精品解析：北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测初一数学试卷

北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测 初一数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 3. 下列四幅图中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是二元一次方程y=kx－9的一个解，则k的值为( ) A. －3 B. 3 C. －4 D. 4 5. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别为，．下列地点中，离原点最近的是（ ） A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校 7. 如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处与北2班会合，用方向和距离描述B处相对于A处的位置是（ ） A. B处在A处南偏西方向上处 B. B处在A处南偏西方向上处 C. B处在A处北偏东方向上处 D. B处在A处北偏东方向上处 8. 我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 化简：__________． 12. 不等式的解集是__________． 13. 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 14. 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是______． 15. 若点N （a+5，a-2） 在y轴上，则点N的坐标是____________． 16. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 17. 在下图中，直线，指定位置的三条射线c，d，e满足，．有以下两个结论：①c与d一定共线；②．其中正确的结论是______（只填写序号）． 18. 对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数 的取值范围是__________． 三、解答题（共54分） 19. 计算： （1） （2）求 的值 20. 按要求解答以下问题 （1）解方程组： （2）解不等式组： 21. 已知正数m的两个平方根分别为和． （1）求a的值； （2）求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，是三角形的边上一点，三角形经平移后得到三角形，点的对应点为． （1）请画出平移后的三角形，并写出点，，，的坐标； （2）求出三角形的面积． 23. 如图，，作的角平分线交于点，的角平分线交于点，过点作交于点． （1）过点作垂线，且点位于右侧，依题意补全图形； （2）求证：． 证明：， ．（________________）， ， （________），（________________） 且． ． 平分，平分， ，（________）， ， ，即， ， ， ， ．（________） 24. 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD，交DC的延长线于点F，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ABC＝2∠E． （1）求证：AB∥EF； （2）试判断∠E与∠F的数量关系，并说明理由． 25. 某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润售价进价）： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 （1）求甲、乙两种型号电器的售价； （2）若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，则最多能采购甲种型号电器多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请说明哪种采购方案利润最大；若不能，请说明理由． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a＝xy，b＝x＋y，将点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对伴随点．例如，点M(5，1)与点N(1，5)为点P(3，2)的一对伴随点． （1）点A(4，1)的一对伴随点坐标为 ； （2）将点C(m＋1，3m1) (m＞0)向右平移m个单位长度，得到点，若点的一对伴随点重合，求点C的坐标； （3）已知点E(n，2)，F(n＋1，2)，点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与y轴总有公共点，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测 初一数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：点的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点在第四象限． 2. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 3. 下列四幅图中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断． 【详解】A.∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，故此选项不符合题意； B.∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，故此选项符合题意； C.∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，故此选项不符合题意； D.∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，故此选项不符合题意； 故选B． 4. 若是二元一次方程y=kx－9的一个解，则k的值为( ) A. －3 B. 3 C. －4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】把代入y=kx－9，解关于k的一元一次方程即可求出k的值. 【详解】把代入y=kx－9，得 2k-9=-1， ∴k=4. 故选D. 【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解. 5. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解①得：， 解②得：， 故不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 6. 如图所示为城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别为，．下列地点中，离原点最近的是（ ） A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，根据学校和体育场的坐标确定出原点的位置，然后根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点． 【详解】解：如图，根据学校和体育场，可确定出该平面直角坐标系如图． 根据直角坐标系和各个点位置可以发现离原点最近的是超市， 故选：A． 7. 如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处与北2班会合，用方向和距离描述B处相对于A处的位置是（ ） A. B处在A处南偏西方向上处 B. B处在A处南偏西方向上处 C. B处在A处北偏东方向上处 D. B处在A处北偏东方向上处 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角的意义描述即可． 【详解】解：依题意得：B处在A处南偏西方向上，距离A处5千米； 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键．注意不选C、D，因为题干中表明“描述2班相对于1班的位置”． 8. 我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； 根据题中所给新定义运算可列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意，新运算定义为，因此， 由不等式可得： 故的取值范围是， 故选：D． 9. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每天安排多x名工人生产车架，y名工人生产车轮，根据共有300名工人及1个车架与4个车轮配成一套，可得出方程组． 【详解】解：设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮， 由题意得，， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，注意得出结果后要结合实际解答． 10. 如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点的坐标规律探究，熟练掌握分析移动方向和距离规律，分别计算坐标轴方向净移动量是解题的关键．先分析机器人每次移动的方向和距离规律，分别计算出到达时在轴和轴方向上的移动量，进而确定坐标． 【详解】解：机器人移动方向依次为东、北、西、南循环，移动距离依次为，，，，，即第次移动距离为米． 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 因为机器人向轴正方向移动了，轴正方向移动了， 所以坐标为． 故选：． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 13. 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，确定它相邻的两个整数，比较到两个整数的距离大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， ，，， ，故在数轴上更靠近4， 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为． 14. 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 15. 若点N （a+5，a-2） 在y轴上，则点N的坐标是____________． 【答案】（0，－7） 【解析】 【分析】点N（a+5，a-2）在y轴上，则横坐标是0，求出a的值后即可得到N的坐标． 【详解】解：∵点N（a+5，a-2）在y轴上， ∴a+5=0， 解得：a=-5， ∴a-2=-7， ∴N点的坐标为（0，-7）． 故答案为（0，-7）． 【点睛】本题主要考查了点在y轴上时横坐标的特点．解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：点在y轴上，点的横坐标为0． 16. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 先根据平行线的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 17. 在下图中，直线，指定位置的三条射线c，d，e满足，．有以下两个结论：①c与d一定共线；②．其中正确的结论是______（只填写序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】根据平行线的性质对各结论进行分析即可． 【详解】解：如图，延长射线c交直线a于点A，直线b于点C， ①∵a∥b， ∴∠2=∠CAD， ∵∠CAD+∠BAD=180°，∠1+∠2=180°， ∴∠BAD=∠1， ∴c∥d，故①结论错误； ②∵d∥e，c∥d， ∴c∥e，故②结论正确． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 18. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可. 【详解】解：依题意得： 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键. 三、解答题（共54分） 19. 计算： （1） （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据算术平方根，立方根，绝对值的性质化简，再合并即可得到结果； （2）先对方程整理变形，再开立方即可得到的值； 【小问1详解】 解：      ． 【小问2详解】 解：， 移项得， 两边同除以得， 开立方得． 20. 按要求解答以下问题 （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解二元一次方程组即可； （2）分别求出两个不等式的解集，取公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 得：， ， 把代入①得：， ， 原方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，两边同乘得：， 整理得：， 解不等式②，展开得：， 移项整理得：， 解得：， 原不等式组的解集为． 21. 已知正数m的两个平方根分别为和． （1）求a的值； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，绝对值化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式进行计算，即可作答． （2）先把a代入，算出正数m，再根据绝对值的意义化简和实数运算即可作答． 【小问1详解】 正数m的两个平方根分别为和， ， 解得：， 【小问2详解】 把代入得 ， ， ， 把代入得 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，是三角形的边 上一点，三角形经平移后得到三角形，点的对应点为． （1）请画出平移后的三角形，并写出点，，，的坐标； （2）求出三角形的面积． 【答案】（1）如图，即为所求，， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质，分别作出的对应点即可； （2）利用围成三角形的矩形面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：图形略 ∵平移后的对应点是， ∴平移规则是向右移动6个单位长度，再向下移动2个单位长度， ， ． 【小问2详解】 解：三角形的面积． 23. 如图，，作的角平分线交 于点，的角平分线交于点，过点作交 于点． （1）过点作垂线，且点 位于右侧，依题意补全图形； （2）求证：． 证明：， ．（________________）， ， （________），（________________） 且． ． 平分， 平分， ，（________）， ， ，即， ， ， ， ．（________） 【答案】（1）见解析； （2）两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；同位角相等两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作垂线，角平分线定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意作垂线即可； （2）根据平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线定义，进行作答即可． 【小问1详解】 解：所作图形如下： 【小问2详解】 证明：， ．（两直线平行，内错角相等）， ， （），（两直线平行，同旁内角互补） 且． ． 平分， 平分， ，（）， ， ，即， ， ， ， ．（同位角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；同位角相等两直线平行． 24. 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD，交DC的延长线于点F，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ABC＝2∠E． （1）求证：AB∥EF； （2）试判断∠E与∠F的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠E+∠F=90°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠ABE，再根据∠ABC＝2∠E，得到∠ABE=∠E，可得AB∥EF； （2）根据同角的补角相等得到∠ADF=∠BCF，从而证明AD∥BC，再根据BE平分∠ABC，AE平分∠BAD得到∠ABE+∠BAF=90°，根据AB∥EF和等量代换可得∠E+∠F=90°． 【详解】（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE， 又∵∠ABC=2∠E， ∴∠ABE=∠E， ∴AB∥EF； （2）∵∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°， ∴∠ADF=∠BCF， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD， ∴∠ABE=∠ABC，∠BAF=∠BAD， ∴∠ABE+∠BAF=∠ABC+∠BAD=×180°=90°， ∵AB∥EF， ∴∠BAF=∠F，∠ABE=∠E， ∴∠E+∠F=90°． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定方法和性质是正确解答的前提． 25. 某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润售价进价）： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 （1）求甲、乙两种型号电器的售价； （2）若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，则最多能采购甲种型号电器多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请说明哪种采购方案利润最大；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 甲种型号电器的售价为240元，乙种型号电器的售价为200元 （2） 最多能采购甲种型号电器20台 （3） 能实现利润超过1750元的目标，采购甲种型号电器20台、乙种型号电器15台时利润最大 【解析】 【分析】（1）根据两周的销售收入条件列二元一次方程组，求解得到两种型号电器的售价； （2）根据总采购金额的限制列一元一次不等式，求解得到甲种型号电器的最大采购量； （3）根据利润要求列不等式，结合（2）的结论得到所有可行方案，比较各方案利润得到最大利润对应的采购方案； 【小问1详解】 解：设甲种型号电器的售价为元，乙种型号电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种型号电器的售价为240元，乙种型号电器的售价为200元； 【小问2详解】 解：设采购甲种型号电器台，则采购乙种型号电器台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能采购甲种型号电器20台； 【小问3详解】 解：由题意得，总利润满足：， 解得：， ，且为正整数， ∴，且为正整数， 可取18，19，20，说明能实现利润超过1750元的目标， 分别计算三种方案的利润：当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， ， 当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台时，利润最大． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a＝xy，b＝x＋y，将点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对伴随点．例如，点M(5，1)与点N(1，5)为点P(3，2)的一对伴随点． （1）点A(4，1)的一对伴随点坐标为 ； （2）将点C(m＋1，3m1) (m＞0)向右平移m个单位长度，得到点，若点的一对伴随点重合，求点C的坐标； （3）已知点E(n，2)，F(n＋1，2)，点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与y轴总有公共点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求得点A(4，1)的一对伴随点坐标； （2）根据平移方式求得点的坐标，进而根据新定义求得点的一对伴随点坐标，根据两点重合，列出方程组即可求解，进而求得点的坐标； （3）根据新定义求得点的一对伴随点坐标，根据当点D在线段EF上运动时，线段GH与y轴总有公共点，可知的横坐标互为相反数，据此列出不等式组，根据的解集即可求解． 【小问1详解】 解：∵A(4，1) ∴a=4-1=3,b=4+1=5 ∴点A(4，1)的一对伴随点坐标为 故答案为： 【小问2详解】 解：∵将点C(m＋1，3m1) (m＞0)向右平移m个单位长度，得到点， ∴ 则点的一对伴随点为 点的一对伴随点重合， 解得，则 即 【小问3详解】 解：点E(n，2)，F(n＋1，2)，点D为线段EF上的动点， 设，， ∴， 的一对伴随点为， 线段GH与y轴总有公共点， ， 解得， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了新定义问题，坐标的平移，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $