2.1 一元二次方程（题型专练，4基础2提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本练习以“概念辨析—参数计算—模型构建”为分层路径，通过基础巩固与适度提升的梯度设计，系统强化一元二次方程核心知识，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|一元二次方程定义、一般形式|以选择题为主，通过辨析式设问强化概念理解，如“属于一元二次方程的是”培养抽象能力| |概念应用层|由解求参数、简单列方程|结合参数计算与实际情境，如“方程根为0求参数值”提升运算能力，“矩形面积问题”渗透模型意识| |综合实践层|复杂应用与方法迁移|设置“换根法”“增产百分率”等拓展题，通过问题转化培养推理意识，衔接阶段测评需求|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.1一元二次方程 题型一一元二次方程的定义 题型二由一元二次方程的定义求参数的值 基础达标题 题型三一元二次方程的一般形式 题型四一元二次方程的解 一元二次方程 题型一由一元二次方程的解求参数 能力提升题 题型二列一元二次方程 拓展培优题 A 基础达标题 题型一一元二次方程的定义 1.C 2.A 3.C 4.B 题型二由一元二次方程的定义求参数的值 1.a≠1 2.1 3.-2 4.-1 题型三一元二次方程的一般形式 1.B 2.B 3.x2+2x-1=0 4.-4 题型四一元二次方程的解 1.B 1/2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.C 3.49 4.-2026. B 能力提升题 题型一由一元二次方程的解求参数 1.C 2.-1012 3.-2 4.1 题型二列一元二次方程 1.A 2.A 3.x(x+12)=864. 4.300(1+x)2=507. 拓展培优题 1.A 2.(29+2x)(22+2x)=号×29×22. 3.(1)4;(2)48 4.(1)y2-y-2=0:(2)3y2-7+2=0:(3)克、-1. 2/2 2.1 一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 4．下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 由一元二次方程的定义求参数的值 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 3．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 4．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 题型三 一元二次方程的一般形式 1．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 3．将一元二次方程化为一般式为______． 4．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 题型四 一元二次方程的解 1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 3．计算：m＝2n+7，则m2﹣4mn+4n2的值是　　 ． 4．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 题型一 由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 3．已知是关于的一元二次方程的解，则________． 4．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 题型二 列一元二次方程 1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 2．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 3．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 4．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　 　 ． 1．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 2．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程　 　 ． 3．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值． （1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ． （2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值． 4．请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得y2+2y﹣4＝0 故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ． （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2，﹣1，直接写出一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为　 　 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 2．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 【答案】A 【详解】解：∵方程甲 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴甲是一元二次方程； ∵方程乙 含有，两个未知数， ∴乙不是一元二次方程； 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 4．下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 题型二 由一元二次方程的定义求参数的值 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 3．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 4．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 题型三 一元二次方程的一般形式 1．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 3．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 4．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 题型四 一元二次方程的解 1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【答案】C 【解答】解：∵方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0为一元二次方程， ∴k﹣1≠0， ∴k≠1． 将x＝0代入（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，得：k2﹣1＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝1（不合题意，舍去）． 故选：C． 3．计算：m＝2n+7，则m2﹣4mn+4n2的值是　　 ． 【答案】49． 【解答】解：m2﹣4mn+4n2 ＝（m﹣2n）2． ∵m＝2n+7， ∴m﹣2n＝7． 当m﹣2n＝7时， 原式＝72＝49． 故答案为：49． 4．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 【答案】﹣2026． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0，则a2+a＝1， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴a+10，即a1． ∴ ＝1+a2026 ＝﹣2025+a ＝﹣2025﹣1 ＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 题型一 由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 2．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 3．已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 4．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意，将代入方程， 得 ， 整理得 ， 即 ， 解得 ． 题型二 列一元二次方程 1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【答案】A 【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 故选：A． 2．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【答案】A 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 3．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 【答案】x（x+12）＝864． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 4．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　 　 ． 【答案】300（1+x）2＝507． 【解答】解：平均每年增产的百分率为x， 根据题意得，300（1+x）2＝507， 故答案为：300（1+x）2＝507． 1．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b， ∴b2﹣ab+b＝0， ∵﹣b≠0， ∴b≠0， 方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0， ∴a﹣b＝1． 故选：A． 2．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程　 　 ． 【答案】（29+2x）（22+2x）29×22． 【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为： （29+2x）（22+2x）29×22． 故答案为：（29+2x）（22+2x）29×22． 3．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值． （1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ． （2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（）2﹣3＝13， ∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值为4； 故答案为4； （2）∵3， ∴m＝6， 把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8， ∴mn＝6×8＝48． 4．请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得y2+2y﹣4＝0 故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ． （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2，﹣1，直接写出一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为　 　 ． 【答案】（1）y2﹣y﹣2＝0； （2）3y2﹣7y+2＝0； （3）、﹣1． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 由条件可得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 由条件可得， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）由（2）可知，对方程cx2+bx+a＝0两边同时除以x2， 得， 则方程cx2+bx+a＝0的两根是ax2+bx+c＝0（a≠0）两根的倒数， 所以方程cx2+bx+a＝0的两根分别是、﹣1， 故答案为：、﹣1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $