2026年中考数学真题完全解读（重庆卷）

该初中数学中考复习资料覆盖数与式、函数、几何综合、统计概率等核心考点，按模块占比与考点细目构建知识体系，通过“考点梳理-方法指导-真题训练”流程，结合重庆中考命题规律突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于本土情境与传统文化融入，如马拉松、《九章算术》等素材培养数据观念，几何模型（手拉手、将军饮马）强化推理能力与几何直观。设分层训练与避坑提醒，通过压轴题思维链分析提升学生应考能力，助力教师精准把控复习节奏。

2026年重庆市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年重庆市中考数学试卷共25题，满分150分，考试时间120分钟，保持‘10+6+9’的卷面结构。全卷试题编排由易到难、梯度清晰，基础题突出概念与运算，中高档题强调综合、应用与创新。选择题第1~6题覆盖倒数、三视图、科学记数法、圆周角、必然事件、规律探究等基础知识；第7~9题提升综合性，涉及反比例函数、二元一次方程组和正方形中的相似；第10题以二次函数与整式为载体，考查分类讨论与代数推理。填空题第11~13题聚焦概率、平行线、无理数估算；第14~16题难度显著上升，涉及非负性、整数拆分与几何综合。解答题第17~21题覆盖不等式组、分式化简求值、统计推断、尺规作图与平行四边形证明、分式方程应用；第22题以矩形中的动点与函数图象为载体，考查函数建模与图象分析；第23题结合重庆‘桥都’与春秋假景区情境，考查解直角三角形的实际应用；第24题抛物线综合，涉及待定系数法、线段最值与平移后的存在性问题；第25题几何压轴，融合等腰直角三角形、旋转、中位线与‘将军饮马’最值。整卷充分体现重庆卷‘重视基础、突出思维、情境多元、几何压轴’的命题特色。 试题亮点 1. 山城特色与传统文化交织，情境育人导向鲜明：第3题以2026重庆马拉松赛事规模为背景考查科学记数法，增强学生对家乡大事的认同感；第8题直接引用《九章算术》中‘大小器容量’的经典问题，考查列二元一次方程组；第19题围绕重庆‘桥都’名片开展桥梁知识竞赛调查；第23题以重庆义务教育阶段首次探索春秋假、同学相约去景区游玩为情境，将解直角三角形融入真实出行问题。重庆卷持续用本地符号与传统文化素材承载数学考查。 2. 中档题综合性强，函数与几何深度融合：第7题将反比例函数系数符号与增减性结合；第9题在正方形中通过相似三角形与面积比设问；第16题把平行四边形、圆、垂径定理、相似三角形融为一体；第22题以矩形动点问题为背景，要求学生建立分段函数并画图分析；第24题抛物线综合涵盖待定系数法、平行线间距离最值、平移变换与存在性分类讨论。中高档题成为区分学生综合能力的主战场。 3. 压轴题突出思维过程，弱化复杂计算、强化几何直观与最值思想：第10题对二次函数的系数、对称轴、因式分解进行多重判断，推理链长；第25题以等腰直角三角形和旋转为起点，通过‘手拉手’全等、中位线、将军饮马与翻折对称，最终归结为圆上点到直线距离的最值问题，几何构造与转化要求高。重庆卷压轴题继续保持‘重思维、重构造、重转化’的特点。 命题趋势 一、基础题保持‘低起点、宽覆盖’，但概念辨析要求更细：重庆卷第1~6题和第11~13题总体难度不高，但第5题对必然事件、随机事件、不可能事件进行辨析，第10题对二次函数多项条件进行分类枚举，均要求学生真正理解概念本质。预计未来重庆中考将继续以基础题为基本盘，但在概率意义、函数性质、整式结构等位置设置更多辨析型问题，复习时应回归教材、重视概念形成过程。 二、本土情境与文化素材将持续入题，体现重庆卷的育人底色：本卷第3题重庆马拉松、第8题《九章算术》、第19题‘桥都’知识竞赛、第23题春秋假景区游玩，构成鲜明的重庆元素矩阵。预计未来重庆卷会继续选取城市名片、传统文化、社会热点等素材，引导学生在真实情境中建立数学模型，复习中要强化阅读提取、数学建模与结果解释能力。 三、几何综合与函数综合仍是压轴与区分的主阵地：第9、16、20、25题几何推理链长，第22、24题函数与几何深度融合，体现重庆卷对几何直观、数形结合、分类讨论和辅助线构造的持续要求。未来中高档题将进一步强化多知识点交叉与思维过程呈现，复习时应注重通性通法和基本模型积累，如‘手拉手’、‘将军饮马’、圆中相似等。 四、统计与概率考查从计算走向推断与决策解释：第19题不仅要求计算中位数、众数、样本容量，还要求用样本估计总体并给出年级成绩比较的理由。这种‘算—用—说’的完整链条符合统计素养考查趋势。预计未来重庆卷会继续强化数据观念，要求学生不仅会算统计量，还能基于数据作出合理解释与决策。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 4 数与式→有理数→倒数的概念 运算能力 2 单选 4 图形的变化→投影与视图→简单组合体的主视图 空间观念、几何直观 3 单选 4 数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大的数 运算能力、应用意识 4 单选 4 图形的性质→圆→同弧所对的圆心角与圆周角 推理能力、几何直观 5 单选 4 统计与概率→概率→必然事件、随机事件与不可能事件 数据观念 6 单选 4 数与式→规律探究→图形规律与代数式表示 抽象能力、推理能力 7 单选 4 函数→反比例函数→反比例函数的增减性与不等式 数形结合、推理能力 8 单选 4 方程与不等式→二元一次方程组→由古代数学问题列二元一次方程组 模型观念、应用意识 9 单选 4 图形的性质→四边形→正方形中的相似三角形与面积比 推理能力、运算能力 10 单选 4 函数→二次函数→二次函数系数关系、对称轴与因式分解综合 抽象能力、推理能力 11 填空 4 统计与概率→概率→简单随机事件的概率 数据观念 12 填空 4 图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质与角度计算 几何直观、推理能力 13 填空 4 数与式→实数估算→无理数的估算与整数取值 运算能力、数感 14 填空 4 方程与不等式→方程与代数式求值→非负性、绝对值与代数式求值 运算能力、推理能力 15 填空 4 数与式→数的整除与代数推理→两位数表示、最值与完全平方数 推理能力、运算能力 16 填空 4 图形的性质→圆与四边形综合→平行四边形、圆、垂径定理与相似 推理能力、几何直观 17 解答 8 方程与不等式→一元一次不等式组→解一元一次不等式组并在数轴上表示解集 运算能力 18 解答 8 数与式→分式→分式的化简求值 运算能力 19 解答 10 统计与概率→统计图表与统计量→条形统计图、中位数、众数、样本估计总体 数据观念、应用意识 20 解答 10 图形的性质→平行四边形→尺规作图（角平分线）与平行四边形性质证明 几何直观、推理能力 21 解答 10 方程与不等式→分式方程→列分式方程解决实际问题 模型观念、运算能力 22 解答 10 函数→函数图象与综合应用→动点问题中的分段函数、图象绘制与不等式 模型观念、数形结合 23 解答 10 图形的变化→解直角三角形→方位角与解直角三角形的实际应用 模型观念、运算能力 24 解答 10 函数→二次函数→抛物线表达式、线段最值、平移与存在性问题 运算能力、推理能力、创新意识 25 解答 10 综合与实践→几何综合与最值→等腰直角三角形、旋转、中位线、将军饮马与翻折最值 推理能力、几何直观、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约20%，24分）：重点考查倒数、科学记数法、实数估算、规律探究、分式化简求值与整数代数推理，对应第1、3、6、13、15、18题。该模块强调概念准确、运算规范与代数推理能力。 函数模块（约19%，28分）：重点考查反比例函数性质、二次函数综合、动点函数图象与抛物线综合，对应第7、10、22、24题。函数与几何深度融合，数形结合与分类讨论要求高。 图形的性质模块（约45%，50分）：重点考查圆、正方形、平行四边形、矩形、等腰直角三角形、相似三角形与解直角三角形，对应第2、4、9、12、16、20、23、25题。该模块分值最高，是推理论证与几何直观的主要载体。 图形的变化与综合实践模块（约8%，12分）：重点考查三视图、投影与尺规作图、图形变换与综合实践探究，对应第2、20题。其中第20题以尺规作角平分线并证明平行四边形中的数量关系，体现操作与推理结合。 统计与概率模块（约8%，12分）：重点考查事件分类、简单概率、统计图表、中位数、众数和样本估计总体，对应第5、11、19题。强调数据观念与用样本估计总体的统计思想。 核心复习策略 1. 夯实基础，重视概念辨析与运算规范 （1）系统梳理数与式、方程与不等式、函数基础性质、统计与概率等核心概念，确保基础题得分稳定。特别要区分倒数与相反数、必然事件与随机事件、中位数与众数、函数增减性等易混点。 （2）加强分式化简求值、不等式组求解、实数运算等常规运算的训练，做到步骤规范、符号准确、结果化简到位，避免因计算失误丢分。 2. 强化几何模型与辅助线构造能力 （1）系统归纳重庆卷常考几何模型，如正方形中的相似、圆中圆周角与垂径定理、等腰直角三角形的‘手拉手’全等、旋转与中位线、将军饮马最短路径等。对第9、16、20、25题等几何综合题，要注重基本图形的识别与转化。 （2）加强尺规作图与几何证明的训练，明确作图依据和证明逻辑链，做到作图痕迹清晰、推理步骤完整、书写规范。 3. 提升函数建模、实际应用与分类讨论能力 （1）针对函数图象分析、动点问题、解直角三角形应用、统计推断等题型，训练‘读题—建模—求解—解释’的完整过程。对第22、23、24题等应用与综合题，要强化变量识别、关系建立和结果合理性检验。 （2）对压轴题和开放性设问，培养分类讨论、数形结合、几何变换与最值思想。复习中可专门训练存在性问题、线段最值、平移抛物线、翻折对称等探究型问题，做到会分析、敢下笔、表达规范。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。 ×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。 ×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 命题透视 ►核心考点：倒数的概念 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查3的倒数，属于概念识记型问题。 （2）问题设计：通过‘倒数’这一基本定义，让学生从选项中识别出正确结果。 （3）考查目标：考查学生对倒数概念的理解与基本运算能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是． 知识总结 ① 核心概念：乘积为1的两个数互为倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。② 解题要点：将3写成3/1，倒数即为1/3。③ 易错提醒：不要与相反数混淆，倒数是乘积为1，相反数是相加为0。 2．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：简单组合体的主视图 ►命题分析： （1）情境创设：四个大小相同的正方体搭成的几何体，要求判断从正面看到的视图。 （2）问题设计：通过实物搭建考查学生对三视图中主视图的理解，需要按列统计每层正方形的个数。 （3）考查目标：考查空间观念与几何直观。 答案与解析 【答案】C 【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2，1，1，据此判断即可． 【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有2层，看到2个正方形， 第二列（中）有1层，看到1个正方形， 第三列（右）有1层，看到1个正方形， 从正面看到的视图如下 知识总结 ① 核心概念：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，反映物体的长和高。② 解题要点：从正面看，按左、中、右三列分别数出每列可见的正方形层数。③ 拓展关联：三视图问题常与表面积、体积、展开图综合考查。 3．2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以2026重庆马拉松赛事总规模31000人为真实情境，要求用科学记数法表示。 （2）问题设计：将大数改写与本地重大赛事结合，考查科学记数法的标准形式。 （3）考查目标：考查运算能力与应用意识，同时渗透本土文化。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：用科学记数法表示为． 知识总结 ① 核心概念：科学记数法表示为a×10^n，其中1≤|a|＜10，n为整数。② 解题要点：将31000写成3.1×10^4。③ 拓展关联：科学记数法常与人口、GDP、赛事规模等国家或地方数据结合，注意单位换算。 4．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：同弧所对的圆心角与圆周角 ►命题分析： （1）情境创设：点A、B、C在圆上，已知圆心角∠AOB，求圆周角∠ACB。 （2）问题设计：直接应用圆周角定理，考查圆心角与圆周角的数量关系。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 知识总结 ① 核心定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。② 解题要点：判断∠ACB与∠AOB是否对同弧AB，再利用定理计算。③ 易错提醒：注意圆周角与圆心角必须对应同一条弧，不要混淆圆心位置。 5．下列事件中，一定会发生的是（     ） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．明天一定会下雨 C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 命题透视 ►核心考点：必然事件、随机事件与不可能事件 ►命题分析： （1）情境创设：给出四个生活情境，要求判断一定会发生的事件。 （2）问题设计：通过具体实例考查学生对三类事件概念的理解与辨析。 （3）考查目标：考查数据观念与逻辑判断能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件． 【详解】解：A选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生． B选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生． C选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生． D选项正方体骰子向上一面的点数最大为，不可能得到点数，属于不可能事件，一定不会发生． 知识总结 ① 核心概念：在一定条件下必然发生的事件叫必然事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；一定不会发生的事件叫不可能事件。② 解题要点：分析每个选项的条件与结果，判断事件的确定性。③ 易错提醒：‘明天一定会下雨’‘翻到的页码是偶数’等日常表述容易误导，应依据数学定义判断。 6．醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 命题透视 ►核心考点：图形规律与代数式表示 ►命题分析： （1）情境创设：以醇类物质分子结构式为背景，给出第①~④个图中氢原子个数，要求求第⑨个图中氢原子个数。 （2）问题设计：通过科学情境中的图形规律，要求学生归纳出第n个图中氢原子个数的代数式。 （3）考查目标：考查抽象能力、推理能力与模型观念。 答案与解析 【答案】D 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 知识总结 ① 核心方法：观察前几项数据，寻找相邻项的差或倍数关系，归纳出通项公式。② 解题要点：氢原子个数依次为4、6、8、10，…，是首项为4、公差为2的等差数列，第n个为2n+2，第⑨个为20。③ 拓展关联：规律探究题常用‘特殊值→猜想→验证’的路径。 7．在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：反比例函数的增减性与不等式 ►命题分析： （1）情境创设：已知反比例函数y=k/x中x的范围，求y的取值范围。 （2）问题设计：根据反比例函数系数k的符号判断增减性，再代入端点值求范围。 （3）考查目标：考查数形结合思想与推理能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 知识总结 ① 核心性质：当k>0时，反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。② 解题要点：先判断k的符号，再代入区间端点求y的端点值，注意是否跨象限。③ 易错提醒：反比例函数的增减性必须强调‘在同一象限内’。 8．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：由古代数学问题列二元一次方程组 ►命题分析： （1）情境创设：引用《九章算术》中‘大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛’的问题，要求列方程组。 （2）问题设计：将传统文化素材与方程建模结合，考查学生从文言描述中提取等量关系的能力。 （3）考查目标：考查模型观念、应用意识与数学文化素养。 答案与解析 【答案】A 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 因此可得方程组 ． 知识总结 ① 核心方法：设未知数→找两个等量关系→列二元一次方程组。② 解题要点：根据‘5大+1小=3斛’和‘1大+5小=2斛’列出方程组。③ 拓展关联：古代数学问题常涉及盈不足、鸡兔同笼等模型，复习时可适当拓展。 9．如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：正方形中的相似三角形与面积比 ►命题分析： （1）情境创设：正方形中，E为CD上一点且DE:EC=1:2，过E作AF的垂线，连接并延长交AD于G，求两个三角形面积之比。 （2）问题设计：通过设参、构造相似三角形、利用面积公式求解，综合性较强。 （3）考查目标：考查推理能力、运算能力与几何直观。 答案与解析 【答案】B 【分析】设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出的长，进而求出与的面积即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 如图，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴与的面积之比为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形． 知识总结 ① 核心方法：设正方形边长为参数，利用全等或相似求线段长，再用三角形面积公式求比。② 解题要点：准确标注各线段比例，构造辅助线形成相似或直角三角形。③ 应试策略：复杂几何题可先设特殊值简化计算，再验证一般性。 10．已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 命题透视 ►核心考点：二次函数系数关系、对称轴与因式分解综合 ►命题分析： （1）情境创设：给定二次三项式的系数约束条件，判断关于系数、对称轴和因式分解的三个说法是否正确。 （2）问题设计：通过对系数a、b、c的取值进行分类枚举，逐一验证三个命题的正确性。 （3）考查目标：考查抽象能力、推理能力、运算能力和分类讨论思想，是选择题的压轴区分题。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据题意和的取值，分别确定相应的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，即， ∵，为正整数， ∴， 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得，此时， 则满足条件的所有整式的和为，说法①正确； ②当时，，，即， 由题意可知，为正整数，，为整数，且， ∴， ∵函数的图象关于轴对称， ∴，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 又∵为正整数， ∴，， ∴或（舍去）， ∴满足条件的整式，有且仅有1个；说法②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴，且只有两个非零项， 同②可得：，为正整数， ∴在这个二次二项式中，或， （Ⅰ）当时，，，， ∴， ∴， ∴当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当时，，能在有理数范围因式分解； 当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当时，，，， ∴， ∴只有符合，此时，能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 知识总结 ① 核心知识：二次函数y=ax^2+bx+c的图象关于y轴对称时b=0；二次二项式只有两项非零；有理数范围内因式分解可利用十字相乘法。② 解题要点：根据a、b、c的取值范围和约束条件，分情况列举并验证。③ 应试策略：压轴选择题可采用排除法或特殊值法辅助判断。 二、填空题 11．某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为____． 命题透视 ►核心考点：简单随机事件的概率 ►命题分析： （1）情境创设：从五个备选节目中随机抽取一个参加展演，求抽到节目A的概率。 （2）问题设计：直接应用古典概型概率公式。 （3）考查目标：考查数据观念与运算能力。 答案与解析 【答案】 【详解】解：由题意可知，从五个备选节目中随机抽取1个，共有种等可能的结果，其中抽到节目A的结果只有种， ∴抽到节目A的概率为． 知识总结 ① 核心公式：P(A)=事件A包含的结果数/所有可能结果数。② 解题要点：总结果数为5，有利结果数为1，概率为1/5。③ 易错提醒：注意是‘随机抽取一个’，每个节目被抽到的机会均等。 12．如图，直线，被直线所截．若，，则的度数是___． 命题透视 ►核心考点：平行线的性质与角度计算 ►命题分析： （1）情境创设：两条平行线被第三条直线所截，已知一个角的度数，求另一个角的度数。 （2）问题设计：通过平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）求角。 （3）考查目标：考查几何直观与推理能力。 答案与解析 【答案】/58度 【详解】解：∵， ∴． 知识总结 ① 核心性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 解题要点：先判断已知角与未知角的位置关系，再选择合适性质计算。③ 易错提醒：注意对顶角、邻补角与平行线性质的综合运用。 13．满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 命题透视 ►核心考点：无理数的估算与整数取值 ►命题分析： （1）情境创设：给出不等式，要求写出一个满足条件的整数n。 （2）问题设计：通过估算无理数√3和√17的范围，确定n的取值范围，再任选一个整数。 （3）考查目标：考查运算能力、数感与估算能力。 答案与解析 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 知识总结 ① 核心方法：利用平方数估算无理数的大小。② 解题要点：√3≈1.732，√17≈4.123，故n可取2、3、4中的任意一个。③ 易错提醒：题目要求‘写一个即可’，不要画蛇添足写多个或写范围。 14．若实数，同时满足，，则的值为____． 命题透视 ►核心考点：非负性、绝对值与代数式求值 ►命题分析： （1）情境创设：已知实数x、y满足两个方程，求x+y的值。 （2）问题设计：通过非负性和绝对值的性质推出变量关系，进而求解。 （3）考查目标：考查运算能力、推理能力与方程思想。 答案与解析 【答案】 【分析】根据得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； ∴． 知识总结 ① 核心性质：绝对值、算术平方根、平方数均具有非负性；几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。② 解题要点：根据条件变形得到非负数之和为0的形式，求出x、y，再检验是否满足题意。③ 易错提醒：求出x、y后必须代回原式检验，排除增根。 15．自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为_____；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为____． 命题透视 ►核心考点：两位数表示、最值与完全平方数 ►命题分析： （1）情境创设：两个两位数十位相同、个位数字之和为9，乘积为三位数，求某表达式的最小值；并在给定条件下求所有可能值的和。 （2）问题设计：第1问用代数式表示两个两位数，结合二次函数性质求最值；第2问利用平方差公式和完全平方数性质分类讨论。 （3）考查目标：考查推理能力、运算能力和分类讨论思想，是填空题的压轴题。 答案与解析 【答案】 【分析】设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为，表示出，根据的化简结果确定其和的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可． 【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为， ∴，， ∴， ， 要使最小，需最小， 则当时，的最小值为， 此时， 由二次函数的性质可知，当或时，的值最大，最大值为或，符合题意． 当时，， 解得， ∴，且为整数， ∴， ∵， ∴， 又∵为奇数，且， ∴所有可能的取值为， ①当，即时，，， ∵，且为整数， ∴当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； ②当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ③当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ④当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ⑤当，即时，，， 当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有的值为7和21，它们的和为． 【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论． 知识总结 ① 核心方法：用10a+b表示两位数，根据条件建立代数式，利用二次函数最值或整数性质求解。② 解题要点：注意a、b的整数范围和个位数字之和为9的约束。③ 策略提醒：整数问题常需结合因数分解、完全平方数、奇偶性进行分类枚举。 16．如图，四边形是平行四边形，点，在上，，经过圆心，且，垂足为，．连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为____，的长度为____． 命题透视 ►核心考点：平行四边形、圆、垂径定理与相似 ►命题分析： （1）情境创设：平行四边形中，圆经过特定点且与边垂直，连接相关线段后求两条线段的长度。 （2）问题设计：综合平行四边形性质、圆的性质、垂径定理、勾股定理和相似三角形求解。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力。 答案与解析 【答案】 【分析】先得出，再在中，利用勾股定理求解可得的长度；过点作于点，过点作于点，连接，先求出的长，再求出的长，然后解直角三角形可得的长，进而可得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴，． 如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵经过圆心，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形． 知识总结 ① 核心思路：利用平行四边形对边平行且相等、圆的半径相等、垂径定理平分弦等性质，构造直角三角形或相似三角形。② 辅助线技巧：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理列方程。③ 应试策略：几何压轴填空题可先求容易的部分，复杂部分适当设参。 三、解答题 17．解不等式组： 命题透视 ►核心考点：解一元一次不等式组并在数轴上表示解集 ►命题分析： （1）情境创设：给出一个一元一次不等式组，要求求解集并在数轴上表示。 （2）问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分，并用数轴表示。 （3）考查目标：考查运算能力和数形结合思想。 答案与解析 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将①和②的解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为． 知识总结 ① 核心方法：分别求出每个不等式的解集，再求公共部分；数轴表示时注意空心圈与实心点的区别。② 解题要点：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意不等号方向。③ 易错提醒：不等式两边同乘或同除负数时，不等号方向要改变。 18．先化简，再求值：，其中． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：给出一个分式表达式，先化简再代入具体值求值。 （2）问题设计：通过因式分解、约分、通分等运算化简分式，再代入求值。 （3）考查目标：考查运算能力和化简技巧。 答案与解析 【答案】 化简结果为，值为 【详解】 解： ，且时分式有意义 当时，原式． 知识总结 ① 核心方法：先因式分解，再约分，最后代入求值。② 解题要点：注意分母不能为0，代入值要使原分式有意义。③ 易错提醒：化简过程中注意符号变化，最终结果要化为最简分式。 19．早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图： A组： B组： C组： D组： （其中表示竞赛成绩） 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数； (2)该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ (3)根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 命题透视 ►核心考点：条形统计图、中位数、众数、样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以重庆‘桥都’桥梁知识竞赛为背景，给出七年级条形统计图和八年级原始数据，要求计算统计量、估计总体并比较年级成绩。 （2）问题设计：第（1）问求m、中位数、众数；第（2）问用样本估计总体；第（3）问基于数据作出比较并说明理由。 （3）考查目标：考查数据观念、运算能力和应用意识。 答案与解析 【答案】(1)6，86，93 (2)154人 (3)八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数大于七年级的众数 ∴八年级此次竞赛成绩较好 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数大于八年级的中位数 ∴七年级此次竞赛成绩较好 【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数，然后根据中位数和众数的定义求解； （2）利用样本估计总体的方法求解； （3）根据中位数、众数分析判断即可． 【详解】（1）解：七年级抽取20名学生的竞赛成绩中B组人数； ∵共有20个数据 ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为； ∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多 ∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93； （2）解：（人）， ∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人； （3）略 知识总结 ① 核心公式：中位数是将数据排序后位于中间位置的数（或中间两数的平均数）；众数是出现次数最多的数；样本估计总体用样本比例乘总体容量。② 解题要点：准确读取条形统计图各组频数，注意中位数要排序后定位。③ 策略提醒：比较两个年级成绩可从平均数、中位数、众数等角度任选其一说明。 20．综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 命题透视 ►核心考点：尺规作图（角平分线）与平行四边形性质证明 ►命题分析： （1）情境创设：在平行四边形中，用尺规作∠BAD的平分线交BC于点E，猜想并证明AB、BE、CD之间的数量关系。 （2）问题设计：第（1）问完成角平分线尺规作图；第（2）问利用角平分线和平行四边形性质证明AB=BE。 （3）考查目标：考查几何直观、推理能力和动手操作能力。 答案与解析 【答案】(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 知识总结 ① 核心方法：角平分线作图依据SSS全等；平行四边形对边平行且相等，结合等角对等边证明线段相等。② 解题要点：保留作图痕迹，证明时注意角之间的关系转化。③ 拓展关联：尺规作图常考作线段垂直平分线、角平分线、过一点作垂线等。 21．列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少个，且天生产的A型配件的数量与天生产的B型配件的数量相等． (1)求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？ (2)如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少个和个，那么生产个A型配件的天数与生产个B型配件的天数相同，求的值． 命题透视 ►核心考点：列分式方程解决实际问题 ►命题分析： （1）情境创设：某企业生产智能机器人A、B两种配件，已知每天生产数量关系和若干天生产数量相等，求每天产量；再在生产数量减少后求相关参数。 （2）问题设计：第（1）问列分式方程求每天产量；第（2）问根据新的等量关系列分式方程求解并检验。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识。 答案与解析 【答案】(1)该企业每天生产A型配件的数量为15个，每天生产B型配件的数量为45个 (2)． 【分析】（1）设该企业每天生产A型配件的数量为x个，则每天生产B型配件的数量为个，根据天生产的A型配件的数量与天生产的B型配件的数量相等建立方程求解即可； （2）根据生产个A型配件的天数与生产个B型配件的天数相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该企业每天生产A型配件的数量为x个，则每天生产B型配件的数量为个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该企业每天生产A型配件的数量为15个，每天生产B型配件的数量为45个； （2）解：由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意． 知识总结 ① 核心方法：设未知数→找等量关系→列分式方程→解方程→检验→作答。② 解题要点：第（1）问根据‘3天A产量=1天B产量’建立方程；第（2）问注意减产后产量变化。③ 易错提醒：分式方程必须检验，确保分母不为0且符合实际意义。 22．如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 命题透视 ►核心考点：动点问题中的分段函数、图象绘制与不等式 ►命题分析： （1）情境创设：矩形中两动点按不同方式运动，分别给出距离y1、y2与时间t的关系，要求写出函数表达式、画函数图象并根据图象求y1≤y2时t的范围。 （2）问题设计：第（1）问根据运动状态建立分段函数；第（2）问列表描点画图，并结合图象解不等式。 （3）考查目标：考查模型观念、数形结合思想和动手画图能力。 答案与解析 【答案】(1)（）； (2) 或 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 知识总结 ① 核心方法：根据动点位置和速度分段表示线段长或距离，写出分段函数；通过列表、描点、连线画出函数图象。② 解题要点：找准转折点（如点P到达C点），分段讨论自变量范围。③ 策略提醒：画图时要注意坐标轴刻度、关键点和线段趋势，结合图象读解集。 23．重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． (1)求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； (2)现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 命题透视 ►核心考点：方位角与解直角三角形的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以重庆春秋假景区游玩为背景，给出门、猴山、古塔、游乐场的位置关系和方位角，求景点间距离及两人运动中的距离问题。 （2）问题设计：第（1）问通过构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理求距离；第（2）问结合速度关系设未知数，建立方程求解。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识。 答案与解析 【答案】(1)7.4千米 (2)千米或4千米 【分析】（1）过点B作于点E，由含30度直角三角形的性质求得，，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得； （2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作于点H，由速度关系得路程关系，设千米，则千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得，再由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 由题意得， ∴千米， ∵，， ∴， ∴千米， 由勾股定理得千米， ∵， ∴， ∴千米， 由勾股定理得（千米）． 答：的长度为7.4千米． （2）解：假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即千米， 如图，过点F作于点H， ∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍， ∴乙的路程是甲的路程的2倍， 即， 设千米，则千米，千米， ∵，， ∴千米， 由勾股定理得千米，千米， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得， 则（千米），或（千米）． 答：甲离处千米或4千米． 知识总结 ① 核心方法：根据方位角画出方向线，构造直角三角形，利用正弦、余弦、正切及勾股定理求解。② 解题要点：准确理解‘南偏东’‘南偏西’等方位角含义，画出正确的示意图。③ 易错提醒：第（2）问可能有两解，需结合题意取舍。 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 命题透视 ►核心考点：抛物线表达式、线段最值、平移与存在性问题 ►命题分析： （1）情境创设：抛物线与x轴、y轴交于已知点，求表达式；动点P在抛物线上，求线段最大值及和的最小值；抛物线平移后求满足角度条件的点M。 （2）问题设计：第（1）问待定系数法；第（2）问通过平行线间距离最值和几何变换求最值；第（3）问分类讨论平移后抛物线上满足∠MNA=45°的点。 （3）考查目标：考查运算能力、推理能力、创新意识和分类讨论思想，是函数压轴题。 答案与解析 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 知识总结 ① 核心方法：待定系数法求抛物线表达式；将线段最值转化为平行线间距离或利用几何对称；平移后用顶点式或一般式表示新抛物线。② 解题要点：第（2）问注意‘与AC平行且与抛物线相切’时距离最大；第（3）问利用45°角构造等腰直角三角形，分点N在x轴上方和下方讨论。③ 应试策略：压轴题分步得分，先确保前两问，第三问尽量写出分类标准和部分过程。 25．如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：； (3)如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值． 命题透视 ►核心考点：等腰直角三角形、旋转、中位线、将军饮马与翻折最值 ►命题分析： （1）情境创设：以等腰直角三角形为起点，通过旋转、中位线、全等三角形和翻折对称，研究线段最值与面积最大值。 （2）问题设计：第（1）问用勾股定理解等腰直角三角形；第（2）问通过‘手拉手’全等和中位线证明线段垂直关系；第（3）问综合旋转、对称、圆上点到直线距离最值求面积最大值。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观、创新意识和最值思想，是整卷的区分度核心。 答案与解析 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，解得； ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的中点， 又点是线段的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）利用勾股定理和解直角三角形求解即可； （2）结合“手拉手”模型，证得，利用全等证得是等腰直角三角形，所以得到，再利用得到新条件证明，得到是的中位线，利用等量代换证出最终结果； （3）先利用“手拉手”模型确定点的运动轨迹，再利用将军饮马确定点的具体位置； 接着利用对称性得出，从而确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，根据圆上的点到直线的最大距离需过圆心进行解答． 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴，即， 解得； （2）证明：略 （3）解：如图所示，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点在与垂直且垂足为点的直线上， ∴作点关于直线的对称点，连接交直线为点， 此时最短，如下图所示， ， 连接交直线于点，过点作垂直直线，交直线于点， ∴四边形是矩形， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴，解得， 在直角三角形中， ，解得， 则， 由对称性可知， 由题意知，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，； ∵沿直线翻折至所在平面内得到， ∴点是关于直线的对称点， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点实在以为圆心，长为半径的圆上运动， 过点作交于点， ∴， ∴欲面积的最大，则需要最大， 过圆心时取得最大值，如下图所示， ， 在和中，， 即，解得， ， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 知识总结 ① 核心模型：等腰直角三角形的‘手拉手’全等、旋转不变性、中位线、将军饮马最短路径、圆上点到直线最大距离。② 解题要点：第（3）问先确定点P的运动轨迹，再利用对称找最短路径，最后确定点Q的轨迹圆，面积最大转化为圆上点到直线距离最大。③ 应试策略：几何压轴题注意分步得分，前两问要尽量完整证明，第三问可借助特殊位置或极限思想辅助分析。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $