命卷大赛 2026年福建省高考数学学科自编模拟卷

**基本信息** 原创试题占比高，聚焦数学眼光、思维与语言，覆盖集合、复数、概率等主干知识，通过水果店销售数据、足球联赛等真实情境，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、向量等基础|原创题占比超50%，如第4题用销售数据考查四分位数，体现数据意识| |多选题|3/18|概率、抛物线等|第9题结合事件关系考查推理能力，分层设选项| |填空题|3/15|双曲线、数列|第13题以等差数列为载体，融合求和与新定义| |解答题|5/77|立体几何、椭圆、函数等|第19题以足球联赛为情境考查概率应用，第18题函数证明体现逻辑推理，综合度高|

2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B A C B C 1.【答案】A 解析：因为,，所以,故选A. 2.【答案】C 解析：由复数对应的点的坐标为，得，所以，所以对应的点在第三象限，故选C. 3.【答案】D 解析：因为,所以,故选D. 4.【答案】B 解析：将12天苹果的日销售量从小到大排序：55,74,75,81,81,85,87,91,95,99,101,104.由，可知水果店过去12天苹果日销售量的下四分位数为为第3,4项数据的平均数，即,故选B. 5.【答案】A 解析：因为,，则,直线的方程为：， 所以圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为，所以， 因为面积的最小值为4，所以，所以，故选A. 6.【答案】C 解析：， 因为，所以. 又因为对任意，都有， 所以，记， 因为，所以，故选C. 7.【答案】B 解析：由得，再由换底公式得，化简得， 同理可得，. 令函数，则上述方程的根为函数的图象与，，图象的交点的横坐标，由下图一易得根的大小关系. 故选B. 图一 8.【答案】C 解析：解法一：因为,所以是等边三角形，取中点，连接、，如图二所示.则，，所以为二面角的平面角，即， 设外接球的球心为,,的外接圆的圆心分别为、， 所以平面，平面，，， 所以在中，，外接球的半径， 所以. 在中，，，所以 因为为中点，,所以，， 所以，所以.故选C. 图二 图三 解法二：因为,所以是等边三角形，取中点，连接、， 则，，所以为二面角的平面角，即， 设外接球的球心为,,的外接圆的圆心分别为、， 所以平面，平面，，， 以为坐标原点，,分别为轴，轴正方向，过作垂直于底面的直线为轴，如上图三所示，则，，,， 所以，,且， 所以，即，所以外接球的半径， 下同解法一. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 BC ABC ABD 9.【答案】BC 解析：选项A:由，得，，故A错误； 选项B：因为事件，互斥，所以，故B正确； 选项C：由及韦恩图可得，由条件概率得：，故C正确； 选项D:因为，所以， 又，所以事件，不相互独立，故D错误. 故选BC. 10.【答案】ABC 选项A：由求导得，所以在点处斜率， 所以切线方程为，即，故A正确； 选项 B：设直线的方程为， 联立化简得， 所以，， 所以在，两点处切线的斜率之积为，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：因为轴，所以， 所以，故D错误； 故选ABC. 11.【答案】ABD 解析：解法一：选项A:由得，又，若，则，，归纳得，故A正确； 选项B：因为，，所以，所以数列为递增数列，故B正确； 选项C：，，，所以，而，所以，故C错误； 选项D: ，令，，在上单调递增，所以，故D正确. 故选ABD. 解法二：由得，又，若，则，，归纳得，故A正确； 因为，，所以，所以数列为递增数列，故B正确； ，令，，在上单调递增，所以，故D正确； ，累加得，代入得. 当时，，故C错误. 故选ABD. 3、 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 解析：因为焦距，，所以，所以渐近线方程为. 13．【答案】 解析：设等差数列的公差为，则解得， 所以，所以 . 所以 . 14．【答案】； 解析：令，， 则，，，所以， 所以，，， 故在上单调递增，因此. 四、解答题：5个小题，共77分。 15．（满分13分） 【答案】(1) （5分） 解法一：取中点，在上取点，使得，连接，，， ………………1分 在中，为中点，,，且， ………………………………………2分 在中，，同理可得，且， ………………………………………3分 所以，，故四边形为平行四边形，因此，………………………………4分 因为平面，平面，故平面. ………………………………………………5分 解法二：取中点,连接，， ……………………………………………………………………1分 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，故平面. ……………………………………………2分 在中，,所以， 因为平面，平面，故平面 ，……………………………………………3分 因为,且，平面，所以平面平面， ……………………………4分 又因为，故平面. …………………………………………………………………5分 (2) （8分） 解法一：平面，平面，故， 又，，，平面，所以平面， 所以. …………………………………………………………………………………………………6分 在中，,则， 在中，，……………………………………………………………………7分 所以,. ……………………………………………………………………………………8分 设点到平面的距离为， ，………………………………………………………………………9分 ，………………………………………………………………………………10分 利用等体积法， 解得. ……………………………………………………………………………………………………11分 设直线与平面所成角为，则， ………………………………………………12分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………………………………13分 解法二：平面，平面，故，………………………………………………6分 又，，，平面，所以平面，…………………………7分 因为平面，故平面，且两平面交线为， 过点作，垂足为，则平面，………………………………………………………8分 所以为直线与平面所成角. …………………………………………………………………9分 在中，，，， 由三角形面积等法：,代入得：，……………………10分 在中，,则，…………………………………………………11分 在中，，……………………………………………………………………12分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………………………………13分 解法三：取中点为坐标原点，,分别为轴，轴正方向，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 因为，，故为等腰直角三角形， 所以，……………………………………………………………6分 所以，且， ，，，， ………………………………………………7分 ，，.…………………………………………………8分 设平面的法向量为则 ………………………………………………………………………………9分 令解得，，所以平面一个法向量. ………………………………10分 设直线与平面所成角为， 则，…………………………………………………………12分 所以直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………13分 16．（满分15分） 【答案】(1) （7分） 解法一：证明：因为，由正弦定理得，…………………………………1分 因为在中，， 所以，……………………………………………………………2分 所以， ………………………………………………………………3分 即，……………………………………………………………………………………4分 故，………………………………………………………………………………………5分 由正弦定理得，…………………………………………………………………………………6分 所以.证毕．…………………………………………………………………………………………7分 解法二：证明：因为，由余弦定理得，……………………………………2分 化简得，即，………………………………………………………………………4分 由余弦弦定理推论得．……………………………………6分 所以.证毕．…………………………………………………………………………………………7分 解法三：证明：由正弦定理可知，要证， 即证，……………………………………………………………………………………………1分 即证， 因为在中，， 所以，……………………………………………………………2分 即证， 即证，…………………………………………………………………………………3分 即证. ……………………………………………………………………………………………4分 因为，由正弦定理得，……………………………………………………5分 所以， 即，故.………………………………………………………………6分 所以.证毕．…………………………………………………………………………………………7分 (2) （8分） 解法一：解：由（1）解法一知，则，所以. …………8分 所以.…………………………10分 又，………………………………………………………………………………………11分 当且仅当即时等号成立，…………………………………………………………12分 所以. …………………………………………………………………………………14分 所以当，时，的最大值为.……………………………………………15分 解法二：解：由（1）解法二知，由正弦定理得．…………………………8分 因为在中，， 所以，……………………………………………………………9分 故，则，所以.……………………………………………10分 所以.…………………………11分 又， ………………………………………………………………………………………12分 当且仅当即时等号成立，…………………………………………………………13分 所以. …………………………………………………………………………………14分 所以当，时，的最大值为.……………………………………………15分 解法三：解：由（1）解法三知，所以. 所以. ……………………………………………9分 因为，即，…………………………………………………………11分 当且仅当时等号成立， ……………………………………………………………………………12分 所以.……………………………………………………………………………14分 所以当，时，的最大值为.……………………………………………15分 17．（满分15分） 【答案】(1) （5分） 解：依题意可知，…………………………………………………………………………………3分 解得. ……………………………………………………………………………………………………4分 所以椭圆的方程为： …………………………………………………………………………5分 (2) （10分） 解法一：解：由直线过点，设直线的方程为，，……………6分 联立消去化简得，…………………………………………………7分 所以，，. ……………………………………………8分 又由，， …………………………………………………………………9分 . …………………11分 因为，位于两侧，，不妨设，且， 所以，…………………………………………………………13分 所以，即为的角平分线，………………………………………………………14分 所以，即.…………………………………………………………………15分 解法二：解：同解法一可证， …………………………………………………………………………9分 直线的方程为，且与轴交于点，则， ………………………………10分 同理可得. ……………………………………………………………………………………11分 所以，，，，………………………………………12分 所以，………………………………………13分 ，…………………………………………14分 所以. ……………………………………………………………………………………15分 18．（满分17分） 【答案】 (1) （4分） 解：当时，则，所以，……………………………………………1分 所以=，又因为，…………………………………………………………………………3分 所以函数在处的切线方程为：.………………………………………………………………4分 (2) （8分） 解法一：解：由，得， 即（*）恒成立，…………………………………………………………………………6分 令，易得在上单调递增，…………………………………………………7分 则（*）式可化为：，………………………………………………………………………8分 所以在上恒成立，即.…………………………………………………………9分 令，则，…………………………………………………………………10分 所以当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减…………………………………………………………………………………………………………………11分 所以. 故. ………………………………………………………………………………………………………12分 解法二：依题意得函数的定义域为，，………………………………………5分 所以，所以在上单调递增，……………………………………………6分 而当时，；当时，，………………………………………………7分 根据零点存在定理，，使得， 即，亦即.……………………………………………………………………………8分 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在时单调递增，……………………………………………………9分 所以 （当且仅当时，等号成立），………………………………………………10分 所以当，即时，恒成立. …………………………………………………………11分 故. ………………………………………………………………………………………………………12分 (3) （5分） 证明：要证：， 即证：， …………………………………………………………………………13分 由（2）得：，令，得，………………………………………………14分 即. …………………………………………………………………………………………15分 所以，……………16分 所以，得证 故.…………………………………………………………………………17分 19．（满分17分） 【答案】(1) （5分） 解：解法一：设甲在一组原地射门中射中的次数为随机变量，每次射门相互独立，因此服从二项分布，即.………………………………………………………………………………………………………1分 累计得分， 当时，，解得， …………………………………………………………………………3分 所以.………………………………………………………5分 解法二：每组原地射门共5次，每次射门有2种等可能结果，总共有种等可能的投篮结果. …2分 要使累计得分为1分，需射中3次、未射中2次，符合条件的结果数为从5次原地射门中选3次射中的组合数. ……………………………………………………………………………………………………4分 由古典概率公式得.…………………………………………………………………………5分 (2) （4分） 解：记“某队员参加周二的集训”为事件，“某队员参加周四的集训”为事件， …………………6分 记两次集训都参加的队员数，则， 满足超几何分布 ， ……………………………………………………………………………………………7分 . ……………………………………………………………………9分 (3) （8分） 证明：， …………………………………………………11分 所以…………………………………………15分 . ……………………………………………………………………………………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 多维细目表 题号 题型 分值 知识点 素养要求 难度预估 1 单选 5 集合运算 数学运算 0.95 2 单选 5 复数运算、虚部 数学运算 0.9 3 单选 5 平面向量的数量积、投影向量 数学抽象、数学运算 0.9 4 单选 5 百分位数 数学抽象、数据分析 0.8 5 单选 5 点与圆、直线与圆位置关系等 逻辑推理、直观想象 0.8 6 单选 5 三角函数的值域、周期等 逻辑推理、数学运算 0.7 7 单选 5 函数图象以及性质的应用等 逻辑推理、直观想象、数学建模 0.6 8 单选 5 三棱锥的外接球等 逻辑推理、直观想象 0.4 9 多选 6 互斥事件、独立事件的判断，条件概率的求解等 数学抽象、数学运算 0.8 10 多选 6 抛物线的切线方程、点到直线的距离 直观想象，数学运算 0.7 11 多选 6 数列递推关系、单调性，不等式的性质，函数图象的切线放缩等 逻辑推理、数学运算 0.5 12 填空 5 双曲线定义、渐近线方程 数学抽象 0.8 13 填空 5 三角恒等变换、数列的通项公式、前n项和等 逻辑推理、数学运算 0.6 14 填空 5 指数函数、对数型函数图象和性质的应用等 逻辑推理、直观想象、数学运算 0.4 15 解答 13 空间线面平行的证明、线面垂直的性质，以及线面角求解等 直观想象，数学运算 0.7 16 解答 15 正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等 逻辑推理、数学运算 0.7 17 解答 15 椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系等 逻辑推理、直观想象、数学运算 0.6 18 解答 17 函数图象的切线方程、不等式恒成立、数列不等式的证明等 逻辑推理、数学运算 0.4 19 解答 17 二项分布的概率、超几何分布的期望、方差等 数学建模、逻辑推理、数学运算 0.3 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（原创）已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．（原创）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（原创）已知向量，，则向量在方向上的投影向量为 A． B． C． D． 4．（原创）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去12天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：55,74,85,87,95,75,81,91,104,81,99,101，则该水果店过去12天苹果日销售量的下四分位数为 A．75 B．78 C．81 D．86 5．已知点在圆上，,，面积的最小值为4，则的值为 A． B． C． D． 6．（原创）已知函数，对任意，都有，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系不可能为 A． B． C． D． 8．已知菱形，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，其中二面角的余弦值为，设点是的中点.记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设事件，满足，，则下列结论正确的是 A. B. 若事件，互斥，则 C. 若，则 D. 若，则事件，相互独立 10．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点,，点在抛物线的准线上，且轴，设的面积为，的面积为，则下列说法正确的是 A. 若点的坐标为，则抛物线在点处的切线方程为 B. 抛物线在，两点处切线的斜率之积为-1 C. 的最小值为2 D. 11．已知数列满足，且，则 A． B．数列为递增数列 C． D． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线的焦距为4，则双曲线的渐近线方程为 . 13．（原创）设等差数列的前项和为，已知，，若，则数列的前项和为 . 14．已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则 （用“>”“=”“<”填空），的最大值为 . 四 、解答题（5小题，共77分） 15．（13分） 如图，在四面体中，已知点在棱上且满足,点是的中点，点在棱上且满足. （1）求证：； （2）若,，且，， 求直线与平面所成角的正弦值. 16．（原创）（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）证明：； （2）求的最大值． 17．(原创)（15分） 已知椭圆的方程为，左顶点为，上焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆的另一个交点为且与轴交于点,设直线与椭圆的另一个交点为且与轴交于点，，位于两侧，若直线过定点，证明：. 18．（原创）（17分） 已知函数（为常数）. 当时，求在处的切线方程； 若恒成立，求的取值范围； 证明. 19．（17分） 4月9日上午，2026年“兴业银行”福建省城市足球联赛（“闽超”）新闻发布会在福州顺利举行.发布会正式宣布，福建省城市足球联赛重磅启幕.某地的足球队（有个队员，）在备赛期间，为了提高实战的成绩，每周二、周四举行集训，两场比赛独立进行. （1） 若集训的方式采用原地射门，射门5次为一组，进一球得1分，未进的-1分，已知队员甲每次投中的概率为，求队员甲在一组射门训练中得1分的概率； （2）若集训的方式采用小型对抗赛，每场比赛等可能的从个队员中随机的选取个队员.记至少参加过一次集训比赛的队员人数记为.记随机变量的数学期望为，方差为 . （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：. 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，. / 学科网（北京）股份有限公司 $