第03讲 绝对值与相反数（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第03讲 绝对值与相反数 预习目标 知识回顾 1. 初步认识相反数概念，会找一个有理数的相反数。 2. 理解绝对值含义，掌握有理数绝对值的求法。 3. 借助数轴直观理解二者几何意义，尝试利用绝对值比较负数大小。 2. 1. 回顾数轴三要素，能在数轴标出任意有理数。 3. 2. 复习数轴上右边的数总大于左边的数，会比较有理数大小。 4. 3. 巩固正、负数与0的相关定义，为本节学习打好基础。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【思考3】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 知识点01 绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 绝对值的意义 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 有理数的大小比较方法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． 知识点02 相反数 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数是成对出现的（0除外），0的相反数是本身。 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等；故互为相反数的两个数绝对值相等。 4．（2026·广东清远·二模）的相反数是（     ） A．26 B． C． D． 5．（2026·山东淄博·二模）点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若a、b互为相反数，则=______． 题型速练 题型01 求已知数的绝对值 题型1、求已知数的绝对值 例1．（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 变式1．（2025·江苏镇江·一模）2025的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 变式2．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ． 题型2、已知绝对值求数或未知数 例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 变式2．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】（1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；（2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合；②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 题型4、绝对值的非负性 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 变式1．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 变式2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 题型5、绝对值的化简求值 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 变式3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当，时，；当时，，请用这种方法解决下列问题： (1)当时，______，当时，______． (2)已知a，b是有理数，当，时，求的值． (3)已知，且，求的值． 题型6、求一个数的相反数 例1．（2025·江苏盐城·二模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2025·江苏扬州·二模）的相反数等于（   ） A．4 B． C． D． 变式2．（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 变式3．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空： （1）2.5的相反数是 ；（2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 题型7、相反数的性质 例1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若a，b互为相反数，则代数式的值为 . 变式1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 变式3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，若x、y互为相反数，则___________． 题型8、相反数的几何意义（与数轴结合） 例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ． 变式3．（2024·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 题型9、多重符号化简 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）化简 ． 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 题型10、绝对值的实际应用 例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，与标准偏差最大的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 变式3．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 题型11、利用法则比较有理数的大小 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）当时， （填“”“”或“”）． 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 题型12、绝对值的几何意义求最值 例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 基础过关 一、单选题 1．（2026·江西上饶·一模）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2026·江西上饶·模拟预测）有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 二、填空题 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）______． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 三、解答题 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“<”连接起来． ； 9．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 10．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 能力提升 一、单选题 1．（2026·湖北荆门·三模）下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（     ） A．荆门℃ B．荆州℃ C．襄阳2℃ D．宜昌4℃ 2．（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 3．（2026·河南周口·二模）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 5．（2026·湖北·三模）在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 6．（2026·河北·二模）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 三、解答题 8．（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． （3）根据题意得． 9．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 10．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）下列各数中，最大的数是（     ） A． B．5 C． D． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（     ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 3．（2026·陕西咸阳·三模）某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）的绝对值是___． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 三、解答题 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 （1）如图1，若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是___________________，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____________，线段的长度为_______________． 【深入探究】 （2）如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值与相反数 预习目标 知识回顾 1. 初步认识相反数概念，会找一个有理数的相反数。 2. 理解绝对值含义，掌握有理数绝对值的求法。 3. 借助数轴直观理解二者几何意义，尝试利用绝对值比较负数大小。 2. 1. 回顾数轴三要素，能在数轴标出任意有理数。 3. 2. 复习数轴上右边的数总大于左边的数，会比较有理数大小。 4. 3. 巩固正、负数与0的相关定义，为本节学习打好基础。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【思考3】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 知识点01 绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 绝对值的意义 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 有理数的大小比较方法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． 【答案】(1)7或 (2)7或，解答过程见详解 (3)7或3，解答过程见详解 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，注意分情况讨论是解题关键． （1）根据绝对值的性质可得，结合同号，可知或，然后分别代入求解即可； （2）结合异号可得或，然后分别代入求解即可； （3）结合可得或，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵同号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． 故答案为：7或； （2）∵， ∴， ∵异号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． （3）∵， ∴， ∵， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或3． 知识点02 相反数 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数是成对出现的（0除外），0的相反数是本身。 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等；故互为相反数的两个数绝对值相等。 4．（2026·广东清远·二模）的相反数是（     ） A．26 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 5．（2026·山东淄博·二模）点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数与数轴的相关知识，理解相反数的几何意义（互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，符号相反）是解题的关键．先根据数轴确定点表示的数的范围，再利用相反数的定义，得到点表示的数的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：由图得，点在之间，若点，表示的数互为相反数，则点应在之间，符合的选项为． 故选：． 6．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若a、b互为相反数，则=______． 【答案】2025 【分析】本题考查相反数的定义．由和互为相反数，可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2025． 题型速练 题型01 求已知数的绝对值 题型1、求已知数的绝对值 例1．（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．故选：A． 变式1．（2025·江苏镇江·一模）2025的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴的绝对值是，故选：C． 变式2．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，即的绝对值是，故选：D． 变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：． 题型2、已知绝对值求数或未知数 例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； 【答案】(1)5(2)(3)43或7 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：，故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：，故答案：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或，故答案为：43或7； 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴∴，即m的值为或．故选A． 变式2．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】D 【详解】法1：解：由题可知，，∴或，∴或．故选：D． 法2：∵，由几何意义知：x即为数轴上与实数1距离2个单位的实数，∴或．选：D． 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】（1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；（2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合；②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，； 【详解】解：（1）数轴上表示与的两点之间的距离是，故答案为：； （2）①若，则或，解得：或，故答案为：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为，， 与的距离是，，是整数，的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为，故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合，折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合，故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合，折叠的点表示的数是， ，表示的点和表示的点重合，故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是，，解得：， 点表示的数是，点表示的数是，故答案为：，； 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；故选：C． 变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 【答案】C 【详解】A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意． D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意．故选C． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A、与不是相反数，该选项错误；B、，，该选项错误； C、，，，该选项错误； D、，，和互为相反数，该选项正确；故选：D 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的相反数，∴这个数为零或负数，故选：． 题型4、绝对值的非负性 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】 【详解】∵，∴，∴，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，，，．故答案为：． 题型5、绝对值的化简求值 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，且，所以，故答案为：；； （2）解：因为，，所以． 变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【详解】由数轴可知，，得， 则，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ，故答案为：； （2）解：由数轴可得，， ∵，∴，∴，， ∴． 变式3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当，时，；当时，，请用这种方法解决下列问题： (1)当时，______，当时，______． (2)已知a，b是有理数，当，时，求的值． (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)1；； (2)0； (3)或3． 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论是关键． （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，，得出，，求出答案； （3）根据，且，得出，，或，，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． 故答案为：1；； （2）解：当时，， 当时，， ． （3）解：， ，． 又，， ，或，． ，或． 故的值为：或3． 题型6、求一个数的相反数 例1．（2025·江苏盐城·二模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是，故选：A． 变式1．（2025·江苏扬州·二模）的相反数等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数等于4，故选：A． 变式2．（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意；C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意；故选A． 变式3．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空： （1）2.5的相反数是 ；（2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【详解】解：（1）2.5的相反数是；故答案为：；（2）100是的相反数；故答案为：100； （3）是的相反数；故答案为：；（4）1.1的相反数是；故答案为：1.1； （5）8.2和互为相反数．故答案为：；（6）a和互为相反数．故答案为：； （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身．故答案为：负数，0． 题型7、相反数的性质 例1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若a，b互为相反数，则代数式的值为 . 【答案】 【详解】解：∵a，b互为相反数，∴，∴，故答案为：； 变式1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与互为相反数，∴．∴．故选A． 变式2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B． 变式3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，若x、y互为相反数，则___________． 【答案】2017 【分析】本题考查了相反数的定义、代数式求值问题，熟练掌握相反数的定义，学会根据已知式子的值求代数式的值是解题的关键．由x、y互为相反数得出，再利用等式的性质，结合求解y的值即可． 【详解】解：、y互为相反数， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2017． 题型8、相反数的几何意义（与数轴结合） 例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B． 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度，表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的， ，，故选：D． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，又∵，∴．∴． ∴，即点A表示的数为．故答案为：． 变式3．（2024·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【答案】(1)-1(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5 【解析】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是-1． （2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5． 题型9、多重符号化简 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【详解】解：①；②；③； ④；故答案为：；3；；． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知，故选：B． 变式2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）化简 ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【详解】解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 题型10、绝对值的实际应用 例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的误差最小，∴这四个零件中质量最好的是第四个．故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，与标准偏差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， ∵∴与标准偏差最大的是A．故选：A． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地(2)七次巡逻行驶共耗油升 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2），，（升），七次巡逻行驶共耗油升． 变式3．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米；(2)元． 【详解】（1）由， ∴共消耗天然气（立方米），答：共消耗天然气立方米； （2）（元）， 答：小李这天上午共得车费元． 题型11、利用法则比较有理数的大小 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意．故选：B． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数，所以，故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）当时， （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴； ∵，∴；故答案为：， 题型12、绝对值的几何意义求最值 例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，∴当时，有最小值， 当时，． 故答案为：225． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1(2)或(3)有最小值，最小值为4 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下：就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现：当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4，所以有最小值，最小值为4． 基础过关 一、单选题 1．（2026·江西上饶·一模）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于负数，可排除A，D选项，再进一步比较和的大小，即可求解． 【详解】解：和是负数，和是正数， 故和都小于和，排除A，D选项； 又∵， ∴四个数中最大的数是． 2．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 3．（2026·江西上饶·模拟预测）有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】最接近标准重量的排球，其重量与标准重量差的绝对值最小，通过计算各差值的绝对值并比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标号为1的排球最接近标准重量． 4．（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 二、填空题 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）______． 【答案】3 【详解】解：． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 三、解答题 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“<”连接起来． ； 【答案】，图见解析 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，相反数，绝对值，解题的关键是掌握相关知识．先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“”把各数连接起来． 【详解】解：， 在数轴上表示为： ∴． 9．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 10．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 能力提升 一、单选题 1．（2026·湖北荆门·三模）下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（     ） A．荆门℃ B．荆州℃ C．襄阳2℃ D．宜昌4℃ 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 利用有理数大小比较的方法比较四个气温即可得到答案． 【详解】解：∵ 四个城市的最低平均气温分别为： ，，，，且，，， ∴， ∴ ， ∴ 最低平均气温最低的是荆门， 故选：A． 2．（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴. 3．（2026·河南周口·二模）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点A在原点左侧，且到原点的距离为， ， 与互为相反数， ． 二、填空题 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 5．（2026·湖北·三模）在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设所求温度为， 根据题意可得， 则在该取值范围内任取一个数即可，例如取． 6．（2026·河北·二模）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 三、解答题 8．（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 9．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 10．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 【答案】(1)5；5 (2)；或 (3)或3 【分析】本题考查了实数与数轴，学会利用两点间的距离是解题关键． （1）根据两点间的距离，可得答案； （2）根据两点间的距离，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可化简为方程，再解方程，即可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5； （2）解：数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是， 则点A和B之间的距离是，若， 则 解得或， 故答案为：，或； （3）解：当时， ， ∴ 解得； 当时， ， ∴ 解得； 当时， ， 当或3时，代数式， 故答案为：或3． 挑战一刻 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）下列各数中，最大的数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小比较的基本规则求解即可． 【详解】解：∵正数大于负数，题中，是负数，，是正数， ∴只需比较两个正数的大小， ∵， ∴最大的数是． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（     ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 【答案】D 【详解】解：由数轴可知：点与点表示的数分别为、，所以它们是互为相反数． 3．（2026·陕西咸阳·三模）某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最接近标准质量，说明记录偏差的数值的绝对值最小，绝对值越小，代表和标准质量的差距越小，因此只需比较各选项偏差的绝对值大小即可． 【详解】解：∵最接近标准质量等价于偏差的绝对值最小， 计算各选项偏差的绝对值得： ， ， ， ， 又∵ ， ∴ 的绝对值最小，对应樱桃最接近标准质量． 二、填空题 4．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）的绝对值是___． 【答案】/ 【详解】解：． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 【答案】4/四 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，根据绝对值的定义计算出对应数的绝对值，再将绝对值进行大小比较，即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ， 从轻重的角度看，从左至右第4个球最接近标准． 故答案为：4． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【详解】解：, 如图 ． 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 9．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 （1）如图1，若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是___________________，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____________，线段的长度为_______________． 【深入探究】 （2）如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）2；8；10；（2）的值不发生变化，，理由见解析；（3）． 【分析】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得点表示的数是2，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解； （3）由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点P的两侧，得出点P是中点，由此计算即可得解． 【详解】解：（1）由数轴可得，点表示的数是2， ∵P表示的数是5， ∴， ∴， ∴表示的数， ∴线段的长度为； 故答案为：2；8；10． （2）的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， ①若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是． ∴； ②若，如图所示： ，点与点位于点P的两侧， ． ，即点表示的数是． ； 综上所述，的值不发生变化，． （3）∵点表示有理数， ∴一次跳跃点表示的数是． ，点与点位于点的两侧， ∴点P是的中点． ∵点P表示的数是p， 点表示的数是， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $