2.3一元二次方程的根与系数的关系（讲义，2知识6大题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），先明确适用条件为一元二次方程且根的判别式非负，再阐述两根之和与两根之积的核心关系，通过求根公式推导强化理解，后续衔接不解方程求根的关系、已知一根求另一根等应用，构建完整知识支架。 资料亮点在于“即学即练”融入物理位移方程等跨学科实例，培养数学眼光，题型分类（求代数式值、参数、构造新方程等）步骤清晰，通过推导与变式巩固发展推理能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与数学思维。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 韦达定理 1. 核心前提（适用条件）：根与系数的关系（韦达定理）仅适用于一元二次方程（），且需满足根的判别式（即方程有两个实数根，包括两个不相等的实数根和两个相等的实数根）；若，方程无实数根，根与系数的关系不成立。 2. 根与系数的关系（韦达定理）核心内容：对于一元二次方程的一般形式（），若方程有两个实数根和，则根与系数之间存在以下固定关系： 两根之和：；两根之积：。 3. 推导过程：由一元二次方程求根公式可知，方程（，）的两个实数根为： ，（其中） 推导两根之和： （两个根中含的项相互抵消，剩余项合并后得到结果） 推导两根之积： 利用平方差公式化简，得： 即学即练 1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北襄阳·一模）一元二次方程的两根为，，则______． 知识点二 核心应用 1.应用1：不解方程，判断方程是否有实数根，并求两根之和与两根之积 步骤：①将方程化为一般形式，确定、、的值（注意符号）； ②计算根的判别式，判断方程是否有实数根（有实数根，无实数根）； ③若有实数根，代入韦达定理公式，直接求出和。 2. 应用2：已知方程的一个根，求另一个根和常数项（或其他系数） 核心思路：设方程的另一个根为，结合韦达定理的两根之和或两根之积，列方程求解。 求解过程：①设方程的另一个实数根为，方程中，，，为常数项； ②由两根之和公式，得；解得另一个根：； ③由两根之积公式，得；化简计算：。 即学即练 1．（2026·湖北恩施·模拟预测）已知关于x的方程有两个实数根为，若，则a的值为（   ） A．9 B． C．8 D． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 3．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 题型01 已知方程两根，求根的代数式的值 / （1）由韦达定理求出 、； （2）将所求代数式恒等变形，转化为含 、 的形式； （3）整体代入计算； （4）常用变形公式： 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江西九江·二模）若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为a，b，那么____． 题型02 利用根与系数关系求方程中参数 / （1）设方程两根为 ，根据韦达定理列出关于参数的等式； （2）结合题目给出的两根关系式，联立解方程求出参数； （3）必验根：把参数代入判别式 ，保证 （方程有实根），舍去增根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则_________ 题型03 已知一根，求另一根 / （1）方法一（韦达定理，优先选用）：①设另一根为 ；②利用 或 列一元一次方程，直接求另一根；③如需参数，再结合两根和/积求参数； （2）方法二（方程根的定义）：:把已知根代入原方程，先求出参数，再解方程得另一根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖北襄阳·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 变｜式｜巩｜固 1．（2026·贵州遵义·一模）若是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A．－5 B． C．5 D． 2．（2026·江苏南京·一模）若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 题型04 根据两根关系列方程、构造新方程 / （1）已知两根 ，构造一元二次方程：以 为两根的方程：（二次项系数为1）；若指定二次项系数为 ，则方程为：； （2）已知原方程两根，构造根的变换型新方程：设原方程两根 ，求出 ；设新方程两根为 ，找到 与 的关系式；计算 、，再套用构造公式写方程. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 题型05 结合判别式，判断参数取值范围 / （1）一元二次方程前提：二次项系数 ； （2）方程有实数根：，列出不等式； （3）若附加两根关系（如两根和、两根积为正数/负数、两根异号等），结合韦达定理再列不等式； 联立所有不等式，求解参数取值范围； （4）常见补充条件： 两根同正： 两根同负： 两根异号：（此时 自动成立，无需额外写）. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 题型06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 / （1）确定 的值（注意符号，包含负号）； （2）代入公式计算 ； （3）根据 正负，判定根的情况. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．可能有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．不可能有一根为 D．一定没有实数根 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 2．（2026·河北石家庄·一模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根之和为2 C．两根之积为3 D．两根之和为1 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 韦达定理 1. 核心前提（适用条件）：根与系数的关系（韦达定理）仅适用于一元二次方程（），且需满足根的判别式（即方程有两个实数根，包括两个不相等的实数根和两个相等的实数根）；若，方程无实数根，根与系数的关系不成立。 2. 根与系数的关系（韦达定理）核心内容：对于一元二次方程的一般形式（），若方程有两个实数根和，则根与系数之间存在以下固定关系： 两根之和：；两根之积：。 3. 推导过程：由一元二次方程求根公式可知，方程（，）的两个实数根为： ，（其中） 推导两根之和： （两个根中含的项相互抵消，剩余项合并后得到结果） 推导两根之积： 利用平方差公式化简，得： 即学即练 1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 3．（2026·湖北襄阳·一模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】1 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 知识点二 核心应用 1.应用1：不解方程，判断方程是否有实数根，并求两根之和与两根之积 步骤：①将方程化为一般形式，确定、、的值（注意符号）； ②计算根的判别式，判断方程是否有实数根（有实数根，无实数根）； ③若有实数根，代入韦达定理公式，直接求出和。 2. 应用2：已知方程的一个根，求另一个根和常数项（或其他系数） 核心思路：设方程的另一个根为，结合韦达定理的两根之和或两根之积，列方程求解。 求解过程：①设方程的另一个实数根为，方程中，，，为常数项； ②由两根之和公式，得；解得另一个根：； ③由两根之积公式，得；化简计算：。 即学即练 1．（2026·湖北恩施·模拟预测）已知关于x的方程有两个实数根为，若，则a的值为（   ） A．9 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先整理得到一元二次方程标准形式，再利用两根之和的关系列方程求解，最后验证方程有实根的条件即可. 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根为，，， ∴， 解得：， 又∵， 当时，， 此时方程有两个实数根， ∴a的值为． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 3．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 题型01 已知方程两根，求根的代数式的值 / （1）由韦达定理求出 、； （2）将所求代数式恒等变形，转化为含 、 的形式； （3）整体代入计算； （4）常用变形公式： 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江西九江·二模）若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得： ，， 则， 故答案为：． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为a，b，那么____． 【答案】2 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到与的值，再将其代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为， ， ， ． 题型02 利用根与系数关系求方程中参数 / （1）设方程两根为 ，根据韦达定理列出关于参数的等式； （2）结合题目给出的两根关系式，联立解方程求出参数； （3）必验根：把参数代入判别式 ，保证 （方程有实根），舍去增根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 2．（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知，先求出方程两个根的值，再计算得到的值． 【详解】解：，是方程的两个根， ∴，， 又， ， 解得， 则， ． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和的表达式，结合已知条件构造关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 题型03 已知一根，求另一根 / （1）方法一（韦达定理，优先选用）：①设另一根为 ；②利用 或 列一元一次方程，直接求另一根；③如需参数，再结合两根和/积求参数； （2）方法二（方程根的定义）：:把已知根代入原方程，先求出参数，再解方程得另一根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖北襄阳·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·贵州遵义·一模）若是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A．－5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根，设另一个根为， ∴， 解得， ∴该方程的另一个根是5． 2．（2026·江苏南京·一模）若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 【答案】 【分析】设一元二次方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得两根之和为， ∵方程的一个根是， ∴， 解得，即另一个根是． 题型04 根据两根关系列方程、构造新方程 / （1）已知两根 ，构造一元二次方程：以 为两根的方程：（二次项系数为1）；若指定二次项系数为 ，则方程为：； （2）已知原方程两根，构造根的变换型新方程：设原方程两根 ，求出 ；设新方程两根为 ，找到 与 的关系式；计算 、，再套用构造公式写方程. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 【答案】的值为，另一根为． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， ∴的值为，另一根为． 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 题型05 结合判别式，判断参数取值范围 / （1）一元二次方程前提：二次项系数 ； （2）方程有实数根：，列出不等式； （3）若附加两根关系（如两根和、两根积为正数/负数、两根异号等），结合韦达定理再列不等式； 联立所有不等式，求解参数取值范围； （4）常见补充条件： 两根同正： 两根同负： 两根异号：（此时 自动成立，无需额外写）. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有实数根得判别式，结合根与系数的关系和已知条件列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意知原方程为一元二次方程，有两个实数根，因此原方程为. 一元二次方程有实数根时，，且满足，. 这里， ，，且. 将和代入得： ， 得到不等式组： 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 因此的取值范围是． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个实根得判别式，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正一负两类讨论；分别化简，结合不等式求解m的范围；合并两类结果，得到最终取值范围． 【详解】方程有两个实数根 是方程的两根 两根不可能同为负数 只有两根均为非负数和一正一负两种情况 情况一：两根均为非负数 ， ， ， ， ， 恒成立， 又， ， 情况二：两根一正一负 ， ， ， 两根一正一负， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 或， ， ∴m的取值范围是． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 【答案】(1)， (2)为任意实数 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）先将代入方程可得，则可得，再将代入方程，利用因式分解法解方程即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入求解即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的方程， ∴， ∴， 将代入方程得：，即， 解得或， ∴． （2）解：方程可变形为， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∵，是关于的方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴为任意实数． 题型06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 / （1）确定 的值（注意符号，包含负号）； （2）代入公式计算 ； （3）根据 正负，判定根的情况. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．可能有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．不可能有一根为 D．一定没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算根的判别式的取值范围，结合判别式与根的情况的关系即可判断，再验证特殊情况排除错误选项． 【详解】∵方程是一元二次方程，，，， ∴. ∵无论取任意实数，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故B正确，A、D错误， 当时，方程变为，解得，，此时方程有一根为，故C错误， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先利用判别式判断方程是否有实数根，再根据两根乘积的符号判断根的正负性，即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， ∵ 无论取任意实数，都有 ∴ ，因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根分别为，，则， ∴ 两个根异号，即方程有一个正根，一个负根. 2．（2026·河北石家庄·一模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根之和为2 C．两根之积为3 D．两根之和为1 【答案】B 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用因式分解法求出方程的两个根，进而判断各选项的正误． 【详解】∵原方程为 ，移项整理得 ，对左边因式分解得 ， ∴解得 ，， 计算得：两根之和为 ，两根之积为 ，方程有两个不相等的实数根， 因此A，C，D错误，B正确． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $