专题07 有理数的乘方-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题07.有理数的乘方 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数乘方的概念 4 题型2、有理数乘方的运算 5 题型3、乘方运算的符号规律 7 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 8 题型5、偶次方的非负性的运用 9 题型6、用科学记数法表示大于1的数 10 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 11 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 12 题型9、有理数乘方的实际应用 12 题型10、有理数乘方的新定义问题 15 基础通关 18 拓展提优 23 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2025年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，截至2024年末，我国保险业总资产35.9万亿元，净资产3.32万亿元。中国作为全球第二大保险市场，保费规模已突破5万亿元，但保险密度(人均保费)与发达国家仍存在差距。在赔付方面，2024年我国保险业原保险赔付支出2.3万亿元，其中财产险9810亿元、人身险1.32万亿元。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 35.9万亿元=35 9000 0000 0000元；3.32万亿元= 3 3200 0000 0000元；5万亿元=5 0000 0000 0000元； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年；138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 【科学记数法的发展历程】科学记数法最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德的时代，阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中首次使用了科学记数法来表示非常小的数。后来,随着科学技术的发展和人类对自然界认识的深入，科学记数法逐渐被广泛应用于各个领域。特别是在计算机出现之后，科学记数法成为了计算机内部表示小数和浮点数的一种重要方式。随着科技的不断进步和人类对自然界认识的深入，未来科学计数法将会更加广泛地应用于各个领域。随着大数据时代的到来，科学记数法可以更精确地表示和分析大规模数据。随着人工智能的发展，科学记数法可以用于优化算法和提高机器学习的效率;随着量子计算等新兴技术的出现和发展，科学记数法将会成为处理量子信息和模拟量子现象的重要工具之一。因此未来科学计数法将会不断地发展和完善，为人类科技进步做出更大的贡献。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 2．整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 3.科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法，当a=1时，可简写成。 科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4个相乘 4 4个2相乘的相反数 2 4 【详解】（1 ），底数是，指数是4，故答案为：，，4； （2）表示的意义是4个相乘，底数是，指数是4； 表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个相乘，，4；4个2相乘的相反数，2，4． 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．的指数是3 C．的底数是 D．的指数是4 【答案】D 【详解】解：A、的底数是6，故A不正确，不符合题意； B、的指数是3，故B不正确，不符合题意；C、的底数是2，故C不正确，不符合题意； D、的指数是4，故D正确，符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）关于和，下列说法中正确的是（   ） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们的底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．它们的底数不同，但运算结果相同 【答案】D 【详解】解：的底数是5，指数是3，表示3个5的乘积的相反数，运算结果为， 的底数是，指数是3，表示3个的乘积，运算结果为， 故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同， 所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意，故选：D． 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）对于，下列说法正确的是（   ） A．底数是 B．指数是 C．幂为 D．表示个相加 【答案】C 【详解】解：的底数是，指数是，幂是9，表示个相乘．故选：C． 变式3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（   ） A．7a B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（24-25七年级上·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)1 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 例2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，原式．故选：B． 变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D． 变式3．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式：，故答案为：． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】乘方的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数．故选：A． 例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：当时，①，正确．②，正确． ③，故错误．④，则，故错误．故选：A． 例3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A． 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列各数中：负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】，负数有共2个，故选：B． 变式2．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 【答案】A 【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数， 当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A． 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 【解题技巧】性质： 例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【详解】解：（1）①，； ②，； （2）； （3），理由如下：； （4）． 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵∴∴∴，故选：D． 变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【详解】解：＝1×8＝8故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【详解】解：原式．故选：B． 题型5、偶次方的非负性的运用 【解题技巧】 1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，∴，， ∴，，∴．故答案为：． 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴ ∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵∴，，∴，， ∴故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；故选：． 题型6、用科学记数法表示大于1的数 【解题技巧】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 例1．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 变式1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约万平方米，设计藏书量800万册．其中800万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得800万，故选：C． 变式2．（2025·广东云浮·一模）人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：140 亿，故选：B． 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 【解题技巧】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据题型1中的方法求解即可。 例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵22亿元= ，∴，故选：B. 变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B． 变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，．故选：A． 变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨．故选：C． 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 【解题技巧】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 例1．（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【详解】解：亿．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）把用科学记数法表示的数写成原数： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是19位数，那么n的值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵是19位数，∴，故答案为：18． 题型9、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（    ） A．16个 B．个 C．8个 D．个 【答案】B 【详解】解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； 经过小时即个30分钟分裂为个细胞；故选：B． 例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【详解】解：∵，，，，，，，，......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵，∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，，......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，∴的末位数字是5．故选：B． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】A 【详解】一张纸的厚度约为毫米，纸张对折次，纸张厚度为毫米， 珠穆朗玛峰高约为米，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则有， ，，， 至少对折次后，它的厚度超过珠穆朗玛峰高度．故选：A． 变式2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度为， 第二阶段时，余下的线段的长度为， 第三阶段时，余下的线段的长度为，…， ∴当达到第n个阶段时，余下的线段的长度为 ∴当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为．故选：D． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米…… ∴第五天截取后剩：米．故答案为：2． 题型10、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】解：∵，∴ ∴．故选：A． 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______．(2)求的值．(3)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)互为相反数，理由见解析 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）解：与互为相反数，理由如下：， ，故与互为相反数． 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 【答案】1 【详解】解：第一次：，第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：， 第三次：∵∴计算结果为 第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，…… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1． 变式2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1，(2)D(3)12 【详解】（1）解：由题意可得：；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误；故选D； （3） ； 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列各式中与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， A．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意； B．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意； C．因为，所以此选项中的式子与相等，故此选项符合题意； D．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意．故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）的值是（　　） A． B．49 C． D．14 【答案】A 【详解】解：∵，∴故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果，那么代数式的值是（   ） A．1 B． C． D．2023 【答案】A 【详解】解：由于，， 所以，所以； 当时，；故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 【答案】B 【详解】解；有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度为毫米，即接近成人的手掌宽度，故选：B． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，，∴个位数字是每个一循环， ∵，∴的个位数字为，∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，∴个位数字是每个一循环， ∵，∴的个位数字为，∴的个位数字为， ∴的个位数字为，故选：D． 6．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在课外兴趣小组活动中，小明对制作的行走机器人进行5分钟行走测试．若机器人第1分钟行走，从第2分钟起每分钟的行走路程是前一分钟的2倍，则机器人在第5分钟行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：第5分钟行走的路程是．故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：（）最大的负整数是，该选项说法错误； （）数轴原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数，该选项说法错误； （）如果两个不为的数互为相反数，那么它们的商为，该选项说法错误； （）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，该选项说法正确； ∴正确的说法只有个，故选：． 8．（2025·河北保定·一模）截至2024年8月28日，电影《抓娃娃》票房突破32.26亿元，下列说法正确的是（   ） A．32.26亿用科学记数法表示为 B．32.26亿用科学记数法表示为 C．它是一个8位数 D．它是一个9位数 【答案】B 【详解】解：亿．故32.26亿是一个十位数.故选：B 9．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（    ） ①甲：是2个5相加；        ②乙：与是不同的结果； ③丙：；        ④丁：是个4相乘． A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①甲：是5个2相乘；，故甲计算错误； ②乙：，，结果相同；故乙计算错误； ③丙：；故丙计算错误；④丁：是4个相乘．，故丁计算错误；故选：A． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，底数是 ． 【答案】 【详解】解：中，底数是，故答案为：． 11．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）若，互为倒数，则 ． 【答案】 【详解】解：，互为倒数，，，故答案为：． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知a，b满足，那 ． 【答案】5或或 【详解】解：解：，，或．故答案为：5或． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成了2个孙悟空；这两个孙悟空摇身一变，共变成4个孙悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空……；假设悟空一连变了31次，那么会有 个孙悟空． 【答案】 【详解】解：由题意得，变了31次共有个孙悟空．故答案为：． 14．（2025·江苏泰州·二模）2025年一季度泰兴市实现地区生产总值约377亿元，总量泰州第一，将377亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：377亿，故答案为：． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 【答案】 6 2730000 【详解】∵是一个7位数，∴，原数为 2730000．故答案为：6，2730000． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）用“＞”或“＜”号填空： ． 【答案】 【详解】解：∵， 又，∴，∴，故答案为： 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当把一张纸对折1次时，纸的层数为2；对折2次时，纸的层数为4，照这样折下去：(1)当你将纸对折5次时，其层数是________；对折6次时，其层数是________． (2)如果一张纸的厚度是，假设对折6次，求对折后纸的总厚度？ 【答案】(1)32，64(2)对折6次纸的总厚度为6.4mm 【详解】（1）解：对折1次时，纸的层数为：；对折2次时，纸的层数为：； 对折3次时，纸的层数为：；对折4次时，纸的层数为：； 对折5次时，纸的层数为：；对折6次时，纸的层数为：；故答案为：32，64 （2）∵对折6次时，纸的层数为， ∴（）．故对折6次后纸的总厚度为． 18．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6(2)(3)； 【详解】（1）解：根据题意得：，故最大值为； （2）解：，故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 19．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案】(1)0.02克(2)千克(3)元(4)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：（克），答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． （4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可） 1．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数．B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数．D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）．故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与．则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意．故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意．故选：A． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴．故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【答案】D 【详解】解：黑色代表1，白色代表0， ∴图2中，第一行，转换成10进制数为：， 第二行，转换成10进制数为：， 第三行，转换成10进制数为：， 第四行，转换成10进制数为：， 第五行，转换成10进制数为：， ∴小张的准考证号为，故选：D ． 5．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【详解】解：原式．故选：B． 6．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故是正数； 当时，则，即，故是正数；故（2）正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B. 7．（24-25七年级上·浙江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ，则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5，故答案为：5． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】（1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】（3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【详解】解：（1）①∵，，，∴； ②∵，，，∴； ③∵，，，∴；故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵，∴，即，故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；… 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为，所以． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07.有理数的乘方 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数乘方的概念 4 题型2、有理数乘方的运算 5 题型3、乘方运算的符号规律 7 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 8 题型5、偶次方的非负性的运用 9 题型6、用科学记数法表示大于1的数 10 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 11 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 12 题型9、有理数乘方的实际应用 12 题型10、有理数乘方的新定义问题 15 基础通关 18 拓展提优 23 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2025年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，截至2024年末，我国保险业总资产35.9万亿元，净资产3.32万亿元。中国作为全球第二大保险市场，保费规模已突破5万亿元，但保险密度(人均保费)与发达国家仍存在差距。在赔付方面，2024年我国保险业原保险赔付支出2.3万亿元，其中财产险9810亿元、人身险1.32万亿元。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 35.9万亿元=35 9000 0000 0000元；3.32万亿元= 3 3200 0000 0000元；5万亿元=5 0000 0000 0000元； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年；138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 【科学记数法的发展历程】科学记数法最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德的时代，阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中首次使用了科学记数法来表示非常小的数。后来,随着科学技术的发展和人类对自然界认识的深入，科学记数法逐渐被广泛应用于各个领域。特别是在计算机出现之后，科学记数法成为了计算机内部表示小数和浮点数的一种重要方式。随着科技的不断进步和人类对自然界认识的深入，未来科学计数法将会更加广泛地应用于各个领域。随着大数据时代的到来，科学记数法可以更精确地表示和分析大规模数据。随着人工智能的发展，科学记数法可以用于优化算法和提高机器学习的效率;随着量子计算等新兴技术的出现和发展，科学记数法将会成为处理量子信息和模拟量子现象的重要工具之一。因此未来科学计数法将会不断地发展和完善，为人类科技进步做出更大的贡献。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 2．整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 3.科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法，当a=1时，可简写成。 科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．的指数是3 C．的底数是 D．的指数是4 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）关于和，下列说法中正确的是（   ） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们的底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．它们的底数不同，但运算结果相同 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）对于，下列说法正确的是（   ） A．底数是 B．指数是 C．幂为 D．表示个相加 变式3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（   ） A．7a B． C． D． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（24-25七年级上·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 例2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（  ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】乘方的符号规律： 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 例3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列各数中：负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（    ） A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等 题型4、有理数乘方的逆运算（简算） 【解题技巧】性质： 例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 题型5、偶次方的非负性的运用 【解题技巧】 1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则 ． 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为 ． 变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 题型6、用科学记数法表示大于1的数 【解题技巧】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 例1．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约万平方米，设计藏书量800万册．其中800万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·广东云浮·一模）人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型7、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 【解题技巧】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据题型1中的方法求解即可。 例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 题型8、将用科学记数法表示的数变回原数 【解题技巧】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 例1．（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）把用科学记数法表示的数写成原数： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是19位数，那么n的值为 ． 题型9、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（    ） A．16个 B．个 C．8个 D．个 例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 变式2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 题型10、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______．(2)求的值．(3)猜想与的关系，并说明理由． 变式1．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 变式2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列各式中与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）的值是（　　） A． B．49 C． D．14 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果，那么代数式的值是（   ） A．1 B． C． D．2023 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 5．（2024·广东梅州·模拟预测）的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在课外兴趣小组活动中，小明对制作的行走机器人进行5分钟行走测试．若机器人第1分钟行走，从第2分钟起每分钟的行走路程是前一分钟的2倍，则机器人在第5分钟行走的路程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北保定·一模）截至2024年8月28日，电影《抓娃娃》票房突破32.26亿元，下列说法正确的是（   ） A．32.26亿用科学记数法表示为 B．32.26亿用科学记数法表示为 C．它是一个8位数 D．它是一个9位数 9．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（    ） ①甲：是2个5相加；        ②乙：与是不同的结果； ③丙：；        ④丁：是个4相乘． A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，底数是 ． 11．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）若，互为倒数，则 ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知a，b满足，那 ． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成了2个孙悟空；这两个孙悟空摇身一变，共变成4个孙悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空……；假设悟空一连变了31次，那么会有 个孙悟空． 14．（2025·江苏泰州·二模）2025年一季度泰兴市实现地区生产总值约377亿元，总量泰州第一，将377亿用科学记数法表示为 ． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）用“＞”或“＜”号填空： ． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当把一张纸对折1次时，纸的层数为2；对折2次时，纸的层数为4，照这样折下去：(1)当你将纸对折5次时，其层数是________；对折6次时，其层数是________． (2)如果一张纸的厚度是，假设对折6次，求对折后纸的总厚度？ 18．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 19．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？ 1．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数．B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数．D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 5．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 6．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·浙江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】（1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】（3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；… 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$