期末复习（9）正切函数的图像与性质复习教案-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

正切函数的图像与性质 复习 【教学目标】 1. 掌握正切函数的图像和"五点法"作图； 2. 理解正切函数的周期、最值、单调性、奇偶性、对称性的概念； 3. 能够运用正切函数的性质解决综合问题。 【教学重点与难点】 重点：掌握正切函数的性质。 难点：能够运用正切函数的性质解决综合问题。 【教学过程】 1． 知识梳理 1. 正切函数的定义：，定义域为. 2. 正切函数的图像：由无穷多支曲线组成，被直线即所隔开. 3. 周期性：正切函数的最小正周期是；的最小正周期为. 4. 值域：一切实数，既没有最大值也没有最小值. 5. 奇偶性：由知正切函数的奇函数，图像关于原点对称. 6. 单调性：由图知正切函数在上的严格增函数.（证明略） 7. 对称性：正切函数的对称中心为，无对称轴. 2． 例题与练习 例1 设函数． （1）求函数的定义域、周期、单调区间及对称中心； （2）求不等式的解集． （3）作出函数在一个周期内的简图． 解：（1）由，得， 的定义域是． ，周期． 由，得 函数的单调递增区间是． 由，得，故对称中心是． （2）由，得 解得． 不等式的解集为 （3）令，则，令，则，令，则． 函数的图像与轴的一个交点坐标是， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是． 从而得函数在一个周期内的简图（如图）． 例2 求函数，的最大值与最小值． 解：依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 3． 课堂小结 知识：正切函数的图像与性质． 思想方法：数形结合、函数与方程思想． 核心素养：直观想象，逻辑推理． 四．课后作业 1．已知函数，则的对称中心为_______． 【答案】令，则， 故的对称中心为，. 2．函数的定义域为______． 【答案】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 3．求函数的最大值与最小值之和. 【答案】令，因为，所以， 则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 4．已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 5．已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【答案】（1），故，解得， 故． 由，得， 所以函数图象的对称中心为 （2），即，故， 则， 解得． 6．求函数的单调递增区间； 【答案】∵，令，， 解得，， 故的单调递增区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $