第08讲 一元二次不等式的解法（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第08讲 一元二次不等式的解法 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：运用因式分解法与公式法解不含参数的一元二次不等式 题型 2：由一元二次不等式的解集反求对应参数的值 题型 3：将简单分式不等式转化为整式不等式求解 题型 4：一元二次不等式在实数集及指定区间上的恒成立问题 题型 5：按分类讨论思想解含参数的一元二次不等式 题型 6：一元二次不等式在实际问题中的建模与求解 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次不等式的定义 三个“二次”的关系 一元二次不等式的解集 含参数的一元二次不等式 一元二次不等式的实际应用 1.理解一元二次不等式的定义，能将任意一元二次不等式化为的标准形式。 2.掌握二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的内在联系，能借助二次函数图象分析一元二次不等式的解集。 3.会解简单的含参数一元二次不等式，掌握按二次项系数符号、判别式符号、根的大小进行分类讨论的思想方法。 4.能从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，解决与产量、利润、取值范围相关的实际应用问题。 学习重点：三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的因式分解法与公式法、一元二次不等式解集的规范表示。 学习难点：借助二次函数图象理解三个“二次”的关系、含参数一元二次不等式的分类讨论、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数． 即时即练不等式的解集是____. 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． （2）对于二次项系数是负数（即）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 即时即练解不等式的解集为__________. 知识点03 分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 即时即练不等式的解集是______. 题型 1：运用因式分解法与公式法解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】不等式的解集为____________． 【典例1-2】（2026·高一·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【变式1-1】（2026·高一·上海闵行·期末）已知，则不等式的解集为___________． 【变式1-2】（2026·高一·全国·期末）不等式的解集为_____________ 题型 2：由一元二次不等式的解集反求对应参数的值 【典例2-1】（2026·高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【典例2-2】不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式2-2】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【变式2-3】（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 3：将简单分式不等式转化为整式不等式求解 【典例3-1】（2026·高一·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【典例3-2】（2026·高一·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【变式3-1】（2026·高一·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 【变式3-2】（2026·高一·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【变式3-3】（2026·高一·安徽合肥·期末）不等式的解集为___________. 题型 4：一元二次不等式在实数集及指定区间上的恒成立问题 【典例4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【典例4-2】对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 【变式4-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知恒成立，则实数的取值范围是_________. 【变式4-2】（2026·高一·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 【变式4-3】已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是__. 题型 5：按分类讨论思想解含参数的一元二次不等式 【典例5-1】解关于的不等式：． 【典例5-2】（2026·高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【变式5-2】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【变式5-3】解下列关于的不等式：． 题型 6：一元二次不等式在实际问题中的建模与求解 【典例6-1】（2026·高一·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·北京延庆·期末）某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（2026·高一·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 1．（2026·高一·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 2．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 3．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 4．（2026·高一·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 6．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·高一·山东德州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·安徽淮北·期末）若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 11．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 12．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 13．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 15．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 16．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 17．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 18．（2026·高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 19．（2026·高一·河北唐山·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 20．（2026·高一·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 21．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次不等式的解法 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：运用因式分解法与公式法解不含参数的一元二次不等式 题型 2：由一元二次不等式的解集反求对应参数的值 题型 3：将简单分式不等式转化为整式不等式求解 题型 4：一元二次不等式在实数集及指定区间上的恒成立问题 题型 5：按分类讨论思想解含参数的一元二次不等式 题型 6：一元二次不等式在实际问题中的建模与求解 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次不等式的定义 三个“二次”的关系 一元二次不等式的解集 含参数的一元二次不等式 一元二次不等式的实际应用 1.理解一元二次不等式的定义，能将任意一元二次不等式化为的标准形式。 2.掌握二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的内在联系，能借助二次函数图象分析一元二次不等式的解集。 3.会解简单的含参数一元二次不等式，掌握按二次项系数符号、判别式符号、根的大小进行分类讨论的思想方法。 4.能从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，解决与产量、利润、取值范围相关的实际应用问题。 学习重点：三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的因式分解法与公式法、一元二次不等式解集的规范表示。 学习难点：借助二次函数图象理解三个“二次”的关系、含参数一元二次不等式的分类讨论、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数． 即时即练不等式的解集是____. 【答案】 【解析】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． （2）对于二次项系数是负数（即）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 即时即练解不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】由，得， 解得：或， 即不等式的解集为， 故答案为：. 知识点03 分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 即时即练不等式的解集是______. 【答案】 【解析】因为等价于，解得， 所以不等式的解集是. 题型 1：运用因式分解法与公式法解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 【典例1-2】（2026·高一·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【解析】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上， 因此 解集为. 【变式1-1】（2026·高一·上海闵行·期末）已知，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1-2】（2026·高一·全国·期末）不等式的解集为_____________ 【答案】 【解析】由，即，解得，则其解集为. 故答案为： 题型 2：由一元二次不等式的解集反求对应参数的值 【典例2-1】（2026·高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 【典例2-2】不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 【变式2-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 【变式2-2】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 【变式2-3】（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 题型 3：将简单分式不等式转化为整式不等式求解 【典例3-1】（2026·高一·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【解析】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 【典例3-2】（2026·高一·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 【变式3-1】（2026·高一·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】因为等价于，由得， 即的解集为， 所以不等式的解集为. 【变式3-2】（2026·高一·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【答案】 【解析】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·高一·安徽合肥·期末）不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】依题意，由，得，所以，解得， 故答案为：. 题型 4：一元二次不等式在实数集及指定区间上的恒成立问题 【典例4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 【典例4-2】对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】①当时，原不等式可化为，显然恒成立 ②当时，一元二次不等式恒成立， 所以且， 即，解得. 综上可知，. 故实数a的取值范围为 【变式4-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】由题设不等式恒成立，则， 所以，可得. 故答案为： 【变式4-2】（2026·高一·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 【答案】/ 【解析】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式4-3】已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是__. 【答案】 【解析】因函数的图象过点，则得， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 即对，恒成立，则需使， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 题型 5：按分类讨论思想解含参数的一元二次不等式 【典例5-1】解关于的不等式：． 【解析】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【典例5-2】（2026·高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【解析】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 【变式5-2】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【解析】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式5-3】解下列关于的不等式：． 【解析】对于一元二次方程， 当时，，的解集为， 当时，的解集为， 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当或时，不等式的解集为． 题型 6：一元二次不等式在实际问题中的建模与求解 【典例6-1】（2026·高一·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【典例6-2】（2026·高一·北京延庆·期末）某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意有：，即， 所以，解得， ，可得， 所以该收割机第3年开始盈利， 故选：B. 【变式6-1】（2026·高一·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 【变式6-2】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 【变式6-3】在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 1．（2026·高一·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【解析】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 2．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 3．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【解析】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 4．（2026·高一·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 5．（2026·高一·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 6．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 7．（2026·高一·山东德州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以，即. 即，所以. 所以不等式的解集是. 方法二：，得或， 解得或. 所以不等式的解集是. 8．（2026·高一·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 9．（2026·高一·安徽淮北·期末）若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，”是真命题， 当时， 原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时 是二次函数，要使是对任意恒成立， 所以 ，即, 解得. 综上，的取值范围为. 10．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【解析】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 12．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 13．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【解析】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 15．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即， 乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得， 因此关于的一元二次不等式为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 16．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【解析】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 17．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【解析】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或． （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为． 18．（2026·高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【解析】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 19．（2026·高一·河北唐山·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； （2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 20．（2026·高一·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【解析】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 21．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 【解析】（1）若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； （2）因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $