＝3化成一元二次方程的一般形式为__x2－x－3＝0__． 14．关于x的方程x2＋k＝0有两个不等的实数根，则k的值可以为__－1(答案不唯一)__． 15．如图，在一个长为40 m，宽为26 m的矩形花园中修建小道(图中阴影部分)，其中AB＝CD＝EF＝GH＝x m，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864 m2，那么x＝__2__． 第15题图 16．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2－2x＝0的解x时，则输出结果y＝－4或2. 第16题图 17．小超同学在解关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0时误将－5x看成＋5x，结果解得x1＝1，x2＝－6，则原方程的解为__x1＝6，x2＝－1__． 18．已知实数a，b分别满足a＝a2＋和 b2＝3b－1，那么＋的值是__2或16__． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)解下列方程： (1)x2－2x－8＝0； 解：x2－2x＋1＝9， 则(x－1)2＝9， 解得x1＝－2，x2＝4. (2)x(x－1)＋2(x－1)＝0； 解：(x－1)(x＋2)＝0， 则x－1＝0或x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. (3)(3x－2)(3x＋2)＝12； 解：(3x)2－22＝12， ∴9x2＝16.∴x2＝，∴x＝±. ∴x1＝，x2＝－. (4)x2＋2x－4＝0. 解：∵Δ＝(2)2－4×1×(－4)＝36. ∴x＝＝＝－±3. ∴x1＝－＋3，x2＝－－3. 20．(11分)已知m，n是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根，求下列代数式的值： (1)(m－n)2；(2)＋. 解：∵m，n是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝3，mn＝－1. (1)原式＝(m＋n)2－4mn＝32－4×(－1)＝13. (2)原式＝＝＝＝－11. 21．(11分)受各方面因素的影响，最近两年某地平均房价由10 000元/m2，下降到 8 100元/m2，如果在这两年里，年平均下降率相同． (1)求年平均下降率； (2)按照这个年平均下降率，预计下一年的房价． 解：(1)设年平均下降率为x，根据题意，得10 000(1－x)2＝8 100. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9＝190%(不合题意，舍去)． 答：年平均下降率为10%. (2)8 100×(1－10%)＝7 290(元)． 答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米7 290元． 22．(12分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个不等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为α，β，且α2＋β2＝1，求m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4m2>0，即－4m＋1>0，解得m<. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m－1)，αβ＝m2， ∵α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝1，∴[－(2m－1)]2－2m2＝1， ∴2m2－4m＝0，∴2m(m－2)＝0， ∴2m＝0或m－2＝0，解得m1＝0，m2＝2， ∵m<，∴m的值为0. 23.(13分)列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件，甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1 500个零件，求m的值． 解：(1)设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产(x－10)个零件，根据题意得 ＝，解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，此时x－10＝50. 答：甲每小时生产60个零件，乙每小时生产50个零件． (2)更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60＋60×5m%＝60＋3m，乙每小时生产(50＋m)个零件，根据题意得 (60＋3m＋50＋m)m＝1 500， 整理得2m2＋55m－750＝0，解得m1＝10，m2＝－(舍去)， 即m的值为10. 24.(14分)某服装店销售某种T恤，根据销售经验，每件的售价x(单位：元)与每天销量y(单位：件)有如表关系： 每件售价x/元 70 69 68 67 … 40 每天销量y/件 20 22 24 26 … 80 已知y与x之间的函数关系是一次函数． (1)求y与x的函数解析式； (2)此种T恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此T恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此T恤销售价格在(2)的条件下下降了m%，同时此T恤的进货成本下降了20%，销售量也因此比原来上涨了2m%(m＜100)，8月份(按31天计算)降价销售的16天(8月16日至31日)所获总盈利，比降价前的15天(8月1日至15日)的总盈利多2 336元，求m的值． 解：(1)设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将(70，20)，(69，22)代入得 解得 ∴y与x的函数解析式为y＝－2x＋160. (2)根据题意得(－2x＋160)(x－30)＝800， 解得x1＝40，x2＝70， 又∵要使顾客获得实惠， ∴x＝40. 答：每件售价是40元． (3)在(2)的条件下，售价为40元时，销售量y＝－2×40＋160＝80件，每天盈利800元． 根据题意得16×[40(1－m%)－24]×80(1＋2m%)＝15×800＋2 336， 整理得m2＋10m－600＝0， 解得m1＝20，m2＝－30(不符合题意，舍去)． 答：m的值为20. 25.(15分)定义：关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的“友好”方程．例如：－2x2－x＋1＝0是x2－x－2＝0的“友好”方程． (1)【概念感知】 2x2－3x－2＝0的“友好”方程是 －2x2－3x＋2＝0； (2)【问题探究】 若关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)【拓展提升】 关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的解为x1，x2(x1≠±1，x2≠±1，)，且x1，x2也是其“友好”方程的解，求a，c之间的数量关系． 解：(2)是．证明：把x＝3代入方程cx2＋bx＋a＝0，得 9c＋3b＋a＝0，即a＋3b＋9c＝0， ∵关于x的一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的“友好”方程为 ax2＋bx＋c＝0，把x＝代入ax2＋bx＋c＝0，得 a＋b＋c＝0，即a＋3b＋9c＝0， ∴x＝是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解． (3)∵方程cx2＋bx＋a＝0的解为x1，x2， ∴x1＋x2＝－ ， ∵x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的解， ∴x1＋x2＝－，∴－＝－ ， 解得a＝c，即a，c之间的数量关系为a＝c. 学科网（北京）股份有限公司 $