2026年广东省初中数学学业水平模拟考试试卷

**基本信息** 以“人造太阳”科技突破、《九章算术》文化传承及校园劳动实践为情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计考查运算能力、推理意识和创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学计数法、三视图、概率计算|第2题结合1.5亿℃等离子体温度考查科学计数法，第9题以正方形内“花瓣”阴影计算概率| |填空题|5/15|因式分解、一元二次方程、会圆术|第14题引用《梦溪笔谈》“会圆术”计算圆弧长，渗透文化素养| |解答题|8/75|反比例函数、矩形证明、黄金矩形、新定义|第21题通过滑雪场滑道设计考查锐角三角函数应用，第23题定义“横纵和零点”融合函数与几何综合探究|

2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家，东汉早期的《九章算术》中提出了正负数的概念及加减运算法则，其中关于家畜买卖的问题里，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负.下列选项中，表示买入家畜付出的钱数的是 A. +50 B. 3.2 C. -180 D. 0 2．2026年3月，上海“洪荒70（又名人造太阳）”全高温超导托卡马克装置成功实现1337秒稳态高约束运行，打破全球最长纪录；运行时等离子体温度达1.5亿℃.将1.5亿℃用科学计数法表示为 A．1.5×107℃ B．1.5×108℃ C．1.5×109℃ D．1.5×1010℃ 3． 如题3图，工厂某零件，以下哪个图形是它的俯视图 A. B. C. D. 题3图 4．如题4图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条放置，则下列结论错误的是 A. B． C． D．题4图 5．下列说法错误的是 A．一组数据中，大于平均数和小于平均数的数据各占. B．一组数据的平均数、中位数、众数一定存在，且都是这组数据中的数. C．一组数据的平均数、中位数、众数没有确定的大小关系. D．计算加权平均数时，权越大的数据对加权平均数的影响也越大. 6．若,则的平方根为 A． B．3 C． D． 7． 如题7图，某校计划在操场旁开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一.为了便于管理，现要在中间开辟两纵一横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为 A． B． C． D． 题7图 8．如题8图，在，DE∥BC，EF∥AB,若，则下列结论错误的是 A． B． C． D．题8图 9．在正方形ABCD中，分别以各边为直径向正方形内部作半圆，四个半圆相交形成四个“花瓣”状阴影区域.已知正方形边长为4，现随机向正方形内投掷一点，则该点落在阴影区域（即四个花瓣）内的概率为 A． B． C． D． 10．如题10图，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，的半径为2，则AP+PB的最小值为 A．2 B． C． D．4题10图 二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 因式分解： . 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 . 题14图 13. 计算 的结果是 . 14. 如题14图，《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值计算公式:.当0A=2,∠A0B=60°时，则的值为 .题15图 15.如题15图，在平面直角坐标系x0y中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:函数y=(x-2)2 (0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=2x2+bx+c (0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b . 三．解答题（一）:本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．已知 （1）化简T； （2）若x是16的算术平方根，求此时T的值． 17．惠州西湖是惠州的文化名片，也是苏东坡曾寓居的地方.景区内有一条观光游船路线，全长约3.6千米.游船行驶的平均速度v（千米/时）与全程所需时间t（时）成反比例关系.已知当游船以6千米/时 的速度行驶时，全程需要0.6小时． （1）求v与t之间的函数表达式； （2）若因节假日游客增多，景区要求游船全程时间不超过0.45小时，则游船的平均速度至少应达到多少千米/时？ 18．如题18图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G三点，且AB∥DC，OB=3，CO=4.求OF的长. 题18图 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如题19图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，M为AB的中点，连接CM. (1)求证:四边形ADEC是矩形; (2)若CM=9，AC=15 ，求四边形ADEB的面积. 题19图 20. 为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表(如图)，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生脊柱健康情况统计表 （1）填空：所抽取的学生总人数为_____，轻度侧弯人数为_____，重度侧弯人数为_____；（2）该校共有学生1600人，若该校计划对所有脊柱侧弯学生进行免费矫正指导，按本次抽样的比例估算，需要准备多少份矫正指导手册？ （3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议． 21. 【阅读与思考——山坡的高度】 【阅读理解】 题21-1图 题21-2图 题21-3图 在学习了《锐角三角函数》这一章的内容后，我们知道了30°，60°，45°这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出 tan15° 的值 . 如题21-1图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB到点D，使DB＝AB，则有∠D＝15°. 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，所以AB＝BD＝2，BC＝ . 在Rt△ACD中， . 所以 . 【实际应用】（1）我市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道AB，如题21-2图2所示，滑道的坡角∠B＝15°，水平宽度BC＝100 m. 请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米. (结果取整数，参考数据： ) 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据题21-3求出的值吗？类比上面提供的方法，请将下列探究过程补充完整. 解：如题21- 3图 ，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，AC＝1. 【拓展提升】（3）类比求、的构造方法，请直接算出= . 五．解答题（三）:本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22.综合探究 【阅读材料】宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计. 【应用探究】已知:四边形ABCD是黄金矩形, AB=2 , BC=+1 . （1） 如题22-1图,E是AD边上一点,将矩形ABCD沿着CE折叠,点B的对应点B'落在CD的延长线上,点A的对应点为A' , 试说明:四边形A'B'DE是黄金矩形; （2） 如题22-2图,将矩形ABCD沿着对角线AC折叠,点B的对应点为B' , B'C交AD于点F , 求tan∠B'AF的值; （3）在(2)的条件下,分别过B' , D作AC的垂线B'M , DN , 垂足分别为M , N , 连接B'D , 如题22-3图,求证:四边形B'MND是正方形. 题22-1图 题22-2图 题22-3图 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为0，则称该点为“横纵和零点”.例如：(1,-1)、(-2,2)、(5,-5) 都是“横纵和零点”. （1）判断直线的图象上是否存在“横纵和零点”？如果存在，求出“横纵和零点”的坐标； （2）已知直线和抛物线（b,c均为常数）.若直线与抛物线 只有一个交点，且该交点是“横纵和零点”.解答下列问题： ①求抛物线的解析式； ②若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D是直线上的动点，点E是抛物线对称轴上的动点，当以 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的点D的坐标. 数学试卷 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A C A D A B 11．. 12．. 13．2. 14．. 15．. 16.（1） ...................................3分（通分，因式分解，除法变乘法各1分） .......................................4分 （2） ......................................5分 将代入化简后的式子得 .....................................7 17．（1）设与的函数表达式为 ...............................................................1分 将代入得 ........................................................................2分 解得 ............................................................................................................3分 与的函数表达式为 ..............................................................4分 （2）由题可的 即 ...........................................................................5分 解得 ..............................................................................................................6分 答：游船的平均速度至少达到8千米每小时。......................................................7分 18． .......................................................................1分 ............................................................................................2分 在中， ..........................................3分 在中，OB=3，OC=4，所以 ....................................4分 ................................................................................6分 .........................................................................................................7分 19.（1）证明： AC⊥BC， ∠ACE＝∠ACB＝90 °. .............................................................................................1分 四边形ABCD 是平行四边形， AD∥BC . ∠DAC＝∠BCA＝ 90°. ...............................................................................................2分 DE∥AC， ∠E＝180°－∠ACE＝90°. ∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°， 四边形ADEC是矩形...............................................................................................................4分 (2) 解：， ∴AB=2CM=18. ......................................................................................................................5分 平行四边形ABCD中，AD=BC=. ..................................................................................6分 在矩形ADEC中，AD=CE=. ................................................................9分 20.（1）200 20 3 ...................................................................................................3分 （2）=240（份） 答：需要准备240份矫正指导手册 .............................................................................6分 （3）该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操．(答案不唯一，合理即可) ..................................................................9分 答：滑道的铅直高度是27m. ............................................................................................2分 （2）如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD. ∵BD=AB, ∴∠D=∠DAB. ∵∠ABC=∠D+∠DAB=45°, ∴∠D=22.5°. ..................................................................................................................3分 在Rt△ABC中，∠C=90°, ∵∠ABC=45°, AC=1, ∴BC=AC=1. ∴AB= ∴+1. .................................................................................................................5分 在Rt△ADC中，. ∴ ...................................................................................................6分 （3）+1 ....................................................................................................................9分 22.解：（1）∵四边形 ABCD是黄金矩形，AB=2,BC=+1, ∴∠A=∠B=∠ADC=90°,CD=AB=2. 由折叠可知，∠A'=∠A=90°,∠B'=∠B=90°,A'B'=AB=2,B'C=BC=+1. ...............2分 又∠B'DE=90°, ∴四边形 A'B'DE是矩形，且B'D=B'C—CD=+1-2=-1. ∴ ∴矩形 A'B'DE是黄金矩形. ............................................................................................4分 （2）解：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB=2,BC=+1, ∴AD//BC ∴∠DAC=∠ACB. 由折叠可知，∠B'=∠B=90°,∠ACB'=∠ACB,AB'=AB=2,B'C=BC=+1. ∴∠DAC=∠ACB'. ∴FA=FC. ............................................................................................................................6分 设B'F=x,则FC=+1-x. ∴FA=+1-x. ∵FA²=B'F²+AB'², ∴(5+1-x)²=x²+2². 解得x=1. ∴B'F=1. ∴. ................................................................................................8分 (3) 证明：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB=2,BC=+1, ∴AB//CD,AB=CD. ∴∠DCA=∠BAC. 由折叠可得AB'=AB,∠B'AC=∠BAC. ∴AB'=CD,∠B'AC=∠DCA. ∵B'M⊥AC,DN⊥AC, ∴∠B'MA=∠DNC=90°. ∴△B'MA≌△DNC(AAS). ∴B'M=DN,MA=NC. 又B'M//DN, ∴四边形B'MND是矩形...........................................................................................10分 ∵∠B'AM=∠BAC,∠B'MA=∠B'MC=∠CBA=90°,∠B'CA=∠BCA, ∴△B'AM∽△CAB∽△CB'M. 令AM=(-1)a,则B'M=2a,MC=(+1)a. ∴NC=AM=(-1)a,MN=MC-NC=(+1)a-(-1)a=2a. ∴B'M=MN=2a. ∴四边形B'MND是正方形. .....................................................................................13分 23． （1）存在，坐标为（-2，2） “横纵和零点”满足..........................................1分 将代入得 ，解得..........................2分 当时，，所以“横纵和零点”为（-2，2）.......................3分 (2)①由（1）知，直线与抛物线的唯一交点为（-2，2） 将（-2，2）代入抛物线得，即...........4分 联立，得....................................5分 直线与抛物线 只有一个交点 ，................................................................6分 将代入得 ， 即...............................................................................................7分 解得 ，则.....................................................................8分 所以，抛物线的解析式为........................................................9分 ②点D的坐标为，，................................................................14分 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 学校： 姓名： 班级 ： 考号： 考场： 座号： 贴条形码区 (正面朝上，切勿贴出方框) 正确填涂 缺考标识 □ 注意事项 1.答题前请将姓名，班级，考号填写清楚。 2.客观题答题必须使用2B铅笔填涂；主观题答题必须使用黑色签字笔书写。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 4.保持答卷清洁、完整。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题(一)：本大题共3个小题，每小题7分，共21分. 16. 17. 第1/2页(第1栏) 18. 四 、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分. 19. 20. （1）填空： 　 　 ， 　 　 ， 　 　 ； 第1/2页(第2栏) 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 21. 题21-1图 题21-2图 题21-3图 23. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第13题13分，第14题14分，共27分。 22. 题22-1图 题22-2图 题22-3图 第2/2页(第1栏) 第2/2页(第2栏) 学科网（北京）股份有限公司 $