7.4 正切函数的图像与性质同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

7.4 正切函数的图像与性质 一．填空题 1. 函数的最小正周期是______． 2. 已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为________． 3. 直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____. 4. 函数的单调区间为_________． 5. 满足的角的集合为______． 6. 若，，则________. 7. 函数图象的对称中心坐标为__________. 8. 已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 9. 关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为___________（把正确的序号都填上） 10. 已知函数，若，则______. 二．选择题 11. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 12. 关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 13. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 三．解答题 14. 求函数的定义域． 15. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 16. 已知函数的图象过点． （1）求的单调递增区间； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数. （1）若，求的最小正周期； （2）若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 7.4 正切函数的图像与性质（答案） 一．填空题 1. 函数的最小正周期是______． 【答案】最小正周期是. 2. 已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为________． 【答案】由，解得. 3. 直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____. 【答案】直线与函数的图象的相邻两个交点的距离，即为最小正周期，所以直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 4. 函数的单调区间为_________． 【答案】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 5. 满足的角的集合为______． 【答案】由，可得， 解得， 所以满足的角的集合为. 6. 若，，则________. 【答案】. 7. 函数图象的对称中心坐标为__________. 【答案】令，，求得，， 故函数的图象的对称中心是. 8. 已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 【答案】. 由题意得，解得， 即，又，解得. 9. 关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为___________（把正确的序号都填上） 【答案】对于函数，最小正周期为，所以①正确； 由正切函数定义域得，解得， 则函数定义域为；所以②错误； 由正切函数对称中心得，解得， 所以图像的所有的对称中心为，所以③正确； 由正切函数单调增区间可得，解得， 所以函数增区间为．所以④正确； 故答案为：①③④. 10. 已知函数，若，则______. 【答案】因为函数， 所以，即， 所以 . 二．选择题 11. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】因为， 所以只需将函数向左平移个单位长度得到.故选：C. 12. 关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为.故选：B. 13. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】由点是函数图象的一个对称中心得，则，又，所以当时，取得最小值为. 故选：A． 三．解答题 14. 求函数的定义域． 【答案】要使函数有意义，则有， ∴，即且． ∴的定义域为且． 15. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为，∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 16. 已知函数的图象过点． （1）求的单调递增区间； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）若，求的最小正周期； （2）若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，，其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使，故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则，则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则，得，所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $