1.2 解一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦解一元二次方程核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法及根与系数的关系，构建从基础解法到进阶应用的完整学习支架，帮助学生逐步掌握方程求解的逻辑脉络。 资料以题型归纳为特色，通过例题、变式题及随堂检测分层设计，培养学生运算能力与推理意识，如配方法应用结合几何边长、代数式最值等实际问题，助力数学语言表达与应用意识提升。课中辅助教师系统授课，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

1.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 3 【题型3 配方】 6 【题型4 用配方法解方程】 8 【题型5 配方法的应用】 11 【题型6 判断根的情况】 16 【题型7 求参数的值或取值范围】 18 【题型8 用公式法解方程】 19 【题型9 用因式分解法解方程】 23 【题型10 运用根与系数的关系计算】 25 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 26 【随堂检测】 28 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据直接开方法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法解一元二次方程． 利用开平方法进行求解即可． 【详解】解： 或． 故答案为：或 【变式1-2】一元二次方程的解是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，直接开方法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：，． 【变式1-3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过移项和开平方求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 【题型2 可化为】 【例2】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 【变式2-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的方法求解． 根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【变式2-2】（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 【变式2-3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； （2）方程变形为，解方程即可求出答案； （3）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； （4）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； 【详解】（1）解： ∴， 则， ∴，； （2）解： 解得，； （3）解： 解得，； （4）解： 解得， 【题型3 配方】 【例3】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 【变式3-1】用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 【变式3-2】若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．0 【答案】B 【分析】利用配方法进行配方后，求出的值，进而求出的值即可； 【详解】解：， ， ， ， ∴, ∴， ∴. 【变式3-3】用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为的形式，进而确定的值． 【详解】解：对于一元二次方程， 将常数项移到等号右边，得：； 一次项系数为2，其一半为，在方程两边同时加上，得：， 配方为， ∴． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 即， ∴， ∴， ． 【变式4-1】用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 据此步骤分别求解以下方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或 解得：，； （2）解： ， ， 或． 解得：，； （3）解： 解得：，． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)无解 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用配方法求出解即可． 【详解】（1）解：方程， 开方得：， 解得：，； （2）解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； （3）解：方程变形得：， 配方得：，即， 此方程无解． 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 【题型5 配方法的应用】 【例5】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 【变式5-1】配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： (1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． (2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 【答案】(1) (2)当为时，有最小值，是 【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值； （2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案． 【详解】（1）解：， ， ∴当时，它有最小值，是． 故答案为：； （2）解：， ∴当，即时，最小， ∴当为时，有最小值，是． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键． 【变式5-2】【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 【变式5-3】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵，∴， ∴，∴的最大值为． 【问题解决】 (1)若m，k，h满足，求的值； (2)求代数式的最小值． (3)若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)的周长为13或14． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形的性质． （1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）根据材料中的配方法，即可求解； （3）利用配方法得，求得，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，∵， 又∵， ∴，， ∴； （2）解：． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：， 整理得，即， ∵，， ∴，， 当，，三边为4，4，5，能组成三角形，周长为13； 当，，三边为4，5，5，能组成三角形，周长为14； 综上，的周长为13或14． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴该一元二次方程没有实数根． 【变式6-1】一元二次方程．的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的个数与m的值有关 【答案】D 【分析】求出判别式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，， 故判别式的大小与m的值有关， 故一元二次方程根的情况也与m的值有关． 【变式6-2】定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义整理出一元二次方程，再通过判别式的值判断方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 【详解】解：根据定义运算， 将代入得，， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根． 【变式6-3】已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此计算即可得到的范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得. 【变式7-1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 【变式7-2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 【变式7-3】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则，并且二次项系数不可以为0． 【详解】解：且， 即， 解得，且． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【变式8-1】用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式8-2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ； （2）， ，，， ， ， ； （3）， ，，， ∴ ， ， ，． 【变式8-3】用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无解 (2)， (3) 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴方程无解； （2）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ （3）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 【变式9-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 【变式9-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【变式9-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 【变式10-1】若，为一元二次方程两个根，则等于（    ） A．−6 B．6 C．−3 D．3 【答案】D 【详解】解：∵，为一元二次方程两个根， ∴． 【变式10-2】设方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再将展开得到，再代入求值即可． 【详解】解：由的两根为，得，， ∴． 【变式10-3】已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 【变式11-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式11-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合两个根互为倒数得到两根之积为，即可求出的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根分别为． 由根与系数的关系可得 ． ∵方程的两个根互为倒数， ∴，即． 【变式11-3】设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知，先求出方程两个根的值，再计算得到的值． 【详解】解：，是方程的两个根， ∴，， 又， ， 解得， 则， ． 随堂检测c 1.方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 2.将一元二次方程配方后，可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方的步骤，结合完全平方公式整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3.若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程根的判别式，先将已知根代入方程求出的值，再计算根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ 将 代入方程，得． ∴． ∴原方程为． ∵根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 4.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题可利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m，再因式分解求解方程得到另一根，所用方法均为初中数学解一元二次方程的基础方法． 【详解】∵是一元二次方程 的实数根， ∴将代入方程得， 解得 ， ∴原方程为， 对方程左边因式分解得 解得． ∴的值为 ． 5．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 6．方程的根是_________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为的形式，再用直接开平方法求解方程的根． 【详解】解：移项得， 对等式两边开平方得， 即，． 7.已知一元二次方程的两个实数根为a，b，那么____． 【答案】2 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到与的值，再将其代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为， ， ， ． 8．若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 【答案】7 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∵m是方程的实数根， ∴，变形得． 故 ． 9．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 11．已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 2 【题型3 配方】 3 【题型4 用配方法解方程】 4 【题型5 配方法的应用】 5 【题型6 判断根的情况】 7 【题型7 求参数的值或取值范围】 8 【题型8 用公式法解方程】 8 【题型9 用因式分解法解方程】 9 【题型10 运用根与系数的关系计算】 11 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 11 【随堂检测】 12 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】方程的解是_______． 【变式1-1】方程的解为________． 【变式1-2】一元二次方程的解是__________． 【变式1-3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型2 可化为】 【例2】解下列方程： (1) (2) 【变式2-1】解方程：． 【变式2-2】（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 配方】 【例3】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．0 【变式3-3】用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A． B．1 C． D． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】用配方法解方程：． 【变式4-1】用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【题型5 配方法的应用】 【例5】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【变式5-1】配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： (1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． (2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 【变式5-2】【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【变式5-3】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵，∴， ∴，∴的最大值为． 【问题解决】 (1)若m，k，h满足，求的值； (2)求代数式的最小值． (3)若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【变式6-1】一元二次方程．的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的个数与m的值有关 【变式6-2】定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式6-3】已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式7-2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-3】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式8-1】用公式法解方程： (1)． (2) 【变式8-2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式8-3】用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】解方程 (1)； (2)． 【变式9-1】解方程： (1)； (2)． 【变式9-2】解方程： (1)； (2)． 【变式9-3】计算： (1)； (2)． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式10-1】若，为一元二次方程两个根，则等于（    ） A．−6 B．6 C．−3 D．3 【变式10-2】设方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C．10 D．12 【变式10-3】已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式11-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【变式11-3】设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 随堂检测c 1.方程的根为（    ） A． B． C． D． 2.将一元二次方程配方后，可化为（    ） A． B． C． D． 3.若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 4.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 5．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．方程的根是_________． 7.已知一元二次方程的两个实数根为a，b，那么____． 8．若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 9．解下列方程： (1) (2) 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 11．已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $