专题07 二次函数的简单应用（暑假自学讲义） 2026--2027学年沪教版九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题07 二次函数的简单应用 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 几何面积最值问题 题型2 商品利润最值问题 题型3 抛物线轨迹问题 · 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； · · 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； · 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 知识点讲解 1. 核心基础知识点——二次函数的三种表达式 ①一般式： ②顶点式： ③交点式： 2. 最值核心规则 ①当a>0时， ②当a<0时， 3.二次函数应用题的步骤 · 审：梳理已知量、变量，找等量关系； · 设：设自变量x，因变量y； · 列：列出二次函数解析式，写出x取值范围； · 解：配方 / 公式法求顶点，结合定义域求最值； · 验：检验结果符合实际意义，写答。 4. 高频易错点 1　 只求顶点最值，漏掉自变量取值范围，答案错误； 2　 利润列式：混淆单件利润、销量，符号出错； 3　 靠墙面积问题：栅栏总长分配错误，自变量范围写错； 4　 拱桥 / 抛球建系原点选错，坐标计算混乱； 题型归纳 题型1 几何面积最值问题 【例1】已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 【例2】如图，在中，．动点D从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为x秒，正方形与重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积， ∴， ∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线； 当时，与相交于M，与相交于N，如图所示： 此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：B． 【变式练习】 1．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 3．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 【详解】解：依题意设侧面积为； ∴， ∵， ∴有最大值，当时，面积最大， 故选：B 4．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， 当时，，故①正确； 当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确； ，， 当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误； 故选：． 5．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 6．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 7．如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)不存在最小值． 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键． （1）首先可寻找四边形与题中图形之间的关系，读图可得，，据此即可求出四边形的面积关于的函数表达式，再由、、的值求取的取值范围； （2）把代入（1）中的式子即可得到结论； （3）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解． 【详解】（1）解： ， ，且，，， ， 函数表达式是； （2）解：为的中点， ， ； （3）解：， 由于不在的取值范围内，而也取不到， 则面积的最小值不存在； 题型2 商品利润最值问题 【例1】新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的关系式． (2)求该产品每天获得的利润w（元）的最大值． (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值． 【详解】（1）解：设与的关系式为． 将和代入，得 解得 与的关系式为． （2）解：由题意，得， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4000， 该产品每天获得的利润的最大值为4000元． （3）解：由题意，得， ， ，抛物线开口向下． 对称轴为直线，在实际销售过程中，发现每天获得的利润随的增大而增大，且， ， 解得， 的最小值为26． 【例2】某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【详解】（1）解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； （2）解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 【例3】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：由题意得，该商家每月销售A类头盔的利润为 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随a的增大而增大． ∴当时，故当时，w取最大值为1920元． 【变式练习】 1．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 2．某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． (1)当售价为60元时，每件能赚 元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． (2)当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； (3)请你写出每天销售利润（元）与售价（元）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (4)当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ (5)（求最值，用配方法）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 【详解】（1）解：当售价为60元时，每件能赚元， 每天能卖件， 所以每天的销售利润为元． （2）解：当售价为元时， ①每件能赚元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了件； ④当售价为元时，每天销售件． （3）解：， 由， 解得：， ∴的取值范围是． （4）解：当利润为6000元时，， 整理得，， 解得，． 答：当售价定为70或80元时，每天的销售利润是6000元． （5）解： ， ， 当，即售价定为75元时，每天的销售利润达到最大为6125元． 16． 3．某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 4．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设与的函数关系为， 根据表格可得：， 解得， 与的函数关系为； （2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元， 根题意可得：， 解得：， ， ，抛物线开口向上， ， 当时，有最大值，最大值刚好为元， 购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元． 5．某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 6．利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示． 任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【详解】解：任务1：当时，设y关于t的函数关系式为， 代入得：， 解得：， ∴y关于t的函数关系式为； 当时，设y关于t的函数关系式为， 代入，得：， 解得：， ∴y关于t的函数关系式为； 故答案为：，； 任务2：①当时，令， 解得：， ②当时，令， 解得：， ∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元； 任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元， ①由题意得：， ∴当时，取最大值450， 即当时，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元； ②由题意得：， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随t的增大而减小， ∴当时，取最大值405， 即当时，第21天的日销售利润最大，最大日销售利润是405元； 综上，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元． 题型3 抛物线轨迹问题 【例1】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 【例2】综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入中得， ， 解得：； （2）解：不能，理由如下： ∵ ∴抛物线解析式为： ∵该楼距离地面21米处出现一个起火点， ∴代入抛物线中， 得：， 整理： 解得：， ∴， ∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米． 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：， 根据题意得： 当时， ，即， 解得：， 当时， ，伸缩臂长为米， ∵，符合题意． 当时， ，伸缩臂长为米， ∵>10， 不符合题意，舍去． 故伸缩臂应伸长米． 【例3】某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式练习】 1．投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 2．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）略 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 4. 足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【详解】（1）解：小明从球门正前方8米的处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米， 则， 顶点坐标为． 可设抛物线为， ∵小明从球门正前方8米的处射门， ∴抛物线过， ． ． ． （2）解：由（1）得， 由题意，当时，， 球不能射进球门． 5. 2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 过关练习 一、单选题 1．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 2．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 3．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 4．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 5．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 6．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：， ∴该二次函数的解析式为；故①正确； ②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， 此时水面宽为；故②错误； ③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加；故③正确； 综上所述：正确的个数有①③两个； 故选B． 二、填空题 7．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进而求出当时x的值，则可求出水面下降2米时，水面的宽度，进而可得答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点C的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为，则，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴水面下降2米时，水面的宽度为， ∴水面下降2米时，水面的宽度增加， 故答案为：． 8．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球运行过程中离地面最高的高度是______米． 【答案】3 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质．利用铅球落地时水平距离为10米，高度为0，代入函数解析式求出常数c；再根据二次函数的性质，求顶点坐标得到最大高度． 【详解】解：由题意可得，当时，，代入解析式得： ， 解得， ∴函数解析式为，即， ∴函数图象的顶点坐标为， ∴铅球运行过程中离地面最高的高度是3米． 故答案为：3． 9．某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为________元． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键． 设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设所获利润为w元 由题意得： 由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w取得最大值，最大值为25元 故答案为：25． 10．某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到___________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值． 【详解】解：设房价提高x个10元，则房价为元，日均入住数为间， 日营业收入， 该二次函数，开口向下，对称轴为， ∵，且为整数， 当时，； 当时，， ∵， ∴当时y最大，此时房价为元，且在元范围内． 故答案为：150． 11． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 12．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 13．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 14．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 15．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 16．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 三、解答题 17．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 18．学校在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为x米： (1)当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； (2)如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积最大能达到多少？ 【答案】(1)10米 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设的长为x米，则的长为米，根据矩形的面积列出方程，求出的值即可解答； （2）设养殖园的面积为，根据题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵墙的最大可用长度为15米， ∴， ∴， 则（米）， 答：的长为10米； （2）解：设养殖园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：养殖园的面积最大能达到． 19．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 20．葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 【答案】(1) (2)2860元 【分析】（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】（1）当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为 将，代入，得：， 解得 关于x的函数解析式为 综上所述，y关于x的函数解析式为 （2）当时， ， 此时w的最大值为2560元． 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为的直线 ， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w取得最大值，最大值为． ， 当时，w的最大值为2860元． 21．为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 23．一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，含度角的直角三角形的性质，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）依题意，，，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）作出线段，设与轴的交点为．由（1）知，，进而求得，得出直线的解析式为．联立抛物线解析式，进而求得，进而根据勾股定理求两点距离，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 设抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）∵汤面下降了 ∴此时汤面与碗底距离为，即． 令， 解得（舍去）， ∴汤面的宽度为． （3）∵ ∴． 如解图，作出线段，设与轴的交点为． 由（1）知，， ∴． ∵， ∵ ∴， ∴． 设直线的解析式为．将分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 令， 解得或 （舍去） ∴， ∴． 24．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题07 二次函数的简单应用 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 几何面积最值问题 题型2 商品利润最值问题 题型3 抛物线轨迹问题 · 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； · · 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； · 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 知识点讲解 1. 核心基础知识点——二次函数的三种表达式 ①一般式： ②顶点式： ③交点式： 2. 最值核心规则 ①当a>0时， ②当a<0时， 3.二次函数应用题的步骤 审：梳理已知量、变量，找等量关系； 设：设自变量x，因变量y； 列：列出二次函数解析式，写出x取值范围； 解：配方 / 公式法求顶点，结合定义域求最值； 验：检验结果符合实际意义，写答。 【高频易错点】 只求顶点最值，漏掉自变量取值范围，答案错误； 利润列式：混淆单件利润、销量，符号出错； 靠墙面积问题：栅栏总长分配错误，自变量范围写错； 拱桥 / 抛球建系原点选错，坐标计算混乱； 题型归纳 题型1 几何面积最值问题 【例1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 【例2】如图，在中，．动点D从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为x秒，正方形与重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式练习】 1．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 5．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 6．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 7．如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 题型2 商品利润最值问题 【例1】新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的关系式． (2)求该产品每天获得的利润w（元）的最大值． (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值． 【例2】某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【例3】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 【变式练习】 1．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． (1)当售价为60元时，每件能赚 元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． (2)当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； (3)请你写出每天销售利润（元）与售价（元）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (4)当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ (5)（求最值，用配方法）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 3．某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 4．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 5．某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 6．利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示． 任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 题型3 抛物线轨迹问题 【例1】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【例2】综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【例3】某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【变式练习】 1．投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 2．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 4. 足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 5. 2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 过关练习 一、单选题 1．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 3．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 4．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 5．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 7．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 8．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球运行过程中离地面最高的高度是______米． 9．某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为___元． 10．某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到___________元时，客房的日营业收入最大． 11． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 12．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为________． 13．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 14．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 15．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为______． 16．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为___________． 三、解答题 17．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙。 18．学校在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为x米： (1)当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； (2)如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积最大能达到多少？ 19．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 20．葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 21．为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 23．一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 24．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $