第04讲 有理数的加法与减法（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第04讲 有理数的加法与减法 预习目标 知识回顾 1. 了解有理数加减法法则，能区分同号、异号相加及减法转加法的规则。 2. 借助数轴理解加减法的几何意义，初步体会数形结合思想。 3. 尝试简单运算，标记符号处理等疑难，为课堂学习做准备。 1. 回顾正数、负数、相反数与绝对值的概念，明确其在运算中的作用。 2. 回忆小学非负数加减法，对比感知有理数运算符号的新变化。 3. 复习数轴三要素，能利用数轴表示有理数，为理解加减几何意义奠基。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】一间0℃冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升4℃，接着再上升2℃； (2) 第一次下降4℃，接着再下降2℃； (3) 第一次下降4℃，接着再上升2℃； (4) 第一次上升4℃，接着再下降2℃。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降4℃，即上升-4℃；下降2C，即上升- 2℃；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【思考2】下列是江苏南京连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 多云，南风级 阵雨，北风级 阵雨，北风级 晴，西北风级 知识点01 有理数的加法 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3）如果a+b＝0，那么b，a互为相反数。 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 1．（2026·山西晋中·模拟预测）计算的结果是（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用同号两数相加的运算法则求解即可． 【详解】解：是两个同号负数相加，根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加， ． 2．（23-24七年级上·广东中山·阶段检测）将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1) 多了，多吨 (2) 吨 【分析】（）将周一和周二的货物变化量相加，根据结果的正负判断货物比原来多了吨； （）先算出周一到周五的总变化量，再用周五结束时的货物总量减去总变化量，得到原有货物吨数． 【详解】（1）解：∵进出记录按顺序，周一为吨，周二为吨， ∴周二结束的总变化量： 结果为正， 说明货物比原来多了，多吨； （2）解：周一到周五五天的总变化量： 说明周五结束时，货物比原来一共多了吨， ∵周五结束共有货物吨， ∴原有货物为：吨． 知识点02 有理数的减法 有理数减法的定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 4．（2026·天津北辰·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将原式转化为加法计算即可得到结果． 【详解】解：． 5．（22-23七年级上·广东东莞·期中）计算：___________． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 6．（2026·福建莆田·模拟预测）为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． 知识点03 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 8．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先写成省略括号的形式，再根据有理数的加减混合运算法则逐步计算得到结果； （2）先写成省略括号的形式，再运用加法结合律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型速练 题型01 有理数的加法运算 例1．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：=+（20-12）； （2）解：=-（8+32）； （3）解：=-（）； （4）解：=-（）； （5）解：； （6）解：==-（3+54）+=-57+=-（57-）； 变式1．（2025·江苏泰州·一模）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：；，故A选项错误不符合题意； ，故B选项错误不符合题意；，故C选项错误不符合题意； ，故D选项正确，符合题意；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）比大3的数是 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可知：，故答案为：1． 变式3．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 题型2、有理数加法法则的辨析 例1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【答案】D 【详解】解：如果两个有理数的和是负数那么这两个数可能是一个正数与一个负数，例如，可能都是负数，例如，也可能是0和一个负数，例如，故D正确．故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是非负数；④表示的数一定是负数． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①，和2不大于加数3，①是错误的； 从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，②是错误的． 绝对值是它本身的数是0和正数，即是非负数，③是正确的； 表示的数可以是负数，也可以是0或正数，④是错误的； 综上所述：正确的是③，共1个．故选：C 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意；故选：C． 题型3、有理数加法的运算律 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律．故选：B． 变式1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【详解】解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算．故选∶ D． 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（23-24七年级上·广东·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型4、有理数的减法运算 例1．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)． 【详解】（1）解：；（2）解：； （3）解：；（4）解：； （5）解：；（6）解：； （7）解：；（8）解：；（9）解：； 变式1．（24-25七年级上·广东·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选：D ． 变式2．（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：原式；故选：D． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：=； （2）解；=； （3）解：； （4）解；． 题型5、有理数减法法则的辨析 例1．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 【答案】A 【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确； B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误； C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误； D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A． 变式1．（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：如图可知，，，且离原点更近一些，故： A、正确，符合题意；B、由图知，故错误，不符合题意； C、因为，所以，故C错误，不符合题意； D、因为，所以，且离原点更近一些，则，故，符合题意；故选AD． 变式2.（24-25·广东·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 【答案】C 【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意； B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意； C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意； D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ．故选：C． 变式3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）对于有理数，若，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，关键是作差法的应用；通过比较和 的差进行分析． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故答案为：． 题型6、有理数加减法统一成加法 例1.（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，把写成省略括号的和的形式是，故选：A． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 【答案】D 【详解】解：算式正确读法为负5，正6，负7，负2的和．故选：D． 变式3．（23-24七年级上·重庆永川·阶段检测）计算：______． 【答案】17 【分析】本题考查有理数的加减运算，需运用有理数的加减法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：17． 题型7、有理数的加减混合运算 例1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)，(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1)；(2) 【答案】(1)(2)1.5 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误；(3)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)交换；结合(2)三(3)见解析 【详解】（1）解：小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律；故答案为：交换；结合． （2）解：她从第三步开始出现错误；故答案为：三． （3）解：原式 ． 变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 变式3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 例1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；故选A． 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，乙地的平均海拔为．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（   ） A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟 【答案】B 【详解】解：按照便利店的时间，小王从便利店到家再返回便利店共用时20分钟， 所以小王从便利店到家用时10分钟，所以小王到家的时间应是4点5分， 而小王家准确时间是4点10分，且（分钟），所以便利店的时间比准确时间慢了5分钟；故选：B． 变式3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9．若收到的密文是2024，那么通过解密，它对应的明文是 ．（明文是0~9之间的数字） 【答案】6468 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ，，，． 故它对应的明文是6468．故答案为：6468． 题型10、有理数加减混合运算的新定义 例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数，若，则；若，则，例： 根据理解，解答下列问题：(1) ；(2)当时，有，试求的值；(3)化简：． 【答案】(1)(2)(3)x或或 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：当时，有．因为，所以，即． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为x或或． 变式1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______，(2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 【答案】(1)，6(2)(3)满足交换律，理由见解析 【详解】（1）解：． ．故答案为：，6． （2）解：∵，∴，∴，故答案为：． （3）解：满足交换律，理由如下： ①当时，则，， ∴，， ∴，此时“”运算满足交换律； ②当时，∴， ，∴，此时“”运算满足交换律； ③当时，则，，∴， ，∴， 此时“”运算满足交换律；综上，“”运算满足交换律． 变式3．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：________；_______；________；_______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12；(2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴；； ；； （2）解：； 加法的交换律仍然适用， 例如：，，∴，故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，，，∴结合律不适用． 基础过关 一、单选题 1．（2026·四川乐山·一模）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到之后，直到第二天凌晨气温下降了，则第二天凌晨的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中午最高气温为，气温下降了， ∴第二天凌晨的气温为． 3．（2026·湖南长沙·一模）某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目规定的正负意义，将初始温度和两次温度变化转化为正确的有理数加法算式，即可选出正确选项. 【详解】解：∵题目规定温度下调记为负，上调记为正，初始温度为， ∴下调记为，上调记为， ∴调整后冷库的温度为：. 二、填空题 4．（2026·安徽阜阳·二模）_____． 【答案】2 【详解】解：． 5．（2026·安徽芜湖·二模）在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为，固态氧的熔点为，固态酒精的熔点比固态氧的熔点高________． 【答案】101 【详解】解：. 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案． 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 三、解答题 7．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 9．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 10．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 能力提升 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一袋大米的包装上标有“净重”的字样，表示它最轻是（   ）． A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】“净重”表示大米的标准质量为，实际质量允许在标准质量基础上上下浮动，要求最轻质量，只需用标准质量减去允许的浮动值即可． 【详解】解：∵“净重”中，最轻质量为标准质量减去浮动值， ∴最轻质量为． 2．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 6．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 7．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 三、解答题 8．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 10．（21-22七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可． 【详解】解： 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年全国多地遭遇强冷空气侵袭，湖南某气象观测站记录到长沙1月某日数据，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日长沙最高气温比最低气温高（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最高气温为，最低气温为， 最高气温比最低气温高． 4．（2026·河南·模拟预测）如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：冷藏室比冷冻室温度高． 二、填空题 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 【答案】或8 【分析】点B的位置有两种情况，分别在点A的左侧和点A的右侧，根据数轴上两点间距离的定义列方程求解即可． 【详解】解：若点B在点A的右侧，则点B对应的数为， 若点B在点A的左侧，则点B对应的数为， 因此点B在数轴上对应的数是8或． 6．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，进而求出线段的长度． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 三、解答题 8．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据和解答；②根据解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲有理数的加法与减法 启新温故 预习目标 知识回顾 1. 了解有理数加减法法则，能区分同号、异号相 1.回顾正数、负数、相反数与绝对值的概念， 加及减法转加法的规则。 明确其在运算中的作用。 2.借助数轴理解加减法的几何意义，初步体会数2.回忆小学非负数加减法，对比感知有理数运 形结合思想。 算符号的新变化。 3. 尝试简单运算，标记符号处理等疑难，为课堂 3.复习数轴三要素，能利用数轴表示有理数， 学习做准备。 为理解加减几何意义奠基。 新课一点通 新知导图 运算法则 有理数的加法 运算律 有理数的加法与减法 实质：将减法转化为加法 有理数的减法 法则 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01有理数的加法运算 题型06有理数加减法统一成加法 题型02有理数加法法则的辨析 题型07有理数的加减混合运算 题型03有理数加法的运算律 有理数的加法与减法 题型08有理数加减混合运算中的简便计算 题型04有理数的减法运算 题型09有理数加减混合运算的实际应 用 题型05有理数减法法则的辨析 题型10有理数加减混合运算的新定义 预习精讲 DDD 想一想 【思考1】一间0℃冷藏室连续两次改变温度： (1)第一次上升4℃，接着再上升2℃；(2)第一次下降4℃，接着再下降2℃： (3)第一次下降4℃，接着再上升2℃；(4)第一次上升4℃，接着再下降2℃。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度？ 注意：(1)上升：下降4℃，即上升-4℃；下降2C,即上升-2℃；(2)共：对连续两次温度变化进行求和： (3)可借助温度计（或数轴）理解。 hwkwhwwhwwh -20-1001020304050 文06432101b日→ 【思考2】下列是江苏南京连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 冷 2120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 414℃多云，南风<3 -4~7℃阵雨，北风<3 0~9℃阵雨，北风<3级 -6~-3℃晴，西北风<3级 级 级 知识点O1有理数的加法 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加；(2)异号两数相加，绝对值 相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值： (3)一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1)有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2)计算的时候要看清符号， 同时要熟练掌握计算法则；3)如果叶b=0,那么b,α互为相反数。 3运算律： 1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变：即什b=b什a。 2)加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即（什b十c=+ (b+c) 注意：1)利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2)注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 即学即练 1。（2026-山西晋中模拟预测)计算3+(-2) 的结果是() A.5 B.-1 C.1 D.-5 2.(2324七年级上广东中山阶段检测)将6-(+7)+(-5)(-2》改写成省略加号的和的形式应为 3.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)某仓库周一到周五的货物进出记录如下（+表示进库，·表 示出库，单位：吨)：+8，-3，+5，-6，+4 ()周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ 3/20 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数， 知识点02有理数的减法 一、 有理数减法的定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b=a+(-b)。 注意：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 即学即练 4.(2026天津北辰·二模)计算6-（-2)的结果等于() A.-4 B.4 C.-8 D.8 --5-(-5)= 5.(22-23七年级上广东东莞期中)计算： 6.(2026福建莆田模拟预测)为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度.其中， 飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水 库水位上升至24.8米，记作+1.3米.那么，当水位降至22.9米时，应记作 米. 知识点03有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算步骤：1)根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2)观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3)再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1)减法转化为加法的时候注意符号的改变；2)多利用运算律，能使计算更加简便。 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（-2)+(+3)+(-5)+(+4)=-2+3-5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 即学即练 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上·湖南衡阳·期中)计算 4+3-(-6)-2的结果是() A.-1 B.1 C.-3 D.3 8.(22-23七年级上·重庆九龙坡周测)计算： -()(副 9.(22-23七年级上·江苏扬州周测)计算： (1)6+(-14)+(-39) ②（7)+1)+(9)+(+2) 题型速练>D 题型O1有理数的加法运算 例1.(24-25七年级上江苏专题练习)计算： -31+21 120+(-12): 2)(-8)+(-32): (323 a引( 5)-2.8)+(-3.6)+3.6 163+72+(54) 3+(-4) 变式1.(2025江苏泰州一模)根据有理数加法法则，计算 过程正确的是() A.+(4+3) B.+4-3) c.-(4+3) D.-(4-3) 变式2.(24-25七年级上江苏宿迁·期末)比-2大3的数是 变式3.(25-26六年级上·上海宝山期末)计算： (+)引 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2、有理数加法法则的辨析 例1.(23-24七年级上·江苏常州阶段练习)如果两个有理数的和是负数那么这两个数（) A.一定都是负数B.一定是0与一个负数C.一定是一个正数与一个负数 D.可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 变式1.(24-25七年级上江苏盐城阶段练习)下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一 定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0：③绝对值是它本身的数是非负数；④一m表示的 数一定是负数. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 变式2.(24-25七年级上·重庆期末)两个有理数的和是正数.则() A.必须是两个正数 B.可以是两个负数 C.可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D.可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 变式3.(23-24七年级上·江苏无锡阶段练习)下列叙述正确的是() A.若a>0,b<0且>问，则a+b=-(a+）B.若>4，则a>b C.若a<0,b<0,则a+=a+ D.若>6，则小>4 题型3、有理数加法的运算律 例1.(24-25七年级上河北石家庄阶段练习)如图是嘉淇计算 在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是() 解：原式(34++-1+(+引 -3416+-r)@ 6/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[34-1-[- =-5+0(④) =-5 A.①是有理数减法法则B.②是分配律C.③是加法结合律D.④是有理数加法法则 变式1.(23-24七年级上江苏苏州阶段练习)计算0.54-日+0.46 8 8最好的方法是() A.按顺序进行 B.运用乘法交换律 C.运用加法结合律 D.运用加法交换律和结合律 变式2.(2024七年级上江苏专题练习)计算： a(-20+(←34+(23*15+(23，a-225)r+3号r5}+(-32) 变式3.2a4七年数上广东粉假网对引7( 可以按如下方法计 算： 列r[(++到3+ [-列()*17+（明（引+ 上面这种方法叫拆项法. 仿照上面的方法，请你计算： (引0 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4、有理数的减法运算 例1.(24-25七年级上·江苏阶段练习)计算 m-8)-8:2-8-(-8)B8-(-8):m8-8,50-6,1何0-(6)：m16-47:185-6,99+5 变式1.(24-25七年级上：广东期中)下列运算正确的是() A（4)+8=-12B5-(-8)=-3 c.（4)+(-8)=12 D.（5)+0=-5 变式2.(2025·吉林长春·一模)计算-5-3的结果是() A.2 B.-2 C.8 D.-8 变式3.(2425七年级上江苏期中)计算：9--12），26)-5,4-(-5)，43-十 题型5、有理数减法法则的辨析 例1.(24-25·山东淄博·七年级统考期中)下列说法中，正确的是( A.减去一个数，等于加上这个数的相反数B.被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C.零减去一个有理数，差一定是负数 D.两个数的差必小于零 变式1.(24-25·广东·七年级期末)（多选题）有理数4，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正 确的是( b A.b<0<a B.M<回 C.b-a>0 D.a-b>a+b 变式2.(24-25广东·七年级校联考阶段练习)下面说法中，正确的是( A.两个有理数的和一定比这两个有理数的差大：B.两个有理数的差一定小于被减数： C.零减去一个有理数等于这个有理数的相反数：D.绝对值相等的两数之差为零 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式3.(25-26七年级上·江苏苏州期末)对于有理数a,b,若b<0,则a+ba-b.(填“>”“ <”或“=”) 题型6、有理数加减法统一成加法 例1.(24-25七年级上江苏无锡阶段练习)把 +6)+(+3)-(-)+(5)写成省略加号的代数和的形式是 () A.6+3+1-5B.6-3-1-5 C.-6-3+1-5 D.6-3+1-5 变式1.(24-25七年级上江苏连云港期中)把30+(-15)+(-13)-（-7)改写成只含加法的式子为 变式2.(24-25七年级上河北邢台期中)算式“-5+6-7-2”的正确读法是() A.5,6、7、2的和B.减5加6减7减2C.负5、正6、减7、减2的和D.负5、正6、负7、负2的和 变式3.（23-24七年级上重庆永川阶段检测)计算：16+(+3)-(5)+(-7) 题型7、有理数的加减混合运算 例1.(24-25七年级上福建漳州阶段练习)计算： (1)17-31-15+23-29, a2-(22*(3+3号（到 变式1.(24-25七年级上山东济南阶段练习)计算： +(-16)-3-(6.205)-3+275-（+7） 变式2.(2425七年级上重庆期中)计算：四2+3+(6)+7,2-3)-12-(4) 变式3.(24-25七年级上重庆万州阶段练习)计算 9120 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m号6-(2到p25-27-10-27-624 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 例1.(24-25七年级上山东济南阶段练习)计算： a-12)-5+(14)-(（-39) 24+(-70++(9) 34.7-34+(-8.3) 4-30)-(-6)-(+6)-(+30) 62)-3 向( m)-25-(+.®025+)+() 变式1.2425七年级1苏泰州度可)计第.（引3+2》》 小敏的做法如下： 1 +231 解：原式52+3442（第一步 -(s》 (第二步) =-5+6(第三步) =1(第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的一一_律、-一一律； (2)请指出她从第_步开始出现错误；(3)请你写出正确的解题过程. 变式2.(23-24七年级上四川眉山阶段练习)计算（能简算的要简算）： 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 引 (2)43+(-77)+27+(-43): oH2+(引-+.2}r(99引0号+ 变式3.(24-25广西·七年级月考中)计算（能简算的要简算）： a21253432)。@0-21（引t8 e(: (-7g}-(←37+62125+(02+(26 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 例1.(24-25七年级上江苏南京期末)如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温 高( 雪 出 张 气温：-2℃~-5℃ 风向风力：微风 A.7℃ B.3℃ C.-3℃ D.-7C 变式1.(24-25七年级上江苏徐州期中)甲地的平均海拔为-12m,乙地平均海拔比甲地高50m,则乙 地的平均海拔为() A.-50m B.38m C.-38m D.19m 变式2.(24-25七年级上·江苏南京·期中)小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55 分.回到家，小王发现家里的时钟己经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的 速度返回去拿.到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分.若小王家里的时钟是准确的，则便利店的 时钟的走时情况是() A.快了5分钟B.慢了5分钟C.快了10分钟D.慢了10分钟 11/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式3.(2425七年级上广西南宁阶段练习)现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信 息的加密规则：加密钥匙为“n&5”它代表把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字. 例如明文是3，对应的密文是9.若收到的密文是2024，那么通过解密，它对应的明文是.（明文 是09之间的数字) 加密 传输 解密 明文n 密文m 密文m ⑨ ③ 明文n ⑧ ④ 6⑤ 题型10、有理数加减混合运算的新定义 例1.(2425七年级上江苏镇江期中)定义：对于一个数，我们把冈称作x的相件数，若之0，则 问=-2，若x<0,则冈x+2.例：0-15 根据理解，解答下列间题：3引：当>06<0时，有回-试求b-“的值，B化简： 2-[x+2] 变式1.(24-25七年级上湖北武汉：期中)规定可表示不超过a的最大整数，例如： [2.5]=2 【2]-3,若m=4,=5 则在此规定下[m-川 值为() A.8 B.9 C.10 D.11 变武2.(2425七年级上江苏镇江期)对于有理数a,b定义一种新运算a©6口--a-b,例 如：（1)®2=1-2+1-2=2 填空.2®3=一(2)8(-3)一，日若0>6，则a©h= 12120 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)判断“⑧”运算是否满足交换律，请说明理由， 变式3.(23-24七年级上·江苏常州阶段练习)阅读下列内容，并完成相关的问题 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进 行了运算的算式：+4)*(+2)=+6；（4)*(-3)=+7；(+5)*-3)=-8；(+6)*(-4)=-10；(+8)*0=8； 0*(-9)=9 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了” 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：（-4)*(+3)=一：(+3)*(-4)=一：（-5)*(-7)= 0*(π)= (2)拓展计算： [(-2)*(+3)*[(-12)*0] (括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结 合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证. 基础固本提升 基础过关>D 一、单选题 1.(2026四川乐山一模)计算：-3+2=() A.-1 B.-5 C.1 D.5 2.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨期中)哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到6℃之后，直到第二天 凌晨气温下降了7℃，则第二天凌晨的气温是() A.1℃ B.-1℃ C.13℃ D.-13℃ 3.(2026·湖南长沙一模)某冷库初始的温度为10℃，先下调了18℃，之后因生产需要，又上调了5℃， 如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是() 13/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10-（-18)+(+5) B.10+(18)+(+5) c.10+(-18)-(+5) D.10-(-18)+(-5) 二、填空题 4.(2026:安徽阜阳·二模)-2024+2026= 5.(2026·安徽芜湖·二模)在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为-117℃，固态氧的熔点为-218℃，固 态酒精的熔点比固态氧的熔点高」 ℃. 6.(25-26七年级上山东聊城阶段检测)如图1，点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应 的有理数为63，b,2.7,某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A,发现点 B对应刻度1.8cm,点C对齐刻度5.4cm,则数轴上点B所对应的数b为 A W -6.3b 0 2.7 0 23 4 56 图1 图2 三、解答题 7.(24-25七年级上·福建龙岩阶段检测)计算： a①10+15)-（←17） 27)-(3)+(-4)-2 8.(24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测)计算： )6+(8)-(-5) 四引周 9.(2026河北邯郸二模)习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程. 14/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习题：计算15-42 33· 解：-15-42 433 …① =-15+（-4) ….② =-19 ③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是 (填序号)；请写出原习题正确的计算过程和结果. (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式， 填入口中使得算式成立的符号是 一；（填“+”或“”) 10.(25-26七年级上河北沧州期末)某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护，某天早晨，他 们从A地出发，晚上最终到达B地.约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：+18， -9,+7,-14,6,+13,6,-8.假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油01升，那么这天汽车共耗油多少升？ 能力提升 DDD 一、单选题 1.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)一袋大米的包装上标有“净重 5士0.1g”的字样，表示它最 轻是()kg A.4.9 B.5 C.5.1 D.6 15/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026河北廊坊二模)与 2+(-1)-(-3) 相等的是() A.2+1-3 B.2-1-3 C.2+1+3 D.2-1+3 3.(24-25七年级上山西临汾阶段检测)若a=(←1.6)+(-2.4)-6,6=444 1-4+(-3.5)则下列结论正确的 是() A.a<b B.a=b C.axb D.2a=b 4.(25-26七年级下·陕西榆林·开学考试)有理数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的 是() lbl<a 0b<0<a:② ③b>0:④a-b>a+b, 6 0 a A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 二、填空题 5.(25-26七年级上·河南许昌·期末)小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账 80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元.则当天结束 后，小王微信钱包剩余零钱为·元 6.(24-25六年级上山东烟合阶段检测)若风个=7，少=5.且x+y<0,那么x+y的值是 7.(25-26七年级上·河南开封期末)如图，在一条不完整的数轴上从左至右有A,B,C三点，其中 AB=2,BC=1,设点A,B,C所对应的数的和是P,若以A为原点，根据点B,C所对应的数，计算P 的值为一；若原点O在图中数轴上点C的右边，且B0=2025,计算P的值为一· A B C 三、解答题 8.(24-25七年级上四川南充阶段检测)计算： 16/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-20)-[-(-12]-[-5-(-7] @3125(5347s+4到 9. (25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测)计算 1-0.9)+1.5 a到 6)9+5-(12)+(-3) 01-(号+375-(》 10.(21-22七年级上·贵州安顺期末)某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动.第一天下午，学生 队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地.学校联络员也从学校出发， 不停地沿途往返行走，为队伍护行.以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如 下（单位：米）：+150，-75，+205，-30，+25，-25，+30，-25，+75 ()最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 挑战一刻 DDD 一、单选题 1.(2026河北沧州二模)比-5大4的数是() A.1 B.-1 C.-9 D.9 2.(25,26七年级上福建游州期中)将6-(+3)(-7)+(2)写成省略加号的和的形式，正确的是《) 17/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-6-3-7-2B.6-3-7-2 C.6-3+7-2 D.6+3-7-2 3.(2026·湖南株洲：模拟预测)2025年全国多地遭遇强冷空气侵袭，湖南某气象观测站记录到长沙1月某 日数据，白昼阳光充足时最高气温达5℃，而夜间辐射降温显著，最低气温降至-3C.该日长沙最高气温 比最低气温高()· A.2℃ B.5C C.-2C D.8C 4.(2026河南模拟预测)如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的 数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高() 04e 冷藏 -8: 冷冻 A.4℃ B.18C C.14℃ D.22C 二、填空题 5.(25-26六年级下·黑龙江绥化期中)已知点A在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则 点B在数轴上所对应的数是二 6.(2026陕西宝鸡二模)如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为-2、3，则线段AB的长为 A B 3-2-1012345 7.(25-26七年级下·云南昭通期中)“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著 名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”在计算 1+3+5+7+9+11 1+3+5+7+9+11=62=36 时，可以联想到图(1)，则 .请观察图(2)，计算 1.11.1 24816- 18/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 1 1 16 P 图(1) 图(2) 三、解答题 8.(22-23七年级上江苏扬州周测)计算： )-8)+10--2+(10 e+8引 9.(25-26七年级上：黑龙江大庆·期末)古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明.在古埃及为解决 1 一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，3写何 ,符号中的 “碗”代表分子1，“竖线”代表分母.但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难 3 ○○31.1 以表达.如4需写作十川即42+4·现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下 十 分数（括号内均填入不同的正整数）， 2.1 1 ①)3()()： (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即 31.21,1 可得到所需分数.如：101010105 十 根据以上方法，请尝试表示： 13=1+11 1 ①36()()()()（填写两组不同答案） 19120 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 51 ②6()) 10.(25-26七年级下·黑龙江大庆开学考试)“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人 数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30 日游客为2万 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 -0.4 -0.8 +0.2 -1.2 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 20/20