7.4正切函数的图像与性质（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 7 章 三角函数 ７.４正切函数的图像与性质 1 ７．４　　正切函数的图像与性质 由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数 ，只要 ，都有唯一确定的正切值 与之对应．按照这 个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为 ．正切 函数的定义域是 ． 下面我们探讨正切函数的 图像和性质 1 正切函数的图像 我们知道，正切值 可以用角a的终边所在直线与直线 的交点的纵坐标表示（图７-４-１）． 类似于作正弦函数图像的方法，利用单位圆并结合描点法我 们可以作出 的大致图像（图７-４-２）． 因为 ，所以函数 当 时 的 图 像 与 … 的图像形状一样，只需将后者图像的位置向右平移 就可得到；同理，函数 时的图像与 的图像 形状也一样，只需将后者图像的位置向左平移π、２π、…就可得 到．这样，就可以得到函数 的整个图像（图７-４-３）． 因为 的定义域是 其图像由无穷多支曲线所组成，它们被直线 所隔开． 正切函数的性质 （１）周期性 由诱导公式 可知，正切函数是周期函数， 均是它的周期，π是它的最小正周期． （２）值域 由正切函数 的定义可以得到，正切函数 的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值． （３）奇偶性 由诱导公式 可知，正切函数 是奇函数．因此，其图像关于坐标原点对称 （４）单调性 由于正切函数是以π为最小正周期的函数，可以先在区间 上研究正切函数的单调性． 对于区间 中的任意给定的满足 的实数 有 由 易知 于是 且 由上式就有 ，即 从而正 切函数 在区间 上是严格增函数． 又因为正切函数是以π为最小正周期的周期函数，所以 正切函数 在区间 上 是严格增函数． 例１ 求函数 的定义域和单调区间 由正切的定义，该函数的自变量 满足 解 所以，该函数的定义域为 由正切函数的单调性可知，当 时，即 时，函数 是严格增函数 因此，函数 的单调增区间是 例２ 求函数 的最小正周期 解 记 有 可知函数 的一个正周期 此外， 也是函数 的最小正周期．事实上， 令 原来的函数可改写为 ，其以t为自变量 的最小正周期为π．返回到 变量，因 故原来函数