第05讲 有理数的乘法与除法（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第05讲 有理数的乘法与除法 预习目标 知识回顾 1. 结合实例感知有理数乘除法意义，初步理解同号得正、异号得负的符号规则 。 2. 尝试归纳有理数乘除法法则，能简单计算含负数的乘除运算。 3. 了解倒数概念，知道除法可转化为乘法，标记预习疑点待课堂突破。 1. 回顾有理数概念、数轴与相反数，明确负数的意义及符号表示。 2. 复习有理数加减法法则，重点掌握符号判定与绝对值运算方法。 3. 回忆小学非负有理数乘除运算，能熟练计算正数间的乘除问题。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考3】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值吗？ 知识点01 有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 1．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 【答案】200 【分析】列车通过隧道行驶的总路程等于隧道长度与列车车身长度之和，先根据路程等于速度乘时间求出总路程，再减去隧道长度即可得到列车车身长度 【详解】解：列车通过隧道行驶的总路程为（米） 因为列车通过隧道的总路程隧道长度列车车身长度 所以列车车身长为（米） 知识点02 倒数 倒数 1）倒数的概念：如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4．（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 5．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 6．（25-26六年级上·上海·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值为______． 【答案】 2026 【分析】本题考查了相反数，倒数，有理数的分类，有理数加减运算等知识点的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数， ， ． 故答案为：2026． 知识点03 有理数的除法 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 7．（2026·山西吕梁·二模）计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】D 【详解】解：． 8．（2025九年级·安徽·专题练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键；根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·开学考试）和互为倒数，_______． 【答案】 【详解】解：， ∵和互为倒数， ∴， ∴原式． 题型速练 题型01 有理数的乘法运算 例1．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)0(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 【答案】 【详解】解：绝对值大于1.5且小于4的所有整数有：，，，， 绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是：，故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 【详解】解：乘积最大的是，最小的是，故答案为：，． 变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型2、有理数乘法法则的辨析 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【答案】C 【详解】解：根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数， 得3个有理数的乘积为负数时有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数，故选：C． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 【答案】 【详解】解：因为， ，所以．故答案为：． 变式2.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误； 故选：A． 变式3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后，若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C． 题型3、有理数乘法运算律 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（2025·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2(2)(3)0(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型4、倒数的概念与运用 例1．（2025·江苏扬州·二模）实数2025的倒数是（    ） A． B． C．-2025 D．2025 【答案】A 【详解】解：实数2025的倒数是．故选A． 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，的倒数是，故选：B． 变式2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，的倒数为，的倒数为， A. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； B. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； C. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； D. ，和互为倒数，故该选项符合题意；故选：D ． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【详解】解：因为，所以和互为倒数，故选：C． 题型5、有理数的除法运算 例1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【详解】解：，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，解得，所以，故答案为：． 变式3．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误；C、，故计算正确； D、，故计算错误；故选：C． 题型6、有理数除法法则的辨析 例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：，，故选：B． 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 【答案】C 【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意； C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意； D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：，，，, ，，，， 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个，故选：C． 变式3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 【答案】除以一个数等于乘以一个数的倒数 【详解】解：的变形依据是有理数的除法法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数． 故答案为：除以一个数等于乘以一个数的倒数． 题型7、有理数除法的简算 例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14 【详解】(1). (2). (3). (4). (5). (6). 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李(2)乘法分配律(3) 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确，故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 变式3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)．(3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型8、有理数乘除法的混合运算 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①，故原计算错误；②，故原计算错误； ③，故计算正确；④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个，故选：． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：(1) (2) 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型9、有理数乘除法的实际应用 例1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【答案】D 【详解】解：45和55的最小公倍数为，（步），（步）， （个），，， 即这个冰雕的底面周长大约是，故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】 【详解】根据题意，得．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 【答案】 【详解】解：∵辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 由辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨），则剩余货物：（吨）， ∵辆大卡车和辆小卡车被调走执行其他任务， ∴剩下大卡车数量为（辆），剩下小卡车数量为（辆）， ∴辆大卡车和辆小卡车运货吨，∴需要的时间为：（小时），故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元．(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元；方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 【答案】(1)六，15(2)盈利135元(3)方案二 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是周六，最高单价是（元）； （2）解：根据题意可得这一周每天每斤百香果的利润分别为3元，0元，5元，1元，4元，7元，元， 则（元）， 即这一周超市出售此种百香果的收益为盈利135元； （3）解：方案一：（元）；方案二：（元）； ∵，∴选择方案二购买更省钱． 题型10、有理数乘除法的新定义问题 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（   ） A． B． C．2020 D．2021 【答案】A 【详解】解：∵，∵， ∵， ∴，故选：A． 变式1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【答案】A 【详解】解∶∵，∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵，∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵，∴214不是“和倍数”， ∵，∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选：A． 变式2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，； (2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①； ∵，，∴，则①是“隔一数对”； ②；∵，， ∴，则②不是“隔一数对”；故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现：计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 【答案】(1)共有35种选法(2)3；1；4；10；5；15；(3)220 【详解】（1）解：根据公式，答：共有35种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵，， ∴，     故答案为3；1；4；10；5；15； （3） ． 基础过关 一、单选题 1．（2026·河南驻马店·二模）倒数的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是， ， 倒数的绝对值是． 2．（2026·河南平顶山·二模）计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 4．（2026·浙江绍兴·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图得到，逐项验证选项中的结论即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的对应点的位置可知， ，，，， 则四个选项中的结论只有C正确． 二、填空题 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】3 【分析】按照有理数混合运算的顺序，先计算括号内的乘法，再计算括号内的加减法，最后计算括号外的乘法即可得到结果． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 7．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 三、解答题 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： ． 9．（2026·河北·二模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)李阿姨节约19.2元 (2)相当于每盒单价42元 (3)使用满888元减168元优惠券购买最划算 【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可； （2）首先求出王阿姨只需要花费7盒的钱，然后计算出总价，再除以8即可求解； （3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 节约钱数为（元） 答：李阿姨节约19.2元． （2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒， ∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， ∴（元） ∴（元） 答：相当于每盒单价42元． （3）解：①方案一总价：（元） ②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， （元）； ③优惠券方案：（元）， ，可减168元． （元） ∵， ∴使用满888元减168元优惠券最划算． 答：使用满888元减168元优惠券购买最划算． 能力提升 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 2．（2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 3．（2026·湖北荆州·二模）表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【分析】由前两个图可知一个大球与一个小球的体积是9立方厘米，再由第三个图可知一个大球与五个小球的体积是17立方厘米，就用一个大球与五个小球的体积减去一个大球与一个小球的体积，就是四个小球的体积：立方厘米，再用四个小球的体积除以4就是一个小球的体积，据此求解即可． 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 90 100 130 150 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用______元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元． 【答案】 100 380 【分析】根据收费标准，枚举方案求解即可 【详解】解：家庭3人想划船，需租四人船，最少需准备租船费用100元； 3艘四人船，1艘六人船的费用为：（元）； 2艘四人船，1艘八人船，1艘两人船的费用为：（元）； 1艘四人船，2艘六人船，1艘两人船的费用为：（元）； 1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船的费用为：（元）； 3艘六人船的费用为：（元）； 2艘八人船，1艘两人船的费用为：（元）； 因为， 故租船的总费用最低为380元． 三、解答题 8．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 9．（20-21六年级上·山东烟台·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 【答案】(1)能 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】（1）解：对于三位数735，割掉末位数字5得73，， ∵63是7的倍数， ∴735能被7整除． （2）证明：对于三位数，割掉末位数字c得， 若是7的倍数，则设（k为整数）， 即：， ∴， ∴， ∵k、c为整数， ∴为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数的倒数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是2026，2026的倒数是． 2．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 3．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 4．（2026·山东济宁·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，a对应的点在和之间，b对应的点在0和1之间， ∴，， A项：∵，， ∴，， ∴，故A正确； B项：∵，， ∴，故B错误； C项：∵，， ∴，故C错误； D项：∵，， ∴故D错误. 二、填空题 5．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 【答案】 【详解】解：设原来的观众人数为，原来票价为元，则原来总收入为元， 降价后观众增加一半，因此降价后的观众人数为： 收入增加五分之一，因此降价后的总收入为：元， 可得降价后的门票单价为：元， 因此降价金额为：元． 7．（2026·山东潍坊·二模）如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 三、解答题 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)7 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法 预习目标 知识回顾 1. 结合实例感知有理数乘除法意义，初步理解同号得正、异号得负的符号规则 。 2. 尝试归纳有理数乘除法法则，能简单计算含负数的乘除运算。 3. 了解倒数概念，知道除法可转化为乘法，标记预习疑点待课堂突破。 1. 回顾有理数概念、数轴与相反数，明确负数的意义及符号表示。 2. 复习有理数加减法法则，重点掌握符号判定与绝对值运算方法。 3. 回忆小学非负有理数乘除运算，能熟练计算正数间的乘除问题。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考3】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值吗？ 知识点01 有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 1．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 2．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 知识点02 倒数 倒数 1）倒数的概念：如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4．（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 5．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 6．（25-26六年级上·上海·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值为______． 知识点03 有理数的除法 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 7．（2026·山西吕梁·二模）计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 8．（2025九年级·安徽·专题练习）计算：________． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·开学考试）和互为倒数，_______． 题型速练 题型01 有理数的乘法运算 例1．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 变式2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型2、有理数乘法法则的辨析 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 变式2.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 题型3、有理数乘法运算律 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 变式3．（2025·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 题型4、倒数的概念与运用 例1．（2025·江苏扬州·二模）实数2025的倒数是（    ） A． B． C．-2025 D．2025 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 题型5、有理数的除法运算 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 变式3．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型6、有理数除法法则的辨析 例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 变式2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 题型7、有理数除法的简算 例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 变式3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 题型8、有理数乘除法的混合运算 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：(1) (2) 变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 题型9、有理数乘除法的实际应用 例1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元．(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元；方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 题型10、有理数乘除法的新定义问题 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（   ） A． B． C．2020 D．2021 变式1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 变式2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，； (2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现：计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 基础过关 一、单选题 1．（2026·河南驻马店·二模）倒数的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·二模）计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 4．（2026·浙江绍兴·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 7．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 三、解答题 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 9．（2026·河北·二模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 能力提升 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2026·湖北荆州·二模）表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 90 100 130 150 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用______元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元． 三、解答题 8．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 9．（20-21六年级上·山东烟台·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数的倒数是（    ） A． B． C．2026 D． 2．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 3．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济宁·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 7．（2026·山东潍坊·二模）如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 三、解答题 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $