集合与逻辑用语 不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以集合、逻辑用语、不等式为核心，通过分级典例系统构建“概念-方法-应用”体系，培养数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑用语|6题（含新定义）|Venn图法、充要条件判定、子集个数分析|从集合概念到运算推理，逻辑用语与集合关系融合| |不等式|10题（含高考真题）|基本不等式“1”的妙用、恒成立问题转化、复杂函数值域求法|从基本不等式到条件最值，结合函数单调性拓展|

集合与逻辑用语 不等式 6月第二周，我们进行 2027届一轮复习(1)：集合与逻辑用语 不等式 ，题目难度中等。 Q1：难度星级对应什么分数段？ A1：5星题[140,150] 4星题[125,150] 3星半题[100,150] 3星题(0,135] 3星以下题(0,90] 1．（江苏省如皋中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试卷·★★）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（安徽省蚌埠市2022届高三下学期第四次教学质量检查理科·★★☆）已知集合、都是的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（★★★）设为正数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（★★★）若实数、满足，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试题·★★★）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．3 7．（★★★）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（河北省沧州市部分学校2022-2023学年高一上学期第一次阶段测试数学试题·★★★）若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（    ） ，，， A．m B．n C．s D．t 10．（四川省成都市2026届高三第一次诊断性检测·★★★）已知，为正数，且则（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（湖北省武汉市2025届高三二月份调研考试数学试题·★★★★）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 12．（湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题·★★）已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________. 13．（2025年高考天津卷数学真题·★★★）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 14．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）·★★★）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 15．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（二）·★★★）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为______． 16．（北京市延庆区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷·★★★）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 试卷第2页，共2页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D B B AC AD ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【难度】0.85 【知识点】指数函数图像应用、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由和的图象，可知， ， 又， . 故选：D. 2．B 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、并集的概念及运算 【分析】推导出，即可求得结果. 【详解】如下图所示，已知为全集，、为全集的两个子集，且，则， 本题中，因为集合、都是的子集，且，则， 因此，. 故选：B. 4．A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，即可得解. 【详解】可得， 当且仅当时成立， 故选：A 5．D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用基本不等式分别求出与的取值范围即可判断． 【详解】解：对于A，B，由可得，，当且仅当时取等号，即， ，，故A、B错误， 对于C，D，由可得，，当且仅当时取等号， ，可取，则成立， 当 ，故C错，D对， 故选：D． 6．B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式.在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取“）， ，此时. ， ，当且仅当时取得，满足题意. 的最大值为1. 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以． 因为 ， 令，则，， 所以， 由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值， 所以当时，， 所以. 故选：B． 8．AC 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、探求命题为真的充要条件 【分析】把条件具体化，结合充要条件即可作出判断. 【详解】解：由得图， 对于A，，易知等价于，m是p的充要条件； 对于B，，易知等价于，n不是p的充要条件； 对于C，，易知等价于，s是p的充要条件； 对于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要条件. 故是p的充要条件的有m，s， 故选：AC. 10．ABC 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据题意化简可得,从而得,化简原等式可得,即可求出的范围， 由即可求出的范围. 【详解】由,可得：,, 由，可得：，即，由，所以,即 由，可得：，即，由，所以,即, 则, 所以, 由,,可得:, 所以，即 解得：, 所以时，取最大值为4，故A正确； 所以当,，或,时，取最小值为，故C正确； 由,可得： 由于,则， 所以, 当，取最大值,故B正确； 当,，或,时，取最小值，故D不正确； 故选：ABC 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 12． 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合或参数 【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解. 【详解】因为， ， 又集合恰有两个元素， 所以恰有两个元素1和2，所以. 故答案为：. 13． 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 14． 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 15． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可确定与的不等关系，结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以，， 又都是正实数，所以，所以，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为：． 16．(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出 ，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $